集合論習(xí)題解析

集合論習(xí)題解析第1頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四一、集合基礎(chǔ)1.1與1.2集合運(yùn)算1.3冪集第2頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四1.1與1設(shè)A,B,C是任意3個(gè)集合，如果AB,BC,則AC可能嗎？AC常真嗎？舉例說(shuō)明。第3頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四AC可能A={1},B={{1}},C={{1},{{1}}}AC不常真A={1},B={{1}},C={{{1}}}第4頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2設(shè)A,B是任意2個(gè)集合，A

B與

AB同時(shí)成立，這可能嗎？第5頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四可能A={1},B={{1},1}.第6頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四3設(shè)A,B,C是集合，判斷下列命題真假，如果為真，給出證明；如果為假，給出反例：1)AB,BCAC;2)

AB,BCAC;3)

AB,BCAC;4)

AB,BCAC;5)aA,ABaB.第7頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四1）假A={1},B={2},C={{2}}

2）假A={1},B={2},C={{1}}3）假A={1},B={{1}},C={{1},1}第8頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四4）假A={1},B={{1},1}，C={{1},2}5）真子集定義第9頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四4設(shè)A,B,C是U的子集，判斷下列命題真假，如果為真，給出證明；如果為假，給出反例：1)ABAB=B;2)ABAB=A;3)ABAB=A;4)ABAB=B;5)ABA(B-A)=B;6)BA(A-B)B=A;第10頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四1）假，A=B時(shí)不成立/*

與不同*/分析：I)ABAB=B：因?yàn)锽AB；對(duì)于任意xAB，如果xA,因?yàn)锳B,所以xB,則對(duì)任意的xAB，xB成立。所以AB=B。II)A=B

AB=B，但AB不成立。第11頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2）假，A={1}，B={1，2}，不成立；3）假，A=B時(shí)不成立；4）假，A={1}，B={1，2}，不成立；5）假，A=B時(shí)不成立6）假，A={1，2}，B={1}，不成立；第12頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四1.2集合運(yùn)算5設(shè)A,B,C是任意3個(gè)集合，（1）AB=AC，則B=C嗎？（2）AB=AC，則B=C嗎？（3）AB=AC且AB=AC，則B=C嗎？第13頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（1）假A={1,2},B={1},C={2}（2）假A={1},B={1,2},C={1,3}（3）真/*基本法、反證法證明*/設(shè)xB，假設(shè)xC。因?yàn)閤B，所以xAB；因?yàn)锳B=AC，所以xAC；因?yàn)閤C，所以xA；又因?yàn)閤B，所以xAB；因?yàn)锳B=AC，所以xAC；則xC，這與xC矛盾。所以B=C。第14頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四6設(shè)A,B是任意2個(gè)集合，（1）若A-B=B，則A與B有何關(guān)系？（2）若A-B=B-A，則A與B有何關(guān)系？（3）若AB=AB，則A與B有何關(guān)系？（4）若AB=A，則A與B有何關(guān)系？/*用文氏圖輔助*/第15頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四證明：(1)由A-B=B，可得出A=B=。第16頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四(2)由A-B=B-A，可導(dǎo)出A=B。第17頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四(3)A=B第18頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四(4)B=第19頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四7給出下列命題成立的充分必要條件（1）(A-B)(A-C)=A（2）(A-B)(A-C)=（3）(A-B)(A-C)=（4）(A-B)(A-C)=/*等式推導(dǎo)*/第20頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四解：(1)1)：設(shè)(A-B)(A-C)=A，對(duì)任意的x，xA，則xA-B或xA-C；則有第21頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2）：設(shè)ABC=，對(duì)任意的x，xA，則xB或xC，則有第22頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四對(duì)任意的x，x(A-B)(A-C)，則xA-B或

xA-C，則有第23頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（2）

(A-B)(A-C)=(A-B)=或(A-C)=

AB并且ACABC所以，充要條件為ABC。第24頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（3）1)設(shè)(A-B)(A-C)=，對(duì)任意的x，xA，x(A-B)并且x(A-C)；所以xB-A或xC-A；則有xB或xC；得xBC。所以ABC。2)ABCAB或AC；所以A-B=或A-C=。得(A-B)(A-C)=。從而，(A-B)(A-C)=ABC。第25頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（4）(A-B)(A-C)=((A-B)-(A-C))((A-C)-(A-B))=(A-B)(A-C)并且(A-C)(A-B)(A-B)=(A-C)第26頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四1.3冪集7設(shè)A,B是任意2個(gè)集合，證明：（1）ABP(A)P(B)（2）P(A)P(B)A

