2021版高考數(shù)學(xué)導(dǎo)與練一輪復(fù)習(xí)（浙江版）知識(shí)梳理第八章第三節(jié)　平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用

第三節(jié)平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用復(fù)習(xí)目標(biāo)學(xué)法指導(dǎo)1.平面向量的數(shù)量積的物理背景及其含義(1)平面向量數(shù)量積及其幾何意義.(2)平面向量數(shù)量積及投影的關(guān)系.(3)平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及運(yùn)算律.2.平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示模、夾角(1)數(shù)量積的坐標(biāo)表示.(2)數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角.(3)數(shù)量積求向量的模.1.善于利用平面幾何的知識(shí)解決數(shù)量積的問題,把握住運(yùn)算數(shù)量積的幾種常見方式.2.數(shù)量積的定義是推導(dǎo)其他性質(zhì)的關(guān)鍵,注意夾角的定義.一、數(shù)量積的定義及意義1.向量的夾角(1)定義已知兩個(gè)非零向量a和b,作QUOTEOA→=a,QUOTEOB→=b,如圖所示,則∠AOB=θ叫做向量a與b的夾角,也可記作<a,b>=θ.(2)范圍向量夾角θ的范圍是[0,π],a與b同向時(shí),夾角θ=0;a與b反向時(shí),夾角θ=π.(3)垂直關(guān)系如果非零向量a與b的夾角是90°,我們說a與b垂直,記作a⊥b.2.平面向量的數(shù)量積已知兩個(gè)非零向量a與b,它們的夾角為θ,則數(shù)量|a||b|cosθ叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積),記作a·b.

規(guī)定:零向量與任一向量的數(shù)量積為0.兩個(gè)非零向量a與b垂直的充要條件是a·b=0.3.平面向量數(shù)量積的幾何意義數(shù)量積a·b等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積.

1.概念理解(1)在平面圖形中運(yùn)算向量的數(shù)量積要注意向量夾角的取值,注意區(qū)分平面圖形中的角和向量夾角的區(qū)別.(2)理解數(shù)量積的概念可以和物理中功的公式相聯(lián)系,加深對(duì)概念的理解.(3)向量a與b的夾角為銳角?a·b>0且a與b不共線,a,b夾角為鈍角?a·b<0且a與b不共線.2.與數(shù)量積的定義有關(guān)的結(jié)論(1)a在b方向上的投影:|a|·cosθ或QUOTEa·b|b|(2)|a·b|≤|a||b|,“=”當(dāng)且僅當(dāng)a與b共線時(shí)取到.二、數(shù)量積的性質(zhì)與運(yùn)算律1.平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)(1)e·a=a·e=|a|cosθ(e為單位向量,θ為a與e的夾角);

(2)非零向量a,b,a⊥b?a·b=0;(3)當(dāng)a與b同向時(shí),a·b=|a||b|;當(dāng)a與b反向時(shí),a·b=-|a||b|,a·a=|a|2,|a|=QUOTEa·a;(4)cosθ=QUOTEa·b|a||b|2.平面向量數(shù)量積滿足的運(yùn)算律(1)a·b=b·a(交換律);(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(λ為實(shí)數(shù));(3)(a+b)·c=a·c+b·c.3.平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ為向量a,b的夾角.(1)a·b=x1x2+y1y2.(2)|a|=QUOTEx12+y12(3)cosθ=QUOTEx1x2+y11.與數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律相關(guān)的結(jié)論(1)0·a=0,0·a=0.(2)a·b=b·c?b=0或b⊥(a-c).2.與坐標(biāo)運(yùn)算有關(guān)的結(jié)論A(x1,y1),B(x2,y2),則AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(QUOTEx1+x22,QUOTEy1+y22),AB的兩個(gè)三等分點(diǎn)坐標(biāo)為(QUOTE2x1+x23,QUOTE2y1+y23)和(QUOTEx1+2x23,QUOTEy1.對(duì)于向量a,b,c和實(shí)數(shù)λ,下列命題中正確的是(B)(A)若a·b=0,則a=0或b=0(B)若λa=0,則λ=0或a=0(C)若a2=b2,則a=b或a=-b(D)若a·b=a·c,則b=c解析:當(dāng)a⊥b時(shí),a·b=0,故A錯(cuò);當(dāng)a⊥b,|a|=|b|=1時(shí),a2=b2,故C錯(cuò);當(dāng)a⊥b,a⊥c時(shí),a·b=a·c=0,故D錯(cuò).故選B.2.(2018·全國(guó)Ⅱ卷)已知向量a,b滿足|a|=1,a·b=-1,則a·(2a-b)等于(B)(A)4 (B)3 (C)2 (D)0解析:a·(2a-b)=2a2-a·b=2|a|2-a·b.因?yàn)閨a|=1,a·b=-1,所以原式=2×12+1=3.故選B.3.已知向量QUOTEAB→與QUOTEAC→的夾角為120°,且|QUOTEAB→|=3,|QUOTEAC→|=2.若QUOTEAP→=λQUOTEAB→+QUOTEAC→,且QUOTEAP→⊥QUOTEBC→,則實(shí)數(shù)λ的值為.

