新疆高三診斷性自測（第二次）數(shù)學(xué)（文）試題

2022屆新疆高三診斷性自測（第二次）數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1．已知集合，則A的子集共有（

）A．3個 B．4個 C．8個 D．16個【答案】C【分析】根據(jù)題意先求得集合，再求子集的個數(shù)即可.【詳解】由，得集合所以集合A的子集有個，故選：C2．一道數(shù)學(xué)試題，甲、乙兩位同學(xué)獨立完成，設(shè)命題是“甲同學(xué)解出試題”，命題是“乙同學(xué)解出試題”，則命題“至少一位同學(xué)解出試題”可表示為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)“或命題”的定義即可求得答案.【詳解】“至少一位同學(xué)解出試題”的意思是“甲同學(xué)解出試題，或乙同學(xué)解出試題”.故選：D.3．已知實數(shù)x，y滿足約束條件，設(shè)．則z最大值為（

）A．2 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】根據(jù)題意，作出可行域，利用的幾何意義，進行平移即可得到結(jié)果．【詳解】根據(jù)題意，作出實數(shù)x，y滿足約束條件的可行域，如下圖所示：平移直線，當直線經(jīng)過點時，直線的截距最大，此時取得最值，又，解得，即，所以的最大值為.故選：B.4．中國氣象局規(guī)定：一天里的降雨的深度當作日降水量，通常用毫米表示降水量的單位，的降水量是指單位面積上水深.如圖，這是一個雨量筒，其下部是直徑為?高為的圓柱，上部承水口的直徑為.某同學(xué)將該雨量筒放在雨中，雨水從圓形容器口進入容器中，后，測得容器中水深，則該同學(xué)測得的降水量約為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先根據(jù)題意確定24h降水的體積，再根據(jù)降水量的定義計算該同學(xué)測得的降水量即可.【詳解】解：由題意，水的體積，容器口的面積.∴降雨量.∴該同學(xué)測得的降水量約為.故選：C.5．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則z=（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法法則計算可得；【詳解】解：因為，所以；故選：A6．已知向量，，則（

）A． B．2 C．5 D．【答案】A【分析】首先求出的坐標，再根據(jù)向量模的坐標表示計算可得；【詳解】解：由向量，，可得，所以．故選：A7．在三棱錐，若平面，，，，，則三棱錐外接球的表面積是（

）A．100π B．50π C．144π D．72π【答案】A【分析】根據(jù)三棱錐的幾何特征，可將三棱錐放于長方體內(nèi)，三棱錐的外接球就是長方體外接球.【詳解】如圖，將三棱錐放于一個長方體內(nèi)：則三棱錐的外接球就是長方體的外接球，∴PB為三棱錐P－ABC外接球的直徑，∵，∴外接球的表面積為：．故選：A.8．過雙曲線的右焦點且垂直于軸的直線與雙曲線交于A，兩點，若雙曲線的對稱中心不在以線段為直徑的圓內(nèi)部，則雙曲線離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將代入雙曲線方程，求得，根據(jù)雙曲線的對稱中心不在以線段為直徑的圓內(nèi)部，可得，得出的齊次式，從而可得出答案.【詳解】將代入雙曲線方程得，所以，因為雙曲線的對稱中心不在以線段為直徑的圓內(nèi)部，所以，即，即，所以，從而，解得，又因為雙曲線離心率，所以，所以雙曲線離心率的取值范圍為.故選：B.9．已知函數(shù)則，則（

）A．0或1 B．或1 C．0或 D．或【答案】D【分析】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合基本不等式的性質(zhì)，運用換元法分類討論進行求解即可.【詳解】當時，函數(shù)單調(diào)遞增，有，當時，，當且僅當時取等號，即時取等號，因此有，令，則，因此，或，當時，即，顯然，因此，當時，即，顯然，因此，綜上所述：或，故選：D10．已知函數(shù)，下列結(jié)論錯誤的是（

）A．的值域為B．的圖象關(guān)于直線對稱C．的圖象關(guān)于點對稱D．的圖象可由函數(shù)圖象上所有點的縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍得到【答案】C【分析】直接求出正弦函數(shù)的值域即可判斷選項A；利用代入驗證法即可判斷選項B、C；根據(jù)三角函數(shù)的平移伸縮變換即可判斷選項D.【詳解】A：因為，所以，即的值域為，故A正確；B：當時，為最小值，故函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，故B正確；C：若函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，由，得其一條對稱軸為，當時，，不是最值，所以不是函數(shù)的對稱軸，即函數(shù)不關(guān)于對稱，故C錯誤；D：將函數(shù)圖象縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍得到，故D正確.故選：C11．如圖，在正方體中，點P是線段上的一個動點，有下列三個結(jié)論：①平面；②；③若點P與B不重合，則平面平面．其中所有正確結(jié)論的序號是（

