高考總復習之正態(tài)分布(-教師版)

專題正態(tài)分布【高考會這樣考】利用實際問題的直方圖，了解正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義．【復習指導】掌握好正態(tài)密度曲線的特點，尤其是其中的參數(shù)μ、σ的含義，會由其對稱性求解隨機變量在特定區(qū)間上的概率．基礎梳理1．正態(tài)曲線及性質(1)正態(tài)曲線的定義函數(shù)x∈(－∞，＋∞)，其中實數(shù)μ和σ(σ>0)為參數(shù)，我們稱φμ，σ(x)的圖象(如圖)為正態(tài)分布密度曲線，簡稱正態(tài)曲線．(2)正態(tài)曲線的解析式①指數(shù)的自變量是x定義域是R，即x∈(－∞，＋∞)．②解析式中含有兩個常數(shù)：π和e，這是兩個無理數(shù)．③解析式中含有兩個參數(shù)：μ和σ，其中μ可取任意實數(shù)，σ＞0這是正態(tài)分布的兩個特征數(shù)．④解析式前面有一個系數(shù)為eq\f(1,\r(2π)σ)，后面是一個以e為底數(shù)的指數(shù)函數(shù)的形式，冪指數(shù)為－eq\f(x－μ2,2σ2).六條性質正態(tài)曲線的性質正態(tài)曲線φμ，σ(x)＝eq\f(1,\r(2π)σ)e－eq\f(x－μ2,2σ2)，x∈R有以下性質：(1)曲線位于x軸上方，與x軸不相交；(2)曲線是單峰的，它關于直線x＝μ對稱；(3)曲線在x＝μ處達到峰值eq\f(1,σ\r(2π))；(4)曲線與x軸圍成的圖形的面積為1；(5)當σ一定時，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移；(6)當μ一定時，曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散．三個鄰域會用正態(tài)總體在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值結合正態(tài)曲線求隨機變量的概率．落在三個鄰域之外是小概率事件，這也是對產(chǎn)品進行質量檢測的理論依據(jù)．解析∵μ＝2，由正態(tài)分布的定義知其函數(shù)圖象關于x＝2對稱，于是eq\f(c＋1＋c－1,2)＝2，∴c＝2.考向一正態(tài)曲線的性質【例1】?若一個正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是一個偶函數(shù)，且該函數(shù)的最大值為eq\f(1,4\r(2π)).(1)求該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式；(2)求正態(tài)總體在(－4,4]的概率．[審題視點]要確定一個正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式，關鍵是求解析式中的兩個參數(shù)μ，σ的值，其中μ決定曲線的對稱軸的位置，σ則與曲線的形狀和最大值有關．解(1)由于該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是一個偶函數(shù)，所以其圖象關于y軸對稱，即μ＝0.由eq\f(1,\r(2π)σ)＝eq\f(1,\r(2π)·4)，得σ＝4，故該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式是φμ，σ(x)＝eq\f(1,4\r(2π))e－eq\f(x2,32)，x∈(－∞，＋∞)．(2)P(－4<X≤4)＝P(0－4<X≤0＋4)＝P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826.解決此類問題的關鍵是正確理解函數(shù)解析式與正態(tài)曲線的關系，掌握函數(shù)解析式中參數(shù)的取值變化對曲線的影響．【訓練1】設兩個正態(tài)分布N(μ1，σeq\o\al(2,1))(σ1＞0)和N(μ2，σeq\o\al(2,2))(σ2＞0)的密度函數(shù)圖象如圖所示，則有()．A．μ1＜μ2，σ1＜σ2B．μ1＜μ2，σ1＞σ2C．μ1＞μ2，σ1＜σ2D．μ1＞μ2，σ1＞σ2解析根據(jù)正態(tài)分布N(μ，σ2)函數(shù)的性質：正態(tài)分布曲線是一條關于直線x＝μ對稱，在x＝μ處取得最大值的連續(xù)鐘形曲線；σ越大，曲線的最高點越低且較平緩；反過來，σ越小，曲線的最高點越高且較陡峭，故選A.答案A考向二服從正態(tài)分布的概率計算【例2】?設X～N(1,22)，試求(1)P(－1<X≤3)；(2)P(3<X≤5)；(3)P(X≥5)．[審題視點]將所求概率轉化到(μ－σ，μ＋σ]．(μ－2σ，μ＋2σ]或[μ－3σ，μ＋3σ]上的概率，并利用正態(tài)密度曲線的對稱性求解．解∵X～N(1,22)，∴μ＝1，σ＝2.(1)P(－1<X≤3)＝P(1－2<X≤1＋2)＝P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826.