九章算術(教師版)

九章算術(教師版)PAGE2PAGE4九章算術與高考數學創(chuàng)新題1．《九章算術》“竹九節(jié)”問題：現有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為________升．1.【解析】設自上第一節(jié)竹子容量為a1，則第九節(jié)容量為a9，且數列{an}為等差數列．a1＋a2＋a3＋a4＝3，a7＋a8＋a9＝4，即4a5－10d＝3，①3a5＋9d＝4，②聯立①②解得a5＝.2.《九章算術》是我國古代著名數學經典．其中對勾股定理的論術比西方早一千多年，其中有這樣一個問題：“今有圓材埋在壁中，不知大?。凿忎徶?，深一寸，鋸道長一尺．問徑幾何？”其意為：今有一圓柱形木材，埋在墻壁中，不知其大小，用鋸去鋸該材料，鋸口深1寸，鋸道長1尺．問這塊圓柱形木料的直徑是多少？長為1丈的圓柱形木材部分鑲嵌在墻體中，截面圖如圖所示(陰影部分為鑲嵌在墻體內的部分)．已知弦AB＝1尺，弓形高CD＝1寸，估算該木材鑲嵌在墻中的體積約為()(注：1丈＝10尺＝100寸，π≈3.14，sin第一步：構造數列1，eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，…，eq\f(1,n).①第二步：將數列①的各項乘以n，得數列(記為)a1，a2，a3，…，an.則a1a2＋a2a3＋…＋an－1an等于()A．n2 B．(n－1)2C．n(n－1) D．n(n＋1)4.【解析】a1a2＋a2a3＋…＋an－1an＝eq\f(n,1)·eq\f(n,2)＋eq\f(n,2)·eq\f(n,3)＋…＋eq\f(n,n－1)·eq\f(n,n)＝n2[eq\f(1,1·2)＋eq\f(1,2·3)＋…＋eq\f(1,（n－1）n)]＝n2[1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n－1)－eq\f(1,n)]＝n2·eq\f(n－1,n)＝n(n－1)．5．中國古代數學名著《九章算術》中記載了公元前344年商鞅督造一種標準量器——商鞅銅方升，其三視圖如圖所示(單位：寸)若π取3，其體積為12.6(立方寸)，則圖中的x為________．5.[解析]由三視圖知，商鞅銅方升由一圓柱和一長方體組合而成：(5.4－x)×3×1＋π·(eq\f(1,2))2x＝12.6，解得x＝1.6.6．中國古代數學名著《九章算術》中的“引葭赴岸”是一道名題，其內容為：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與齊．問水深葭長各幾何”意為：今有邊長為1丈的正方形水池的中央生長著蘆葦，長出水面的部分為1尺，將蘆葦牽引向池岸，恰巧與水岸齊接，問水深蘆葦的長度各是多少？將該問題拓展如圖，記正方形水池的剖面圖為ABCD，蘆葦根部O為AB的中點，頂端為P(注蘆葦與水面垂直)．在牽引頂端P向水岸邊中點D的過程中，當蘆葦經過DF的中點E時，蘆葦的頂端離水面的距離約為________尺．(注：1丈＝10尺，eq\r(601)≈24.5)6.[解析]設水深為x，則x2＋52＝(x＋1)2，解得：x＝12.∴水深12尺，蘆葦長13尺，以AB所在的直線為x軸，蘆葦所在的直線為y軸，建立直角坐標系，在牽引過程中，P的軌跡是以O為圓心，半徑為13的圓，其方程為x2＋y2＝169，(－5≤x≤5，12≤y≤13)，①E點的坐標為(－eq\f(5,2)，12)，∴OE所在的直線方程為y＝－eq\f(24,5)x，②由①②聯解得y＝eq\r(\f(169×576,601))≈eq\f(13×24,24.5)＝eq\f(624,49).則此時蘆葦的頂端到水面的距離為eq\f(624,49)－12＝eq\f(36,49).7．《九章算術》是我國古代數學名著，它在幾何學中的研究比西方早1千多年．例如塹堵指底面為直角三角形，且側棱垂直于底面的三棱柱，陽馬指底面為矩形，一側棱垂直于底面的四棱錐，鱉臑指四個面均為直角三角形的四面體．如圖，在塹堵ABC-A1B1C1中，AC⊥BC.(1)求證：四棱錐B-A1ACC1為陽馬，并判斷四面體A1CBC1是否為鱉臑，若是寫出各個面的直角(只寫出結論)．(2)若A1A＝AB＝2，當陽馬B-A1ACC1體積最大時．①求塹堵ABC-A1B1C1的體積；②求C到平面A1BC1的距離．7.[解](1)證明：由塹堵ABC-A1B1C1的性質知：四邊形A1ACC1為矩形．∵A1A⊥底面ABC，BC?平面ABC，∴BC⊥A1A，又BC⊥AC，A1A∩AC＝A.A1A，AC?平面A1ACC1.∴BC⊥平面A1ACC1，∴四棱錐B-A1ACC1為陽馬，且四面體A1CBC1為鱉臑，四個面的直角分別是∠A1CB，∠A1C1C，∠BCC1，∠A1C1B.