九章算術(shù)(教師版)

九章算術(shù)(教師版)PAGE2PAGE4九章算術(shù)與高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新題1．《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為________升．1.【解析】設(shè)自上第一節(jié)竹子容量為a1，則第九節(jié)容量為a9，且數(shù)列{an}為等差數(shù)列．a(chǎn)1＋a2＋a3＋a4＝3，a7＋a8＋a9＝4，即4a5－10d＝3，①3a5＋9d＝4，②聯(lián)立①②解得a5＝.2.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代著名數(shù)學(xué)經(jīng)典．其中對(duì)勾股定理的論術(shù)比西方早一千多年，其中有這樣一個(gè)問題：“今有圓材埋在壁中，不知大?。凿忎徶钜淮?，鋸道長(zhǎng)一尺．問徑幾何？”其意為：今有一圓柱形木材，埋在墻壁中，不知其大小，用鋸去鋸該材料，鋸口深1寸，鋸道長(zhǎng)1尺．問這塊圓柱形木料的直徑是多少？長(zhǎng)為1丈的圓柱形木材部分鑲嵌在墻體中，截面圖如圖所示(陰影部分為鑲嵌在墻體內(nèi)的部分)．已知弦AB＝1尺，弓形高CD＝1寸，估算該木材鑲嵌在墻中的體積約為()(注：1丈＝10尺＝100寸，π≈3.14，sin第一步：構(gòu)造數(shù)列1，eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，…，eq\f(1,n).①第二步：將數(shù)列①的各項(xiàng)乘以n，得數(shù)列(記為)a1，a2，a3，…，an.則a1a2＋a2a3＋…＋an－1an等于()A．n2 B．(n－1)2C．n(n－1) D．n(n＋1)4.【解析】a1a2＋a2a3＋…＋an－1an＝eq\f(n,1)·eq\f(n,2)＋eq\f(n,2)·eq\f(n,3)＋…＋eq\f(n,n－1)·eq\f(n,n)＝n2[eq\f(1,1·2)＋eq\f(1,2·3)＋…＋eq\f(1,（n－1）n)]＝n2[1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n－1)－eq\f(1,n)]＝n2·eq\f(n－1,n)＝n(n－1)．5．中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載了公元前344年商鞅督造一種標(biāo)準(zhǔn)量器——商鞅銅方升，其三視圖如圖所示(單位：寸)若π取3，其體積為12.6(立方寸)，則圖中的x為________．5.[解析]由三視圖知，商鞅銅方升由一圓柱和一長(zhǎng)方體組合而成：(5.4－x)×3×1＋π·(eq\f(1,2))2x＝12.6，解得x＝1.6.6．中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的“引葭赴岸”是一道名題，其內(nèi)容為：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與齊．問水深葭長(zhǎng)各幾何”意為：今有邊長(zhǎng)為1丈的正方形水池的中央生長(zhǎng)著蘆葦，長(zhǎng)出水面的部分為1尺，將蘆葦牽引向池岸，恰巧與水岸齊接，問水深蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度各是多少？將該問題拓展如圖，記正方形水池的剖面圖為ABCD，蘆葦根部O為AB的中點(diǎn)，頂端為P(注蘆葦與水面垂直)．在牽引頂端P向水岸邊中點(diǎn)D的過程中，當(dāng)蘆葦經(jīng)過DF的中點(diǎn)E時(shí)，蘆葦?shù)捻敹穗x水面的距離約為________尺．(注：1丈＝10尺，eq\r(601)≈24.5)6.[解析]設(shè)水深為x，則x2＋52＝(x＋1)2，解得：x＝12.∴水深12尺，蘆葦長(zhǎng)13尺，以AB所在的直線為x軸，蘆葦所在的直線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，在牽引過程中，P的軌跡是以O(shè)為圓心，半徑為13的圓，其方程為x2＋y2＝169，(－5≤x≤5，12≤y≤13)，①E點(diǎn)的坐標(biāo)為(－eq\f(5,2)，12)，∴OE所在的直線方程為y＝－eq\f(24,5)x，②由①②聯(lián)解得y＝eq\r(\f(169×576,601))≈eq\f(13×24,24.5)＝eq\f(624,49).