2022年湖南省永州市祥霖鋪中學(xué)高三數(shù)學(xué)理測試題含解析

2022年湖南省永州市祥霖鋪中學(xué)高三數(shù)學(xué)理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.若，則A．

B．

C．

D．參考答案：A略2.在等差數(shù)列中，若，則的值為（

）

A．20

B．22

C．24

D．28參考答案：C略3.隨機(jī)變量X的取值為0，1，2，若P（X=0）=，E（X）=1，則D（X）=（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】CH：離散型隨機(jī)變量的期望與方差．【分析】設(shè)P（X=1）=p，P（X=2）=q，則由P（X=0）=，E（X）=1，列出方程組，求出p=，q=，由此能求出D（X）．【解答】解：設(shè)P（X=1）=p，P（X=2）=q，∵E（X）=0×+p+2q=1①，又+p+q=1，②由①②得，p=，q=，∴D（X）=（0﹣1）2+=，故選：B．4.“”是“”的A．充分不必要條件 B．充要條件

C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：A5.（5分）已知函數(shù)若關(guān)于x的方程f（x）=k有3個不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（）A．（0，+∞）B．[1，+∞）C．（0，2）D．（1，2]參考答案：D【考點(diǎn)】：根的存在性及根的個數(shù)判斷．【專題】：作圖題．【分析】：通過作出函數(shù)的圖象，可知當(dāng)直線y=k過點(diǎn)（0，1）時，直線與曲線有1個公共點(diǎn)；當(dāng)直線y=k過點(diǎn)（0，2）時，直線與曲線有3個公共點(diǎn)，而當(dāng)直線介于上述兩條直線間的時候，會有3個不同的公共點(diǎn)，可得答案．解：∵，作函數(shù)的圖象如圖函數(shù)y=k，（k為常數(shù)）的圖象是平行于x軸的直線，結(jié)合圖象可知，當(dāng)直線y=k過點(diǎn)（0，1）時，直線與曲線有1個公共點(diǎn)，當(dāng)直線y=k過點(diǎn)（0，2）時，直線與曲線有3個公共點(diǎn)，而當(dāng)直線介于上述兩條直線間的時候，會有3個不同的公共點(diǎn)，故當(dāng)x∈（1，2]，時直線與曲線有3個不同的公共點(diǎn)，即關(guān)于x的方程f（x）=k有3個不同的實(shí)根．故選D【點(diǎn)評】：本題為方程實(shí)根的個數(shù)問題，只需轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)的個數(shù)，通過作出函數(shù)的圖象從而使問題得解，屬中檔題．6.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2－9n，第m項(xiàng)am滿足5<am<8，則m＝(

)A．9

B．8

C．7

D．6參考答案：【知識點(diǎn)】數(shù)列遞推式．C1B

解析：由Sn＝n2－9n，當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝－8，當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n－10，由于5<am<8，則5<2m－10<8，解得7.5<m<9，又m∈N，所以m＝8，故選B.【思路點(diǎn)撥】先利用公式，求出am，再由第m項(xiàng)滿足5<am<8，求出m．7.設(shè)集合M={x|x2+3x+2＜0}，集合N={x|（）x≤4}，則M∪N=(

) A．{x|x≥﹣2} B．{x|x＞﹣1} C．{x|x＜﹣1} D．{x|x≤﹣2}參考答案：A考點(diǎn)：并集及其運(yùn)算．專題：集合．分析：求出集合的等價條件，根據(jù)集合的基本運(yùn)算即可得到結(jié)論．解答： 解：M={x|x2+3x+2＜0}={x|﹣2＜x＜﹣1}，集合N={x|（）x≤4}={x|x≥﹣2}，則M∪N={x|x≥﹣2}，故選：A點(diǎn)評：本題主要考查集合的基本運(yùn)算，求出集合的等價條件是解決本題的關(guān)鍵．8.已知函數(shù)f（x）=acosx+xsinx，x∈．當(dāng)1＜a＜2時，則函數(shù)f（x）極值點(diǎn)個數(shù)是(

