2015年浙江省高中數(shù)學(xué)競賽試卷含參考答案

2015年浙江省高中數(shù)學(xué)競賽試卷參考答案一、選擇題〔本大題共有8小題，每題只有一個正確答案，將正確答案的序號填入題干后的括號里，多項(xiàng)選擇、不選、錯選均不得分，每題6分，共48分〕.“a=2,b=?2”是“曲線C：土+y2=1（a,beR,ab豐0）經(jīng)過點(diǎn)（；2,1）”的（A）.a2b2A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件答案：A.解答：當(dāng)a=2,b=\2曲線C：—+ =1經(jīng)過（：'2,l）；當(dāng)曲線C：—+ —1經(jīng)過a2b2 a2b2點(diǎn)"）時(shí)即有有a+b2-1，顯然QT—一、殮也滿足上式。所以“a=2,b中”是“曲線C：上+y2=1經(jīng)過點(diǎn)1。1人的充分不必要條件。a是“曲線C：.已知一個角大于120。的三角形的三邊長分別為m,m+1,m+2，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為(B).’ . 一.3 一3八(B).’ . 一.3 一3八A.m〉1 B.1<m<一 C.一<m<32 2答案：B.解答：由題意可知：[m+(m+1)〉m+2 31 解得1<m<不。1(m+2)2〉m2+(m+1)2+m(m+1) 2D.m〉33.如圖，在正方體ABCD-A1B1GD1中，M為BB1的中點(diǎn)，則二面角M-CD1-A的余弦值為（C).A1DCA第3題圖BC1B.AB.答案：C.解答：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,DD1所在的直線分別為蒼y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，1、則D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),DJ0Q1),M(1,1)，且平面ACD1的法向量為3=—(1,1,1),平面MCD法向量為〃=(T,2,2)。因此cos<n,n〉=二,即二面角1 1 2 1 2 3M-CD1-A的余弦值為一4.假設(shè)實(shí)數(shù)a,b滿足<4.假設(shè)實(shí)數(shù)a,b滿足<a+2b則G的最大值為（C）．A.1B．C．D.2答案：答案：C.一 ，4 一 ，4 ，一，，TbC解答：由a,b滿足的條件知1<-<3，所以aa+2b 3/=2-<2a+b 2,b5乙^T a, , 13 “，當(dāng)(a,b)=(-,-)取等號。5.已知等腰直角△PQR的三個頂點(diǎn)分別在等腰直角^ABC的三條邊上，記^PQR,△ABC的面積分別為S△的面積分別為S△pqr，晨abcS則7APQR的最小值為（DS）．23C.A23C.AABC14D.〔1PRAR用正弦定理得sinA二淅QR〔1PRAR用正弦定理得sinA二淅QRBR，sinBsinBQR"又ZA=/B=45,故PR=QR,故參考答案：D.解答：如圖5-1所示，〕當(dāng)APQR的直角頂點(diǎn)在AABC的斜邊上，則P,C,Q,R四點(diǎn)共圓，/APR=/CQR=180—/BQR,所以sin/APR=sin/BQR.在NAPR,ABQR中分別應(yīng)AR=BR即R為AB的中點(diǎn).0〕,R〔4,0〕,C).S〔8,0〕作四條直線構(gòu)成一個正方形，1 16A.17答案：C.c.TD．19613解答：不妨設(shè)四條直線交成的正方形在第一象限，0〕,R〔4,0〕,C).S〔8,0〕作四條直線構(gòu)成一個正方形，1 16A.17答案：C.c.TD．19613解答：不妨設(shè)四條直線交成的正方形在第一象限，且邊長為a，面積為S,過P的直線的傾當(dāng)過點(diǎn)P,Q的直線為正方形的對邊所在的直線時(shí),4|PQ|sin0=a=|RS|cos9=sin0=4cos0osin0=-7=,此時(shí)正方形的面積S—(|pQ|sin。)2—17 _36 同理，當(dāng)過點(diǎn)P,R的直線為正方形的對邊所在的直線時(shí)，S=—；當(dāng)過點(diǎn)P,S的直線為正8．A中的元素個數(shù)為(B．4032方形的對邊所在的直線時(shí)，s=196(m+1)+(m+2)+ 1-(m+n)=102015,mgZ,ngN*},則集合A.4030答案：B.B).C.20152D. 20162解答：由已知得n(n+2m+1)=2201652015，因?yàn)閚,n+2m+1一奇一偶，所以n,n+2m+1兩者之一為偶數(shù)，即為22016,220165,2201652,???,2201652015共有2016種情況，交換順序又得到2016種情形，所以集合A共有4032個元素.二、填空題〔本大題共有7小題，將正確答案填入題干后的橫線上，9-14每題7分，15題8分，共50分〕9.已知函數(shù)f(x)滿足f(x+1)+f(1-x)=0,f(x+2)-f(2-x)—0,且f(1)=1,則“1000、J(^—)―答案：-1.解答：f(x+2)=f(2-x)=f[1-(x—1)]=—f[1+(x-1)=-f(x)nf(x+4)=f(x),所以f(竽-f(332+4)=“1、 ” 1、 1=f(1+3)=-f(1-3)二-f(3)=-1.符合題意。7.假設(shè)過點(diǎn)P〔1,0〕，Q〔2則該正方形的面積不可能等于(.假設(shè)數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和S=n3-n2,ngN*,i=i=1 i2015答案：6048.解答：工-E解答：工-Eii=1 i=1a=3n2—5n+2,又a=0,

i1故a=3n2—5n+2(ngN*),n泊i=E5i=12g(i1)=2015a+8i—2― 3i(i+1)=3 (1—7+1)=6048i=1i i=1 i=1.已知方為拋物線產(chǎn)=5x的焦點(diǎn)，點(diǎn)A(3,1),M是拋物線上的動點(diǎn).當(dāng)IMAI+IMFI取最小值時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為答案：(5，1).解答：設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為l:x=

