電磁場與電磁波課件：第一章矢量分析

2023/4/201

第一章矢量分析1.1矢量代數(shù)1.2三種正交坐標系1.3標量場的梯度1.4矢量場的通量與散度1.5矢量場的通量與旋度1.6無旋場與無散場1.7拉普拉斯運算與格林定理1.8亥姆霍茲定理2023/4/2021.1矢量代數(shù)一、矢量與矢量場1、標量：一個只用大小描述的物理量。矢量的幾何表示：一個矢量可用一條有方向的線段來表示

矢量的代數(shù)表示：矢量的大小或模：矢量的單位矢量：常矢量：大小和方向均不變的矢量。

注意：單位矢量不一定是常矢量。

2、矢量：一個既有大小又有方向特性的物理量，常用斜體加黑字母或帶箭頭的字母表示。

矢量的幾何表示2023/4/203矢量用坐標分量表示zxy2023/4/2043.矢量的代數(shù)運算（1）矢量的加減法四邊形法則三角形法則2023/4/205（3）矢量的標積（點積）定義：——矢量的標積符合交換律q矢量與的夾角（2）標量乘矢量2023/4/206（4）矢量的矢積（叉積）qsinABq矢量與的叉積用坐標分量表示為寫成行列式形式為不滿足交換律不滿足結(jié)合律2023/4/207若，則若，則（5）矢量的混合積2023/4/208證:2023/4/209證：2023/4/2010有：三重矢量積2023/4/2011Ex1:已知三個矢量求：（1）；（2）；（3）；

解

(1)（2）（3)-112023/4/2012Ex1:已知三個矢量；（5）；（6）求：（4）解

(4)（5）2023/4/2013

描繪物理狀態(tài)空間分布的標量函數(shù)和矢量函數(shù)，在時間一定的情況下，它們是唯一的，其大小或方向與所選擇的坐標系無關(guān)，即對于坐標系的變換，和的大小與方向保持不變。

在正交坐標系：直角坐標柱面坐標球面坐標1.2三種常用的正交曲線坐標系2023/4/20141、直角坐標系單位方向矢量：矢量函數(shù)：其位置矢量：空間任一點P（x0,y0,z0):坐標變量:變量取值范圍：微分元：2023/4/20152、圓柱坐標系單位方向矢量：矢量函數(shù)：其位置矢量：空間任一點P(r0,ψ0,z0)變量取值范圍微分元2023/4/2016柱面坐標與直角坐標的關(guān)系為如圖，三坐標面分別為圓柱面；半平面；平面．2023/4/20173、球面坐標系單位方向矢量：矢量函數(shù)：位置矢量：變量取值范圍:微分元：2023/4/2018如圖，三坐標面分別為圓錐面；球面；半平面．球面坐標與直角坐標的關(guān)系為2023/4/20194.坐標單位矢量之間的關(guān)系

直角坐標與圓柱坐標系圓柱坐標與球坐標系直角坐標與球坐標系ofxy單位圓

直角坐標系與柱坐標系之間坐標單位矢量的關(guān)系foqrz單位圓

柱坐標系與求坐標系之間坐標單位矢量的關(guān)系qq2023/4/20201.3標量場的梯度如果物理量是標量，稱該場為標量場。

例如：溫度場、電位場、高度場等。如果物理量是矢量，稱該場為矢量場。

例如：流速場、重力場、電場、磁場等。如果場與時間無關(guān)，稱為靜態(tài)場，反之為時變場。時變標量場和矢量場可分別表示為：

確定空間區(qū)域上的每一點都有確定物理量與之對應(yīng)，稱在該區(qū)域上定義了一個場。

場是物理量數(shù)值的無窮集合從數(shù)學(xué)上看，場是定義在空間區(qū)域上的函數(shù)：標量場和矢量場靜態(tài)標量場和矢量場可分別表示為：2023/4/2021標量場的等值面

等值面:標量場取得同一數(shù)值的點在空間形成的曲面。等值面方程：常數(shù)C取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；標量場的等值面充滿場所在的整個空間；標量場用等值面來描述標量場的等值面互不相交。（如果相交則交點處的函數(shù)值無法確定）

等值面的特點：意義:形象直觀地描述了物理量在空間的分布狀態(tài)。標量場的等值線(面)2023/4/2022方向?qū)?shù)的定義：標量場函數(shù)u的等值面在某一點M處沿某一方向l的變化率,稱為該標量場u

沿l方向的方向?qū)?shù)。2方向?qū)?shù)