)A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：C考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；函數(shù)零點(diǎn)的判定定理．專題：計算題；數(shù)形結(jié)合法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用．分析：先判定該函數(shù)為偶函數(shù)，再通過運(yùn)算得出x=0為函數(shù)的一個極值點(diǎn)，最后再判斷函數(shù)在（0，）有一個極值點(diǎn)．解答：解：∵f（﹣x）=acos（﹣x）+（﹣x）sin（﹣x）=acosx+xsinx=f（x），∴f（x）為偶函數(shù)，又∵f'（x）=（1﹣a）sinx+xcosx，且f'（0）=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①所以，x=0為函數(shù)的一個極值點(diǎn)，而f''（x）=（2﹣a）cosx﹣xsinx，a∈（2，3），則f''（0）=2﹣a＞0，故函數(shù)f'（x）在x=0附近是單調(diào)遞增的，且f'（）=1﹣a＜0，結(jié)合①，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的判定定理，必存在m∈（0，）使得f'（m）=0成立，顯然，此時x=m就是函數(shù)f（x）的一個極值點(diǎn)，再根據(jù)f（x）為偶函數(shù)，所以f（x）在（﹣，0）也必有一個極值點(diǎn)，綜合以上分析得，f（x）在共有三個極值，故選C．點(diǎn)評：本題主要考查了函數(shù)的極值，以及運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)零點(diǎn)的判定，屬于中檔題9.若某程序框圖如圖所示，則輸出的p的值是(A)21

(B)26

(C)30

(D)55參考答案：C10.已知向量若與平行，則實(shí)數(shù)的值是（

）A．－2 B．0 C．2 D．1參考答案：考點(diǎn)：1.共線向量；2.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)的最小正周期是，則

．參考答案：112.已知向量，若，則=

.參考答案：（-2，-1）13.（幾何證明選講選做題）如圖ACB=90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，以BD為直徑的圓與BC交于點(diǎn)E．下面的結(jié)論正確的是

．

①CE·CB=AD·DB;

②CE·CB=AD·AB;

③AD·AB=CD2參考答案：14.設(shè)、、依次是的角、、所對的邊，若，且，則_____________.參考答案：15.平面向量與的夾角為60°，||=1，=（3，0），|2+|=

．參考答案：【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】由條件可以得到，從而進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算便可求出的值，從而便可得出的值．【解答】解：根據(jù)條件，，；∴；∴．故答案為：．16.二項(xiàng)式的展開式中常數(shù)項(xiàng)為

▲

(用數(shù)字作答)．參考答案：-10【知識點(diǎn)】二項(xiàng)式定理J3，，得r=3,常數(shù)項(xiàng)為-10【思路點(diǎn)撥】先寫出通項(xiàng)在求出常數(shù)項(xiàng)。17.不等式的解為______________參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.有時可用函數(shù)

述學(xué)習(xí)某學(xué)科知識的掌握程度．其中表示某學(xué)科知識的學(xué)習(xí)次數(shù)（），表示對該學(xué)科知識的掌握程度，正實(shí)數(shù)a與學(xué)科知識有關(guān)

（1）證明：當(dāng)x7時，掌握程度的增長量f（x+1）-f（x）總是下降；

（2）根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)科甲、乙、丙對應(yīng)的a的取值區(qū)間分別為（115，121］,（121,127］（127,133］．當(dāng)學(xué)習(xí)某學(xué)科知識6次時，掌握程度是85%，請確定相應(yīng)的學(xué)科．參考答案：證明（1）當(dāng)時，而當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，且故函數(shù)單調(diào)遞減當(dāng)時，掌握程度的增長量總是下降（2）有題意可知整理得解得……．13分由此可知，該學(xué)科是乙學(xué)科……………．．14分略19.本小題滿分14分）已知函數(shù)（Ⅰ）若在處的切線與直線平行，求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）求在區(qū)間上的最小值.參考答案：當(dāng)時，………………14分略20.（本小題12分）已知數(shù)列是各項(xiàng)均不為的等差數(shù)列，公差為，為其前項(xiàng)和，且滿足，．?dāng)?shù)列滿足，為數(shù)列的前n項(xiàng)和．（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式和數(shù)列的前n項(xiàng)和；（Ⅱ）若對任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；參考答案：解（1）在中，令，，得

即

解得，，又時，滿足，

………………3分，．

………………6分（2）①當(dāng)為偶數(shù)時，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．

，等號在時取得．

此時

需滿足．

…………8分②當(dāng)為奇數(shù)時，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．

是隨的增大而增大，時取得最小值．此時

需滿足．

…………11分綜合①、②可得的取值范圍是．………12分21.已知某校四個社團(tuán)的學(xué)生人數(shù)分別為10,5,20,15.現(xiàn)為了了解社團(tuán)活動開展情況，用分層抽樣的方法從四個社團(tuán)的學(xué)生當(dāng)中隨機(jī)抽取10名學(xué)生參加問卷調(diào)查.(Ⅰ)從四個社團(tuán)中各抽取多少人？(Ⅱ)在社團(tuán)所抽取的學(xué)生總數(shù)中，任取2個,求社團(tuán)中各有1名學(xué)生的概率.參考答案：(Ⅰ)從四個社團(tuán)中分別抽取，