5 ,-4.過M作l的垂線，垂足為H,則AM+MF=AM+MH>AH，當(dāng)A,M,H三點(diǎn)共線時(shí)取等號，此時(shí)M的坐標(biāo)為(5,1)12.假設(shè)16sin2x+16cos2x=10,貝°cos4X=1答案：―2.解答：設(shè)t=16解答：設(shè)t=16sin2x,1<t<16,則16cos2x=161-sin?x7，代入方程得t+丁1°>=2,或t=8,即. 1 32°sin2x=一或一，所以cos4x——4 42°13.設(shè)函數(shù)f(x)=min{x2—1,x+1,—x+1},其中min{x,y,z}表示x,y,z中的最小者.假設(shè)f(a+2)>f(a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.答案：(—8,—2)u(—1,0).參考答案：因?yàn)榉匠蘤(X因?yàn)榉匠蘤(X)=X有兩個相異的實(shí)根，即方程ax2+(b-1)x+b—2=0有兩個相異的實(shí)數(shù)L0根，所以A二(b-1)2-4a(b-2)>0, x即j2:02(1+2a)b+8a+1>0對任意實(shí)數(shù)b恒成立，所以L0A=4(1+2a)2-4(8a+1)<0， b解得0<a<1 4分12分16分一x一x2y2“， ，八、17.已知橢圓C:―+—=1(a>b>0)1a2b2的離心率為鼻，右焦點(diǎn)為圓C2：(C2：(xI；3)">2=7的圓心。(I)求橢圓C1的方程；(II)假設(shè)直線l與曲線C1,C2都只有一個公共點(diǎn)，坐標(biāo)．記直線l與圓C2的公共點(diǎn)為A，求點(diǎn)A的參考答案：〔I參考答案：〔I〕設(shè)橢圓C1的半焦距長為C，則卜二右t°c_j3,解得ai2,所以橢圓方程為、a-T4分〔II〕當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，顯然不滿足題意.當(dāng)直線l的率存在時(shí)，可設(shè)直線l的km-33方程為y=kx+m(k,meR),點(diǎn)4的坐標(biāo)為(%‘乙)’其中乙二一「十一,、一x2,…i..一一 一 ,一〔1〕聯(lián)立方程|彳+y2=1，消去y得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0y=kx〔1〕所以A=16(4k2-m2+1)=0,即1

8分聯(lián)立方程"一肉）+8分聯(lián)立方程"一肉）+y2=7消去y得y=kx+mTOC\o"1-5"\h\z(1+k2)x2+2(km-3)xx+m2-4=0 〔3〕所以A=16(4k2-m2-2v13mk+7)=0,即24k2-m2-2<3mk+7;0 〔4〕 12分〔2〕-〔4〕得km;v13 〔5〕km—3〔5〕代入〔3〕得x=- '=0 〔6〕 16分a1+k2〔6〕代入C：(x-y'3)2+y2=7得y=±2.2 A經(jīng)檢驗(yàn)A(0,2),或A(0,-2)符合題意，這樣點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,2),(0,-2) 18分18.已知數(shù)列{18.已知數(shù)列{a},滿足a>0,b>0,<nn1a=a+—,n+1 nbn,neN*.證明：a+b>20.1 50 50b=b+—n+1 nan參考答案：1.1a.b、 .證明：因?yàn)閍2+b2參考答案：1.1a.b、 .證明：因?yàn)閍2+b2=a2+b2+—+ +2(~n+—)),所以n+1 n+1 nna2b2 bann nn50 5011E(a+b)+2藝(b+ai=1ii i=1ii, 1 1>a2+b2+―+ +2x2x49>4+4x49=200.1 1a2b2118分又abn+1n+1=ab+ +2,nnabnn所以a50b50=ab+E1+2x49>98+ab+->100.11ab 11abi=1ii 1116分所以(a+b)2=a2+b2+2ab>200+200=400.因此a+b>20……18分50 50 50 50 5050 50 50四、附加題〔本大題共有2小題，每題25分，共50分〕附加1已知數(shù)列｛a｝滿足a=1,a=3a+2；;2a2—1,ngN*.n 1 n+1 nnn(I)證明：｛a｝是正整數(shù)數(shù)列；n(II)是否存在mgN*，使得2015la，并說明理由.m參考答案：〔I〕由a=3a+2%：2a2—1得n+1 nnnTOC\o"1-5"\h\za2+6aa+a2+4=0, 〔1〕n+1 nn+1 n同理可得a2+6aa+a2+4=0, 〔2〕 5分n+2 n+2n+1 n+2由〔1〕〔2〕可知，a,a為方程x2—6ax+a2+4=0的兩根，又a<a,即有nn+2 n+1 n+1 n n+2a+a=6a，即a=6a一a.n n+2 n+1 n+2 n+1 n因?yàn)閍=1,a=5,所以a為正整數(shù). 10分12 n〔II〕不存在mgN*，使得2015|a 15分m假設(shè)存在mgN*，使得2015la，則31la.m m一方面，aa=a2+4，所以31a2+4，即mm+2 m+1 m+1a2三