則此時(shí)蘆葦?shù)捻敹说剿娴木嚯x為eq\f(624,49)－12＝eq\f(36,49).7．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，它在幾何學(xué)中的研究比西方早1千多年．例如塹堵指底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱，陽馬指底面為矩形，一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，鱉臑指四個(gè)面均為直角三角形的四面體．如圖，在塹堵ABC-A1B1C1中，AC⊥BC.(1)求證：四棱錐B-A1ACC1為陽馬，并判斷四面體A1CBC1是否為鱉臑，若是寫出各個(gè)面的直角(只寫出結(jié)論)．(2)若A1A＝AB＝2，當(dāng)陽馬B-A1ACC1體積最大時(shí)．①求塹堵ABC-A1B1C1的體積；②求C到平面A1BC1的距離．7.[解](1)證明：由塹堵ABC-A1B1C1的性質(zhì)知：四邊形A1ACC1為矩形．∵A1A⊥底面ABC，BC?平面ABC，∴BC⊥A1A，又BC⊥AC，A1A∩AC＝A.A1A，AC?平面A1ACC1.∴BC⊥平面A1ACC1，∴四棱錐B-A1ACC1為陽馬，且四面體A1CBC1為鱉臑，四個(gè)面的直角分別是∠A1CB，∠A1C1C，∠BCC1，∠A1C1B.(2)∵A1A＝AB＝2.由(1)知陽馬B-A1ACC1的體積V＝eq\f(1,3)S矩形A1ACC1·BC＝eq\f(1,3)×A1A×AC×BC＝eq\f(2,3)AC×BC≤eq\f(1,3)(AC2＋BC2)＝eq\f(1,3)×AB2＝eq\f(4,3).當(dāng)且僅當(dāng)AC＝BC＝eq\r(2)時(shí)，Vmax＝eq\f(4,3)，此時(shí)①塹堵ABC-A1B1C1的體積V′＝S△ABC·AA1＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(2)×2＝2.②由題意與題圖知，V三棱錐B-A1AC＝V三棱錐B-A1C1C＝eq\f(1,2)V陽馬B-A1ACC1＝eq\f(2,3).又A1C1＝eq\r(2)，BC1＝eq\r(BC2＋C1C2)＝eq\r(6)，設(shè)C到平面A1BC1的距離為d.則eq\f(1,3)S△A1BC1·d＝eq\f(2,3).即eq\f(1,3)·eq\f(1,2)eq\r(2)×eq\r(6)·d＝eq\f(2,3)，∴d＝eq\f(4,\r(2)×\r(6))＝eq\f(2,3)eq\r(3).8．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中“開立圓術(shù)”曰:置積尺數(shù),以十六乘之,九而一,所得開立方除之,即立圓徑.“開立圓術(shù)”相當(dāng)于給出了已知球的體積,求其直徑的一個(gè)近似公式.人們還用過一些類似的近似公式.根據(jù)判斷,下列近似公式中最精確的一個(gè)是 （）A． B． C． D．8.【解析】根據(jù)球的體積公式求出直徑，然后選項(xiàng)中的常數(shù)為a：b，表示出π，將四個(gè)選項(xiàng)逐一代入，求出最接近真實(shí)值的那一個(gè)即可．由設(shè)選項(xiàng)中的常數(shù)為，則可知，選項(xiàng)A代入得，選項(xiàng)B代入得π==3，選項(xiàng)C代入可知，選項(xiàng)D代入可知，故D的值接近真實(shí)的值，故選D.9．《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑，如圖2，在鱉臑PABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，且AP=AC=1，過A點(diǎn)分別作AE⊥PB于E、AF⊥PC于F，連接EF當(dāng)△AEF的面積最大時(shí)，tan∠BPC的值是A．B．C．D．（）9.【解】顯然，則，又，則，故，，結(jié)合條件得，所以、均為直角三角形，由已知得，而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“=”，所以，當(dāng)時(shí)，的面積最大，此時(shí)，故選B．10．《九章算術(shù)》之后，人們進(jìn)一步用等差數(shù)列求和公式來解決更多的問題，《張丘建算經(jīng)》卷上第22題為：“今有女善織，日益功疾（注：從第2天開始，每天比前一天多織相同量的布），第一天織5尺布，現(xiàn)在一月（按30天計(jì)），共織390尺布”，則從第2天起每天比前一天多織（）尺布．A．B．C．D．10.【解析】由題可知每天的織布量構(gòu)成首項(xiàng)是5，公差為的等差數(shù)列，且前30項(xiàng)和為390．根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，有，解得，故選D．11．如圖，在楊輝三角形中，斜線SKIPIF1<0的上方，從1開始箭頭所示的數(shù)組成一個(gè)鋸齒形數(shù)列：1,3,3,4,6,5,10,…，記其前n項(xiàng)和為Sn，則S19等于（）A．129 B．172C．228 D．28311.【解】選D．楊輝三角形的生成過程，n為偶數(shù)時(shí)，，n為奇數(shù)時(shí)，a1=1．a(chǎn)3=3，an+2=an+an-1=an+，∴a3-a2=2，

