2023學(xué)年完整公開課版圖乘法

16.4圖乘法16.4圖乘法16.4圖乘法在上節(jié)用虛功原理（積分法）計(jì)算梁和剛架的位移中，我們通過下列形式的積分計(jì)算結(jié)構(gòu)的位移：其中和M分別是虛擬狀態(tài)與實(shí)際狀態(tài)的彎矩方程,為函數(shù)形式表達(dá)。對(duì)于梁和剛架以及組合結(jié)構(gòu)（中的梁式桿）,當(dāng)荷載比較簡(jiǎn)單、變化較少時(shí)，用積分法計(jì)算十分方便。但是，如果荷載較多,變化復(fù)雜時(shí),桿件就需要分多段求彎矩方程，然后進(jìn)行分段積分計(jì)算,此時(shí)計(jì)算將會(huì)十分繁瑣。為了使這種位移計(jì)算實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)化，本節(jié)介紹圖乘法。16.4圖乘法1.圖乘法的條件：應(yīng)用圖乘法的條件是（1）桿件的軸線為直線；（2）桿件的截面不變，EI為常數(shù)；（3）實(shí)際狀態(tài)的彎矩M圖和虛擬狀態(tài)的彎矩圖的兩個(gè)圖形中至少有一個(gè)為直線。對(duì)于梁和剛架這兩種結(jié)構(gòu)，通過處理后，每一桿（段），都能夠滿足上述條件。16.4圖乘法2．圖乘法的公式如圖所示，設(shè)AB為結(jié)構(gòu)中滿足圖乘法三個(gè)條件的相關(guān)計(jì)算式的積分區(qū)間的直桿段，其中實(shí)際狀態(tài)的彎矩圖M圖為任意形狀，虛擬狀態(tài)的彎矩圖圖為直線；在AB段，M圖的形心為C，面積為F；圖中對(duì)應(yīng)于C點(diǎn)的縱坐標(biāo)為。16.4圖乘法設(shè)坐標(biāo)系如圖，取圖直線與x軸的交點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)并設(shè)該直線的傾角為，則，這里tan為常數(shù)。由于EI均為常數(shù)，故它們都可以提到積分號(hào)前面去。于是16.4圖乘法由于是AB段M圖對(duì)y軸的面積靜矩，這里F和xc分別是M圖的面積及其形心C到y(tǒng)軸的距離。于是就有：16.4圖乘法由此得到梁與剛架用圖乘法求位移的計(jì)算公式：式中：F為某一桿段在實(shí)際狀態(tài)荷載作用下的彎矩M圖的面積，為實(shí)際狀態(tài)荷載作用下的彎矩M圖的形心所對(duì)應(yīng)的虛擬狀態(tài)的彎矩圖圖的彎矩豎標(biāo)值，EI為桿段的抗彎剛度。16.4圖乘法在積分法中，由于是用兩個(gè)狀態(tài)的彎矩表達(dá)式（方程）進(jìn)行計(jì)算，所以直接有正負(fù)結(jié)果，而在圖乘法中，出現(xiàn)的是彎矩圖的面積和豎標(biāo)相乘，所以應(yīng)注意圖乘結(jié)果的正負(fù)。當(dāng)實(shí)際狀態(tài)荷載作用下的彎矩M圖與虛擬狀態(tài)的彎矩圖圖在基線的同一側(cè)時(shí)，圖乘結(jié)果取正，否則取負(fù)?；€一般為桿軸線，或者是區(qū)段疊加法作圖的起始線。當(dāng)某桿段的兩項(xiàng)彎矩圖都是直線圖形時(shí)，面積與豎標(biāo)的乘積可以互換，即面積為虛擬狀態(tài)的彎矩圖圖的面積，豎標(biāo)為虛擬狀態(tài)的彎矩圖圖的形心所對(duì)的實(shí)際狀態(tài)荷載作用下的彎矩M圖的豎標(biāo)。16.4圖乘法3．常用圖形的面積及形心位置直桿彎矩圖常常是由一些簡(jiǎn)單的幾何圖形組成的,圖16－16給出了一些常用圖形的面積以及它們的形心的位置,掌握了這些圖形的面積及形心位置,才能真正達(dá)到應(yīng)用式(16－10)簡(jiǎn)化積分計(jì)算的目的。16.4圖乘法標(biāo)準(zhǔn)二次拋物線（三種形式）16.4圖乘法了解：標(biāo)準(zhǔn)三次拋物線在上面圖中,所謂拋物線“頂點(diǎn)”指的是拋物線的極值點(diǎn)。頂點(diǎn)處的切線與基線平行。圖中的四條拋物線的頂點(diǎn)均位于區(qū)間的端點(diǎn)或中點(diǎn),這樣的拋物線與基線圍成的圖形稱為標(biāo)準(zhǔn)拋物線圖形。圖中的拋物線稱為“標(biāo)準(zhǔn)”拋物線正是這個(gè)意思。在用圖乘法計(jì)算位移時(shí)，一定要注意標(biāo)準(zhǔn)圖形與非標(biāo)準(zhǔn)圖形的區(qū)別。16.4圖乘法4．應(yīng)用圖乘法計(jì)算梁和剛架的位移用圖乘法計(jì)算梁和剛架的位移,一般先要對(duì)梁和剛架進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆侄?，使圖乘法的三個(gè)條件在每一段上都得到滿足；其次，在分段計(jì)算時(shí)，如果實(shí)際狀態(tài)的彎矩M圖的圖形不是標(biāo)準(zhǔn)圖形，則還要對(duì)它應(yīng)用區(qū)段疊加法進(jìn)行處理，使所得到的每一塊圖形都是面積已知和形心位置確定的標(biāo)準(zhǔn)圖形。