）A．①②③ B．②③ C．①③ D．①②【答案】A【分析】先證面平面，即可證得平面，①正確；由，證得面，進而得到②正確；由，證得平面得到③正確.【詳解】連接，易知，面，面，平面，同理可得平面，又，面平面，又面，故平面；故①正確；連接，由，面，，同理，，面，又由①知平面，故，②正確；連接，由面，可得，又，，平面，又平面，故平面平面，③正確.故選：A.12．拋物線具有以下光學(xué)性質(zhì)：從焦點發(fā)出的光線經(jīng)拋物線反射后平行于拋物線的對稱軸．該性質(zhì)在實際生產(chǎn)中應(yīng)用非常廣泛．如圖所示，從拋物線的焦點F發(fā)出的兩條光線a，b分別經(jīng)拋物線上的A，B兩點反射，已知兩條入射光線與x軸的夾角均為，且兩條反射光線和之間的距離為，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】依題意設(shè)，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元，即可求出，同理求出，即可得到方程，解得即可；【詳解】解：可設(shè)，與聯(lián)立消元得，解得、，∴，同理，與聯(lián)立消元得，解得、，∴，∴，∴故選：C二、填空題13．為調(diào)動我市學(xué)生參與課外閱讀的積極性，我市制定了《進一步加強中小學(xué)課外閱讀指導(dǎo)的實施方案》，有序組織學(xué)生開展課外閱讀活動，某校語文老師在班里開展了一次詩詞默寫比賽，班里40名學(xué)生得分數(shù)據(jù)的莖葉圖如下圖．若規(guī)定得分不低于85分的學(xué)生得到“詩詞達人”稱號，低于85分且不低于70分的學(xué)生得到“詩詞能手”稱號，其他學(xué)生得到“詩詞愛好者”稱號，根據(jù)該次比賽的成績，按照稱號的不同，進行分層抽樣抽選15名學(xué)生，則抽選的學(xué)生中獲得“詩詞能手”稱號的人數(shù)為______________．【答案】【分析】根據(jù)題中條件，先分別得到各稱號的總?cè)藬?shù)，根據(jù)分層抽樣的方法即可得出結(jié)果.【詳解】由莖葉圖可得，獲得“詩詞愛好者”稱號的學(xué)生總數(shù)為；獲得“詩詞能手”稱號的學(xué)生總數(shù)為；獲得“詩詞達人”稱號的學(xué)生總數(shù)為人；因此，按照稱號的不同，進行分層抽樣抽選15名學(xué)生，抽選的學(xué)生中獲得“詩詞能手”稱號的人數(shù)為.故答案為：.14．已知，，則__________．【答案】【分析】根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合降冪公式、誘導(dǎo)公式進行求解即可.【詳解】解：由，，得，所以．故答案為：15．已知等比數(shù)列的前n和為，若成等差數(shù)列，且，，則的值為_______________．【答案】107【分析】根據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項公式，根據(jù)題意列方程可得，從而求出或，再根據(jù)，確定，進而求出，代入記得：.【詳解】由題意可設(shè)等比數(shù)列的公比為，首項為，由成等差數(shù)列可得：，代入可得：，解得：或，又因為，易知，又因為，，所以，，故答案為：107.【點睛】本題考查了等差中項和等比數(shù)列的通項公式，考查了和的關(guān)系，同時考查了計算能力，屬于中檔題.16．已知是定義在R上的偶函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為．若時，，則不等式的解集為__________．【答案】【分析】構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)的單調(diào)性和奇偶性解不等式.【詳解】，∴在上是增函數(shù)，且為偶函數(shù)，由∴，解得，∴解集為故答案為：三、解答題17．如圖，在平面四邊形ABCD中，BC⊥CD，AC=，AD=1，∠CAD=30°．(1)求∠ACD；(2)若△ABC為銳角三角形，求BC的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）在中，由余弦定理求得，根據(jù)，得到，即可求解；（2）在中，由正弦定理求得，根據(jù)為銳角三角形，求得，得到，進而求得的取值范圍．【詳解】(1)解：在中，由余弦定理得：，所以，又因為，所以．(2)解：由，且，可得，在中，由正弦定理得，所以，