，，

故從四個社團(tuán)中分別抽取學(xué)生人數(shù)為2,1,4,3.(Ⅱ)設(shè)在社團(tuán)中抽取的學(xué)生分別為，在社團(tuán)中抽取的3學(xué)生分別為，從社團(tuán)所抽取的5名學(xué)生中，任取2個,共有種情況，其中符合社團(tuán)中各有1名學(xué)生的情況共有種；故社團(tuán)中各有1名學(xué)生的概率………12分22.對于數(shù)列，定義“變換”：將數(shù)列變換成數(shù)列，其中，且，這種“變換”記作.繼續(xù)對數(shù)列進(jìn)行“變換”，得到數(shù)列，…，依此類推，當(dāng)?shù)玫降臄?shù)列各項(xiàng)均為時變換結(jié)束．（Ⅰ）試問和經(jīng)過不斷的“變換”能否結(jié)束？若能，請依次寫出經(jīng)過“變換”得到的各數(shù)列；若不能，說明理由；（Ⅱ）求經(jīng)過有限次“變換”后能夠結(jié)束的充要條件；（Ⅲ）證明：一定能經(jīng)過有限次“變換”后結(jié)束．參考答案：（Ⅰ）解：數(shù)列不能結(jié)束，各數(shù)列依次為；；；；；；…．從而以下重復(fù)出現(xiàn)，不會出現(xiàn)所有項(xiàng)均為的情形．

………………2分?jǐn)?shù)列能結(jié)束，各數(shù)列依次為；；；．

………………3分（Ⅱ）解：經(jīng)過有限次“變換”后能夠結(jié)束的充要條件是．………………4分若，則經(jīng)過一次“變換”就得到數(shù)列，從而結(jié)束．……………5分當(dāng)數(shù)列經(jīng)過有限次“變換”后能夠結(jié)束時，先證命題“若數(shù)列為常數(shù)列，則為常數(shù)列”．當(dāng)時，數(shù)列．由數(shù)列為常數(shù)列得，解得，從而數(shù)列也為常數(shù)列．其它情形同理，得證．在數(shù)列經(jīng)過有限次“變換”后結(jié)束時，得到數(shù)列(常數(shù)列)，由以上命題，它變換之前的數(shù)列也為常數(shù)列，可知數(shù)列也為常數(shù)列．

………………8分所以，數(shù)列經(jīng)過有限次“變換”后能夠結(jié)束的充要條件是．（Ⅲ）證明：先證明引理：“數(shù)列的最大項(xiàng)一定不大于數(shù)列的最大項(xiàng)，其中”．證明：記數(shù)列中最大項(xiàng)為，則．令，，其中．因?yàn)椋?/p>

所以，故，證畢．

………………9分現(xiàn)將數(shù)列分為兩類．第一類是沒有為的項(xiàng)，或者為的項(xiàng)與最大項(xiàng)不相鄰（規(guī)定首項(xiàng)與末項(xiàng)相鄰），此時由引理可知，．

第二類是含有為的項(xiàng)，且與最大項(xiàng)相鄰，此時．下面證明第二類數(shù)列經(jīng)過有限次“變換”，一定可以得到第一類數(shù)列．不妨令數(shù)列的第一項(xiàng)為，第二項(xiàng)最大()．（其它情形同理）①當(dāng)數(shù)列中只有一項(xiàng)為時，若()，則，此數(shù)列各項(xiàng)均不為或含有項(xiàng)但與最大項(xiàng)不相鄰，為第一類數(shù)列；若，則；此數(shù)列各項(xiàng)均不為或含有項(xiàng)但與最大項(xiàng)不相鄰，為第一類數(shù)列；若()，則，此數(shù)列各項(xiàng)均不為，為第一類數(shù)列；若，則；；，此數(shù)列各項(xiàng)均不為，為第一類數(shù)列．②當(dāng)數(shù)列中有兩項(xiàng)為時，若()，則，此數(shù)列各項(xiàng)均不為，為第一類數(shù)列；若()，則，，此數(shù)列各項(xiàng)均不為或含有項(xiàng)但與最大項(xiàng)不相鄰，為第一類數(shù)列．③當(dāng)數(shù)列中有三項(xiàng)為時，只能是，則，，，此數(shù)列各項(xiàng)均不為，為第一類數(shù)列．總之，第二類數(shù)列至多經(jīng)過次“變換”，就會得到第一類數(shù)列，即至多連續(xù)經(jīng)歷次“變換”，數(shù)列的最大項(xiàng)又開始減少．又因?yàn)楦鲾?shù)列的最大項(xiàng)是非負(fù)整數(shù)，故經(jīng)過有限次“變換”后，數(shù)列的最大項(xiàng)一定會為，此時數(shù)列的各項(xiàng)均為，從而結(jié)束．

