2022年湖南省永州市祥霖鋪中學高三數(shù)學理測試題含解析

2022年湖南省永州市祥霖鋪中學高三數(shù)學理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若，則A．

B．

C．

D．參考答案：A略2.在等差數(shù)列中，若，則的值為（

）

A．20

B．22

C．24

D．28參考答案：C略3.隨機變量X的取值為0，1，2，若P（X=0）=，E（X）=1，則D（X）=（）A． B． C． D．參考答案：B【考點】CH：離散型隨機變量的期望與方差．【分析】設P（X=1）=p，P（X=2）=q，則由P（X=0）=，E（X）=1，列出方程組，求出p=，q=，由此能求出D（X）．【解答】解：設P（X=1）=p，P（X=2）=q，∵E（X）=0×+p+2q=1①，又+p+q=1，②由①②得，p=，q=，∴D（X）=（0﹣1）2+=，故選：B．4.“”是“”的A．充分不必要條件 B．充要條件

C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：A5.（5分）已知函數(shù)若關于x的方程f（x）=k有3個不同的實根，則實數(shù)k的取值范圍為（）A．（0，+∞）B．[1，+∞）C．（0，2）D．（1，2]參考答案：D【考點】：根的存在性及根的個數(shù)判斷．【專題】：作圖題．【分析】：通過作出函數(shù)的圖象，可知當直線y=k過點（0，1）時，直線與曲線有1個公共點；當直線y=k過點（0，2）時，直線與曲線有3個公共點，而當直線介于上述兩條直線間的時候，會有3個不同的公共點，可得答案．解：∵，作函數(shù)的圖象如圖函數(shù)y=k，（k為常數(shù)）的圖象是平行于x軸的直線，結合圖象可知，當直線y=k過點（0，1）時，直線與曲線有1個公共點，當直線y=k過點（0，2）時，直線與曲線有3個公共點，而當直線介于上述兩條直線間的時候，會有3個不同的公共點，故當x∈（1，2]，時直線與曲線有3個不同的公共點，即關于x的方程f（x）=k有3個不同的實根．故選D【點評】：本題為方程實根的個數(shù)問題，只需轉化為兩函數(shù)圖象的交點的個數(shù)，通過作出函數(shù)的圖象從而使問題得解，屬中檔題．6.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2－9n，第m項am滿足5<am<8，則m＝(

)A．9

B．8

C．7

D．6參考答案：【知識點】數(shù)列遞推式．C1B

解析：由Sn＝n2－9n，當n＝1時，a1＝S1＝－8，當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n－10，由于5<am<8，則5<2m－10<8，解得7.5<m<9，又m∈N，所以m＝8，故選B.【思路點撥】先利用公式，求出am，再由第m項滿足5<am<8，求出m．7.設集合M={x|x2+3x+2＜0}，集合N={x|（）x≤4}，則M∪N=(

) A．{x|x≥﹣2} B．{x|x＞﹣1} C．{x|x＜﹣1} D．{x|x≤﹣2}參考答案：A考點：并集及其運算．專題：集合．分析：求出集合的等價條件，根據集合的基本運算即可得到結論．解答： 解：M={x|x2+3x+2＜0}={x|﹣2＜x＜﹣1}，集合N={x|（）x≤4}={x|x≥﹣2}，則M∪N={x|x≥﹣2}，故選：A點評：本題主要考查集合的基本運算，求出集合的等價條件是解決本題的關鍵．8.已知函數(shù)f（x）=acosx+xsinx，x∈．當1＜a＜2時，則函數(shù)f（x）極值點個數(shù)是(

)A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：C考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值；函數(shù)零點的判定定理．專題：計算題；數(shù)形結合法；導數(shù)的概念及應用．分析：先判定該函數(shù)為偶函數(shù)，再通過運算得出x=0為函數(shù)的一個極值點，最后再判斷函數(shù)在（0，）有一個極值點．解答：解：∵f（﹣x）=acos（﹣x）+（﹣x）sin（﹣x）=acosx+xsinx=f（x），∴f（x）為偶函數(shù)，又∵f'（x）=（1﹣a）sinx+xcosx，且f'（0）=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①所以，x=0為函數(shù)的一個極值點，而f''（x）=（2﹣a）cosx﹣xsinx，a∈（2，3），則f''（0）=2﹣a＞0，故函數(shù)f'（x）在x=0附近是單調遞增的，且f'（）=1﹣a＜0，結合①，根據函數(shù)零點的判定定理，必存在m∈（0，）使得f'（m）=0成立，顯然，此時x=m就是函數(shù)f（x）的一個極值點，再根據f（x）為偶函數(shù)，所以f（x）在（﹣，0）也必有一個極值點，綜合以上分析得，f（x）在共有三個極值，故選C．點評：本題主要考查了函數(shù)的極值，以及運用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和函數(shù)零點的判定，屬于中檔題9.若某程序框圖如圖所示，則輸出的p的值是(A)21

(B)26

(C)30

(D)55參考答案：C10.已知向量若與平行，則實數(shù)的值是（

）A．－2 B．0 C．2 D．1參考答案：考點：1.共線向量；2.平面向量的坐標運算.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)的最小正周期是，則