(2)∵P(3<X≤5)＝P(－3<X≤－1)，∴P(3<X≤5)＝eq\f(1,2)[P(－3<X≤5)－P(－1<X≤3)]＝eq\f(1,2)[P(1－4<X≤1＋4)－P(1－2<X≤1＋2)]＝eq\f(1,2)[P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)－P(μ－σ<X≤μ＋σ)]＝eq\f(1,2)×(0.9544－0.6826)＝0.1359.(3)∵P(X≥5)＝P(X≤－3)，∴P(X≥5)＝eq\f(1,2)[1－P(－3<X≤5)]＝eq\f(1,2)[1－P(1－4<X≤1＋4)]＝eq\f(1,2)[1－P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)]＝eq\f(1,2)×(1－0.9544)＝0.0228.求服從正態(tài)分布的隨機變量在某個區(qū)間取值的概率，只需借助正態(tài)曲線的性質，把所求問題轉化為已知概率的三個區(qū)間上．【訓練2】隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(1，σ2)，已知P(ξ＜0)＝0.3，則P(ξ＜2)＝________.解析由題意可知，正態(tài)分布的圖象關于直線x＝1對稱，所以P(ξ＞2)＝P(ξ＜0)＝0.3，P(ξ＜2)＝1－0.3＝0.7.考向三正態(tài)分布的應用【例3】?2011年中國汽車銷售量達到1700萬輛，汽車耗油量對汽車的銷售有著非常重要的影響，各個汽車制造企業(yè)積極采用新技術降低耗油量，某汽車制造公司為調查某種型號的汽車的耗油情況，共抽查了1200名車主，據(jù)統(tǒng)計該種型號的汽車的平均耗油為百公里8.0升，并且汽車的耗油量ξ服從正態(tài)分布N(8，σ2)，已知耗油量ξ∈[7,9]的概率為0.7，那么耗油量大于9升的汽車大約有________輛．[審題視點]根據(jù)正態(tài)密度曲線的對稱性求解．解由題意可知ξ～N(8，σ2)，故正態(tài)分布曲線以μ＝8為對稱軸，又因為P(7≤ξ≤9)＝0.7，故P(7≤ξ≤9)＝2P(8≤ξ≤9)＝0.7，所以P(8≤ξ≤9)＝0.35，而P(ξ≥8)＝0.5，所以P(ξ＞9)＝0.15，故耗油量大于9升的汽車大約有1200×0.15＝180輛．服從正態(tài)分布的隨機變量在一個區(qū)間上的概率就是這個區(qū)間上，正態(tài)密度曲線和x軸之間的曲邊梯形的面積，根據(jù)正態(tài)密度曲線的對稱性，當P(ξ＞x1)＝P(ξ＜x2)時必然有eq\f(x1＋x2,2)＝μ，這是解決正態(tài)分布類試題的一個重要結論．【訓練3】工廠制造的某機械零件尺寸X服從正態(tài)分布Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,9)))，問在一次正常的試驗中，取1000個零件時，不屬于區(qū)間(3,5]這個尺寸范圍的零件大約有多少個？解∵X～Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,9)))，∴μ＝4，σ＝eq\f(1,3).∴不屬于區(qū)間(3,5]的概率為P(X≤3)＋P(X＞5)＝1－P(3＜X≤5)＝1－P(4－1＜X≤4＋1)＝1－P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝1－0.9974＝0.0026≈0.003，∴1000×0.003＝3(個)，即不屬于區(qū)間(3,5]這個尺寸范圍的零件大約有3個．閱卷報告19——正態(tài)分布中概率計算錯誤【問題診斷】正態(tài)分布是高中階段唯一連續(xù)型隨機變量的分布，這個考點雖然不是高考的重點，但在近幾年新課標高考中多次出現(xiàn)，其中數(shù)值計算是考查的一個熱點，考生往往不注意對這些數(shù)值的記憶而導致解題無從下手或計算錯誤．【防范措施】對正態(tài)分布N(μ，σ2)中兩個參數(shù)對應的數(shù)值及其意義應該理解透徹并記住，且注意第二個數(shù)值應該為σ2而不是σ，同時，記住正態(tài)密度曲線的六條性質．【示例】?已知某次數(shù)學考試的成績服從正態(tài)分布N(116，64)，則成績在140分以上的考生所占的百分比為()．A．0.3% B．0.23%C．1.5% D．0.15%錯因(1)不能正確得出該正態(tài)分布的兩個參數(shù)μ，σ導致計算無從下手．(2)對正態(tài)分布中隨機變量在三個區(qū)間內(nèi)取值的概率數(shù)值記憶不準，導致計算出錯．實錄同學甲A同學乙B同學丙C正解依題意，μ＝116，σ＝8，所以μ－3σ＝92，μ＋3σ＝140，而服從正態(tài)分布的隨機變量在(μ－3σ，μ＋3σ)內(nèi)取值的概率約為0.997，所以成績在區(qū)間(92,140)內(nèi)的考生所占百分比約為99.7%，從而成績在140分以上的考生所占的百分比為eq\f(1－99.7%,2)＝0.15%.故選D.答案D【試一試】在正態(tài)分布Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\