第四章 統(tǒng)計量與抽樣分布

第四章統(tǒng)計量與抽樣分布第1頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三4.1總體和樣本的統(tǒng)計分布1.總體分布和樣本性質(zhì)總體——

研究對象全體元素組成的集合所研究的對象的某個(或某些)數(shù)量指標(biāo)的全體,它是一個隨機變量(或多維隨機變量).記為X.第2頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三即總體的每個數(shù)量指標(biāo),可看作隨機變量X的某個取值.用表示.樣本

——從總體中抽取的部分個體.稱為總體X的一個容量為n的樣本觀測值,或稱樣本的一個實現(xiàn).用表示,n為樣本容量.樣本空間——

樣本所有可能取值的集合.

第3頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三若總體

X的樣本滿足:一般,對有限總體,放回抽樣所得到的樣本為簡單隨機樣本,但使用不方便,常用不放回抽樣代替.(1)與X

有相同的分布(2)相互獨立則稱為簡單隨機樣本.簡單隨機樣本第4頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三設(shè)總體X的分布函數(shù)為F(x),則樣本若總體X

的密d.f.為f(

x),則樣本的聯(lián)合d.f.為的聯(lián)合分布函數(shù)為第5頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三例如設(shè)某批產(chǎn)品共有N

個,其中的次品數(shù)為M,其次品率為若

p是未知的,則可用抽樣方法來估計它.X

服從參數(shù)為p的0-1分布,可用如下表示方法:從這批產(chǎn)品中任取一個產(chǎn)品,用隨機變量X來描述它是否是次品:第6頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三設(shè)有放回地抽取一個容量為n的樣本的聯(lián)合分布為其樣本值為樣本空間為第7頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三設(shè)是取自總體X的一個樣本,為一實值連續(xù)函數(shù),且不含有未知參數(shù),則稱隨機變量為統(tǒng)計量.若是一個樣本值,稱的一個樣本值為統(tǒng)計量定義4.2統(tǒng)計量第8頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三例

是未知參數(shù),若,已知,則為統(tǒng)計量是一樣本,是統(tǒng)計量,其中則但不是統(tǒng)計量.第9頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三常用的統(tǒng)計量為樣本均值為樣本方差為樣本標(biāo)準(zhǔn)差設(shè)是來自總體

X

的容量為n的樣本,稱統(tǒng)計量第10頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三為樣本的k階原點矩為樣本的k階中心矩例如第11頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三順序統(tǒng)計量設(shè)為樣本,為樣本值,且當(dāng)取值為時,定義r.v.則稱統(tǒng)計量為順序統(tǒng)計量.其中,稱為極差第12頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三獨立,與總體同分布獨立,與同分布由辛欽大數(shù)定律知樣本矩的特性都存在設(shè)為來自總體的樣本,總體階矩其中

為連續(xù)函數(shù)①②③第13頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三設(shè)總體的均值和方差樣本均值與樣本方差的數(shù)字特征是來自總體的樣本，則都存在.證第14頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三樣本均值與樣本方差的實際意義是全體實驗數(shù)據(jù)的平均值是數(shù)據(jù)的中心反映了實驗數(shù)據(jù)與數(shù)據(jù)中心的偏離程度，反映了全體實驗數(shù)據(jù)的離散程度第15頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三4.3抽樣分布樣本統(tǒng)計量包含了各種有用信息集中、提煉數(shù)據(jù)中包含的有用信息它們是隨機變量,必須確定其分布，稱為抽樣分布來自標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體的抽樣分布主要討論：①②來自一般正態(tài)總體的抽樣分布分布分布分布五個抽樣分布定理第16頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三隨著自由度的增加曲線重心向右下方移動(一)-分布是來自總體設(shè)的樣本,令稱服從自由度為的

分布，記為分布的密度函數(shù)及圖形伽馬函數(shù)分布的可加性且相互獨立,則設(shè)推廣：且設(shè)相互獨立,則,于是理解為可獨立變化的r.v個數(shù)則設(shè)證取個獨立同分布的則與同分布分布的數(shù)學(xué)期望與方差第17頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三隨著自由度的增加曲線越來越趨近(二)分布且設(shè)相互獨立,令稱服從自由度為的

分布，記為分布的密度函數(shù)及圖形易知：？？利用伽馬函數(shù)的斯特林公式即故當(dāng)較大時,可認為英國統(tǒng)計學(xué)家兼化學(xué)家戈塞特(GossetWS1876-1937

)于1908年用筆名Student發(fā)表了關(guān)于

t

分布的論文,這是一篇在統(tǒng)計學(xué)發(fā)展史上劃時代的文章,它創(chuàng)立了小樣本代替大樣本的方法，開創(chuàng)了現(xiàn)代統(tǒng)計學(xué)的新紀元.

Gosset,Student的最后一個字母都是t

,故取名為“t

分布”,又稱為“學(xué)生氏分布”.-分布是怎樣產(chǎn)生的t？第18頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三(三)分布且設(shè)相互獨立,令稱服從自由度為的

分布，記為分布的密度函數(shù)及圖形分布的重要性質(zhì)若則分布是為了紀念著名統(tǒng)計學(xué)家費歇耳(R.A.Fisher1890-1962)而命名第19頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三2.抽樣分布定理最重要的總體：問題question如何由樣本推斷？分析：對的推斷是通過構(gòu)造統(tǒng)計量實現(xiàn)的如何構(gòu)造“好”的統(tǒng)計量①②服從什么分布？統(tǒng)計推斷中最重要的結(jié)論：五個抽樣分布定理第20頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三仍服從正態(tài)分布,且定理一證的樣設(shè)是來自總體本,則獨立同分布由正態(tài)分布的性質(zhì)知，線性組合第21頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三定理二的樣本，設(shè)是總體分別為樣本均值和樣本方差，則有相互獨立①②分析？？？(證略)第22頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三定理三的樣本，設(shè)是總體分別為樣本均值和樣本方差，則有證由定理一、定理二有且與獨立，由分布的定義有結(jié)果分析即“平均”說來與的差別不大,故可用“代替”兩個未知參數(shù)一個未知參數(shù)第23頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三定理四的樣本；設(shè)是總體的樣本,且兩樣本相互獨立,是總體兩樣本均值和樣本方差分別為則證由定理二，有因兩樣本獨立，故獨立第24頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三定理五的樣本；設(shè)是總體的樣本,且兩樣本相互獨立,是總體兩樣本均值和樣本方差分別為則證其中,且相互獨立又由的獨立性及分布的可加性有由兩樣本的獨立性及分布的定義有第25頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三面積為則稱為分布密度的上分位點上分位點設(shè)若存在常數(shù)滿足的上分位點記為第26頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三則稱為分布密度的上分位點設(shè)若存在常數(shù)滿足的上分位點記為查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表,可求得例上分位點第27頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三則稱為分布密度的上分位點設(shè)若存在常數(shù)滿足的上分位點記為