B（3）P(A)=P(B)A=B第27頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四/*利用基本法證明集合的包含關(guān)系*/證明：(1)對(duì)任意的xP(A),有xA,又因?yàn)锳B，所以xB,即xP(B)；所以P(A)P(B)。(2)/*證明方法同(1)；*/對(duì)任意的xA,則{x}P(A)，又因?yàn)镻(A)P(B)，所以{x}P(B)，即xB；所以A

B。(3)由(1)和(2)的證明導(dǎo)出。第28頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四二、二元關(guān)系1設(shè)R是集合A上的關(guān)系（1）R是自反的，則RR是自反的；（2）R是對(duì)稱的，則RR是對(duì)稱的；（3）R是反自反和傳遞的，則R是反對(duì)稱的；第29頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四/*證明思想：根據(jù)定義給出的性質(zhì)證明*/證明：（1）證明思想與（2）和（3）相同（2）設(shè)(a,b)RR,則存在c,(a,c)R,(c,b)R;因?yàn)镽是對(duì)稱的，所以(b,c)R,(c,a)R;所以(b,a)RR。則RR是對(duì)稱的。（3）假設(shè)(a,b)R,(b,a)R。因?yàn)镽是傳遞的，所以(a,a)R，(b,b)R；因?yàn)镽是反自反的，所以導(dǎo)致矛盾。第30頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2設(shè)R是A上的關(guān)系，若R是自反的和傳遞的，則RR=R。其逆命題也成立嗎？證明思想：證明RR=R，1）證明RRR；2）證明RRR：第31頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四證明：1）證明RRR：設(shè)(a,b)RR，存在cA,使得(a,c)R,(c,b)R，因?yàn)镽是傳遞的，所以(a,b)R；則RRR；2）證明RRR：設(shè)(a,b)R，R是自反的，(b,b)R，所以(a,b)RR；則RRR。所以RR=R。第32頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四自反不成立傳遞成立第33頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四特殊關(guān)系3設(shè)S={1,2,3,4}，并設(shè)A=SS，在A上定義關(guān)系R為：（a,b）R（c,d）當(dāng)且僅當(dāng)a+b=c+d。（1）證明R是等價(jià)關(guān)系；（2）計(jì)算出A/R。第34頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（1）證明：/*根據(jù)等價(jià)關(guān)系的定義證明*/1）/*證明R是自反的；*/對(duì)于任意的(a,b)SS，因?yàn)閍+b=a+b，所以(a,b)R(a,b)，即R是自反的。2）/*證明R是對(duì)稱的；*/如果(a,b)R(c,d)，則a+b=c+d，那么有c+d=a+b；所以(c,d)R(a,b)，即R是對(duì)稱的。3）/*證明R是傳遞的；*/如果(a,b)R(c,d)，(c,d)R(e,f)，則a+b=c+d，c+d=e+f；所以a+b=e+f，得(a,b)R(e,f)，即R是傳遞的。第35頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（2）如果(a,b)R(c,d)，則a+b=c+d，所以根據(jù)和的數(shù)來(lái)劃分。第36頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四4設(shè)R,S是A上的等價(jià)關(guān)系，證明：RS是A上的等價(jià)關(guān)系RS=SR。