解析:因?yàn)镼UOTEAP→⊥QUOTEBC→,所以QUOTEAP→·QUOTEBC→=0,所以(λQUOTEAB→+QUOTEAC→)·(-QUOTEAB→)=0,即QUOTEAC→2-λQUOTEAB→2+(λ-1)QUOTEAB→·QUOTEAC→=0,又因?yàn)镼UOTEAB→·QUOTEAC→=3×2×(-QUOTE12)=-3,所以4-9λ-3(λ-1)=0.所以λ=.答案:4.(2019·江蘇卷)如圖,在△ABC中,D是BC的中點(diǎn),E在邊AB上,BE=2EA,AD與CE交于點(diǎn)O.若QUOTEAB→·=6·,則的值是.

解析:如圖,過點(diǎn)D作DF∥CE交AB于點(diǎn)F,由D是BC的中點(diǎn),可知F為BE的中點(diǎn).又BE=2EA,則知EF=EA,從而可得AO=OD,則有QUOTEAO→=QUOTE12AD→=(QUOTEAB→+QUOTEAC→),=QUOTEAC→-=QUOTEAC→-,所以6QUOTEAO→·QUOTEEC→=(QUOTEAB→+QUOTEAC→)·(-QUOTE13AB→)=-+QUOTEAB→·=·QUOTEAC→,整理可得=3,所以=.答案:QUOTE3考點(diǎn)一平面向量數(shù)量積的運(yùn)算[例1](2018·天津卷)在如圖的平面圖形中,已知OM=1,ON=2,∠MON=120°,QUOTEBM→=2QUOTEMA→,QUOTECN→=2QUOTENA→,則QUOTEBC→·QUOTEOM→的值為()(A)-15(B)-9 (C)-6 (D)0解析:如圖,連接MN.因?yàn)镼UOTEBM→=2QUOTEMA→,QUOTECN→=2QUOTENA→,所以QUOTEAMAB=QUOTE13=,所以MN∥BC,且QUOTEMNBC=QUOTE13,所以QUOTEBC→=3QUOTEMN→=3(QUOTEON→-QUOTEOM→),所以QUOTEBC→QUOTEBC→·QUOTEOM→=3(QUOTEON→·QUOTEOM→-QUOTEOM→2)=3(2×1×cos120°-12)=-6.故選C.(1)求兩個(gè)向量的數(shù)量積,有三種方法:利用定義;利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算;利用數(shù)量積的幾何意義.(2)解決涉及幾何圖形的數(shù)量積運(yùn)算問題時(shí),可先利用向量的加減運(yùn)算或數(shù)量積的運(yùn)算律化簡(jiǎn)再運(yùn)算,但要注意向量的夾角與已知平面角的關(guān)系是相等還是互補(bǔ).(2018·嘉興模擬)如圖,B,D是以AC為直徑的圓上的兩點(diǎn),其中AB=QUOTEt+1,AD=QUOTEt+2,則QUOTEAC→·QUOTEBD→等于(A)(A)1 (B)2(C)t (D)2t解析:QUOTEAC→·QUOTEBD→=QUOTEAC→·(QUOTEAD→-QUOTEAB→)=QUOTEAC→·QUOTEAD→-QUOTEAC→·=|QUOTEAC→||QUOTEAD→|cos∠DAC-|QUOTEAC→||QUOTEAB→|cos∠BAC=QUOTEAD→2-QUOTEAB→2=(t+2)-(t+1)=1.考點(diǎn)二平面向量的夾角[例2]已知單位向量e1,e2的夾角為α,且cosα=QUOTE13,向量a=3e1-2e2與b=3e1-e2的夾角為β,則cosβ=.