16.4圖乘法例如在右圖中，M圖為二次拋物線卻不是標(biāo)準(zhǔn)圖形，可將它分為一個(gè)三角形和一個(gè)拋物線圖形，這兩個(gè)“子圖形”都是標(biāo)準(zhǔn)圖形，其中拋物線圖形以三角形的斜邊為基線，拋物線上對(duì)應(yīng)于基線中點(diǎn)處的切線平行于基線，因此它的面積和形心可按圖標(biāo)準(zhǔn)拋物線的情況來計(jì)算和確定，即ω=2lh/3，形心C2的水平投影位于桿段的中點(diǎn)。具體的積分計(jì)算如下：16.4圖乘法用圖乘法求梁與剛架在荷載作用下的位移的步驟：1.將原荷載作用狀態(tài)作為實(shí)際狀態(tài)，針對(duì)所求位移補(bǔ)充建立虛擬狀態(tài)（在所求位移點(diǎn)沿所求位移方向作用虛擬單位力），并求出兩個(gè)狀態(tài)的支反力；2.分別作出兩個(gè)狀態(tài)的彎矩圖；3.代入公式計(jì)算。16.4圖乘法例

：如圖所示的簡(jiǎn)支梁，承受均布荷載q作用，試求A端截面的轉(zhuǎn)角A與梁中點(diǎn)C的豎向位移Δcy。已知梁的抗彎剛度EI=常數(shù)。解：（1）求A端截面的轉(zhuǎn)角A在A端施加單位力偶作為虛擬狀態(tài)，分別作M圖和圖，如圖所示。16.4圖乘法觀察兩個(gè)彎矩圖，完全滿足圖乘法的條件，所以可以直接代公式計(jì)算。代入圖乘法公式計(jì)算16.4圖乘法（2）求梁中點(diǎn)C的豎向位移Δcy同上，建立虛擬狀態(tài)并作M圖和圖注意到為折線，所以應(yīng)分段計(jì)算16.4圖乘法例16-5如圖所示的簡(jiǎn)支梁，承受均布荷載q并在B端受集中力偶M作用，試求A端截面的轉(zhuǎn)角A。已知梁的抗彎剛度EI=常數(shù)。解：(1)在A端施加單位力偶作為虛擬狀態(tài)，分別作M圖和圖，如圖所示。注意到該M圖為非標(biāo)準(zhǔn)拋物線，所以必須根據(jù)疊加原理進(jìn)行分解處理16.4圖乘法(2)將M圖分為一個(gè)三角形和一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)二次拋物線圖形，其中三角形在基線以上，拋物線圖形在基線以下；與它們的形心相應(yīng)的圖中的兩個(gè)縱坐標(biāo)都在基線以上。因此三角形與相應(yīng)縱坐標(biāo)的乘積為正，拋物線圖形與相應(yīng)縱坐標(biāo)的乘積為負(fù)。(3)代入圖乘法公式計(jì)算所得的結(jié)果為負(fù)，說明A端截面的轉(zhuǎn)角A為順時(shí)針轉(zhuǎn)。

16.4圖乘法例16-6試求如圖所示剛架中結(jié)點(diǎn)B的水平位移Bx。解：(1)在結(jié)點(diǎn)B施加單位水平力作為虛擬狀態(tài)，分別作M圖和圖，如圖所示。16.4圖乘法(2)在AB段，將M圖分為一個(gè)三角形和一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)二次拋物線圖形，這兩個(gè)圖形以及與它們的形心相應(yīng)的圖的兩個(gè)縱坐標(biāo)都在基線右側(cè)BC段兩個(gè)彎矩圖都是直線圖形，可以直接計(jì)算。所以16.4圖乘法【討論】在本例如果能夠由支座C處無水平反力判定出AB桿上端的剪力為零，因而彎矩在此處有極值，AB段的M圖本來就是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)二次拋物線圖形，則可以不需要對(duì)AB段的M圖進(jìn)行分塊。上述計(jì)算可以簡(jiǎn)化如下：16.4圖乘法例16-7求如圖所示外伸梁上點(diǎn)C的豎向位移ΔCy。設(shè)梁的抗彎剛度EI為常數(shù)。解：（1）建立虛擬力狀態(tài)如圖所示。（2）分別作梁在荷載作用下實(shí)際狀態(tài)和在虛擬力作用下的虛擬狀態(tài)的彎矩圖，如圖所示。

16.4圖乘法（3）代入公式計(jì)算位移。根據(jù)區(qū)段疊加法，將AB段的M圖分解為一個(gè)三角形與一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)拋物線圖形，其中三角形的面積為1，基線