第四章 統(tǒng)計(jì)量與抽樣分布

第四章統(tǒng)計(jì)量與抽樣分布第1頁(yè)，共29頁(yè)，2023年，2月20日，星期三4.1總體和樣本的統(tǒng)計(jì)分布1.總體分布和樣本性質(zhì)總體——

研究對(duì)象全體元素組成的集合所研究的對(duì)象的某個(gè)(或某些)數(shù)量指標(biāo)的全體,它是一個(gè)隨機(jī)變量(或多維隨機(jī)變量).記為X.第2頁(yè)，共29頁(yè)，2023年，2月20日，星期三即總體的每個(gè)數(shù)量指標(biāo),可看作隨機(jī)變量X的某個(gè)取值.用表示.樣本

——從總體中抽取的部分個(gè)體.稱(chēng)為總體X的一個(gè)容量為n的樣本觀測(cè)值,或稱(chēng)樣本的一個(gè)實(shí)現(xiàn).用表示,n為樣本容量.樣本空間——

樣本所有可能取值的集合.

第3頁(yè)，共29頁(yè)，2023年，2月20日，星期三若總體

X的樣本滿(mǎn)足:一般,對(duì)有限總體,放回抽樣所得到的樣本為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,但使用不方便,常用不放回抽樣代替.(1)與X

有相同的分布(2)相互獨(dú)立則稱(chēng)為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本.簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本第4頁(yè)，共29頁(yè)，2023年，2月20日，星期三設(shè)總體X的分布函數(shù)為F(x),則樣本若總體X

的密d.f.為f(

x),則樣本的聯(lián)合d.f.為的聯(lián)合分布函數(shù)為第5頁(yè)，共29頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例如設(shè)某批產(chǎn)品共有N

個(gè),其中的次品數(shù)為M,其次品率為若

p是未知的,則可用抽樣方法來(lái)估計(jì)它.X

服從參數(shù)為p的0-1分布,可用如下表示方法:從這批產(chǎn)品中任取一個(gè)產(chǎn)品,用隨機(jī)變量X來(lái)描述它是否是次品:第6頁(yè)，共29頁(yè)，2023年，2月20日，星期三設(shè)有放回地抽取一個(gè)容量為n的樣本的聯(lián)合分布為其樣本值為樣本空間為第7頁(yè)，共29頁(yè)，2023年，2月20日，星期三設(shè)是取自總體X的一個(gè)樣本,為一實(shí)值連續(xù)函數(shù),且不含有未知參數(shù),則稱(chēng)隨機(jī)變量為統(tǒng)計(jì)量.若是一個(gè)樣本值,稱(chēng)的一個(gè)樣本值為統(tǒng)計(jì)量定義4.2統(tǒng)計(jì)量第8頁(yè)，共29頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例

是未知參數(shù),若,已知,則為統(tǒng)計(jì)量是一樣本,是統(tǒng)計(jì)量,其中則但不是統(tǒng)計(jì)量.第9頁(yè)，共29頁(yè)，2023年，2月20日，星期三常用的統(tǒng)計(jì)量為樣本均值為樣本方差為樣本標(biāo)準(zhǔn)差設(shè)是來(lái)自總體

X

的容量為n的樣本,稱(chēng)統(tǒng)計(jì)量第10頁(yè)，共29頁(yè)，2023年，2月20日，星期三為樣本的k階原點(diǎn)矩為樣本的k階中心矩例如第11頁(yè)，共29頁(yè)，2023年，2月20日，星期三順序統(tǒng)計(jì)量設(shè)為樣本,為樣本值,且當(dāng)取值為時(shí),定義r.v.則稱(chēng)統(tǒng)計(jì)量為順序統(tǒng)計(jì)量.其中,稱(chēng)為極差第12頁(yè)，共29頁(yè)，2023年，2月20日，星期三獨(dú)立,與總體同分布獨(dú)立,與同分布由辛欽大數(shù)定律知樣本矩的特性都存在設(shè)為來(lái)自總體的樣本,總體階矩其中

為連續(xù)函數(shù)①②③第13頁(yè)，共29頁(yè)，2023年，2月20日，星期三設(shè)總體的均值和方差樣本均值與樣本方差的數(shù)字特征是來(lái)自總體的樣本，則都存在.證第14頁(yè)，共29頁(yè)，2023年，2月20日，星期三樣本均值與樣本方差的實(shí)際意義是全體實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的平均值是數(shù)據(jù)的中心反映了實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與數(shù)據(jù)中心的偏離程度，反映了全體實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的離散程度第15頁(yè)，共29頁(yè)，2023年，2月20日，星期三4.3抽樣分布樣本統(tǒng)計(jì)量包含了各種有用信息集中、提煉數(shù)據(jù)中包含的有用信息它們是隨機(jī)變量,必須確定其分布，稱(chēng)為抽樣分布來(lái)自標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體的抽樣分布主要討論：①②來(lái)自一般正態(tài)總體的抽樣分布分布分布分布五個(gè)抽樣分布定理第16頁(yè)，共29頁(yè)，2023年，2月20日，星期三隨著自由度的增加曲線(xiàn)重心向右下方移動(dòng)(一)-分布是來(lái)自總體設(shè)的樣本,令稱(chēng)服從自由度為的