第37頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四證明思想：1）RS是A上的等價(jià)關(guān)系RS=SR；證明(i)RSSR；(ii)SRRS；2）RS=SRRS是A上的等價(jià)關(guān)系；證明RS是(i)自反的；(ii)對(duì)稱的；(iii)傳遞的；第38頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四證明：1）RS是A上的等價(jià)關(guān)系RS=SR：如果(a,b)RS,因?yàn)镽S是對(duì)稱的，所以(b,a)RS,所以存在cA,使得(b,c)R,(c,a)S；因?yàn)镽和S是對(duì)稱的，所以(c,b)R,(a,c)S；則(a,b)SR；同理，SRRS；第39頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2）RS=SRRS是A上的等價(jià)關(guān)系：/*證明RS是自反的、對(duì)稱的比較容易*/第40頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四傳遞性證明：對(duì)任意a,b,cA，如果(a,b)RS,(b,c)RS，因?yàn)镽S=SR，則有(b,c)SR，即存在e,fA，使(a,e)R，(e,b)S，(b,f)S，(f,c)R。因?yàn)镾是傳遞的，(e,b)S，(b,f)S，所以(e,f)S；因?yàn)?a,e)R，所以(a,f)RS；RS是對(duì)稱的，則(f,a)RS；因?yàn)镽是對(duì)稱的，(f,c)R，則(c,f)R。因?yàn)?f,a)RS，則存在gA，使得(f,g)R，(g,a)S；因?yàn)镽是傳遞的，由(c,f)R，(f,g)R，則(c,g)R；因?yàn)?c,g)R，(g,a)S，所以(c,a)RS。因?yàn)橐呀?jīng)證明，RS是對(duì)稱的，所以(a,c)RS。第41頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四函數(shù)12設(shè)f:XY是函數(shù)，A,B是X的子集，證明：（1）f(AB)f(A)f(B)（2）f(AB)=f(A)f(B)（3）f(A)-f(B)f(A-B)第42頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四/*基本法證明*/證明：（1）對(duì)任意的yf(AB)，存在x，xAB，使得y=f(x)。因?yàn)閤A，所以yf(A)；因?yàn)閤B，所以yf(B)。所以yf(A)f(B)。則f(AB)f(A)f(B)。第43頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四13設(shè)R是A上的一個(gè)二元關(guān)系，S={(a,b)|a,bA并且對(duì)于某個(gè)cA，有(a,c)R且(c,b)R}。證明：若R是A上的等價(jià)關(guān)系，則S是A上的等價(jià)關(guān)系。/*證明是S自反、對(duì)稱和傳遞*/第44頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四四、概念綜合練習(xí)一、選擇題（北京理工大學(xué)2000考研）1下列集合運(yùn)算中（）對(duì)滿足分配律。A)B)C)ˉD)第45頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2A、B是集合，P(A)、P(B)為其冪集，且AB=，則P(A)P(B)=（）A)B){}C){{}}D){,{}}第46頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四3A、B是集合，以下各式除（）之外，均與AB等價(jià)。A)ABBB)AB=BC)AB=AD)ABB2第47頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四4R是集合A上的自反關(guān)系，則（）A)RоRB)RRоRC)RR-1=IAD)Rо

