《數(shù)學(xué)史選講》完整版

高中數(shù)學(xué)校本教材《數(shù)學(xué)史選講》高中數(shù)學(xué)校本教材主講人：沈玉川目錄導(dǎo)言：為什么學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史第一講：數(shù)學(xué)的起源與早期發(fā)展；第二講：古代希臘數(shù)學(xué)；第三講：中國(guó)古代的數(shù)學(xué)；第四講：印度與阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)；第五講：文藝復(fù)興時(shí)期的數(shù)學(xué)；第六講：解析幾何與微積分的創(chuàng)立；第七講：18世紀(jì)的數(shù)學(xué)；第八講：19世紀(jì)的代數(shù)；第九講：19世紀(jì)的幾何；第十講：19世紀(jì)的中國(guó)數(shù)學(xué)；第十一講：20世紀(jì)數(shù)學(xué)概觀（一）；第十二講：20世紀(jì)數(shù)學(xué)概觀（二）；第十三講：20世紀(jì)數(shù)學(xué)概觀（三）；授課形式：講解與自學(xué)相結(jié)合。導(dǎo)言：為什么學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史1．為了更全面、更深刻地了解數(shù)學(xué)每一門(mén)學(xué)科都有它的歷史，文學(xué)有文學(xué)史，哲學(xué)有哲學(xué)史，天文學(xué)有天文學(xué)史等等。數(shù)學(xué)有它自己的發(fā)展過(guò)程，有它的歷史。它是活生生的、有血有肉的。無(wú)論是概念還是體系，無(wú)論是內(nèi)容還是方法，都只有在與其發(fā)展過(guò)程相聯(lián)系時(shí)，才容易被理解。數(shù)學(xué)史研究數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想的起源與發(fā)展，及其與社會(huì)、經(jīng)濟(jì)和一般文化的聯(lián)系。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史，對(duì)于深刻認(rèn)識(shí)作為科學(xué)的數(shù)學(xué)本身，及全面了解整個(gè)人類(lèi)文明的發(fā)展都具有重要的意義?？梢哉f(shuō)，不懂得數(shù)學(xué)史，就不能真心地理解數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)課本上的數(shù)學(xué)，經(jīng)過(guò)多次加工，已經(jīng)不是原來(lái)的面貌；刀斧的痕跡，清晰可見(jiàn)。數(shù)學(xué)教師要把課本上的內(nèi)容放到歷史的背景上考察，才能求得自己的理解；然后，才有可能幫助學(xué)生理解。2．為了總結(jié)經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，探索發(fā)展規(guī)律我國(guó)自古以來(lái)就非常重視歷史、“前事之不忘，后事之師”（《戰(zhàn)國(guó)策·趙策一》）早已成為人們的共識(shí)。英國(guó)哲學(xué)家培根（FrancisBacon，1561—1626）的名言“歷史使人明智”（Historiesmakemenwise）也是盡人皆知的成語(yǔ)。數(shù)學(xué)有悠久的歷史，它的成長(zhǎng)道路是相當(dāng)曲折的。有時(shí)興旺發(fā)達(dá)，有時(shí)衰敗凋殘。探索它的發(fā)展規(guī)律，可以指導(dǎo)當(dāng)前的工作，使我們少走或不走彎路，更好地做出正確的判斷，制定合理的政策。3．為了教育的目的（1）激發(fā)興趣，開(kāi)闊眼界，啟發(fā)思維，經(jīng)驗(yàn)證明，在數(shù)學(xué)課中加入數(shù)學(xué)史的講授會(huì)使學(xué)生興趣盎然。任何一個(gè)靜止的事物，如果和它的歷史聯(lián)系起來(lái)，就會(huì)對(duì)它有濃厚的興趣。教師講授一條定理，如果不僅僅給出推導(dǎo)和證明，還指出它的思考路線，以及學(xué)者研究和發(fā)現(xiàn)定理的經(jīng)過(guò)，課堂空氣會(huì)立刻活躍起來(lái)。教師也可以適當(dāng)介紹和本定理有關(guān)的典故和趣事。學(xué)生開(kāi)闊了眼界．知道一個(gè)定理的發(fā)現(xiàn)過(guò)程竟如此曲折，印象會(huì)非常深刻。講述定理的來(lái)龍去脈，可以開(kāi)拓學(xué)生的思維，使他們從多個(gè)方面去思考問(wèn)題。（如果不是專(zhuān)門(mén)的數(shù)學(xué)史課，史料的加入宜適而止，否則會(huì)喧賓奪主，沖淡了主題）（2）表彰前賢，鼓勵(lì)后進(jìn)。數(shù)學(xué)是人類(lèi)智慧的結(jié)晶，是全世界人民寶貴的精神財(cái)富。今天數(shù)學(xué)的繁榮昌盛，實(shí)得力于千百年來(lái)數(shù)學(xué)工作者的辛勤勞動(dòng)。飲水必須思源，數(shù)典不可忘祖，他們的豐功偉績(jī)，理應(yīng)載人史冊(cè)。數(shù)學(xué)史的主要內(nèi)容之一，就是記述他們的生平事跡和重要貢獻(xiàn)，以供后人參考借鑒。其目的在于總結(jié)先輩的經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，學(xué)習(xí)他們不畏艱苦的創(chuàng)業(yè)精神。表彰前賢，足以鼓勵(lì)后進(jìn)。4．文化的目的數(shù)學(xué)是文明的一個(gè)組成部分。數(shù)學(xué)不僅僅是形式化、演繹化的思維訓(xùn)練，也不僅僅是一門(mén)嚴(yán)肅的、抽象的學(xué)科，數(shù)學(xué)其實(shí)是豐富多彩的文化的產(chǎn)物，數(shù)學(xué)中的幾乎每一步進(jìn)展都反映了推進(jìn)者的個(gè)人背景、時(shí)間和地點(diǎn)的影響，也受到當(dāng)時(shí)流行的價(jià)值觀、社會(huì)思想和當(dāng)時(shí)所有的資源的影響。所以，數(shù)學(xué)不僅是一種單純的知識(shí)活動(dòng)，它也擁有豐富的歷史文化向度，人類(lèi)豐富多彩的文化為它染上了濃重眩目的文化色彩。幾乎任何一門(mén)數(shù)學(xué)分支的發(fā)展都反映了一定時(shí)代和地域所流行的價(jià)值觀和各種因素的影響，這些因素包括游戲娛樂(lè)、美學(xué)欣賞、宗教信仰、哲學(xué)思考和實(shí)用價(jià)值探索等，在數(shù)學(xué)中它們是如此緊密地交織在一起，只要拆散和剔除其中的任何一個(gè)方面都將給數(shù)學(xué)帶不可估量的損失。為了探索及揭露數(shù)學(xué)發(fā)展的規(guī)律，也為了敘述的方便，常常將整個(gè)發(fā)展史劃分為若干個(gè)階段，這就是數(shù)學(xué)史的分期。分期的標(biāo)準(zhǔn)主要有兩種，一種是根據(jù)數(shù)學(xué)本身的特點(diǎn)（通常叫做“內(nèi)史”，另一種是根據(jù)社會(huì)的歷史背景（“外史”），三是根據(jù)所接受的對(duì)象。本課程綜合上述看法，采取下面的分期。1．早期文明中的數(shù)學(xué)，2．初等數(shù)學(xué)的發(fā)展，4．近代數(shù)學(xué)的興起，5．近現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展，6．現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展概述。思考題1、舉例說(shuō)明數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生與發(fā)展首先起源于人類(lèi)生活的需要。2、舉例：數(shù)學(xué)家的嚴(yán)謹(jǐn)態(tài)度和獻(xiàn)身精神?第一講數(shù)學(xué)的起源與早期發(fā)展主要內(nèi)容：數(shù)與形概念的產(chǎn)生、河谷文明與早期數(shù)學(xué)、西漢以前的中國(guó)數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)最早起源于適合人類(lèi)生存的大河流域，例如尼羅河流域的埃及、兩河流域的巴比倫、黃河長(zhǎng)江流域的中國(guó)等。伴隨著這些早期文明的發(fā)展，數(shù)學(xué)也開(kāi)始了它的萌芽和進(jìn)程。1、數(shù)與形概念的產(chǎn)生從原始的“數(shù)”到抽象的“數(shù)”概念的形成，是一個(gè)緩慢、漸進(jìn)的過(guò)程。