a5-a3=3，…an-an-2=，an=，∴S19=a1+a3+…+a19+（a2+a4+…a18）=（1+3+6+…55）+（3+4+5+…+11）=220+63=283.，12．公元前世紀(jì)，古希臘歐幾里得在《幾何原本》里提出：“球的體積（）與它的直徑（）的立方成正比”，此即，歐幾里得未給出的值．世紀(jì)日本數(shù)學(xué)家們對(duì)求球的體積的方法還不了解，他們將體積公式中的常數(shù)稱為“立圓率”或“玉積率”．類似地，對(duì)于等邊圓柱（軸截面是正方形的圓柱）、正方體也可利用公式求體積（在等邊圓柱中，表示底面圓的直徑；在正方體中，表示棱長(zhǎng)）．假設(shè)運(yùn)用此體積公式求得球（直徑為）、等邊圓柱（底面圓的直徑為）、正方體（棱長(zhǎng)為）的“玉積率”分別為、、，那么（）A．B．C．D．12.【解析】選D．，?？键c(diǎn)：類比推理13．圖中的程序框圖所描述的算法稱為歐幾里得輾轉(zhuǎn)相除法．若輸入，，則輸出的的值為（）A．0B．11C．22D．8813.【解析】第一次循環(huán)：；第二次循環(huán)：；第三次循環(huán)：；第四次循環(huán)：；第五次循環(huán)：；結(jié)束循環(huán)，輸出選B．14．由無理數(shù)引發(fā)的數(shù)學(xué)危機(jī)一直延續(xù)到19世紀(jì)，直到1872年，德國(guó)數(shù)學(xué)家戴德金提出了“戴德金分割”，才結(jié)束了持續(xù)2000多年的數(shù)學(xué)史上的第一次大危機(jī)．所謂戴德金分割，是指將有理數(shù)集劃分為兩個(gè)非空的子集與，且滿足，，中的每一個(gè)元素都小于中的每一個(gè)元素，則稱為戴德金分割．試判斷，對(duì)于任一戴德金分割，下列選項(xiàng)中不可能成立的是（）A．沒有最大元素，有一個(gè)最小元素B．沒有最大元素，也沒有最小元素C．有一個(gè)最大元素，有一個(gè)最小元素D．有一個(gè)最大元素，沒有最小元素14.【解析】設(shè),顯然集合M中沒有最大元素，集合N中有一個(gè)最小元素，即選項(xiàng)A可能；,顯然集合M中沒有最大元素，集合N中也沒有最小元素，即選項(xiàng)B可能；,顯然集合M中有一個(gè)最大元素，集合N中沒有最小元素，即選項(xiàng)D可能；同時(shí)，假設(shè)答案C可能，即集合M、N中存在兩個(gè)相鄰的有理數(shù)，顯然這是不可能的，故選C．【方法點(diǎn)睛】創(chuàng)新題型，應(yīng)抓住問題的本質(zhì)，即理解題中的新定義，脫去其“新的外衣”，轉(zhuǎn)化為熟悉的知識(shí)點(diǎn)和題型上來．本題即為，有理數(shù)集的交集和并集問題，只是考查兩個(gè)子集中元素的最值問題，即集合M、N中有無最大元素和最小元素．15．（2013?湖北）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測(cè)雨”題：在下雨時(shí)，用一個(gè)圓臺(tái)形的天池盆接雨水．天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中積水深九寸，則平地降雨量是_________寸．（注：①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；②一尺等于十寸）15.【解析】如圖，由題意可知，天池盆上底面半徑為14寸，下底面半徑為6寸，高為18寸．因?yàn)榉e水深9寸，所以水面半徑為寸．則盆中水的體積為（立方寸）．所以則平地降雨量等于（寸）．16．2002年在北京召開的數(shù)學(xué)大會(huì)，會(huì)標(biāo)是以我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)的。弦圖是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖）。