R-1=IA第48頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四5集合A中有n個(gè)元素，則A上共有（）個(gè)既對(duì)稱又反對(duì)稱的關(guān)系。A)0B)2nC)n2D)2n第49頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四6R是可傳遞的二元關(guān)系，則在RR-1,RR-1,R-R-1,R-1-R中，有（）個(gè)一定是可傳遞的。A)1B)2C)3D)4第50頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四7函數(shù)f:RR，其中R為實(shí)數(shù)集合，下列四個(gè)命題中（）為真。A)f(x)=5是內(nèi)射的B)f(x)=5是滿射的C)f(x)=5是雙射的D)A),B),C)都不真第51頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四8集合A到B共有64個(gè)不同的函數(shù)，則B中元素不可能是（）個(gè)。A)4B)8C)16D)64第52頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四二、選擇題（北京理工大學(xué)1999）1已知AB={1,2,3}，AC={2,3,4}，若2B，則

。A)1CB)2CC)3CD)4C第53頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2對(duì)任何二元關(guān)系R，在RR-1,RR-1,RR-1,RR-1中有

個(gè)一定是對(duì)稱關(guān)系。A)1B)2C)3D)4第54頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四3R={(1,4),(2,3),(3,1),(4,3)},則

t(R)。A)(1,1)B)(1,2)C)(1,3)D)(1,4)第55頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四集合論——考研習(xí)題考研習(xí)題一、集合基礎(chǔ)二、二元關(guān)系三、函數(shù)第56頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四一、集合基礎(chǔ)1.1集合運(yùn)算——容斥原理1.2集合運(yùn)算——證明1.3冪集1.4相類似的練習(xí)題目第57頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四1.1集合運(yùn)算——容斥原理中國(guó)科學(xué)院自動(dòng)化所1997120個(gè)學(xué)生參加考試，考試有A、B和C3道題，考試結(jié)果如下：12個(gè)學(xué)生3道題都做對(duì)了，20個(gè)學(xué)生做對(duì)A和B，16個(gè)學(xué)生做對(duì)A和C，28個(gè)學(xué)生做對(duì)B和C，做對(duì)A的有48個(gè)學(xué)生，做對(duì)B的有56個(gè)學(xué)生，有16個(gè)學(xué)生一道也沒有做對(duì)。試求做對(duì)了C的學(xué)生有多少個(gè)？直接使用容斥原理第58頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四解：設(shè)做對(duì)A題的學(xué)生集合為PA，做對(duì)B題的學(xué)生集合為PB，做對(duì)C題的學(xué)生集合為PC。/*根據(jù)容斥原理，列出計(jì)算式*/|PAPBPC|=12,|PAPB|=20,|PAPC|=16,|PBPC|=28,|PA|=48,|PB|=56,

第59頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四/*根據(jù)容斥原理，進(jìn)行計(jì)算*/|PAPBPC|=120-16,|PAPBPC|=|PA|+|PB|+|PC|-|PAPB|-|PAPC|-|PBPC|+|PAPBPC|,所以|PC|=20+16+28+104-12-48-56=52，做對(duì)C題的學(xué)生為52人。第60頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四容斥原理解題總結(jié)使用容斥原理時(shí)，首先搞清論域，劃定全集；其次對(duì)全集進(jìn)行分類，列出計(jì)算式；最后根據(jù)容斥原理的公式進(jìn)行計(jì)算。第61頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四北京師范大學(xué)2001證明容斥原理：設(shè)A1,A2,……,An都是有限集，則|A1A2……An|=其中：{i1,i2,…in}是遍歷{1,2,…,n}的所有k元子集。/*證明思想：數(shù)學(xué)歸納法*/第62頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四證明：1）歸納基礎(chǔ)：當(dāng)k=2時(shí)，集合A1和A2的公共元素個(gè)數(shù)為|A1A2|，這些元素中的每一個(gè)在|A1|+|A2|里計(jì)算了兩次，但在|A1A2|中是作為一個(gè)元素計(jì)算的。因此有|A1A2|=|A1|+|A2|-|A1A2|。所以，當(dāng)n=2時(shí)，命題成立。第63頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2）歸納步驟：第64頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四當(dāng)k=n時(shí)，|A1A2……An|=|(A1A2……An-1)An|=|(A1A2……An-1)|+|An|-|(A1A2……An-1)An|因?yàn)閨(A1A2……An-1)An|=|(A1An)(A2An)……(An-1An)|/*n-1個(gè)集合的并，根據(jù)歸納假設(shè)展開*/第65頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四北京師范大學(xué)2000設(shè)S為任一集合，證明在S與其冪集P(S)之間不存在1-1對(duì)應(yīng)。第66頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四1.2集合運(yùn)算——證明基本法、公式法第67頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四中國(guó)科學(xué)院軟件所19981對(duì)于任意集合A和B，證明:(1)P(A)P(B)P(AB),