對于一個標量場除了了解標量場u(x,y,z)的總體分布情況，還要討論其等值面隨空間的變化。例如，溫度場2023/4/2023例如，溫度場L1:(0-30)/100=-3/10C/mL2:(0-30)/200=-3/20C/mL3:(0-30)/800=-3/8C/m同一溫度場中，其等溫面沿不同方向的變化率不同。每米溫度的變化2023/4/2024一般情況下，標量場u在M0點沿著某方向l

的方向?qū)?shù)對于三元函數(shù)意義：方向?qū)?shù)表示標量場沿某方向的空間變化率。特點：方向?qū)?shù)既與點M0有關(guān)，也與方向有關(guān)。2023/4/20253.標量場的梯度（或）定義：標量場u在M0點處的梯度是一個矢量，記作gradu。

大?。涸擖c的最大方向?qū)?shù)，即沿過該點等值面的法線方向的方向?qū)?shù)。方向：過M0點等值面的法線方向。規(guī)定：沿等值面增加的方向為正法線。2023/4/2026標量場u沿l方向上的方向?qū)?shù)，就等于該標量場的梯度沿該方向的投影。4.梯度與方向?qū)?shù)的關(guān)系2023/4/20275.梯度的計算式：在直角坐標系中，由方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系可得標量場u沿三個方向?qū)?shù)為：xyz2023/4/2028梯度的表達式：圓柱坐標系

球坐標系直角坐標系

哈密頓算子：（矢量微分算子）2023/4/2029將（2，-1，1）代入解因為例求標量場在點處的梯度和沿矢量方向的方向?qū)?shù)。2023/4/2030l

的方向矢量方向?qū)?shù)2023/4/2031例2已知證明解：2023/4/20322023/4/20332023/4/20341.4矢量場的通量散度一、矢量線（力線）矢量場：設(shè)空間某一矢量函數(shù)，它的大小及方向隨空間位置變化，則稱該區(qū)域存在一矢量場A例如：速度場，電場，磁場

在河里水流的速度、大小、方向不一樣，為形象的描述矢量場，通常在矢量場中作一些曲線，使曲線上每一點的切線方向與相應(yīng)的場矢量方向一致。該點附近曲線的疏密和該點矢量的大小成正比，這樣的曲線族稱為矢量的場“力線”和“場線”。我們通過“力線”形象的描述和分析矢量場的分布和性質(zhì)。2023/4/2035矢量線的疏密表征矢量場的大??；矢量線上每點的切向代表該處矢量場的方向；ab二、矢量場的通量先介紹有向面元：

規(guī)定面元的正法線為：有向面積元：通量的定義：矢量場分布所在的區(qū)域中任一點P,在P附近取一面元，其正法線方向為。則矢量場穿過面元的通量為面積元矢量P2023/4/2036通過閉合面S的通量的物理意義：a)若，閉合面內(nèi)有產(chǎn)生矢量線的正源；b)若，閉合面內(nèi)有吸收矢量線的負源；c)若，閉合面內(nèi)無源。

矢量場的通量

若S為閉合曲面

矢量穿過有限大面積S

的通量為2023/4/2037

在場空間中任意點P處作一個閉合曲面，所圍的體積為，則定義場矢量在P點處的散度為：三、矢量場的散度1、散度的定義2、散度的物理意義1)矢量場的散度是一個標量；2）矢量場的散度是矢量場穿過包圍單位體積的閉合面的通量，又稱通量密度。通量：是一個積分量，范圍比較大，無法反映每一點的性質(zhì)。

散度：是一個微分值，比較小，能夠反映每一點的性質(zhì)。2023/4/20383、散度的計算1)在直角坐標系下：(無源）(正源)

負源)3)表征該點單位體積內(nèi)源的強度。

討論：在矢量場中，i）若，則該矢量場稱為有源場，為源密度；ii）若處處成立，則該矢量場稱為無源場。哈密頓算符2023/4/20392)在圓柱坐標系下：3)在球面坐標系下：2023/4/2040四、散度定理（矢量場的高斯定理）

該公式表明了區(qū)域V

中場

與邊界S上的場之間的關(guān)系。由散度的定義每一小體積有：該式只對微小體積成立。對于有限大體積V，分為許多小體積相加：2023/4/2041例已知電荷q所產(chǎn)生的電場強度為求其在任何一點M處的散度。解：可見，除點電荷q所在位置（r=0）外，電場強度的散度處處為零。2023/4/20421.5矢量場的環(huán)流旋度一、矢量的環(huán)流