(2)∵A1A＝AB＝2.由(1)知陽馬B-A1ACC1的體積V＝eq\f(1,3)S矩形A1ACC1·BC＝eq\f(1,3)×A1A×AC×BC＝eq\f(2,3)AC×BC≤eq\f(1,3)(AC2＋BC2)＝eq\f(1,3)×AB2＝eq\f(4,3).當且僅當AC＝BC＝eq\r(2)時，Vmax＝eq\f(4,3)，此時①塹堵ABC-A1B1C1的體積V′＝S△ABC·AA1＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(2)×2＝2.②由題意與題圖知，V三棱錐B-A1AC＝V三棱錐B-A1C1C＝eq\f(1,2)V陽馬B-A1ACC1＝eq\f(2,3).又A1C1＝eq\r(2)，BC1＝eq\r(BC2＋C1C2)＝eq\r(6)，設C到平面A1BC1的距離為d.則eq\f(1,3)S△A1BC1·d＝eq\f(2,3).即eq\f(1,3)·eq\f(1,2)eq\r(2)×eq\r(6)·d＝eq\f(2,3)，∴d＝eq\f(4,\r(2)×\r(6))＝eq\f(2,3)eq\r(3).8．我國古代數學名著《九章算術》中“開立圓術”曰:置積尺數,以十六乘之,九而一,所得開立方除之,即立圓徑.“開立圓術”相當于給出了已知球的體積,求其直徑的一個近似公式.人們還用過一些類似的近似公式.根據判斷,下列近似公式中最精確的一個是 （）A． B． C． D．8.【解析】根據球的體積公式求出直徑，然后選項中的常數為a：b，表示出π，將四個選項逐一代入，求出最接近真實值的那一個即可．由設選項中的常數為，則可知，選項A代入得，選項B代入得π==3，選項C代入可知，選項D代入可知，故D的值接近真實的值，故選D.9．《九章算術》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑，如圖2，在鱉臑PABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，且AP=AC=1，過A點分別作AE⊥PB于E、AF⊥PC于F，連接EF當△AEF的面積最大時，tan∠BPC的值是A．B．C．D．（）9.【解】顯然，則，又，則，故，，結合條件得，所以、均為直角三角形，由已知得，而，當且僅當時，取“=”，所以，當時，的面積最大，此時，故選B．10．《九章算術》之后，人們進一步用等差數列求和公式來解決更多的問題，《張丘建算經》卷上第22題為：“今有女善織，日益功疾（注：從第2天開始，每天比前一天多織相同量的布），第一天織5尺布，現在一月（按30天計），共織390尺布”，則從第2天起每天比前一天多織（）尺布．A．B．C．D．10.【解析】由題可知每天的織布量構成首項是5，公差為的等差數列，且前30項和為390．根據等差數列前項和公式，有，解得，故選D．11．如圖，在楊輝三角形中，斜線SKIPIF1<0的上方，從1開始箭頭所示的數組成一個鋸齒形數列：1,3,3,4,6,5,10,…，記其前n項和為Sn，則S19等于（）A．129 B．172C．228 D．28311.【解】選D．楊輝三角形的生成過程，n為偶數時，，n為奇數時，a1=1．a3=3，an+2=an+an-1=an+，∴a3-a2=2，

a5-a3=3，…an-an-2=，an=，∴S19=a1+a3+…+a19+（a2+a4+…a18）=（1+3+6+…55）+（3+4+5+…+11）=220+63=283.，12．公元前世紀，古希臘歐幾里得在《幾何原本》里提出：“球的體積（）與它的直徑（）的立方成正比”，此即，歐幾里得未給出的值．世紀日本數學家們對求球的體積的方法還不了解，他們將體積公式中的常數稱為“立圓率”或“玉積率”．類似地，對于等邊圓柱（軸截面是正方形的圓柱）、正方體也可利用公式求體積（在等邊圓柱中，表示底面圓的直徑；在正方體中，表示棱長）．假設運用此體積公式求得球（直徑為）、等邊圓柱（底面圓的直徑為）、正方體（棱長為）的“玉積率”分別為、、，那么（）A．B．C．D．12.【解析】選D．，?？键c：類比推理13．圖中的程序框圖所描述的算法稱為歐幾里得輾轉相除法．若輸入，，則輸出的的值為（）A．0B．11C．22D．8813.【解析】第一次循環(huán)：；第二次循環(huán)：；第三次循環(huán)：；第四次循環(huán)：；第五次循環(huán)：；結束循環(huán)，輸出選B．14．由無理數引發(fā)的數學危機一直延續(xù)到19世紀，直到1872年，德國數學家戴德金提出了“戴德金分割”，才結束了持續(xù)2000多年的數學史上的第一次大危機．所謂戴德金分割，是指將有理數集劃分為兩個非空的子集與，且滿足，，中的每一個元素都小于中的每一個元素，則稱為戴德金分割．