(2)P(A)P(B)=P(AB)；并舉例說(shuō)明P(A)P(B)P(AB)。/*冪集的定義：P(A)={x|xA}*/第68頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（1）/*基本法*/對(duì)任意的xP(A)P(B)，有xP(A)或xP(B)。若xP(A)，則xA，所以xAB，即xP(AB)；同理，若xP(B)，則xB，所以xAB，即xP(AB)。綜上所述，P(A)P(B)P(AB)。第69頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（2）/*基本法*/對(duì)任意的xP(A)P(B)，有xP(A)且xP(B)。即xA并且xB，則xAB。所以xP(AB)。故P(A)P(B)P(AB)。對(duì)任意的xP(AB)，有xAB，即xA并且xB，所以xP(A)且xP(B)。因此P(AB)P(A)P(B)。綜上所述，P(A)P(B)=P(AB)。第70頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四舉例說(shuō)明P(A)P(B)P(AB)。A={1},B={2},AB={1,2};P(A)={,{1}},P(B)={,{2}},P(A)P(B)={,{1},{2}},P(AB)={,{1},{2},{1,2}};所以P(A)P(B)P(AB)。第71頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四中國(guó)科學(xué)院計(jì)算所19982證明：若(A-B)(B-A)=C，則A(B-C)(C-B)的充分必要條件是ABC=。證明思想：（1）充分性，即證明：若ABC=，則A(B-C)(C-B)；基本法證明；（2）必要性，即證明：若A(B-C)(C-B)，則ABC=；反證法證明。第72頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四證明：（1）對(duì)于任意的aA，因?yàn)锳BC=，所以aBC，則a有3種情況：I)aB，但aC，則aC-B，所以a(B-C)(C-B)；II)aB，但aC，則aB-C，所以a(B-C)(C-B)；III)aB且aC，因?yàn)閍A，所以aA-B，所以a(A-B)(B-A)，即aC，導(dǎo)致矛盾，所以aB且aC不可能出現(xiàn)。綜上所述，對(duì)于任意的aA，a(A-B)(B-A)，所以A(B-C)(C-B)。第73頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四證明：（2）假設(shè)ABC，則存在a，aABC，即aA，aB，且aC。所以aB-C，aC-B。則a(B-C)(C-B)。因?yàn)锳(B-C)(C-B)，aA，所以導(dǎo)致矛盾。所以ABC=。第74頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四北京大學(xué)19983給出集合表達(dá)式(A-C)B=AB成立的充要條件.第75頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

第76頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四北京大學(xué)1994判斷題，為真給出證明，為假給出反例：1）{}{x}-{{x}}2）若AB=AC，則B=C。3）R是A上的關(guān)系，則R=R2的充要條件是R=IA。第77頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四1.3冪集冪集運(yùn)算：代數(shù)法第78頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四北京大學(xué)19971設(shè)A為集合，B=P(A)-{}-{A}，且B。求偏序集(B,)的極大元，極小元，最小元。第79頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四因?yàn)锽，所以|A|>1。對(duì)任意xA,A-{x}是極大元，{x}是極小元，無(wú)最小元。第80頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四北京大學(xué)19992設(shè)A={,{}}，計(jì)算P(A)-{},

P(A)A。第81頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四/*代數(shù)法求P(A)*/設(shè)x=,y={}，A={x,y},P(A)={,{x},{y},{x,y}};P(A)={,{},{{}},{,{}}};P(A)-{}={,{{}},{,{}}};P(A)A={{{}},{,{}}};第82頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四上海大學(xué)19983設(shè)A是集合，A的元素也是集合，P(A)是A的冪集。定義A={x|yA,xy}（1）計(jì)算{{a,b,c},{a,d,e},{a,f}}；（2）證明P(A)=A；（3）請(qǐng)問P(A)=A？解題要素：A（廣義并）和冪集的定義；基本法第83頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（1）計(jì)算{{a,b,c},{a,d,e},{a,f}}解：

{{a,b,c},{a,d,e},{a,f}}={a,b,c}{a,d,e}{a,f}={a,b,c,d,e,f}第84頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（2）證明P(A)=A證明：對(duì)任意xP(A)，則存在yP(A)，xy；因?yàn)閥P(A)，所以yA；因此xy，則有P(A)A；對(duì)任意xA，設(shè)y={x}，則yA。所以yP(A)。因此xP(A)。所以P(A)=A。第85頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（3）請(qǐng)問P(A)=A？不成立。反例：（1）

A={{a,b,c},{a,d,e},{a,f}}A={a,b,c,d,e,f}P(A)A第86頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四上海交通大學(xué)19984C是非空集合族，證明：P(C)={P(X)|XC}證明方法：基本法，集合族的概念第87頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四證明：任取xP(C)，則xC，所以對(duì)于任意的ax，有aC；對(duì)于任意的XC，有aX；那么xX，即xP(X)。由X的任意性，也即x{P(X)|XC}。所以P(C){P(X)|XC}。任取x{P(X)|XC}，則對(duì)于任意的XC，有xP(X)，即xX。因?yàn)閄C，對(duì)于任意的ax，有aX；因此aC。所以xC，即xP(C)。所以{P(X)|XC}P(C)。所以P(C)={P(X)|XC}。第88頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四中科院成都計(jì)算所20005設(shè)A是一有限集，A的基數(shù)為|A|。證明：A的冪集P(A)的基數(shù)|P(A)|=2|A|。第89頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四1.4相類似的題目1A,B是兩個(gè)集合，給出AB=B的充分必要條件是什么，并證明你的結(jié)論。/*南京理工大學(xué)2000*/第90頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2判斷下列各式是否成立，如果成立，則證明之，否則舉出反例。（1）P(A)P(B)=P(AB),