．參考答案：112.已知向量，若，則=

.參考答案：（-2，-1）13.（幾何證明選講選做題）如圖ACB=90°，CD⊥AB于點D，以BD為直徑的圓與BC交于點E．下面的結論正確的是

．

①CE·CB=AD·DB;

②CE·CB=AD·AB;

③AD·AB=CD2參考答案：14.設、、依次是的角、、所對的邊，若，且，則_____________.參考答案：15.平面向量與的夾角為60°，||=1，=（3，0），|2+|=

．參考答案：【考點】平面向量數(shù)量積的運算．【分析】由條件可以得到，從而進行數(shù)量積的運算便可求出的值，從而便可得出的值．【解答】解：根據條件，，；∴；∴．故答案為：．16.二項式的展開式中常數(shù)項為

▲

(用數(shù)字作答)．參考答案：-10【知識點】二項式定理J3，，得r=3,常數(shù)項為-10【思路點撥】先寫出通項在求出常數(shù)項。17.不等式的解為______________參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.有時可用函數(shù)

述學習某學科知識的掌握程度．其中表示某學科知識的學習次數(shù)（），表示對該學科知識的掌握程度，正實數(shù)a與學科知識有關

（1）證明：當x7時，掌握程度的增長量f（x+1）-f（x）總是下降；

（2）根據經驗，學科甲、乙、丙對應的a的取值區(qū)間分別為（115，121］,（121,127］（127,133］．當學習某學科知識6次時，掌握程度是85%，請確定相應的學科．參考答案：證明（1）當時，而當時，函數(shù)單調遞增，且故函數(shù)單調遞減當時，掌握程度的增長量總是下降（2）有題意可知整理得解得……．13分由此可知，該學科是乙學科……………．．14分略19.本小題滿分14分）已知函數(shù)（Ⅰ）若在處的切線與直線平行，求的單調區(qū)間；（Ⅱ）求在區(qū)間上的最小值.參考答案：當時，………………14分略20.（本小題12分）已知數(shù)列是各項均不為的等差數(shù)列，公差為，為其前項和，且滿足，．數(shù)列滿足，為數(shù)列的前n項和．（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式和數(shù)列的前n項和；（Ⅱ）若對任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；參考答案：解（1）在中，令，，得

即

解得，，又時，滿足，

………………3分，．

………………6分（2）①當為偶數(shù)時，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．

，等號在時取得．

此時

需滿足．

…………8分②當為奇數(shù)時，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．

是隨的增大而增大，時取得最小值．此時

需滿足．

…………11分綜合①、②可得的取值范圍是．………12分21.已知某校四個社團的學生人數(shù)分別為10,5,20,15.現(xiàn)為了了解社團活動開展情況，用分層抽樣的方法從四個社團的學生當中隨機抽取10名學生參加問卷調查.(Ⅰ)從四個社團中各抽取多少人？(Ⅱ)在社團所抽取的學生總數(shù)中，任取2個,求社團中各有1名學生的概率.參考答案：(Ⅰ)從四個社團中分別抽取，

，，

故從四個社團中分別抽取學生人數(shù)為2,1,4,3.(Ⅱ)設在社團中抽取的學生分別為，在社團中抽取的3學生分別為，從社團所抽取的5名學生中，任取2個,共有種情況，其中符合社團中各有1名學生的情況共有種；故社團中各有1名學生的概率………12分22.對于數(shù)列，定義“變換”：將數(shù)列變換成數(shù)列，其中，且，這種“變換”記作.繼續(xù)對數(shù)列進行“變換”，得到數(shù)列，…，依此類推，當?shù)玫降臄?shù)列各項均為時變換結束．（Ⅰ）試問和經過不斷的“變換”能否結束？若能，請依次寫出經過“變換”得到的各數(shù)列；若不能，說明理由；（Ⅱ）求經過有限次“變換”后能夠結束的充要條件；（Ⅲ）證明：一定能經過有限次“變換”后結束．參考答案：（Ⅰ）解：數(shù)列不能結束，各數(shù)列依次為；；；；；；…．從而以下重復出現(xiàn)，不會出現(xiàn)所有項均為的情形．

………………2分數(shù)列能結束，各數(shù)列依次為；；；．

………………3分（Ⅱ）解：經過有限次“變換”后能夠結束的充要條件是．………………4分若，則經過一次“變換”就得到數(shù)列，從而結束．……………5分當數(shù)列經過有限次“變換”后能夠結束時，先證命題“若數(shù)列為常數(shù)列，則為常數(shù)列”．當時，數(shù)列．由數(shù)列為常數(shù)列得，解得，從而數(shù)列也為常數(shù)列．其它情形同理，得證．在數(shù)列經過有限次“變換”后結束時，得到數(shù)列(常數(shù)列)，由以上命題，它變換之前的數(shù)列也為常數(shù)列，可知數(shù)列也為常數(shù)列．

………………8分所以，數(shù)列經過有限次“變換”后能夠結束的充要條件是．（Ⅲ）證明：先證明引理：“數(shù)列的最大項一定不大于數(shù)列的最大項，其中”．證明：記數(shù)列中最大項為，則．令，，其中．因為，