解析:由已知得e1·e2=1×1×QUOTE13=,a·b=(3e1-2e2)·(3e1-e2)=9+2-9e1·e2=11-3=8.又因?yàn)閍2=(3e1-2e2)2=9+4-12e1·e2=13-4=9,得|a|=3,b2=(3e1-e2)2=9+1-6e1·e2=10-2=8,得|b|=2QUOTE2,所以cosβ=QUOTEa·b|a||b|=QUOTE83×22=QUOTE223QUOTE223.答案:QUOTE223QUOTE223根據(jù)平面向量數(shù)量積的性質(zhì),若a,b為非零向量,則cos<a,b>=QUOTEa·b|a||b|,a⊥b?a1.(2019·金麗衢十二校第一次聯(lián)考)已知向量a=(4,),b=(1,5QUOTE3),則a與b的夾角為(C)(A)30° (B)45° (C)60° (D)90°解析:cos<a,b>=QUOTEa·b|a||b|==所以<a,b>=60°.故選C.2.(2018·浙江臺(tái)州期末統(tǒng)考)設(shè)非零向量a,b,則“a,b的夾角為銳角”是“|a+b|>|a-b|”的(A)(A)充分不必要條件 (B)必要不充分條件(C)充要條件 (D)既不充分也不必要條件解析:由于|a+b|>|a-b|等價(jià)于a·b>0,若a,b的夾角為銳角,則a·b>0,所以|a+b|>|a-b|成立,反之不一定成立,如a,b夾角為0,不一定為銳角,所以“a,b的夾角為銳角”是“|a+b|>|a-b|”的充分不必要條件.故選A.考點(diǎn)三平面向量的模[例3](1)設(shè)a,b為單位向量,若向量c滿足|c-(a+b)|=|a-b|,則|c|的最大值是()(A)2QUOTE2 (B)2 (C)QUOTE2 (D)1(2)(2018·浙江卷)已知a,b,e是平面向量,e是單位向量.若非零向量a與e的夾角為QUOTEπ3,向量b滿足b2-4e·b+3=0,則|a-b|的最小值是()(A)QUOTE3-1 (B)QUOTE3+1 (C)2 (D)2-QUOTE3解析:(1)如圖.記QUOTEOA→=a,QUOTEOB→=b,=c,則a+b=QUOTEOD→,a-b=QUOTEBA→,由已知得|QUOTEOC→-QUOTEOD→|=|QUOTEBA→|,又由|QUOTEBA→|=|QUOTEOC→-QUOTEOD→|≥|QUOTEOC→|-|QUOTEOD→|得|c|=|QUOTEOC→|≤|QUOTEOD→|+|QUOTEBA→QUOTEBA→|=|a+b|+|a-b|,由已知得|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2)=4,而≤=QUOTE2,故|c|≤2QUOTE2.故選A.解析:(2)由b2-4e·b+3=0得b2-4e·b+3e2=(b-e)·(b-3e)=0.設(shè)b=QUOTEOB→,e=QUOTEOE→,3e=QUOTEOF→,所以b-e=QUOTEEB→,b-3e=QUOTEFB→,所以QUOTEEB→·=0,取EF的中點(diǎn)為C,則B在以C為圓心,EF為直徑的圓上.如圖,設(shè)a=QUOTEOA→,作射線OA,使得∠AOE=,所以|a-b|=|(a-2e)+(2e-b)|≥|a-2e|-|2e-b|=||-|QUOTEBC→|≥QUOTE3-1.故選A.(1)求向量模的常用方法:利用公式|a|2=a2,將模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為數(shù)量積的運(yùn)算.(2)求模也可將向量置于特殊圖形中,利用圖形解決向量的模.(2019·溫州2月模擬)在平面上,e1,e2是方向相反的單位向量,|a|=2,(b-e1)·(b-e2)=0,則|a-b|的最大值為(D)(A)1 (B) (C)2 (D)3解析:由題意得(b-e1)·(b-e2)=0?b2-b·(e1+e2)+e1·e2=0,e1,e2是方向相反的單位向量,所以e1+e2=0,e1·e2=-1,b2-1=0?|b|=1,所以|a-b|≤|a|+|b|=3,|a-b|的最大值為3.故選D.考點(diǎn)四平面向量的應(yīng)用[例4](1)已知點(diǎn)O,N,P在△ABC所在平面內(nèi),且|QUOTEOA→|=|QUOTEOB→|=|QUOTEOC→|,QUOTENA→+QUOTENB→QUOTENB→+QUOTENC→=0,QUOTEPA→·QUOTEPB→=QUOTEPB→·=QUOTEPC→·QUOTEPA→,則點(diǎn)O,N,P依次是△ABC的()(A)重心、外心、垂心 (B)重心、外心、內(nèi)心(C)外心、重心、垂心 (D)外心、重心、內(nèi)心(2)(2019·浙江卷)已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,當(dāng)每個(gè)λi(i=1,2,3,4,5,6)取遍±1時(shí),|λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6|的最小值是,最大值是.