人從生產(chǎn)活動(dòng)中認(rèn)識(shí)到了具體的數(shù)，導(dǎo)致了記數(shù)法?！扒缚蓴?shù)”表明人類(lèi)記數(shù)最原始、最方便的工具是手指。（1）最早可能是手算，即用手指計(jì)數(shù)。一只手上的5個(gè)指頭可以被現(xiàn)成的用來(lái)表示5個(gè)以?xún)?nèi)事物的集合。兩只手上的指頭合在一起，可以數(shù)到10，再和腳趾聯(lián)合在一起，可以數(shù)到20。有人認(rèn)為，現(xiàn)在的羅馬數(shù)字Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ就分別是1——4個(gè)手指的形象，Ⅴ是四指并攏拇指張開(kāi)形象，10則畫(huà)成ⅤⅤ，表示雙手，后來(lái)又畫(huà)成X，是ⅤⅤ的對(duì)頂形式。古代俄國(guó)把1叫做“手指頭”，10則稱(chēng)為“全部”。這些都是古代手指計(jì)數(shù)的痕跡。亞里士多德曾經(jīng)指出，今天10進(jìn)制的廣泛采用，只不過(guò)是人類(lèi)絕大多數(shù)人生來(lái)就具有10個(gè)手指這樣一個(gè)解剖學(xué)事實(shí)的結(jié)果。（2）結(jié)繩記數(shù)．手算能表示出的數(shù)目畢竟有限，即使再借助于腳趾，也不過(guò)數(shù)到20。當(dāng)指頭不敷用時(shí)，數(shù)到10時(shí)，擺一塊小石頭，雙手就解放了，還可以繼續(xù)數(shù)更大的數(shù)目。自然地人們會(huì)想到，可以不用手，直接用石頭記數(shù)。但記數(shù)的石子堆很難長(zhǎng)久保存信息，于是又有結(jié)繩記數(shù)。我國(guó)有“上古結(jié)繩而治，后世圣人，易之以書(shū)契”的說(shuō)法?！敖Y(jié)繩而治”一般解釋為“結(jié)繩記事”或“結(jié)繩記數(shù)”?！皶?shū)契”就是在物體上刻痕，以后逐漸發(fā)展成為文字。結(jié)繩記事、記數(shù)，并不限于中國(guó)，世界各地都有，有些地方甚至到19世紀(jì)還保留這種方法，有些結(jié)繩事物甚至保存下來(lái)。例如，美國(guó)自然史博物館就藏有古代南美印加部落用來(lái)記事的繩結(jié)，當(dāng)時(shí)人們稱(chēng)之為基普：在一根較粗的繩子上拴系涂有顏色的細(xì)繩，再在細(xì)繩上打各種各樣的結(jié)，不同的顏色和結(jié)的位置、形狀表示不同的事物和數(shù)目。結(jié)繩畢竟不甚方便，以后在實(shí)物（石、木、骨等）上刻痕以代替結(jié)繩。從現(xiàn)在的考古資料看，幾乎所有的文明古國(guó)都經(jīng)歷過(guò)一個(gè)刻痕記數(shù)的階段，只是各自的形式不同而已。如，手指計(jì)數(shù)（伊朗，1966），結(jié)繩計(jì)數(shù)（秘魯，1972）（美國(guó)自然史博物館藏有古代南美印加部落用來(lái)記事的繩結(jié)，當(dāng)時(shí)人稱(chēng)之為基普），文字5000年（伊拉克，2001）（楔形數(shù)字），西安半坡遺址出土的陶器殘片。早期幾種記數(shù)系統(tǒng)，如古埃及、古巴比倫、中國(guó)甲骨文、古希臘、古印度、瑪雅（瑪雅文明誕生于熱帶叢林之中，瑪雅是一個(gè)地區(qū)、一支民族和一種文明，分布在今墨西哥的尤卡坦半島、危地馬拉、伯利茲、洪都拉斯和薩爾瓦多西部）等。世界上不同年代出現(xiàn)了五花八門(mén)的進(jìn)位制和眼花繚亂的記數(shù)符號(hào)體系，足以證明數(shù)學(xué)起源的多元性和數(shù)學(xué)符號(hào)的多樣性。2、河谷文明與早期數(shù)學(xué)2.1古代埃及的數(shù)學(xué)背景：古代埃及簡(jiǎn)況埃及文明上溯到距今6000年左右，從公元前3500年左右開(kāi)始出現(xiàn)一些小國(guó)家，公元前3000年左右開(kāi)始出現(xiàn)初步統(tǒng)一的國(guó)家。埃及人創(chuàng)造了連續(xù)3000多年的輝煌歷史，建立了國(guó)家，有了相當(dāng)發(fā)達(dá)的農(nóng)業(yè)和手工業(yè)，發(fā)明了銅器、創(chuàng)造了文字、掌握了較高的天文學(xué)和幾何學(xué)知識(shí)，建造了巍峨宏偉的神廟和金字塔。吉薩金字塔（公元前2600年）（剛果，1978），它顯示了埃及人極其精確的測(cè)量能力，其中它的邊長(zhǎng)和高度的比例約為圓周率的一半。古埃及最重要的傳世數(shù)學(xué)文獻(xiàn)：紙草書(shū)，來(lái)自現(xiàn)實(shí)生活的數(shù)學(xué)問(wèn)題集。萊茵德紙草書(shū)（1858年為蘇格蘭收藏家萊茵德購(gòu)得，現(xiàn)藏倫敦大英博物館，主體部分由84個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題組成，其中還有歷史上第一個(gè)嘗試“化圓為方”的公式）。莫斯科紙草書(shū)（1893年由俄國(guó)貴族戈列尼雪夫購(gòu)得，現(xiàn)藏莫斯科普希金精細(xì)藝術(shù)博物館，包含了25個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題）。埃及紙草書(shū)（民主德國(guó)，1981）。數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)：記數(shù)制，基本的算術(shù)運(yùn)算，分?jǐn)?shù)運(yùn)算，一次方程，正方形、矩形、等腰梯形等圖形的面積公式，近似的圓面積，錐體體積等。公元前4世紀(jì)希臘人征服埃及以后，這一古老的數(shù)學(xué)完全被蒸蒸日上的希臘數(shù)學(xué)所取代。2.2古代巴比倫的數(shù)學(xué)背景：古代巴比倫簡(jiǎn)況兩河流域（美索不達(dá)米亞）文明上溯到距今6000年之前，幾乎和埃及人同時(shí)發(fā)明了文字“楔形文字”。了解古代美索不達(dá)米亞文明的主要文獻(xiàn)是泥版，迄今已有約50萬(wàn)塊泥版出土。蘇美爾計(jì)數(shù)泥版（文達(dá)，1982）?，F(xiàn)在泥版文書(shū)中大約有300多塊是數(shù)學(xué)文獻(xiàn)：以60進(jìn)制為主的楔形文記數(shù)系統(tǒng)，長(zhǎng)于計(jì)算，發(fā)展程序化算法的熟練技巧（開(kāi)方根），能處理三項(xiàng)二次方程，有三次方程的例子，三角形、梯形的面積公式，棱柱、方錐的體積公式。泥版楔形文，普林頓322（現(xiàn)在美國(guó)哥倫比亞大學(xué)圖書(shū)館，年代在公元前1600年以前，數(shù)論意義：整勾股數(shù)）。巴比倫泥板和彗星（不丹，1986）。思考題1、您對(duì)《數(shù)學(xué)史》課程的期望。2、談?wù)勀睦斫猓簲?shù)學(xué)是什么?3、數(shù)學(xué)崇拜與數(shù)學(xué)忌諱。4、從數(shù)學(xué)的起源簡(jiǎn)述人類(lèi)活動(dòng)對(duì)文化發(fā)展的貢獻(xiàn)。5、數(shù)的概念的發(fā)展給我們的啟示。6、探討古代埃及和古代巴比倫的數(shù)學(xué)知識(shí)在現(xiàn)實(shí)生活中的意義。第二講古代希臘數(shù)學(xué)主要內(nèi)容：論證數(shù)學(xué)的發(fā)端，亞歷山大學(xué)派，古希臘數(shù)學(xué)的衰落家，簡(jiǎn)述11位哲學(xué)家或科學(xué)家的數(shù)學(xué)工作。1、古典時(shí)期的希臘數(shù)學(xué)公元前600－前300年。1.1愛(ài)奧尼亞學(xué)派（米利都學(xué)派）：泰勒斯（公元前625－前547年），出生于愛(ài)奧尼亞的米利都城，早年經(jīng)商，被稱(chēng)為“希臘哲學(xué)、科學(xué)之父”。哲學(xué)：萬(wàn)物源于水，即“水生萬(wàn)物，萬(wàn)物復(fù)歸于水”。其思想的影響是巨大的，在他的帶動(dòng)下，人們開(kāi)始擺脫神的束縛，去探索宇宙的奧秘，經(jīng)過(guò)數(shù)百年的努力，出現(xiàn)了希臘科學(xué)的繁榮。泰勒斯首創(chuàng)之功，不可磨滅。數(shù)學(xué)：創(chuàng)數(shù)學(xué)命題邏輯證明之先河，希臘幾何學(xué)的鼻祖，最早留名于世的數(shù)學(xué)家，證明了一些幾何命題，如“圓的直徑將圓分為兩個(gè)相等的部分”，“等腰三角形兩底角相等”，“兩相交直線形成的對(duì)頂角相等”，“如果一個(gè)三角形有兩角、一邊分別與另一個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)角、邊相等，那么這兩個(gè)三角形全等”，“半圓上的圓周角是直角”（泰勒斯定理），測(cè)量過(guò)金字塔的高度。