因為為銳角三角形，，，所以，可得，則，所以，所以，所以的取值范圍為．18．如圖，在直四棱柱中，底面ABCD為菱形，且，E為AB的中點，F(xiàn)為與的交點.(1)求證：平面平面；(2)若，求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】(1)如圖，連接BD，根據(jù)題意可得DE⊥CD，利用線面垂直的性質(zhì)和判定定理可得DE⊥平面，進而即可證明面面垂直；(2)結(jié)合(1)和線面垂直的性質(zhì)和判定定理可得平面，取的中點G，連接GF，進而可得平面，求出、、，利用三棱錐的體積公式計算即可.【詳解】(1)如圖，連接BD.在菱形ABCD中，∠BAD=60°，所以為正三角形，因為E為AB的中點，所以DE⊥AB.因為AB//CD，所以DE⊥CD.因為平面ABCD，平面ABCD，所以，而，且，平面，所以DE⊥平面.又因為平面DEF，所以平面DEF⊥平面.(2)由（1）知.因為平面ABCD，平面ABCD，所以.而，且，平面，所以平面.如圖，取的中點G，連接GF.因為F為的中點，所以，所以平面.由條件知，，，，所以三棱錐的體積.A，B兩種不同品種脆紅李的產(chǎn)量，各選20塊試驗田分別種植了A，B兩種脆紅李，所得的20個畝產(chǎn)數(shù)據(jù)（單位：100）都在內(nèi)，根據(jù)畝產(chǎn)數(shù)據(jù)得到頻率分布直方圖如下圖：(1)從B種脆紅李畝產(chǎn)量數(shù)據(jù)在內(nèi)任意抽取2個數(shù)據(jù)，求抽取的2個數(shù)據(jù)都在內(nèi)的概率；(2)根據(jù)頻率分布直方圖，用平均畝產(chǎn)量判斷應(yīng)選擇種植A種還是B種脆紅李，并說明理由.【答案】(1)(2)應(yīng)選擇種植B種脆紅李，理由見解析.【分析】（1）種脆紅李畝產(chǎn)量數(shù)據(jù)在，內(nèi)的有5個，其中數(shù)據(jù)在，的有2個，數(shù)據(jù)在，的有3個，從種脆紅李畝產(chǎn)量數(shù)據(jù)在，內(nèi)任意抽取2個數(shù)據(jù)，基本事件總數(shù)，抽取的2個數(shù)據(jù)都在，內(nèi)包含的基本事件個數(shù)，由此能求出抽取的2個數(shù)據(jù)都在，內(nèi)的概率；（2）根據(jù)頻率分布直方圖，分別求出A種脆紅李平均畝產(chǎn)量和種脆紅李平均畝產(chǎn)量，從而得到用平均畝產(chǎn)量來判斷應(yīng)選擇種植種脆紅李．【詳解】(1)（1）種脆紅李畝產(chǎn)量數(shù)據(jù)在，內(nèi)的有：，其中數(shù)據(jù)在，的有：個，數(shù)據(jù)在，的有：個，從B種脆紅李畝產(chǎn)量數(shù)據(jù)在，內(nèi)任意抽取2個數(shù)據(jù)，基本事件總數(shù)，抽取的2個數(shù)據(jù)都在，內(nèi)包含的基本事件個數(shù)，抽取的2個數(shù)據(jù)都在，內(nèi)的概率為．(2)根據(jù)頻率分布直方圖，種脆紅李的平均畝產(chǎn)量為：，B種脆紅李的平均畝產(chǎn)量為：，A種脆紅李平均畝產(chǎn)量小于B種脆紅李的平均畝產(chǎn)量，用平均畝產(chǎn)量來判斷應(yīng)選擇種植B種脆紅李．20．已知橢圓的離心率為，過焦點且與長軸垂直的直線被橢圓截得的弦長為．(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)不過點的直線l與C相交于A，B兩點，直線TA，TB分別與x軸交于M，N兩點，且．求證直線l的斜率是定值，并求出該定值．【答案】(1)(2)證明見解析：定值.【分析】（1）依題意得到，再根據(jù)，即可求出，，即可求出橢圓方程；（2）首先說明直線斜率存在，設(shè)直線、，，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元、列出韋達定理，由，可得，即可得到，整理再將韋達定理代入，整理得，即可得證；【詳解】(1)解：由且，得，又因為，所以，解得，，故橢圓C的方程為；(2)解：當直線l的斜率不存在時，設(shè)直線，設(shè)l與C相交于，兩點，直線，直線分別與x軸相交于兩點，，因為，所以，即，與已知矛盾，故直線l斜率存在，設(shè)直線，代入整理得：，設(shè)，，則，且，，因為，所以，即，所以，即．所以，整理得：，所以或，當時，直線過點，不合題意，故舍去．所以，即，即直線l的斜率是定值．21．已知函數(shù)．(1)若曲線在點處的切線l與y軸垂直，求實數(shù)a的值；(2)當時，若函數(shù)在處取得極大值，求證．【答案】(1)1(2)證明見解析【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義列方程求解（2）由導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性后用表示，代入解析式計算證明【詳解】(1)因為，所以，依題意得，解得．(2)令，即，因為，所以上述方程有兩不等實根，，且，不妨設(shè)，因為，所以，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減．所以，在處有極大值．由可得，因此，由及可得，所以．得證22．在平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，以坐標原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系．(1)求直線的普通方程和曲線的極坐標方程；(2)若直線和曲線交于，兩點，且，求實數(shù)的值．【答案】(1)；；(2).【分析】(1)消去參數(shù)t得直線l的普通方程；消去參數(shù)得曲線C的普通方程，再結(jié)合極坐標與直角坐標互化公式化簡即得.(2)聯(lián)立直線和曲線的極坐標方程，利用極徑的幾何意義計算作答.【詳解】(1)消去直線方程中的參數(shù)得，所以直線的普通方程；消去曲線方程中的參數(shù)