解析:(1)由|QUOTEOA→|=|QUOTEOB→|=|QUOTEOC→|知點(diǎn)O到A,B,C距離相等,為外心;由QUOTENA→+QUOTENB→+QUOTENC→=0,即=-(QUOTENB→+QUOTENC→)知N為△ABC三條中線交點(diǎn)即重心;由QUOTEPA→·QUOTEPB→=QUOTEPB→·QUOTEPC→,即QUOTEPB→QUOTEPB→·(QUOTEPA→-QUOTEPC→)=0得QUOTEPB→QUOTEPB→·QUOTECA→=0,即QUOTEPB→QUOTEPB→⊥QUOTECA→,同理QUOTEPC→⊥QUOTEAB→,QUOTEPA→⊥QUOTEBC→,即P為垂心,故選C.解析:(2)如圖,以A為原點(diǎn),AB所在直線為x軸,AD所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,則=(1,0),=(0,1).設(shè)a=λ1QUOTEAB→+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6=λ1QUOTEAB→+λ2QUOTEAD→-λ3QUOTEAB→-λ4QUOTEAD→+λ5(QUOTEAB→+QUOTEAD→)+λ6(QUOTEAD→-QUOTEAB→)=(λ1-λ3+λ5-λ6)QUOTEAB→+(λ2-λ4+λ5+λ6)QUOTEAD→=(λ1-λ3+λ5-λ6,λ2-λ4+λ5+λ6).故|a|=QUOTE(λ1-λ3+因?yàn)棣薸(i=1,2,3,4,5,6)取遍±1,所以當(dāng)λ1-λ3+λ5-λ6=0,λ2-λ4+λ5+λ6=0時(shí),|λ1QUOTEAB→+λ2QUOTEBC→+λ3QUOTECD→+λ4QUOTEDA→+λ5QUOTEAC→+λ6QUOTEBD→|取得最小值0.考慮到λ5-λ6,λ5+λ6有相關(guān)性,要確保所求模最大,只需使|λ1-λ3+λ5-λ6|,|λ2-λ4+λ5+λ6|盡可能取到最大值,即當(dāng)λ1-λ3+λ5-λ6=2,λ2-λ4+λ5+λ6=4時(shí)可取到最大值,所以|λ1QUOTEAB→+λ2QUOTEBC→+λ3+λ4QUOTEDA→+λ5QUOTEAC→+λ6QUOTEBD→|的最大值為=2.答案:(1)C(2)02QUOTE5以向量為載體求相關(guān)變量的取值范圍是向量與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)等相結(jié)合的一類綜合問題,通過幾何圖形的分析,轉(zhuǎn)化為不等式解集或函數(shù)值域等問題.已知圓O:x2+y2=4上有三個(gè)不同的點(diǎn)P,A,B,且滿足=xQUOTEOB→-QUOTE12OA→(其中x>0),則實(shí)數(shù)x的取值范圍是.