預(yù)報(bào)了公元前585年的一次日食。1.2畢達(dá)哥拉斯學(xué)派：畢達(dá)哥拉斯（約公元前560－前480年），出生于小亞細(xì)亞的薩摩斯島，與中國(guó)的孔子（公元前551－前479年）同時(shí)，曾師從愛(ài)奧尼亞學(xué)派，年青時(shí)曾游歷埃及和巴比倫，在薩摩斯島建立了具有宗教、哲學(xué)、科學(xué)性質(zhì)的學(xué)派，致力于哲學(xué)和數(shù)學(xué)的研究，繁榮興旺達(dá)一個(gè)世紀(jì)以上。哲學(xué)（，智力愛(ài)好）：萬(wàn)物皆為數(shù)。沒(méi)有數(shù)就既不可能表達(dá)、也不可能理解任何事物，宣稱(chēng)宇宙萬(wàn)物的主宰者用數(shù)來(lái)統(tǒng)御宇宙，試圖通過(guò)揭示數(shù)的奧秘來(lái)探索宇宙永恒的真理。數(shù)學(xué)：數(shù)學(xué)研究抽象概念的認(rèn)識(shí)歸功于畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，“μαθηματιχα”（可學(xué)到的知識(shí)），“畢達(dá)哥拉斯定理”（希臘，1955），完全數(shù)（等于除它本身以外的全部因子之和，如6，28，496，…）、親和數(shù)（一對(duì)數(shù)，其中每一個(gè)數(shù)除它本身以外的所有因子之和是另一個(gè)數(shù)，如220，284），正五角星作圖與“黃金分割”（正五角星是該學(xué)派的標(biāo)志，正五角星相鄰兩個(gè)頂點(diǎn)的距離與其邊長(zhǎng)之比，或簡(jiǎn)單說(shuō)正五邊形邊長(zhǎng)與其對(duì)角線之比，正好是黃金比），發(fā)現(xiàn)了“不可公度量”，困惑古希臘的數(shù)學(xué)家，出現(xiàn)的邏輯困難史稱(chēng)“第一次數(shù)學(xué)危機(jī)”。畢氏學(xué)派將抽象的數(shù)作為萬(wàn)物的本源，“萬(wàn)物皆數(shù)”是他們的信條之一。但是，研究數(shù)的目的不是為了實(shí)際應(yīng)用，而是通過(guò)揭露數(shù)的奧秘來(lái)探索宇宙的永恒真理。他們將學(xué)問(wèn)分為四類(lèi)，即算術(shù)、音樂(lè)﹝數(shù)的應(yīng)用﹞、幾何﹝靜止的量﹞、天文﹝運(yùn)動(dòng)的量﹞；根據(jù)“簡(jiǎn)單整數(shù)比”原理創(chuàng)造一套音樂(lè)理論；對(duì)數(shù)作過(guò)深入研究，并得到很多結(jié)果，將自然數(shù)進(jìn)行分類(lèi)，如奇數(shù)、偶數(shù)、完全數(shù)、親合數(shù)、三角數(shù)、平方數(shù)、五角數(shù)、六角數(shù)等等；發(fā)理勾股定理﹝西方稱(chēng)為畢達(dá)哥拉斯定理﹞和勾股數(shù)﹝西方稱(chēng)為畢達(dá)哥拉斯數(shù)﹞；發(fā)現(xiàn)五種正多面體；發(fā)現(xiàn)不可通約量,甚至于音樂(lè)上也可目睹到他所遺留的許多事跡。雅典時(shí)期：開(kāi)創(chuàng)演繹數(shù)學(xué)。1.3伊利亞學(xué)派：芝諾（約公元前490－前430年），出生于意大利南部半島的伊利亞城邦，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派成員的學(xué)生。芝諾悖論：兩分法，運(yùn)動(dòng)不存在。再就是：位移事物在達(dá)到目的地之前必須先抵達(dá)一半處，即不可能在有限的時(shí)間內(nèi)通過(guò)無(wú)限多個(gè)點(diǎn)，所以，如果它起動(dòng)了，它永遠(yuǎn)到不了終點(diǎn)，或者，它根本起動(dòng)不了。阿基里斯（荷馬史詩(shī)《依里亞特》中的希臘名將，善跑）、飛矢不動(dòng)。芝諾的功績(jī)?cè)谟诎褎?dòng)和靜的關(guān)系、無(wú)限和有限的關(guān)系、連續(xù)和離散的關(guān)系以非數(shù)學(xué)的形態(tài)提出，并進(jìn)行了辯證的考察。1.4詭辯學(xué)派（智人學(xué)派）：活躍于公元前5世紀(jì)下半葉的雅典城，代表人物均以雄辯著稱(chēng)，詭辯的希臘原詞含智慧之意，故亦稱(chēng)智人學(xué)派。古典幾何三大作圖問(wèn)題：三等分任意角、化圓為方、倍立方。安蒂豐（約公元前480－前411年），有關(guān)他的生平至今沒(méi)有確切的定論，只知他在雅典從事學(xué)術(shù)活動(dòng)，是智人學(xué)派的代表人物，在數(shù)學(xué)方面的突出成就是用“窮竭法”討論化圓為方問(wèn)題。他從一個(gè)圓內(nèi)接正方形出發(fā)，將邊數(shù)逐步加倍到正八邊形、正十六邊形、…、持續(xù)重復(fù)這一過(guò)程，隨著圓面積的逐漸窮竭，將得到一個(gè)邊長(zhǎng)極微小的圓內(nèi)接正多邊形。安蒂豐認(rèn)為這個(gè)內(nèi)接正多邊形將與圓重合，既然通常能夠作出一個(gè)等于任何已知多邊形的正方形，那么就能作出等于一個(gè)圓的正方形。這種推理當(dāng)然沒(méi)有真正解決化圓為方問(wèn)題，但安蒂豐卻因此成為古希臘“窮竭法”的始祖。希臘人對(duì)三大作圖問(wèn)題的所有解答都無(wú)法嚴(yán)格遵守尺規(guī)作圖的限制。1855年，法國(guó)科學(xué)院拒絕再審查化圓為方問(wèn)題的解。直到19世紀(jì)，數(shù)學(xué)家們才利用現(xiàn)代數(shù)學(xué)知識(shí)弄清了這三大問(wèn)題實(shí)際上是不可解的。如1882年林德曼（德，1852－1939年）證明了數(shù)的超越性，從而確立了尺規(guī)化圓為方的不可能性。1.5柏拉圖學(xué)派：柏拉圖（約公元前427－前347年），出生于雅典的顯貴世家，曾師從畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，哲學(xué)家蘇格拉底（公元前469－前399年）的學(xué)生。作為一名哲學(xué)家，柏拉圖對(duì)于歐洲的哲學(xué)乃至整個(gè)文化的發(fā)展，有著深遠(yuǎn)的影響，特別是他的認(rèn)識(shí)論、數(shù)學(xué)哲學(xué)和數(shù)學(xué)教育思想，后人將分析法和歸謬法歸的使用歸功于柏拉圖，在古代希臘社會(huì)條件下，對(duì)于科學(xué)的形成和數(shù)學(xué)的發(fā)展，起了不可磨滅的推進(jìn)作用。代表作《理想國(guó)》。從柏拉圖的著作中，可以看到數(shù)學(xué)哲學(xué)領(lǐng)域的最初的探究。柏拉圖的數(shù)學(xué)哲學(xué)思想是同他的認(rèn)識(shí)論，特別是理念論分不開(kāi)的。他認(rèn)為數(shù)學(xué)所研究的應(yīng)是可知的理念世界中的永恒不變的關(guān)系，而不是可感的物質(zhì)世界中的變動(dòng)無(wú)常的關(guān)系。因此，數(shù)學(xué)的研究對(duì)象應(yīng)是抽象的數(shù)和理想的圖形。他在《理想國(guó)》中說(shuō)：“我所說(shuō)的意思是算術(shù)有很偉大和很高尚的作用，它迫使靈魂就抽象的數(shù)進(jìn)行推理，而反對(duì)在論證中引入可見(jiàn)的和可捉摸的對(duì)象?！彼诹硪惶幷劦綆缀螘r(shí)說(shuō)：“你豈不知道，他們雖然利用各種可見(jiàn)的圖形，并借此進(jìn)行推理，但是他們實(shí)際思考的并不是這些圖形，而是類(lèi)似于這些圖形的理想形象?！麄兞η罂吹降氖悄切┲挥杏眯撵`之日才能看到的實(shí)在。”柏拉圖說(shuō)：“上帝按幾何原理行事”，“不懂幾何者免進(jìn)”，認(rèn)為打開(kāi)宇宙之謎的鑰匙是數(shù)與幾何圖形，發(fā)展了用演繹邏輯方法系統(tǒng)整理零散數(shù)學(xué)知識(shí)的思想。柏拉圖不是數(shù)學(xué)家，卻贏得了“數(shù)學(xué)家的締造者”的美稱(chēng)，公元前387年以萬(wàn)貫家財(cái)在雅典創(chuàng)辦學(xué)院，講授哲學(xué)與數(shù)學(xué)，直到529年?yáng)|羅馬君王查士丁尼下令關(guān)閉所有的希臘學(xué)校才告終止。意大利文藝復(fù)興三杰之一拉斐爾?桑蒂（1483－1520年）的壁畫(huà)：雅典學(xué)院（創(chuàng)作于1509－1510年）。古希臘最著名的哲學(xué)家、科學(xué)家：亞里士多德（公元前384－前322年）（烏拉圭，1996），柏拉圖的學(xué)生。