環(huán)流的計算環(huán)流的定義：設(shè)有矢量場，沿場中任一閉合的有向路徑l的積分，叫作沿曲線l的環(huán)流。即：討論：1）線元矢量的定義；3）環(huán)流意義：若矢量場環(huán)流為零，矢量場無渦漩流動；反之，則矢量場存在渦漩運動。2)反映矢量場漩渦源分布情況。2023/4/2043例如：流速場2023/4/2044二、矢量的旋度1.環(huán)流面密度在場矢量空間中，圍繞空間某點P取一面元S，其邊界曲線為l，面元法線方向為，當面元面積無限縮小時，可定義在點P處的環(huán)量面密度P環(huán)流面密度的計算公式：其中為點P處的方向余弦該極限值為矢量場A在P點處沿

方向的環(huán)流密度。2023/4/20452.矢量場的旋度式中：表示面元單位法線方向；矢量A的旋度，記作：矢量場的旋度是一個矢量：大?。涵h(huán)流密度的最大值；方向：最大環(huán)流密度的方向。物理意義：旋渦源密度矢量。由旋度的定義可知，沿任一方向l的環(huán)流密度等于矢量場的旋度沿該方向的投影。（旋度在該方向的分量）2023/4/20463.旋度的物理意義4.旋度的計算1）矢量的旋度為矢量，是空間坐標的函數(shù)；2）矢量場在空間某點處的旋度表征矢量場在該點處的漩渦源密度。2023/4/2047例求矢量場在點處的旋度和沿矢徑方向l的環(huán)流密度。

解：M處的矢徑方向矢量場A在M處沿矢徑方向的環(huán)流密度2023/4/2048

斯托克斯定理是閉合曲線積分與曲面積分之間的一個變換關(guān)系式，也在電磁理論中有廣泛的應(yīng)用。曲面的剖分方向相反大小相等結(jié)果抵消

從旋度的定義出發(fā)，可以得到矢量場沿任意閉合曲線的環(huán)流等于矢量場的旋度在該閉合曲線所圍的曲面的通量，即三、斯托克斯定理2023/4/2049斯托克斯定理的證明

環(huán)流面密度＝旋度在法線方向的投影矢量閉合線積分＝旋度的面積分（通量）2023/4/2050四、矢量場旋度的重要性質(zhì)矢量場的旋度的散度恒為零標量場的梯度的旋度恒為零2023/4/2051梯度的旋度恒為零推論：如果一個矢量場F的旋度恒等于零，則該矢量場可由標量場的梯度來表示。2023/4/2052任意矢量旋度的散度恒為零推論：如果一個矢量場B的散度為零，則該矢量場可以表示為另一個矢量場的旋度。即：2023/4/20531.矢量場的源散度源：是標量，產(chǎn)生的矢量場在包圍源的封閉面上的通量等于（或正比于）該封閉面內(nèi)所包圍的源的總和，源在一給定點的（體）密度等于（或正比于）矢量場在該點的散度；

旋度源：是矢量，產(chǎn)生的矢量場具有渦旋性質(zhì)，穿過一曲面的旋度源等于（或正比于）沿此曲面邊界的閉合回路的環(huán)量，在給定點上，這種源的（面）密度等于（或正比于）矢量場在該點的旋度。1.6無旋場與無散場2023/4/20542.矢量場按源的分類（1）無旋場性質(zhì)：

，線積分與路徑無關(guān)，是保守場。僅有散度源而無旋度源的矢量場，無旋場可以用標量場的梯度表示為例如：靜電場2023/4/2055（2）無散場

僅有旋度源而無散度源的矢量場，即性質(zhì)：無散場可以表示為另一個矢量場的旋度例如，恒定磁場2023/4/2056（3）無旋、無散場（源在所討論的區(qū)域之外）（4）有散、有旋場這樣的場可分解為兩部分：無旋場部分和無散場部分無旋場部分無散場部分2023/4/20571.7拉普拉斯運算與格林定理

1.拉普拉斯運算

標量拉普拉斯運算概念：——拉普拉斯算符直角坐標系計算公式：圓柱坐標系球坐標系2023/4/2058

矢量拉普拉斯運算定義：即注意：對于非直角分量，直角坐標系中：如：2023/4/20592.格林定理

根據(jù)散度定理令設(shè)

及為任意兩個標量場，在區(qū)域V中具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)。則有由于2