分布，記為分布的密度函數(shù)及圖形伽馬函數(shù)分布的可加性且相互獨(dú)立,則設(shè)推廣：且設(shè)相互獨(dú)立,則,于是理解為可獨(dú)立變化的r.v個(gè)數(shù)則設(shè)證取個(gè)獨(dú)立同分布的則與同分布分布的數(shù)學(xué)期望與方差第17頁(yè)，共29頁(yè)，2023年，2月20日，星期三隨著自由度的增加曲線(xiàn)越來(lái)越趨近(二)分布且設(shè)相互獨(dú)立,令稱(chēng)服從自由度為的

分布，記為分布的密度函數(shù)及圖形易知：？？利用伽馬函數(shù)的斯特林公式即故當(dāng)較大時(shí),可認(rèn)為英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家兼化學(xué)家戈塞特(GossetWS1876-1937

)于1908年用筆名Student發(fā)表了關(guān)于

t

分布的論文,這是一篇在統(tǒng)計(jì)學(xué)發(fā)展史上劃時(shí)代的文章,它創(chuàng)立了小樣本代替大樣本的方法，開(kāi)創(chuàng)了現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)學(xué)的新紀(jì)元.

Gosset,Student的最后一個(gè)字母都是t

,故取名為“t

分布”,又稱(chēng)為“學(xué)生氏分布”.-分布是怎樣產(chǎn)生的t？第18頁(yè)，共29頁(yè)，2023年，2月20日，星期三(三)分布且設(shè)相互獨(dú)立,令稱(chēng)服從自由度為的

分布，記為分布的密度函數(shù)及圖形分布的重要性質(zhì)若則分布是為了紀(jì)念著名統(tǒng)計(jì)學(xué)家費(fèi)歇耳(R.A.Fisher1890-1962)而命名第19頁(yè)，共29頁(yè)，2023年，2月20日，星期三2.抽樣分布定理最重要的總體：?jiǎn)栴}question如何由樣本推斷？分析：對(duì)的推斷是通過(guò)構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量實(shí)現(xiàn)的如何構(gòu)造“好”的統(tǒng)計(jì)量①②服從什么分布？統(tǒng)計(jì)推斷中最重要的結(jié)論：五個(gè)抽樣分布定理第20頁(yè)，共29頁(yè)，2023年，2月20日，星期三仍服從正態(tài)分布,且定理一證的樣設(shè)是來(lái)自總體本,則獨(dú)立同分布由正態(tài)分布的性質(zhì)知，線(xiàn)性組合第21頁(yè)，共29頁(yè)，2023年，2月20日，星期三定理二的樣本，設(shè)是總體分別為樣本均值和樣本方差，則有相互獨(dú)立①②分析？？？(證略)第22頁(yè)，共29頁(yè)，2023年，2月20日，星期三定理三的樣本，設(shè)是總體分別為樣本均值和樣本方差，則有證由定理一、定理二有且與獨(dú)立，由分布的定義有結(jié)果分析即“平均”說(shuō)來(lái)與的差別不大,故可用“代替”兩個(gè)未知參數(shù)一個(gè)未知參數(shù)第23頁(yè)，共29頁(yè)，2023年，2月20日，星期三定理四的樣本；設(shè)是總體的樣本,且兩樣本相互獨(dú)立,是總體兩樣本均值和樣本方差分別為則證由定理二，有因兩樣本獨(dú)立，故獨(dú)立第24頁(yè)，共29頁(yè)，2023年，2月20日，星期三定理五的樣本；設(shè)是總體的樣本,且兩樣本相互獨(dú)立,是總體兩樣本均值和樣本方差分別為則證其中,且相互獨(dú)立又由的獨(dú)立性及分布的可加性有由兩樣本的獨(dú)立性及分布的定義有第25頁(yè)，共29頁(yè)，2023年，2月20日，星期三面積為則稱(chēng)為分布密度的上分位點(diǎn)上分位點(diǎn)設(shè)若存在常數(shù)滿(mǎn)足的上分位點(diǎn)記為第26頁(yè)，共29頁(yè)，2023年，2月20日，星期三則稱(chēng)為分布密度的上分位點(diǎn)設(shè)若存在常數(shù)滿(mǎn)足的上分位點(diǎn)記為查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表,可求得例上分位點(diǎn)第27頁(yè)，共29頁(yè)，2023年，2月20日，星期三則稱(chēng)為分布密度的上分位點(diǎn)設(shè)若存在常數(shù)滿(mǎn)足的上分位點(diǎn)記為