1.6亞里士多德學(xué)派（呂園學(xué)派）：出生于馬其頓的斯塔吉拉鎮(zhèn)，公元前335年建立了自己的學(xué)派，講學(xué)于雅典的呂園，又稱(chēng)“呂園學(xué)派”，相傳亞里士多德還做過(guò)亞歷山大大帝的老師。“吾愛(ài)吾師，吾尤愛(ài)真理”。集古希臘哲學(xué)之大成，把古希臘哲學(xué)推向最高峰，將前人使用的數(shù)學(xué)推理規(guī)律規(guī)范化和系統(tǒng)化，創(chuàng)立了獨(dú)立的邏輯學(xué)，堪稱(chēng)“邏輯學(xué)之父”，“矛盾律”、“排中律”成為數(shù)學(xué)中間接證明的核心，努力把形式邏輯的方法運(yùn)用于數(shù)學(xué)的推理上，為歐幾里得演繹幾何體系的形成奠定了方法論的基礎(chǔ)，被后人奉為演繹推理的圣經(jīng)。1207年亞里士多德的著作全部被譯成拉丁文。13世紀(jì)由托馬斯·阿奎那（意，1225－1274年）建立了經(jīng)院哲學(xué)，對(duì)亞里士多德哲學(xué)稍加篡改用來(lái)適應(yīng)基督教教義，試圖從哲學(xué)上以理性的名義來(lái)論證上帝的存在。2、亞歷山大學(xué)派時(shí)期公元前300－前30年，進(jìn)入了亞歷山大時(shí)期：希臘數(shù)學(xué)黃金時(shí)代，先后出現(xiàn)了歐幾里得、阿基米德和阿波羅尼奧斯三大數(shù)學(xué)家，他們的成就標(biāo)志了古典希臘數(shù)學(xué)的巔峰。2.1歐幾里得（公元前325－前265年）早年學(xué)習(xí)于雅典，公元前300年應(yīng)托勒密一世之請(qǐng)來(lái)到亞歷山大，成為亞歷山大學(xué)派的奠基人。用邏輯方法把幾何知識(shí)建成一座巍峨的大廈，他的公理化思想和方法歷盡滄桑而流傳千古，成為后人難以跨躍的高峰?！皫缀螣o(wú)王者之道”，后推廣為：“求知無(wú)坦途”?！对尽罚é拨应夕搔枝纽应粒庵福簩W(xué)科中具有廣泛應(yīng)用的最重要的定理）。13卷：第一卷：直邊形，全等、平行公理、畢達(dá)哥拉斯定理（世界最早、完整、嚴(yán)格的證明）、初等作圖法等；第二卷：幾何方法解代數(shù)問(wèn)題，求面積、體積等；第三、四卷：圓、弦、切線、圓的內(nèi)接、外切；第五、六卷：比例論與相似形；第七、八、九、十卷：數(shù)論；第十一、十二、十三卷：立體幾何，包括窮竭法，是微積分思想的來(lái)源。采用了亞里士多德對(duì)公理、公設(shè)的區(qū)分，由5條公理，5條公設(shè)，119條定義和465條命題組成，構(gòu)成了歷史上第一個(gè)數(shù)學(xué)公理體系。5條公理：（1）等于同量的量彼此相等；（2）等量加等量，和相等；（3）等量減等量，差相等；（4）彼此重合的圖形是全等的；（5）整體大于部分。5條公設(shè)：（1）假定從任意一點(diǎn)到任意一點(diǎn)可作一直線；（2）一條有限直線可不斷延長(zhǎng)；（3）以任意中心和直徑可以畫(huà)圓；（4）凡直角都彼此相等；（5）若一直線落在兩直線上所構(gòu)成的同旁?xún)?nèi)角和小于兩直角，那么把兩直線無(wú)限延長(zhǎng)，它們都在同旁?xún)?nèi)角和小于兩直角的一側(cè)相交?！对尽肥菙?shù)學(xué)史上第一座理論豐碑，確立了數(shù)學(xué)的演繹范式，正如英國(guó)著名哲學(xué)與數(shù)學(xué)家羅素（1872－1970年）說(shuō)過(guò)：“歐幾里得的《原本》毫無(wú)疑義是古往今來(lái)最偉大的著作之一，是希臘理智最完美的紀(jì)念碑之一”。它也成為科學(xué)史上流傳最廣的著作之一，僅從1482年第一個(gè)拉丁文印刷本在威尼斯問(wèn)世以來(lái)，已出了各種文字的版本1000多個(gè)。存在缺陷，定義借助直觀，公理系統(tǒng)不完備。2.2數(shù)學(xué)之神：阿基米德（公元前287－前212年）與牛頓（英，1642－1727年）、高斯（德，1777－1855年）并列有史以來(lái)最偉大的三大數(shù)學(xué)家之一，出生于西西里島的敘拉古，曾在亞歷山大城師從歐幾里得的門(mén)生。“給我一個(gè)支點(diǎn)，我就可以移動(dòng)地球”。最為杰出的數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)是，在《圓的度量》中，發(fā)展了200年前安蒂豐的窮竭法，用于計(jì)算周長(zhǎng)、面積或體積，通過(guò)計(jì)算圓內(nèi)接和外切正96邊形的周長(zhǎng)，求得圓周率介于3?10/71和3?1/7之間（約為3.14），這是數(shù)學(xué)史上第一次給出科學(xué)求圓周率的方法，把希臘幾何學(xué)幾乎提高到西方17世紀(jì)后才得以超越的高峰。阿基米德螺線，一位應(yīng)用數(shù)學(xué)家，阿基米德之死（在保衛(wèi)敘拉古的戰(zhàn)斗中被羅馬士兵所殺）。墓碑上是阿基米德最引以為豪的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的象征圖形：球及其外切圓柱。2.3阿波羅尼奧斯（約公元前262－前190年），出生于小亞細(xì)亞的珀?duì)柤?，年青時(shí)曾在亞歷山大城跟隨歐幾里得的門(mén)生學(xué)習(xí)，貢獻(xiàn)涉及幾何學(xué)和天文學(xué)，最重要的數(shù)學(xué)成就是在前人工作的基礎(chǔ)上創(chuàng)立了相當(dāng)完美的圓錐曲線論，以歐幾里得嚴(yán)謹(jǐn)風(fēng)格寫(xiě)成的傳世之作《圓錐曲線》，是希臘演繹幾何的最高成就，用純幾何的手段達(dá)到了今日解析幾何的一些主要結(jié)論，確實(shí)令人驚嘆，對(duì)圓錐曲線研究所達(dá)到的高度，直到17世紀(jì)笛卡兒、帕斯卡出場(chǎng)之前，始終無(wú)人能夠超越?！秷A錐曲線》全書(shū)共8卷，含487個(gè)命題?？巳R因（美，1908－1992年）：它是這樣一座巍然屹立的豐碑，以致后代學(xué)者至少?gòu)膸缀紊蠋缀醪荒茉賹?duì)這個(gè)問(wèn)題有新的發(fā)言權(quán)。這確實(shí)可以看成是古希臘幾何的登峰造極之作。貝爾納（英，1901－1971年）：他的工作如此的完備，所以幾乎二千年后，開(kāi)普勒和牛頓可以原封不動(dòng)地搬用，來(lái)推導(dǎo)行星軌道的性質(zhì)。3、希臘數(shù)學(xué)的衰落由于希臘文化的慣性影響以及羅馬統(tǒng)治者對(duì)自由研究的寬松態(tài)度，在相當(dāng)長(zhǎng)一段時(shí)間內(nèi)亞歷山大城仍然維持學(xué)術(shù)中心的地位，產(chǎn)生了一批杰出的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)著作。從公元前30年－公元600年常稱(chēng)為希臘數(shù)學(xué)的“亞歷山大后期”。3.1托勒密（埃及，90－165年），在亞歷山大城工作，最重要的著作是《天文學(xué)大成》（《至大論》）13卷第一、二卷：地心體系的基本輪廓；第三卷：太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)；第四卷：月亮運(yùn)動(dòng)；第五卷：計(jì)算月地距離和日地距離；第六卷：日食和月食的計(jì)算；第七、八卷：恒星和歲差現(xiàn)象；第九－十三卷：分別討論五大行星的運(yùn)動(dòng)，本輪和均輪的組合在這里得到運(yùn)用。提出地心說(shuō)而成為整個(gè)中世紀(jì)西方天文學(xué)的經(jīng)典?！洞蟪伞分锌偨Y(jié)了在他之前的古代三角學(xué)知識(shí)，其中最有意義的貢獻(xiàn)是包含有一張正弦三角函數(shù)表，這是歷史上第一個(gè)有明確的構(gòu)造原理并流傳于世的系統(tǒng)的三角函數(shù)表。三角學(xué)的貢獻(xiàn)是亞歷山大后期幾何學(xué)最富創(chuàng)造性的成就。3.2丟番圖（公元200－284年）《算術(shù)》亞歷山大后期希臘數(shù)學(xué)的一個(gè)重要特征是突破了前期以幾何學(xué)為中心的傳統(tǒng)，使算術(shù)和代數(shù)成為獨(dú)立的學(xué)科。希臘算術(shù)與代數(shù)成就的最高標(biāo)志是丟番圖的《算術(shù)》，這是一部具有東方色彩、對(duì)古典希臘幾何傳統(tǒng)最離經(jīng)叛道的算術(shù)與代數(shù)著作，其中最有名的一個(gè)不定方程：將一個(gè)已知的平方數(shù)分為兩個(gè)平方數(shù)。17世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬在閱讀《算術(shù)》時(shí)對(duì)該問(wèn)題給出一個(gè)邊注，引出了后來(lái)舉世矚目的“費(fèi)馬大定理”。