2022-2023學(xué)年福建省福州市江兜中學(xué)高二數(shù)學(xué)理測試題含解析

2022-2023學(xué)年福建省福州市江兜中學(xué)高二數(shù)學(xué)理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.設(shè)為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：D2.設(shè)為曲線：上的點(diǎn)，且曲線在點(diǎn)處切線傾斜角的取值范圍為，則點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍為A．

B．

C．

D．

參考答案：A略3.若，則下列不等式中，正確的不等式有

①

②

③

④

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個參考答案：C4.一個空間幾何體的正視圖和側(cè)視圖都是邊長為1的正方形，俯視圖是一個直徑為1的圓，那么這個幾何體的體積為(

)A． B． C．π D．參考答案：A考點(diǎn)：由三視圖求面積、體積．專題：計(jì)算題．分析：由三視圖可判斷這個幾何體為圓柱體，根據(jù)題意可知底面半徑以及高，易求體積．解答：解：由三視圖可知這個幾何體是圓柱體，且底面圓的半徑，高為1，那么圓柱體的體積是：π×（）2×1=，故選A．點(diǎn)評：本題考查三視圖求幾何體的體積，考查計(jì)算能力，空間想象能力，三視圖復(fù)原幾何體是解題的關(guān)鍵5.參數(shù)方程(θ為參數(shù))所表示的圖形是(

)A、直線

B、射線

C、圓

D、半圓參考答案：C略6.設(shè)全集，集合，，則（

）A.[1,2) B.(0,3] C.[1,3) D.(0,2)參考答案：B【分析】先由分式不等式的解法求出集合,再由集合并集的運(yùn)算即可得解.【詳解】解：由題得集合，所以，又集合，所以.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了補(bǔ)集及集合的運(yùn)算,屬基礎(chǔ)題.7.在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，如果2b=a+c，B=30°，△ABC的面積是，則b=(

)A．1+ B． C． D．2+參考答案：A【考點(diǎn)】正弦定理．【專題】解三角形．【分析】先根據(jù)已知條件求出a，b，c的關(guān)系，再根據(jù)三角形的面積公式求出ac=6，利用余弦定理求出b的值．【解答】解：∵B=30°，△ABC的面積是，∴，即ac=6，∵2b=a+c，∴4b2=a2+c2+2ac，①則由余弦定理得，②∴兩式相減得，即，即b=1+，故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查了正弦定理的應(yīng)用．解題過程中常需要正弦定理，余弦定理，三角形面積公式以及勾股定理等知識．要求熟練掌握相應(yīng)的公式和定理．8.已知i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)（1+i）2=（）A．2i B．﹣2i C．2 D．﹣2參考答案：A【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【分析】利用完全平方式展開化簡即可．【解答】解：（1+i）2=12+2i+i2=1+2i﹣1=2i；故選：A．9.橢圓上有兩點(diǎn)P、Q，O為原點(diǎn)，若OP、OQ斜率之積為，則

為A.

4

B.20

C.64

D.

不確定參考答案：B

略10.已知某幾何體的三視圖如圖所示，其中正（主）視圖中半圓的半徑為1，則該幾何體的體積為（）A．24﹣π B．24﹣ C．24﹣ D．24﹣參考答案：C【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積．【專題】轉(zhuǎn)化思想；空間位置關(guān)系與距離．【分析】該幾何體由一個長方體挖去一個半圓柱得到的．【解答】解：該幾何體由一個長方體挖去一個半圓柱得到的．∴該幾何體的體積V=2×3×4﹣3=24﹣．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了三棱錐的三視圖與體積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在等比數(shù)列中，已知，則該數(shù)列的前15項(xiàng)的和

。參考答案：1112.已知命題：“在等差數(shù){an}中，若4a2+a10+a（）=24，則S11為定值”為真命題，由于印刷問題，括號處的數(shù)模糊不清，可推得括號內(nèi)的數(shù)為．參考答案：18【考點(diǎn)】等差數(shù)列的性質(zhì)．【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知4a2+a10+a18=3a2+3a10，進(jìn)而求得a2+a10的值，進(jìn)而利用等差數(shù)列的求和公式求得前11項(xiàng)的和為定值，可知推斷正確．【解答】解：推斷括號內(nèi)的數(shù)為18根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知4a2+a10+a18═3a2+3a10=24∴a2+a10=8則S11===44為定值．故可知推斷正確．故答案為：1813.若恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是____________.參考答案：略14.利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1+++…+＜f（n）（n≥2，n∈N*）的過程中，由n=k變到n=k+1時，左邊增加的項(xiàng)是．參考答案：【考點(diǎn)】RG：數(shù)學(xué)歸納法．【分析】依題意，由n=k+1時，不等式左邊為1+++…++，與n=k時不等式的左邊比較即可得到答案．【解答】解：用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1+++…+＜f（n）（n≥2，n∈N*）的過程中，假設(shè)n=k時不等式成立，左邊=1+++…+，則當(dāng)n=k+1時，左邊=1+++…++，∴由n=k遞推到n=k+1時不等式左邊增加了：，故答案為：．15.已知函數(shù)