（2）(AB)C=(AC)(BC)上海交通大學(xué)2001第91頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四3證明P(A)P(B)P(AB)，并說(shuō)明等號(hào)成立的條件。上海交通大學(xué)1999第92頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四4設(shè)A,B,C,D為4個(gè)非空集合，則ABCD的充分必要條件是

。/*重慶大學(xué)1998*/第93頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四二、二元關(guān)系關(guān)系及其性質(zhì)與運(yùn)算等價(jià)關(guān)系與劃分序關(guān)系第94頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四關(guān)系及其性質(zhì)與運(yùn)算第95頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四北京大學(xué)19971設(shè)R={(x,y)|x,yN并且x+3y=12}，求R2。解題思路：將R的所有元素列出，求R與它本身復(fù)合所得的關(guān)系第96頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四解：R={(0,4),(3,3),(6,2),(9,1),(12,0)}R2={(3,3),(12,4)}第97頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四北京大學(xué)19902設(shè)R是復(fù)數(shù)C上的二元關(guān)系，且滿足xRyx-y=a+bi，a和b為非負(fù)整數(shù)，試確定R的性質(zhì)（自反、反自反、對(duì)稱、反對(duì)稱和傳遞），并證明之。第98頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四北京大學(xué)19943判斷題，為真給出證明，為假給出反例：R是A上的二元關(guān)系，則R=R2R=IA。第99頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四武漢大學(xué)19994設(shè)A={a,b,c}，給出A上的一個(gè)二元關(guān)系R，使其同時(shí)不滿足自反、反自反、對(duì)稱、反對(duì)稱和傳遞性。第100頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四武漢大學(xué)19985設(shè)A={1,2,3}，R是P(A)上的二元關(guān)系，且R={(a,b)|ab}。則R不滿足下列哪些性質(zhì)？為什么？1)自反2)反自反3)對(duì)稱4)反對(duì)稱5)傳遞性第101頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四等價(jià)關(guān)系與劃分第102頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四中科院成都計(jì)算所20011設(shè)R是集合A上的一個(gè)傳遞的和自反的關(guān)系，T是A上的一個(gè)關(guān)系，使得(a,b)屬于T當(dāng)且僅當(dāng)(a,b)和(b,a)都屬于R。證明：T是一個(gè)等價(jià)關(guān)系。第103頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四西南交通大學(xué)19972設(shè)X和Y都是正整數(shù)集，xiX,yiY,i=1,2.[1]下列關(guān)系是否是等價(jià)關(guān)系？證明你的結(jié)論。1)R={((x1,x2),(y1,y2))|x1+y2=x2+y1}2)R={((x1,x2),(y1,y2))|x1+y1=x2+y2}[2]若R是等價(jià)關(guān)系，定義集合M,M={(0,2),(1,2),(2,4),(3,4),(4,6),(5,6),……}。試給出它的等價(jià)類。第104頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四西南交通大學(xué)19983設(shè)S={1,2,3}，定義SS上的關(guān)系R為：對(duì)任意(a,b),(c,d)SS，有((a,b),(c,d))a+d=b+c，證明：R為SS上的等價(jià)關(guān)系并給出SS/R。第105頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四上海交通大學(xué)20014設(shè)P是X上的等價(jià)關(guān)系，Q是Y上的等價(jià)關(guān)系，關(guān)系R滿足((x1,y1),(x2,y2))R當(dāng)且僅當(dāng)(x1,x2)P，(y1,y2)Q，證明：R是XY上的等價(jià)關(guān)系。第106頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四南京理工大學(xué)20005R是集合A上等價(jià)的二元關(guān)系，證明R2也是A上的等價(jià)關(guān)系。第107頁(yè)，共126頁(yè)，2023年，2月20日，星期四序關(guān)系第108頁(yè)