另一重要貢獻(xiàn)是創(chuàng)用了一套縮寫(xiě)符號(hào)，一種“簡(jiǎn)寫(xiě)代數(shù)”，是真正的符號(hào)代數(shù)出現(xiàn)之前的一個(gè)重要階段。古希臘數(shù)學(xué)的落幕。基督教在羅馬被奉為國(guó)教后，將希臘學(xué)術(shù)視為異端邪說(shuō)，對(duì)異教學(xué)者橫加迫害。公元415年，亞歷山大女?dāng)?shù)學(xué)家希帕蒂婭（公元370－415年）被一群聽(tīng)命于主教的基督暴徒殘酷殺害。希帕蒂婭曾注釋過(guò)阿基米德、阿波羅尼奧斯和丟番圖的著作，是歷史上第一位杰出的女?dāng)?shù)學(xué)家。希帕蒂婭的被害預(yù)示了在基督教的陰影籠罩下整個(gè)中世紀(jì)歐洲數(shù)學(xué)的厄運(yùn)。柏拉圖學(xué)園被封閉。公元529年?yáng)|羅馬皇帝查士丁尼（527－565年）下令封閉了雅典的所有學(xué)校，包括柏拉圖公元前387年創(chuàng)立的雅典學(xué)院。亞歷山大圖書(shū)館（當(dāng)時(shí)世界上藏書(shū)最多的圖書(shū)館）三劫，希臘古代數(shù)學(xué)至此落下帷幕。第1次劫難：前47年，羅馬凱撒燒毀了亞歷山大港的艦隊(duì)，大火殃及亞歷山大圖書(shū)館，70萬(wàn)卷圖書(shū)付之一炬。第2次劫難：公元392年羅馬狄?jiàn)W多修下令拆毀塞拉皮斯希臘神廟，30多萬(wàn)件希臘文手稿被毀。第3次劫難：公元640年阿拉伯奧馬爾一世下令收繳亞歷山大城全部希臘書(shū)籍予以焚毀。思考題1、歐幾里得《原本》對(duì)數(shù)學(xué)以及整個(gè)科學(xué)的發(fā)展有什么意義？2、以“化圓為方”問(wèn)題為例，說(shuō)明未解決問(wèn)題在數(shù)學(xué)中的重要性。3、體驗(yàn)阿基米德方法：通過(guò)計(jì)算半徑為1的圓內(nèi)接和外切正96邊形的周長(zhǎng)，計(jì)算圓周率的近似值，計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后3位數(shù)。4、畢達(dá)哥拉斯學(xué)派是怎樣引起第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的？第三講：中國(guó)古代的數(shù)學(xué)中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的形成與興盛：公元前1世紀(jì)至公元14世紀(jì)。分成三個(gè)階段：《周髀算經(jīng)》與《九章算術(shù)》、劉徽與祖沖之、宋元數(shù)學(xué)，這反映了中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)發(fā)展的三次高峰，簡(jiǎn)述9位中國(guó)科學(xué)家的數(shù)學(xué)工作。1、中國(guó)古代數(shù)學(xué)發(fā)展的第一次高峰（漢以前）：數(shù)學(xué)體系的形成秦始皇陵兵馬俑（中國(guó)，1983），秦漢時(shí)期形成中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)體系。我們通過(guò)一些古典數(shù)學(xué)文獻(xiàn)說(shuō)明數(shù)學(xué)體系的形成。1983－1984年間考古學(xué)家在湖北江陵張家山出土的一批西漢初年（即呂后至文帝初年，約為公元前170年前后）的竹簡(jiǎn)，共千余支。經(jīng)初步整理，其中有歷譜、日書(shū)等多種古代珍貴的文獻(xiàn)，還有一部數(shù)學(xué)著作，據(jù)寫(xiě)在一支竹簡(jiǎn)背面的字跡辨認(rèn)，這部竹簡(jiǎn)算書(shū)的書(shū)名叫《算數(shù)書(shū)》，它是中國(guó)現(xiàn)存最早的數(shù)學(xué)專(zhuān)著。經(jīng)研究，它和《九章算術(shù)》（公元1世紀(jì)）有許多相同之處，體例也是“問(wèn)題集”形式，大多數(shù)題都由問(wèn)、答、術(shù)三部分組成，而且有些概念、術(shù)語(yǔ)也與《九章算術(shù)》的一樣?！吨荀滤憬?jīng)》（髀：量日影的標(biāo)桿）編纂于西漢末年，約公元前100年，它雖是一部天文學(xué)著作（“蓋天說(shuō)”－天圓地方；中國(guó)古代正統(tǒng)的宇宙觀是“渾天說(shuō)”－大地是懸浮于宇宙空間的圓球，“天體如彈丸，地如卵中黃”），涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)有的可以追溯到公元前11世紀(jì)（西周），其中包括兩項(xiàng)重要的數(shù)學(xué)成就：勾股定理的普遍形式（中國(guó)最早關(guān)于勾股定理的書(shū)面記載），數(shù)學(xué)在天文測(cè)量中的應(yīng)用（測(cè)太陽(yáng)高或遠(yuǎn)的“陳子測(cè)日法”，陳子約公元前6、7世紀(jì)人，相似形方法）。勾股定理的普遍形式：求邪至日者，以日下為勾，日高為股，勾股各自乘，并而開(kāi)方除之，得邪至日。中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作是《九章算術(shù)》（東漢，公元100年）。它不是出自一個(gè)人之手，是經(jīng)過(guò)歷代多人修訂、增補(bǔ)而成，其中的數(shù)學(xué)內(nèi)容，有些也可以追溯到周代。中國(guó)儒家的重要經(jīng)典著作《周禮》記載西周貴族子弟必學(xué)的六門(mén)課程“六藝”（禮、樂(lè)、射、御、書(shū)、數(shù)）中有一門(mén)是“九數(shù)”?！毒耪滤阈g(shù)》是由“九數(shù)”發(fā)展而來(lái)。在秦焚書(shū)（公元前213年）之前，至少已有原始的本子。經(jīng)過(guò)西漢張蒼（約公元前256－152年，約公元前200年，西漢陽(yáng)武（今河南原陽(yáng)）人）、耿壽昌（公元前73－49年，約公元前50年）等人刪補(bǔ)，大約成書(shū)于東漢時(shí)期，至遲在公元100年。全書(shū)246個(gè)問(wèn)題，分成九章：（1）方田（土地測(cè)量），包括正方形、矩形、三角形、梯形、圓形、環(huán)形、弓形、截球體的表面積計(jì)算，另有約分、通分、四則運(yùn)算，求最大公約數(shù)等運(yùn)算法則；（2）粟米（糧食交易的比例方法）；（3）衰分（比例分配的算法），介紹依等級(jí)分配物資或按等級(jí)攤派稅收的比例分配算法；（4）少?gòu)V（開(kāi)平方和開(kāi)立方法）；（5）商功（立體形求體積法）；（6）均輸（征稅），處理行程和合理解決征稅問(wèn)題，包括復(fù)比例和連比例等比較復(fù)雜的比例分配問(wèn)題；（7）盈不足（盈虧類(lèi)問(wèn)題解法及其應(yīng)用）；（8）方程（一次方程組解法和正負(fù)數(shù)）；（9）勾股（直角三角形），介紹利用構(gòu)股定理測(cè)量計(jì)算高、深、廣、遠(yuǎn)的問(wèn)題。所包含的數(shù)學(xué)成就是豐富和多方面的，主要內(nèi)容包括分?jǐn)?shù)四則和比例算法、面積和體積的計(jì)算、關(guān)于勾股測(cè)量的計(jì)算等，既有算術(shù)方面的，也有代數(shù)與幾何方面的內(nèi)容?？傊?，《九章算術(shù)》有幾個(gè)顯著的特點(diǎn)：采用按類(lèi)分章的數(shù)學(xué)問(wèn)題集的形式；算式都是從籌算記數(shù)法發(fā)展起來(lái)的；以算術(shù)、代數(shù)為主，很少涉及圖形性質(zhì)；重視應(yīng)用，缺乏理論闡述等。它完整地?cái)⑹隽水?dāng)時(shí)已有的數(shù)學(xué)成就，對(duì)中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)發(fā)展的影響，如同《原本》對(duì)西方數(shù)學(xué)發(fā)展的影響一樣深遠(yuǎn)，在長(zhǎng)達(dá)一千多年間，一直作為中國(guó)的數(shù)學(xué)教科書(shū)，并被公認(rèn)為世界數(shù)學(xué)古典名著之一。《九章算術(shù)》標(biāo)志以籌算為基礎(chǔ)的中國(guó)古代數(shù)學(xué)體系正式形成。2、中國(guó)古代數(shù)學(xué)發(fā)展的第二次高峰：數(shù)學(xué)穩(wěn)步發(fā)展三國(guó)演義（中國(guó)，1998）。從公元220年?yáng)|漢分裂，到公元581年隋朝建立，史稱(chēng)魏晉南北朝。這是中國(guó)歷史上的動(dòng)蕩時(shí)期，也是思想相對(duì)活躍的時(shí)期。