所以，故，證畢．

………………9分現(xiàn)將數(shù)列分為兩類．第一類是沒有為的項，或者為的項與最大項不相鄰（規(guī)定首項與末項相鄰），此時由引理可知，．

第二類是含有為的項，且與最大項相鄰，此時．下面證明第二類數(shù)列經過有限次“變換”，一定可以得到第一類數(shù)列．不妨令數(shù)列的第一項為，第二項最大()．（其它情形同理）①當數(shù)列中只有一項為時，若()，則，此數(shù)列各項均不為或含有項但與最大項不相鄰，為第一類數(shù)列；若，則；此數(shù)列各項均不為或含有項但與最大項不相鄰，為第一類數(shù)列；若()，則，此數(shù)列各項均不為，為第一類數(shù)列；若，則；；，此數(shù)列各項均不為，為第一類數(shù)列．②當數(shù)列中有兩項為時，若()，則，此數(shù)列各項均不為，為第一類數(shù)列；若()，則，，此數(shù)列各項均不為或含有項但與最大項不相鄰，為第一類數(shù)列．③當數(shù)列中有三項為時，只能是，則，，，此數(shù)列各項均不為，為第一類數(shù)列．總之，第二類數(shù)列至多經過次“變換”，就會得到第一類數(shù)列，即至多連續(xù)經歷次“變換”，數(shù)列的最大項又開始減少．又因為各數(shù)列的最大項是非負整數(shù)，故經過有限次“變換”后，數(shù)列的最大項一定會為，此時數(shù)列的各項均為，從而結束．

……………13分

北京市西城區(qū)2012年高三一模試卷

數(shù)學（理科）參考答案及評分標準

2012.4一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.

1.

C；

2.D；

3.A；

4.A；

5.B；

6.D；

7.A；

8.D.

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.9.；

10.；

11.；

12.；

13.和，；

14.，.注：13題、14題第一問2分，第二問3分.

三、解答題：本大題共6小題，共80分.

15.（本小題滿分13分）（Ⅰ）解：原式可化為．

………………3分

因為，

所以，所以．

………………5分

因為，所以．

………………6分

（Ⅱ）解：由余弦定理，得．………………8分

因為，，

所以．

………………10分

因為，

………………12分所以．

………………13分16.（本小題滿分13分）（Ⅰ）解：由已知，甲、乙兩名運動員在每一局比賽中獲勝的概率都是．………………1分記“甲以比獲勝”為事件，則．

………………4分（Ⅱ）解：記“乙獲勝且比賽局數(shù)多于局”為事件.

因為，乙以比獲勝的概率為，

………………6分

乙以比獲勝的概率為，

………………7分所以．

………………8分（Ⅲ）解：設比賽的局數(shù)為，則的可能取值為．

，

………………9分

，

………………10分

，

………………11分

．

………………12分比賽局數(shù)的分布列為：

………………13分17.（本小題滿分14分）（Ⅰ）證明：設與相交于點，連結．因為四邊形為菱形，所以，且為中點．

………………1分又，所以．

………3分因為，所以平面．

………………4分

（Ⅱ）證明：因為四邊形與均為菱形，所以//，//，所以平面//平面．

………………7分

又平面，所以//平面．

………………8分

（Ⅲ）解：因為四邊形為菱形，且，所以△為等邊三角形．因為為中點，所以，故平面．由兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系．………………9分

設．因為四邊形為菱形，，則，所以，．所以．

所以，．

設平面的法向量為，則有所以

取，得．

………………12分

易知平面的法向量為．

………………13分

由二面角是銳角，得．

所以二面角的余弦值為．

………………14分

18.（本小題滿分13分）（Ⅰ）解：當時，，．

………………2分由于，，所以曲線在點處的切線方程是．

………………4分（Ⅱ）解：，．

………………6分①當時，令，解得．的單調遞減區(qū)間為；單調遞增區(qū)間為，．……………8分當時，令，解得，或．②當時，的單調遞減區(qū)間為，；單調遞增區(qū)間為，．

………………10分③當時，為常值函數(shù)，不存在單調區(qū)間．

………………11分④當時，的單調遞減區(qū)間為，；單調遞增區(qū)間為，．

………………13分

19.（本小題滿分14分）（Ⅰ）解：由，

得.

………………2分依題意△是等腰直角三角形，從而，故.

………………4分所以橢圓的方程是.

………………5分（Ⅱ）解：設，，直線的方程為.

將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，消去得.

………………7分所以，.

………………8分若平分，則直線，的傾斜角互補，所以.

………………9分設，則有.將，代入上式，整理得，所以.

………………12分將，代入上式，整理得.

………………13分由于上式對任意實數(shù)都成立，所以.

綜上，存在定點，使平分.

………………14分

20.（本小題滿分13分）（Ⅰ）解：數(shù)列不能結束，各數(shù)列依次為；；；；；；…．從而以下重復出現(xiàn)，不會出現(xiàn)所有項均為的情形．

………………2分數(shù)列能結束，各數(shù)列依次為；；；．

………………3分（Ⅱ）解：經過有限次“變換”