時，則下列結(jié)論正確的是

（1），等式恒成立（2），使得方程有兩個不等實(shí)數(shù)根（3），若，則一定有（4），使得函數(shù)在上有三個零點(diǎn)參考答案：(1)(2)(3)16.已知一個長方體的同一個頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱長分別為1，，，則這個長方體外接球的表面積為__________．參考答案：長方體外接球的直徑，∴半徑，∴長方體外接球的表面積為．17.在直線上有一點(diǎn)，它到點(diǎn)和點(diǎn)的距離之和最小，則點(diǎn)的坐標(biāo)是__________。參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，平面EFGH分別平行于CD，AB，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別在AC，BC，BD，AD上，且，CD與AB所成的角的大小為．（1）求證：四邊形EFGH是平行四邊形；（2）點(diǎn)F在BC的什么位置時，四邊形EFGH的面積最大，最大值是多少？參考答案：（1）∵平面，平面，平面平面∴，同理∴，同理∴四邊形為平行四邊形．

…………6分（2）由（1）可知在中，.記，則.在中，，則.∴∵，∴（或其補(bǔ)角）為與所成的角，故或∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故當(dāng)為線段的中點(diǎn)時，四邊形的面積最大，最大值為．

…………15分19.橢圓與過點(diǎn)且斜率為的直線交于兩點(diǎn)．（1）若線段的中點(diǎn)為，求的值；（2）在軸上是否存在一個定點(diǎn)，使得的值為常數(shù)，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．參考答案：（1）；（2）存在．試題分析：（1）設(shè)，直線與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系，得出等式，即可求解的值；（2）假設(shè)在軸上存在一個定點(diǎn)滿足題意，設(shè)，得出的坐標(biāo)，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，得出的表達(dá)式，即可得出結(jié)論.試題解析：（1）設(shè)，直線為與聯(lián)立得，則有，∴，解之得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，其中解答中直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用、向量的運(yùn)算，二次函數(shù)的最值等知識點(diǎn)的綜合考查，著重考查了學(xué)生分析問題和解答問題的能力，以及推理與運(yùn)算能力，此類問題的解答中把直線的方程與圓錐曲線的方程聯(lián)立，轉(zhuǎn)化為方程的根和系數(shù)的關(guān)系，利用判別式與韋達(dá)定理是解答的關(guān)鍵.20.(本題滿分12分)已知,周長為14，,求頂點(diǎn)的軌跡方程.參考答案：解：以AB所在直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系.則設(shè)點(diǎn)------------------------------------------------------------------------------------2分---------------------------------------------------------------------4分由橢圓的定義點(diǎn)c是以AB為焦點(diǎn)的橢圓A、B點(diǎn)除外-------7分

點(diǎn)c的軌跡方程為-----------------------------------------------------10分在中所以點(diǎn)c的軌跡方程為，（）.---------------------------------12分21.（本小題滿分14分）右圖為一簡單組合體，其底面ABCD為正方形，平面，，且，（1）求證：//平面；（2）若N為線段的中點(diǎn)，求證：平面；

參考答案：解：（1）證明：∵，平面，平面∴EC//平面,同理可得BC//平面∵EC平面EBC,BC平面EBC且

∴平面//平面

又∵BE平面EBC

∴BE//平面PDA---------------7分（2）證法1：連結(jié)AC與BD交于點(diǎn)F,連結(jié)NF，∵F為BD的中點(diǎn)，∴且,又且∴且∴四邊形NFCE為平行四邊形∴∵,平面,面

∴，又∴面

∴面----------------------14分略22.已知橢圓：的離心率為，右焦點(diǎn)為(，0)．

(1)求橢圓的方程；

（2)若過原點(diǎn)作兩條互相垂直的射線，與橢圓交于，兩點(diǎn)，求證：點(diǎn)到直線的距離為定值．參考答案：解：（1）

…………4分（2）設(shè)，，若k存在，則設(shè)直線AB：y＝kx＋m.…………5分

由，得△

＞0，

…………6分△

有OA⊥