在長(zhǎng)期獨(dú)尊儒學(xué)之后，學(xué)術(shù)界思辨之風(fēng)再起，在數(shù)學(xué)上也興起了論證的趨勢(shì)。許多研究以注釋《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》的形式出現(xiàn)，實(shí)質(zhì)是尋求這兩部著作中一些重要結(jié)論的數(shù)學(xué)證明。這是中國(guó)數(shù)學(xué)史上一個(gè)獨(dú)特而豐產(chǎn)的時(shí)期，是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)穩(wěn)步發(fā)展的時(shí)期?！毒耪滤阈g(shù)》注釋中最杰出的代表是劉徽和祖沖之父子。2.1劉徽（魏晉，公元3世紀(jì)）（中國(guó)，2002），淄鄉(xiāng)（今山東鄒平縣）人，布衣數(shù)學(xué)家，于263年撰《九章算術(shù)注》，不僅對(duì)《九章算術(shù)》的方法、公式和定理進(jìn)行一般的解釋和推導(dǎo)，而且系統(tǒng)地闡述了中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的理論體系與數(shù)學(xué)原理，并且多有創(chuàng)造，奠定了這位數(shù)學(xué)家在中國(guó)數(shù)學(xué)史上的不朽地位，成為中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最具代表性的人物。劉徽數(shù)學(xué)成就中最突出的是“割圓術(shù)”（圓內(nèi)接正多邊形面積無(wú)限逼近圓面積）。在劉徽之前，通常認(rèn)為“周三徑一”，即圓周率取為3。劉徽在《九章算術(shù)注》中提出割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”，通過(guò)計(jì)算圓內(nèi)接正3072邊形的面積，求出圓周率為3927/1250（=3.1416）（阿基米德計(jì)算了圓內(nèi)接和外切正96邊形的周長(zhǎng)）。為方便計(jì)算，劉徽主張利用圓內(nèi)接正192邊形的面積求出157/50（=3.14）作為圓周率，后人常把這個(gè)值稱(chēng)為“徽率”。這使劉徽成為中算史上第一位用可靠的理論來(lái)推算圓周率的數(shù)學(xué)家，并享有國(guó)際聲譽(yù)。讓我們來(lái)體會(huì)劉徽的“割圓術(shù)”。劉徽利用極限思想求圓的面積，就極限思想而言，從現(xiàn)存中國(guó)古算著作看，在清代李善蘭及西方微積分學(xué)傳入中國(guó)之前，再?zèng)]有人超過(guò)甚至達(dá)到劉徽的水平。2000年國(guó)家最高科學(xué)技術(shù)獎(jiǎng)得主吳文俊院士指出：“從對(duì)數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)的角度來(lái)衡量，劉徽應(yīng)該與歐幾里得、阿基米德相提并論”。劉徽的數(shù)學(xué)思想和方法，到南北朝時(shí)期被祖沖之推進(jìn)和發(fā)展。2.2祖沖之（429－500年），范陽(yáng)遒縣（今河北淶源）人，活躍于南朝的宋、齊兩代，曾做過(guò)一些小官，但他卻成為歷代為數(shù)很少能名列正史的數(shù)學(xué)家之一。祖沖之：“遲疾之率，非出神怪，有形可檢，有數(shù)可推?！弊鏇_之的著作《綴術(shù)》，取得了圓周率的計(jì)算和球體體積的推導(dǎo)兩大數(shù)學(xué)成就。祖沖之關(guān)于圓周率的貢獻(xiàn)記載在《隋書(shū)》（唐，魏征主編）的《律歷志》中：“古之九數(shù)，圓周率三，圓徑率一，其術(shù)疏舛。自劉歆、張衡、劉徽、王蕃、皮延宗之徒，各設(shè)新率，未臻折衷。宋末，南徐州（今江蘇鎮(zhèn)江）從事史祖沖之，更開(kāi)密法，以圓徑一億為一丈，圓周盈數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正數(shù)在盈朒二限之間。密率，圓徑一百一十三，圓周三百五十五。約率，圓徑七，周二十二?！奔?，祖沖之算出圓周率在3.1415926與3.1415927之間，并以355/113（=3.1415929…）為密率，22/7（=3.1428…）為約率。1913年日本數(shù)學(xué)史家三上義夫（1875－1950年）在《中國(guó)和日本的數(shù)學(xué)之發(fā)展》里主張稱(chēng)355/113為祖率。祖沖之如何算出如此精密結(jié)果，《隋書(shū)·律歷志》寫(xiě)道：“所著之書(shū)，名為《綴術(shù)》，學(xué)官莫能究其深?yuàn)W，是故廢而不理”?！毒Y術(shù)》失傳了，沒(méi)有任何史料流傳下來(lái)。史學(xué)家認(rèn)為，祖沖之除開(kāi)繼續(xù)使用劉徽的“割圓術(shù)”“割之又割”外，并不存在有其它方法的可能性。如按劉徽的方法，繼續(xù)算至圓內(nèi)接正12288邊形和正24576邊形可得出圓周率在3.14159261與3.14159271之間?！毒Y術(shù)》的另一貢獻(xiàn)是祖氏原理：冪勢(shì)既同則積不容異，在西方文獻(xiàn)中稱(chēng)為卡瓦列里原理，或不可分量原理，因?yàn)?635年意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列里（1598－1647年）獨(dú)立提出，對(duì)微積分的建立有重要影響。在數(shù)學(xué)成就方面，整個(gè)唐代卻沒(méi)有產(chǎn)生出能夠與其前的魏晉南北朝和其后的宋元時(shí)期相媲美的數(shù)學(xué)大家，主要的數(shù)學(xué)成就在于建立中國(guó)數(shù)學(xué)教育制度。為了教學(xué)需要唐初由李淳風(fēng)（604－672年）等人注釋并校訂了《算經(jīng)十書(shū)》（約656年），即《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》（劉徽）、《孫子算經(jīng)》（約成書(shū)于公元400年，內(nèi)有“物不知數(shù)”問(wèn)題）、《夏候陽(yáng)算經(jīng)》（成書(shū)于公元6、7世紀(jì)，內(nèi)有“百雞問(wèn)題”：今有雞翁一，直錢(qián)五；雞母一，直錢(qián)三；雞雛三，直錢(qián)一。凡百錢(qián)，買(mǎi)雞翁、母、雛各幾何）、《張邱建算經(jīng)》（張邱建，北魏清河（今邢臺(tái)市清河縣）人，約成書(shū)于公元466－485年間）、《綴術(shù)》（祖沖之）、《五曹算經(jīng)》（北周甄鸞（字叔遵，河北無(wú)極人）著）、《五經(jīng)算經(jīng)》（北周甄鸞著）和《緝古算經(jīng)》（約成書(shū)于626年前后，唐王孝通，內(nèi)有三次方程及其根，但沒(méi)有解題方法）。十部算經(jīng)對(duì)繼承古代數(shù)學(xué)經(jīng)典有積極的意義，顯示了漢唐千余年間中國(guó)數(shù)學(xué)發(fā)展的水平，是當(dāng)時(shí)科舉考試的必讀書(shū)（公元587年隋文帝開(kāi)創(chuàng)中國(guó)的科舉考試制度，1905年清朝廢止科舉制度）。3、中國(guó)古代數(shù)學(xué)發(fā)展的第三次高峰：數(shù)學(xué)全盛時(shí)期北宋著名科學(xué)家沈括的名著《夢(mèng)溪筆談》，給數(shù)學(xué)著作的保存與流傳帶來(lái)了福音。事實(shí)上，整個(gè)宋元時(shí)期（960—1368年），重新統(tǒng)一了的中國(guó)封建社會(huì)發(fā)生了一系列有利于數(shù)學(xué)發(fā)展的變化，以籌算為主要內(nèi)容的中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)達(dá)到了鼎盛時(shí)期。中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)以宋元數(shù)學(xué)為最高境界。這一時(shí)期涌現(xiàn)許多杰出的數(shù)學(xué)家和先進(jìn)的數(shù)學(xué)計(jì)算技術(shù)，其印刷出版、記載著中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最高成就的宋元算書(shū)，是世界文化的重要遺產(chǎn)。下面介紹宋元時(shí)期的一些計(jì)算技術(shù)。3.1賈憲三角賈憲（約公元11世紀(jì)）是北宋人，在朝中任左班殿值，約1050年完成一部叫《黃帝九章算術(shù)細(xì)草》的著作，原書(shū)丟失，但其主要內(nèi)容被楊輝的《詳解九章算法》摘錄，因能傳世。