如果小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較小的角為，那么的值為；16.【解析】∵大正方形面積為25，小正方形面積為1，∴大正方形邊長(zhǎng)為5，小正方形的邊長(zhǎng)為1．∴5cosθ-5sinθ=1，∴cosθ-sinθ=15．∴兩邊平方得：1-sin2θ=1/25，∴sin2θ=24/25．∵θ是直角三角形中較小的銳角，∴0＜θ＜π/4，0＜2θ＜π/2．∴cos2θ==．17．“斐波那契數(shù)列”是數(shù)學(xué)史上一個(gè)著名數(shù)列，在斐波那契數(shù)列中，，…則____；若，則數(shù)列的前項(xiàng)和是_____（用表示）．17.【解析】，，，，，，；，，，，；，，，累加得所以數(shù)列的前項(xiàng)和是.18．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表.其中《方田》章給出計(jì)算弧田面積所用的經(jīng)驗(yàn)公式為：弧田面積=（弦矢+矢2）.弧田（如圖），由圓弧和其所對(duì)弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對(duì)弦長(zhǎng)，“矢”等于半徑長(zhǎng)與圓心到弦的距離之差.按照上述經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算所得弧田面積與其實(shí)際面積之間存在誤差.現(xiàn)有圓心角為，弦長(zhǎng)等于9米的弧田.（1）計(jì)算弧田的實(shí)際面積；（2）按照《九章算術(shù)》中弧田面積的經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算所得結(jié)果與（1）中計(jì)算的弧田實(shí)際面積相差多少平方米？（結(jié)果保留兩位小數(shù)）18.【解析】(1)扇形半徑，2分扇形面積等于5分弧田面積=（m2）7分（2）圓心到弦的距離等于，所以矢長(zhǎng)為.按照上述弧田面積經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算得（弦矢+矢2）=.10分平方米12分

按照弧田面積經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算結(jié)果比實(shí)際少1.52平米.19．(2015·高考湖北卷)《九章算術(shù)》中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑．在如圖所示的陽馬中，側(cè)棱底面，且，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接．（Ⅰ）證明：平面．試判斷四面體是否為鱉臑，若是，寫出其每個(gè)面的直角（只需寫出結(jié)論）；若不是，請(qǐng)說明理由；（Ⅱ）記陽馬體積為，四面體的體積為，求的值．19.【解析】（Ⅰ）因?yàn)榈酌?，所以．由底面為長(zhǎng)方形，有，而，所以平面．平面，所以．又因?yàn)?，點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以．而，所以平面．由平面，平面，可知四面體的四個(gè)面都是直角三角形，（Ⅱ）由已知，是陽馬的高，所以；由（Ⅰ）知，是鱉臑的高，，所以．在△中，因?yàn)?，點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，于是20．請(qǐng)閱讀下列材料，“楊輝三角”(1261年)是中國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)成就,它比西方的“帕斯卡三角”(1653年)早了300多年(如表1).在“楊輝三角”的基礎(chǔ)上德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茲發(fā)現(xiàn)了下面的單位分?jǐn)?shù)三角形（單位分?jǐn)?shù)是分子為1,分母為正整數(shù)的分?jǐn)?shù)）,稱為萊布尼茲三角形(如表2)表1表2表1表2回答下列問題:（I）記為表1中第n行各個(gè)數(shù)字之和,求，并歸納出；（II）根據(jù)表2前5行的規(guī)律依次寫出第6行的數(shù).21．根據(jù)我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的“更相減損術(shù)”求99，36的最大公約數(shù)的操作步驟為：（99，36）→（63，36）→（27，36）→（27，9）→（18，9）→（9，9