試判斷，對于任一戴德金分割，下列選項中不可能成立的是（）A．沒有最大元素，有一個最小元素B．沒有最大元素，也沒有最小元素C．有一個最大元素，有一個最小元素D．有一個最大元素，沒有最小元素14.【解析】設,顯然集合M中沒有最大元素，集合N中有一個最小元素，即選項A可能；,顯然集合M中沒有最大元素，集合N中也沒有最小元素，即選項B可能；,顯然集合M中有一個最大元素，集合N中沒有最小元素，即選項D可能；同時，假設答案C可能，即集合M、N中存在兩個相鄰的有理數，顯然這是不可能的，故選C．【方法點睛】創(chuàng)新題型，應抓住問題的本質，即理解題中的新定義，脫去其“新的外衣”，轉化為熟悉的知識點和題型上來．本題即為，有理數集的交集和并集問題，只是考查兩個子集中元素的最值問題，即集合M、N中有無最大元素和最小元素．15．（2013?湖北）我國古代數學名著《數書九章》中有“天池盆測雨”題：在下雨時，用一個圓臺形的天池盆接雨水．天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中積水深九寸，則平地降雨量是_________寸．（注：①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；②一尺等于十寸）15.【解析】如圖，由題意可知，天池盆上底面半徑為14寸，下底面半徑為6寸，高為18寸．因為積水深9寸，所以水面半徑為寸．則盆中水的體積為（立方寸）．所以則平地降雨量等于（寸）．16．2002年在北京召開的數學大會，會標是以我國古代數學家趙爽的弦圖為基礎設計的。弦圖是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形（如圖）。如果小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較小的角為，那么的值為；16.【解析】∵大正方形面積為25，小正方形面積為1，∴大正方形邊長為5，小正方形的邊長為1．∴5cosθ-5sinθ=1，∴cosθ-sinθ=15．∴兩邊平方得：1-sin2θ=1/25，∴sin2θ=24/25．∵θ是直角三角形中較小的銳角，∴0＜θ＜π/4，0＜2θ＜π/2．∴cos2θ==．17．“斐波那契數列”是數學史上一個著名數列，在斐波那契數列中，，…則____；若，則數列的前項和是_____（用表示）．17.【解析】，，，，，，；，，，，；，，，累加得所以數列的前項和是.18．《九章算術》是我國古代數學成就的杰出代表.其中《方田》章給出計算弧田面積所用的經驗公式為：弧田面積=（弦矢+矢2）.弧田（如圖），由圓弧和其所對弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差.按照上述經驗公式計算所得弧田面積與其實際面積之間存在誤差.現有圓心角為，弦長等于9米的弧田.（1）計算弧田的實際面積；（2）按照《九章算術》中弧田面積的經驗公式計算所得結果與（1）中計算的弧田實際面積相差多少平方米？（結果保留兩位小數）18.【解析】(1)扇形半徑，2分扇形面積等于5分弧田面積=（m2）7分（2）圓心到弦的距離等于，所以矢長為.按照上述弧田面積經驗公式計算得（弦矢+矢2）=.10分平方米12分

按照弧田面積經驗公式計算結果比實際少1.52平米.19．(2015·高考湖北卷)《九章算術》中，將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑．在如圖所示的陽馬中，側棱底面，且，點是的中點，連接．（Ⅰ）證明：平面．試判斷四面體是否為鱉臑，若是，寫出其每個面的直角（只需寫出結論）；若不是，請說明理由；（Ⅱ）記陽馬體積為，四面體的體積為，求的值．19.【解析】（Ⅰ）因為底面，所以．由底面為長方形，有，而，所以平面．平面，所以．又因為，點是的中點，所以．而，所以平面．由平面，平面，可知四面體的四個面都是直角三角形，（Ⅱ）由已知，是陽馬的高，所以；由（Ⅰ）知，是鱉臑的高，，所以．在△中，因為，點是的中點，所以，于是20．請閱讀下列材料，“楊輝三角”(1261年)是中國古代重要的數學成就,它比西方的“帕斯卡三角”(1653年)早了300多年(如表1).在“楊輝三角”的基礎上德國數學家萊布尼茲發(fā)現了下面的單位分數三角形（單位分數是分子為1,分母為正整數的分數）,稱為萊布尼茲三角形(如表2)表1表2表1表2回答下列問題:（I）記為表1中第n行各個數字之和,求，并歸納出；（II）根據表2前5行的規(guī)律依次寫出第6行的數.21．根據我國古代數學名著《九章算術》中的“更相減損術”求99，36的最大公約數的操作步驟為：（99，36）→（63，36）→（27，36）→（27，9）→（18，9）→（9，9