賈憲發(fā)明了“增乘開(kāi)方法”，是中算史上第一個(gè)完整、可推廣到任意次方的開(kāi)方程序，一種非常有效和高度機(jī)械化的算法。在此基礎(chǔ)上，賈憲創(chuàng)造了“開(kāi)方作法本源圖”（即“古法七乘方圖”或賈憲三角），西方人叫“帕斯卡三角”或“算術(shù)三角形”，因?yàn)榉▏?guó)數(shù)學(xué)家帕斯卡（1623－1662年）于1654年發(fā)表論文《論算術(shù)三角形，以及另外一些類(lèi)似的小問(wèn)題》。3.2隙積術(shù)沈括（1030－1094年），北宋錢(qián)塘（今浙江杭州）人，北宋著名的科學(xué)家，1080年任延州（今陜西延安市）知州，因1082年的“永樂(lè)城（今寧夏銀川附近）之戰(zhàn)”敗于西夏（1032－1227年）而結(jié)束政治生涯，經(jīng)過(guò)6年的軟禁之苦后，開(kāi)始賦閑幽居生活。沈括一生論著極多，其中以《夢(mèng)溪筆談》（1093年）影響最大，內(nèi)容包括數(shù)學(xué)、天文、歷法、地理、物理、化學(xué)等領(lǐng)域，被英國(guó)著名科學(xué)史家李約瑟譽(yù)為“中國(guó)科學(xué)史的里程碑”。他對(duì)數(shù)學(xué)的主要成就有兩項(xiàng)，會(huì)圓術(shù)（解決由弦求孤的問(wèn)題）和隙積術(shù)（開(kāi)創(chuàng)研究高階等差級(jí)數(shù)之先河）。3.3天元術(shù)李冶（金、元，1192－1279年），金代真定欒城（今河北欒城）人，出生的時(shí)候，金朝（1115－1234年）正由盛而衰，曾任鈞州（今河南禹縣）知事，1232年鈞州被蒙古軍所破，遂隱居于封龍山治學(xué)，潛心學(xué)問(wèn)。1248年撰成代數(shù)名著《測(cè)圓海鏡》，該書(shū)是首部系統(tǒng)論述“天元術(shù)”（一元高次方程）的著作，“天元術(shù)”與現(xiàn)代代數(shù)中的列方程法相類(lèi)似，稱(chēng)未知數(shù)為天元，“立天元一為某某”，相當(dāng)于“設(shè)x為某某”，可以說(shuō)是符號(hào)代數(shù)的嘗試，在數(shù)學(xué)史上具有里程碑意義。劉徽注釋《九章算術(shù)》“正負(fù)術(shù)”中云：“正算赤，負(fù)算黑”，李冶感到用筆記錄時(shí)換色的不便，便在《測(cè)圓海鏡》中用斜畫(huà)一杠表示負(fù)數(shù)?！胺e財(cái)千萬(wàn)，不如薄技在身”。李冶的天元術(shù)列方程：x^3+336x^2+4184x+2488320=0。3.4大衍術(shù)秦九韶（約1202－1261年），南宋普州安岳（今四川安岳）人，曾任和州（今安徽和縣）守，1244年，因母喪離任，回湖州（今浙江吳興）守孝三年。此間，秦九韶專(zhuān)心致志于研究數(shù)學(xué)，于1247年完成數(shù)學(xué)名著《數(shù)書(shū)九章》，內(nèi)容分為九類(lèi)：大衍類(lèi)、天時(shí)類(lèi)、田域類(lèi)、測(cè)望類(lèi)、賦役類(lèi)、錢(qián)谷類(lèi)、營(yíng)建類(lèi)、軍旅類(lèi)、市易類(lèi)，其中有兩項(xiàng)貢獻(xiàn)使得宋代算書(shū)在中世紀(jì)世界數(shù)學(xué)史上占有突出的地位?！稊?shù)書(shū)九章》是我國(guó)古算中最早用圓圈Ο表示0號(hào)的著作。一是發(fā)展了一次同余組解法，創(chuàng)立了“大衍求一術(shù)”（一種解一次同余式的一般性算法程序，現(xiàn)稱(chēng)中國(guó)剩余定理，所謂“求一”，通俗他說(shuō)，就是求“一個(gè)數(shù)的多少倍除以另一個(gè)數(shù)，所得的余數(shù)為一”）的一般解法。中算家對(duì)于一次同余式問(wèn)題解法最早見(jiàn)于《孫子算經(jīng)》（約公元400年）中的“物不知數(shù)問(wèn)題”（亦稱(chēng)“孫子問(wèn)題”）：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問(wèn)物幾何？?！秾O子算經(jīng)》給出的答案是23，但其算法很簡(jiǎn)略，未說(shuō)明其理論根據(jù)。秦九韶在《數(shù)書(shū)九章》中明確給出了一次同余組的一般性解法。在西方，最早接觸一次同余式的是意大利數(shù)學(xué)家斐波那契（1170－1250年）于1202年在《算盤(pán)書(shū)》中給出了兩個(gè)一次同余問(wèn)題，但沒(méi)有一般算法，1743年瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（1707－1783年）和1801年德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯（1777－1855年）才對(duì)一次同余組進(jìn)行了深入研究，重新獲得與中國(guó)剩余定理相同的結(jié)果。二是總結(jié)了高次方程數(shù)值解法，將賈憲的“增乘開(kāi)方法”推廣到了高次方程的一般情形，提出了相當(dāng)完備的“正負(fù)開(kāi)方術(shù)”（現(xiàn)稱(chēng)秦九韶法）。在西方，直到1804年意大利數(shù)學(xué)家魯菲尼（1765－1822年）才創(chuàng)立了一種逐次近似法解決數(shù)字高次方程無(wú)理根的近似值問(wèn)題，而1819年英國(guó)數(shù)學(xué)家霍納（1786－1837年）才提出與“增乘開(kāi)方法”演算步驟相同的算法，西方稱(chēng)霍納法。3.5垛積術(shù)楊輝（公元13世紀(jì)），南宋錢(qián)塘（今浙江杭州）人，曾做過(guò)地方官，足跡遍及錢(qián)塘、臺(tái)州、蘇州等地，是東南一帶有名的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家。楊輝的主要數(shù)學(xué)著作之一《詳解九章算法》（1261年）是為了普及《九章算術(shù)》中的數(shù)學(xué)知識(shí)而作，它從《九章算術(shù)》的246道題中選擇了80道有代表性的題目，進(jìn)行詳解，其中主要的數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)是“垛積術(shù)”，這是在沈括“隙積術(shù)”的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的，由多面體體積公式導(dǎo)出相應(yīng)的垛積術(shù)公式。另一貢獻(xiàn)是所謂的“楊輝三角”，其實(shí)是記載了賈憲的工作。3.6四元術(shù)朱世杰（約1260－1320年），寓居燕山（今北京附近），當(dāng)時(shí)的北方，正處于天元術(shù)逐漸發(fā)展成為二元術(shù)、三元術(shù)的重要時(shí)期，朱世杰在經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期游學(xué)、講學(xué)之后，終于在1299年和1303年在揚(yáng)州刊刻了他的兩部代表作《算學(xué)啟蒙》和《四元玉鑒》。中國(guó)數(shù)學(xué)自晚唐以來(lái)不斷發(fā)展的簡(jiǎn)化籌算的趨勢(shì)有了進(jìn)一步的加強(qiáng)，日用數(shù)學(xué)和商用數(shù)學(xué)更加普及，南宋時(shí)期楊輝可以作為這一傾向的代表，而朱世杰則是這一傾向的繼承?！端銓W(xué)啟蒙》是一部通俗數(shù)學(xué)名著，出版后不久即流傳至日本和朝鮮。就學(xué)術(shù)成就而論，《四元玉鑒》遠(yuǎn)超《算學(xué)啟蒙》，它是中國(guó)宋元數(shù)學(xué)高峰的又一個(gè)標(biāo)志，主要貢獻(xiàn)有四元術(shù)和招差術(shù)（高次內(nèi)插公式）。四元術(shù)是多元高次方程列方程和解方程的方法，未知數(shù)最多可達(dá)四個(gè)，即天元、地元、人元和物元。如《四元玉鑒》卷首“假令四草”之“四象會(huì)元”，其中四元布列意為即元?dú)猓ǔ?shù)項(xiàng)）居中，天元（未知數(shù)x）于下，地元（未知數(shù)y）于左，人元（未知數(shù)z）于右，物元（未知數(shù)u）于上，所以上述方程指“”。朱世杰的好友莫若在《四元玉鑒》的序文中說(shuō)道：《四元玉鑒》，其法以元?dú)饩又?，立天元一于下，地元一于左，人元一于右，物元一于上，陰?yáng)升降，進(jìn)退左右，互通變化，錯(cuò)綜無(wú)窮。清代數(shù)學(xué)家羅士琳（1774—1853年）在《疇人傳·續(xù)編·朱世杰條》中說(shuō)：漢卿在宋元間，與秦道古（九韶）、李仁卿（冶）可稱(chēng)鼎足而三。