北大5年數(shù)學自主招生試題

2008

1.求證：邊長為1的正五邊形對角線長為叵口

2

2.已知六邊形AC.BA.CB,中，AC,=AB],BC、=BA[,CAt=CB1,ZA+ZB+Z

C=NA]+NB]+NC]

求證：AABC的面積是六邊形AGMCA面積的一半.

3.已知q+&+%=K+b2+&，axa2+。2a3+。3al哂3+b2b3+b3bl，

min(q,q,43)<,求證：maxm[，。[,%)<max(Z?p/?2,/?3).

4.排球單循環(huán)賽南方球隊比北方球隊多9支，南方球隊總得分是北方球隊的9倍.

求證：冠軍是一支南方球隊（勝得1分，敗得0分）.

5.在O—xyz坐標系內xoy平面系內OWyW2—X2,繞y軸旋轉一周構成一個不透光立體，在點（1,0,1）設

置一光源，在xoy平面內有一以原點為圓心的圓C被光照到的長度為27，求曲線C上未被照到的長度.

2010

TT

1.(僅文科做)0<a<—,求證：sina<a<tana.(25分)

2

【解析】不妨設/(x)=x-sinx,則/(0)=0,且當0cx時，/'(元)=1一cosx>0.于是/(工)在0cxem上單調增.

/U)>/(0)=0.即有x>sinx.

同理可證g(x)=tanx-x>0.

g(0)=0,當0<x<2時，g'(x)=」--l>0?于是g(x)在0<x<巴上單調增.

2cos~x2

jr

???在0cx<耳上有g(x)>g(0)=0.即tanx>x.

注記：也可用三角函數(shù)線的方法求解.

2.AB為邊長為1的正五邊形邊上的點.證明：AB最長為避土L（25分）

2

【解析】以正五邊形一條邊上的中點為原點，此邊所在的直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標系.

⑴當A,B中有一點位于P點時，知另一點位于飛或者6時有最大值為|「周；當有一點位

于。點時，|4卻皿=|。尸卜忸聞;

⑵當均不在y軸上時，知4,8必在y軸的異側方可能取到最大值（否則取A點關于y軸的對稱點4,有

網）.

不妨設A位于線段。&上（由正五邊形的中心對稱性，知這樣的假設是合理的），則使|4同

最大的B點必位于線段P。上.

且當B從P向Q移動時，|A同先減小后增大，于是恒可皿=|AP|或|A0；

對于線段PQ上任意一點8,都有忸尺|河3山.于是卜用3=|/?2P|=艮。|

由⑴,⑵知M/max=區(qū)2尸卜不妨設為工?

下面研究正五邊形對角線的長.

如右圖.做/MG的角平分線/"交EG于

易知ZEFH=ZHFG=ZGF/=ZIGF=ZFGH=-.

5

于是四邊形〃G/尸為平行四邊形???.|”G|=1.

由角平分線定理知翳>去愣.解得.竽

3.48為y=l-f上在丁軸兩側的點，求過48的切線與x軸圍成面積的最小值.（25分）

【解析】不妨設過A點的切線交x軸于點C,過8點的切線交x軸于點。，直線4C與直線3。相交于點E.如圖.設

BQ,y),A*?,y2)>

2

且有y2=1-x2,y]=1->0>x2.

由于y'=-2x,

于是AC的方程為2X2X=2-y2-y；①

8。的方程為2再x=2-H—y.②

聯(lián)立AC,8。的方程，解得成/一內，1一修勺）.

2（々一』）

得玲。）;

對于①，令y=0,

得噓一

對于②，令y=0,

于是|以>|=匕2-%1+內~1+X：

2X22X}2X2

SAECO=；|CQ|(1—中2),不妨設/二〃〉0，-x2=Z?>0,則

S2ECD~—(---------1---------)(1+cib)——(2a+2bH-----1----卜a2b+cib~)

4ab4ab

=—(a+6)(2++—)2—?2\[ab.(2++—)(3)

4ab4ab

不妨設J^=s>0,貝lj有

c1/311、1/31111、

SAECD=8(S+25'+-)=-(5++

2s2J3,邪9s

9個

6個

8

I11J_[竺12④

216?金?(-.v)6-(-)9]16=8?(56=8七)29-73

2Jys33

又由當斗=a=—,x=一人=一走，5=無時，

2③，④處的等號均可取到.

83~33

\石

DA=-

in9

注記：不妨設g(s)=—(/+2s+-)事實上，其最小值也可用導函數(shù)的方法求解.

2s

由g'(s)=1(3$2+2-!)知當。<S?時g，(s)<0；當!<一時g，(s)>0.

2s33

則g(s)在(0,理)上單調減，在(W，+8)上單調增.于是當s=理時g(s)取得最小值.

4.向量。4與。8已知夾角，|。臼=1,|。8|=2,OP=(l-f)OA,OQ=tOB,OWfWl.|P0在％時取得最小值，問

當時，夾角的取值范圍.(25分)

05

【解析】不妨設。4,OB夾角為a,則10Pl=l-f,|OQ|=2f,令

g(/)二|PQ『=(1一/了+4產-2-(l-z)-2rcos?=(5+4cosa)/+(-2-4cosa),+1.

其對稱軸為r="2cosa,而/(x)=l±2在(二，+8)上單調增，故_iw上咨

5+4cosa5+4x45+4cosa3

*八-l+2cosa_1.l+2cosa.八1.初戶兀2兀

當0＜--------W一時tH，t=---------G(0,-),解得一＜a＜一?

5+4cosa3n5+4cosa523

當TW上空上里＜0時，g⑴在［0,1］上單調增，于是4=0.不合題意.

5+4cosa

于是夾角的范圍為止，空］.

23

5.(僅理科做)存不存在0＜x＜巴，使得sinx,cosx,tanx,cotx為等差數(shù)列.(25分)

2

【解析】不存在；否則有cosx-sinx=cotx-tanx=約七和冰呼口嗎)，

sinxcosx

貝Ijcosx-sinx=0或者1=8s'±sin'

sinxcosx

若cosx—sinx=0,有工=四.而此時正，交，1,1不成等差數(shù)列；

422

若1=.c°s'+sinA,有(sinxcosx))=l+2sinxcosx.解得有sinxcosx=1土近.

sinxcosx

而sinxcosx=^sin2xe(0,,矛盾！

22

2011年北大等十三校聯(lián)考(北約)自主招生數(shù)學試卷

L已知平行四邊形兩邊長分別是3和5,一條對角線是6求另一條對角線的長度.，

2.求過拋物線y=2x2-2x-l,y=-5x2+2x+3兩交點的直線方程.《

3.等差數(shù)列％色，…滿足牝=-13/=3這個數(shù)列的前n項和為S1V數(shù)列S?中哪

一項最??？并求出這個最小值."

4.在沖，如果a+力之久,證明NCW6(T。。

5.是否存在四個正實數(shù)，它們兩兩乘積分別是2,3,5,6,10,16.^

6.設C］和C?是平面上兩個不重合的固定圓周.設C是該平面上的一個動園，它與

g和弓均相切.間：C的圓心軌跡是何種曲線？證明你的結論.，

7.求k-l|+|2x-l|+..+|2011x-1的最小值一

第7題解答：由絕對值的幾何意義聯(lián)想到林瞧的最小值，如|x-a|+|x-幻的最小值應

該是在數(shù)軸上a為兩點之間取得，為|a-S|.所以將/(x)整理為，

|X7+|T|+|X-；|+|XT+|XT+|XT+

1----I+IX-----I+■