……………13分

北京市西城區(qū)2012年高三一模試卷

數(shù)學(xué)（理科）參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)

2012.4一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.

1.

C；

2.D；

3.A；

4.A；

5.B；

6.D；

7.A；

8.D.

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.9.；

10.；

11.；

12.；

13.和，；

14.，.注：13題、14題第一問2分，第二問3分.

三、解答題：本大題共6小題，共80分.

15.（本小題滿分13分）（Ⅰ）解：原式可化為．

………………3分

因?yàn)椋?/p>

所以，所以．

………………5分

因?yàn)椋裕?/p>

………………6分

（Ⅱ）解：由余弦定理，得．………………8分

因?yàn)椋?/p>

所以．

………………10分

因?yàn)椋?/p>

………………12分所以．

………………13分16.（本小題滿分13分）（Ⅰ）解：由已知，甲、乙兩名運(yùn)動員在每一局比賽中獲勝的概率都是．………………1分記“甲以比獲勝”為事件，則．

………………4分（Ⅱ）解：記“乙獲勝且比賽局?jǐn)?shù)多于局”為事件.

因?yàn)?，乙以比獲勝的概率為，

………………6分

乙以比獲勝的概率為，

………………7分所以．

………………8分（Ⅲ）解：設(shè)比賽的局?jǐn)?shù)為，則的可能取值為．

，

………………9分

，

………………10分

，

………………11分

．

………………12分比賽局?jǐn)?shù)的分布列為：

………………13分17.（本小題滿分14分）（Ⅰ）證明：設(shè)與相交于點(diǎn)，連結(jié)．因?yàn)樗倪呅螢榱庑危?，且為中點(diǎn)．

………………1分又，所以．

………3分因?yàn)?，所以平面?/p>

………………4分

（Ⅱ）證明：因?yàn)樗倪呅闻c均為菱形，所以//，//，所以平面//平面．

………………7分

又平面，所以//平面．

………………8分

（Ⅲ）解：因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，且，所以△為等邊三角形．因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，故平面．由兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．………………9分

設(shè)．因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，，則，所以，．所以．

所以，．

設(shè)平面的法向量為，則有所以

取，得．

………………12分

易知平面的法向量為．

………………13分

由二面角是銳角，得．

所以二面角的余弦值為．

………………14分

18.（本小題滿分13分）（Ⅰ）解：當(dāng)時，，．

………………2分由于，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程是．

………………4分（Ⅱ）解：，．

………………6分①當(dāng)時，令，解得．的單調(diào)遞減區(qū)間為；單調(diào)遞增區(qū)間為，．……………8分當(dāng)時，令，解得，或．②當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，；單調(diào)遞增區(qū)間為，．

………………10分③當(dāng)時，為常值函數(shù)，不存在單調(diào)區(qū)間．

………………11分④當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，；單調(diào)遞增區(qū)間為，．

………………13分

19.（本小題滿分14分）（Ⅰ）解：由，

得.

………………2分依題意△是等腰直角三角形，從而，故.

………………4分所以橢圓的方程是.

………………5分（Ⅱ）解：設(shè)，，直線的方程為.

將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，消去得.

………………7分所以，.

………………8分若平分，則直線，的傾斜角互補(bǔ)，所以.

………………9分設(shè)，則有.將，代入上式，整理得，所以.

………………12分將，代入上式，整理得.

………………13分由于上式對任意實(shí)數(shù)都成立，所以.

綜上，存在定點(diǎn)，使平分.

………………14分

20.（本小題滿分13分）（Ⅰ）解：數(shù)列不能結(jié)束，各數(shù)列依次為；；；；；；…．從而以下重復(fù)出現(xiàn)，不會出現(xiàn)所有項(xiàng)均為的情形．

………………2分?jǐn)?shù)列能結(jié)束，各數(shù)列依次為；；；．

………………3分（Ⅱ）解：經(jīng)過有限次“變換”