解析:因?yàn)?xQUOTEOB→-QUOTE12OA→,所以QUOTEOP→-QUOTEOA→=xQUOTEOB→-QUOTE12OA→,即xQUOTEOB→=-QUOTE12OA→,兩邊平方得4x2=4+1-QUOTEOP→·QUOTEOA→,設(shè)<QUOTEOP→,QUOTEOA→>=α,則4x2=5-4cosα,因?yàn)?1<cosα<1,所以1<5-4cosα<9,即1<4x2<9,因?yàn)閤>0,所以QUOTE12<x<QUOTE32.即實(shí)數(shù)x的取值范圍是(QUOTE12,).答案:(QUOTE12,QUOTE32)類型一平面向量數(shù)量積的運(yùn)算1.(2019·衢州第一次模擬)在梯形ABCD中,AD∥BC,BC=2AB=2AD=2DC=4,AC與BD相交于O,過點(diǎn)A作AE⊥BD于E,則·等于(C)(A) (B) (C)3 (D)2解析:如圖,由題意知BD⊥DC,∠ADC=120°,所以∠ADB=30°,∠ACD=30°,由題意得AE∥CD,所以∠EAO=30°,AC=2QUOTE3,AE=1,QUOTEAE→·=|QUOTEAE→|·|QUOTEAC→|·cos30°=1×2QUOTE3×QUOTE32=3.故選C.類型二平面向量的夾角2.(2019·浙江省模擬)設(shè)θ是兩個(gè)非零向量a,b的夾角,已知對(duì)任意實(shí)數(shù)t,|b+ta|的最小值為1,則(B)(A)若θ確定,則|a|唯一確定(B)若θ確定,則|b|唯一確定(C)若|a|確定,則θ唯一確定(D)若|b|確定,則θ唯一確定解析:|b+ta|2=b2+2ta·b+t2a2,令g(t)=b2+2ta·b+t2a2,二次函數(shù)圖象開口向上,所以最小值為=|b|2-|b|2cos2θ=|b|2sin2θ=1,故當(dāng)θ故選B.3.(2019·余高、縉中、長(zhǎng)中5月模擬)已知平面向量a,b不共線,且|a|=1,a·b=1,記b與2a+b的夾角是θ,則θ最大時(shí),|a-b|等于(C)(A)1 (B) (C)QUOTE3 (D)2解析:設(shè)|b|=x,則b·(2a+b)=2a·b+b2=x2+2,(2a+b)2=4a2+4a·b+b2=x2+8,cosθ==,所以cos2θ===,即當(dāng)x2=4,x=2時(shí),cos2θ取到最小值,則θ取到最大值,此時(shí)|a-b|2=a2-2a·b+b2=1-2+4=3,所以|a-b|=QUOTE3.故選C.類型三平面向量的模4.已知在△ABC中,|QUOTEBC→|=10,QUOTEAB→·QUOTEAC→=-16,D為邊BC的中點(diǎn),則|QUOTEAD→|等于(D)(A)6 (B)5 (C)4 (D)3解析:因?yàn)镼UOTEAB→·QUOTEAC→=-16,QUOTEBC→=QUOTEAC→-QUOTEAB→,所以|QUOTEBC→|=|QUOTEAC→-QUOTEAB→|,所以|QUOTEAC→-QUOTEAB→|2=|QUOTEBC→|2=100,所以QUOTEAC→2+QUOTEAB→2-2QUOTEAC→·QUOTEAB→=100,所以QUOTEAC→2+QUOTEAB→2=68,又因?yàn)?QUOTE12AB→+QUOTE12AC→,所以|QUOTEAD→|2=QUOTE14(QUOTEAB→2+QUOTEAC→2+2QUOTEAB→·QUOTEAC→)=QUOTE14×(68-32)=9.所以|QUOTEAD→|=3.類型四平面向量的應(yīng)用5.(2019·浙江三校第一次聯(lián)考)如圖,圓O是半徑為1的圓,OA=,設(shè)B,C是圓上的任意2個(gè)點(diǎn),則QUOTEAC→·的取值范圍是(A)(A)[-,3] (