道古正負(fù)開(kāi)方，仁卿天元如積，皆足上下千古，漢卿又兼包眾有，充類(lèi)盡量，神而明之，尤超越乎秦李之上。美國(guó)著名科學(xué)史家薩頓（1884－1956年）說(shuō)：朱世杰是漢民族，他所生存時(shí)代的，同時(shí)也是貫穿古今的一位最杰出的數(shù)學(xué)家。3.7內(nèi)插法郭守敬（1231－1316年），順德邢臺(tái)（今河北邢臺(tái)）人，元代大天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家、水利專(zhuān)家和儀器制造家，曾任工部郎中、太史令、都水監(jiān)事和昭文館大學(xué)士等官職。與太史令王恂（1235－1281年，中山府（今河北定州）唐縣（今唐縣人），至元十八年（1281年），王恂喪父，去官守孝。守孝期間，因悲傷過(guò)度，不思飲食，饑餒染病而亡，享年46歲），一同吸收了前代歷法的精華，運(yùn)用宋金兩朝的數(shù)學(xué)成就（包括沈括的會(huì)圓術(shù)），使用了三次內(nèi)插公式，在1280年完成了中國(guó)古代最精密的歷法《授時(shí)歷》。設(shè)定一年為365.2425天，比地球繞太陽(yáng)一周的實(shí)際運(yùn)行時(shí)間只差26秒，早于歐洲1582年開(kāi)始使用的“格里歷”300年，使用時(shí)間長(zhǎng)達(dá)363年（1281－1643年），中國(guó)古代的歷法也發(fā)展到了高峰。此外，1276年，郭守敬根據(jù)鏡成象原理發(fā)明了“景符”測(cè)影器，制造了世界聞名的簡(jiǎn)儀、高表、窺（kuí）幾、仰儀、日晷（guǐ）、渾天象等12種天文儀器，元至元十三年（l276年）建造的河南登封觀星臺(tái)留存至今。古希臘數(shù)學(xué)以幾何定理的演繹推理為特征、具有公理化模式，與中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)以計(jì)算為中心、具有程序性和機(jī)械性的算法化模式相輝映，交替影響世界數(shù)學(xué)的發(fā)展。這一時(shí)期創(chuàng)造的宋元算法，如隙積術(shù)、大衍術(shù)、開(kāi)方術(shù)、垛積術(shù)、招差術(shù)、天元術(shù)等在世界數(shù)學(xué)史上占有光輝的地位。4、中算的衰落朱世杰可以被看作是中國(guó)宋元時(shí)期數(shù)學(xué)發(fā)展的總結(jié)性人物，是中國(guó)以籌算為主要計(jì)算工具的古代數(shù)學(xué)發(fā)展的頂峰，而《四元玉鑒》可以說(shuō)是宋元（960－1368年）數(shù)學(xué)的絕唱。14世紀(jì)中、后葉，明王朝建立以后，統(tǒng)治者奉行以八股文為特征的科舉制度，1370年明太祖朱元璋（1328－1398年）規(guī)定八股文為科舉考試的主要文體，在國(guó)家科舉考試中大幅度消減數(shù)學(xué)內(nèi)容，明初起300余年內(nèi)中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)研究呈現(xiàn)全面衰退，致使明代大數(shù)學(xué)家看不懂宋元重要數(shù)學(xué)成就。明清兩朝（1368－1911年）共543年，不僅未能產(chǎn)生出與《數(shù)書(shū)九章》、《四元玉鑒》相媲美的數(shù)學(xué)杰作，而且在18世紀(jì)中葉“乾嘉學(xué)派”重新發(fā)掘研究以前，像“四元術(shù)”這樣一些宋元數(shù)學(xué)的精粹長(zhǎng)期失傳、無(wú)人通曉。中國(guó)與西方科學(xué)發(fā)展示意圖。思考題簡(jiǎn)述劉徽的數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)。2、用數(shù)列極限證明：圓內(nèi)椄正6?2^{n}邊形的周長(zhǎng)的極限是圓周長(zhǎng)。3、《九章算術(shù)》在中國(guó)數(shù)學(xué)發(fā)展史上的地位和意義如何？4、試比較阿基米德證明體積計(jì)算公式的方法與中國(guó)古代數(shù)學(xué)家的球體積計(jì)算公式的推導(dǎo)方法的異同。5、更精確地計(jì)算圓周率是否有意義？談?wù)勀睦碛伞?、分析宋元時(shí)期中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)興盛的社會(huì)條件。第四講．印度與阿拉伯的數(shù)學(xué)主要內(nèi)容：印度數(shù)學(xué)、阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)、中世紀(jì)的歐洲數(shù)學(xué)，簡(jiǎn)述了10位科學(xué)家的數(shù)學(xué)工作。1、印度數(shù)學(xué)（公元5－12世紀(jì)）印度數(shù)學(xué)分為河谷文化時(shí)期（約公元前3000－前1400年）、吠陀時(shí)期（約公元前10－前3世紀(jì)）、悉檀多時(shí)期（公元5－12世紀(jì)）。1.1吠陀時(shí)期（公元前10－前3世紀(jì)）《吠陀》手稿（毛里求斯，1980），《吠陀》（梵文，意為知識(shí)、光明）是印度雅利安人的作品，成書(shū)于公元前15－前5世紀(jì)，歷時(shí)1000年左右，婆羅門(mén)教的經(jīng)典，其中的《繩法經(jīng)》（前8－前2世紀(jì)）是《吠陀》中關(guān)于廟宇、祭壇的設(shè)計(jì)與測(cè)量的部分（釋迦牟尼（公元前565－公元前486年）傳揚(yáng)佛教時(shí)期，佛教是古印度的迦毗羅衛(wèi)國(guó)（今尼泊爾境內(nèi)）王子喬達(dá)摩·悉達(dá)多所創(chuàng)，因父為釋迦族，得道后被尊稱(chēng)為釋迦牟尼也就是“釋迦族的圣人”的意思，門(mén)徒稱(chēng)他為佛），包含幾何、代數(shù)知識(shí)，如畢達(dá)哥拉斯定理、圓周率的近似值等。阿育王（在位年代約為公元前268－前232年）是印度第一個(gè)信奉佛教的君主，阿育王石柱（尼泊爾，1996）記錄了現(xiàn)在阿拉伯?dāng)?shù)字的最早形態(tài)。公元前2世紀(jì)至公元后3世紀(jì)的印度數(shù)學(xué)，可參考的資料主要是1881年發(fā)現(xiàn)的書(shū)寫(xiě)在樺樹(shù)皮上的“巴克沙利手稿”（巴克沙利當(dāng)時(shí)和古代大部分時(shí)間屬于印度，今天位于巴基斯坦西北部距離白沙瓦約80公里處的一座村莊），其數(shù)學(xué)內(nèi)容十分豐富，涉及到分?jǐn)?shù)、平方根、數(shù)列、收支與利潤(rùn)計(jì)算、比例算法、級(jí)數(shù)求和、代數(shù)方程等，出現(xiàn)了完整的十進(jìn)制數(shù)碼，其中有“?”（點(diǎn)）表示0，后來(lái)逐漸演變?yōu)楝F(xiàn)在通用的“0”，這一過(guò)程至遲于公元9世紀(jì)已完成，有公元876年的“瓜廖爾石碑”為證，這是印度數(shù)學(xué)的一大發(fā)明。印度頭等重要的天文學(xué)著作，無(wú)名氏著的《蘇利耶歷數(shù)全書(shū)》（梵文，意思是太陽(yáng)的知識(shí)，相傳為太陽(yáng)神蘇利耶所著）大約是公元5世紀(jì)所寫(xiě)（1860年被譯為英文）。印度數(shù)學(xué)從這個(gè)時(shí)期開(kāi)始對(duì)天文學(xué)比對(duì)宗教更有用。1.2“悉檀多”時(shí)期（公元5世紀(jì)－12世紀(jì)）悉檀多是梵文，佛教術(shù)語(yǔ)，為“宗”或“體系”之意，意譯為“歷數(shù)書(shū)”。這是印度數(shù)學(xué)的繁榮鼎盛時(shí)期，是以計(jì)算為中心的實(shí)用數(shù)學(xué)的時(shí)代，數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)主要是算術(shù)與代數(shù)，出現(xiàn)了一些著名的數(shù)學(xué)家。1.2.1阿耶波多（公元476－約550年）在印度的科學(xué)史上有重要的影響的人物，“阿耶波多號(hào)”人造衛(wèi)星（印度，1975）。最早的印度數(shù)學(xué)家，499年天文學(xué)著作《阿耶波多歷數(shù)書(shū)》（圣使天文書(shū)）傳世（相當(dāng)于祖沖之《綴術(shù)》的年代），最突出之處在于對(duì)希臘三角學(xué)的改進(jìn),制作正弦表（sine一詞由阿耶波多稱(chēng)為半弦的jiva演化而來(lái)），和一次不定方程的解法。阿耶波多獲得了π的近似值3.1416（與劉徽所得的近似值相當(dāng)），建立了丟番圖方程求解的“庫(kù)塔卡”（原意為“粉碎”）法。1.2.2婆羅摩笈多（598－約665年）印度古天文臺(tái)：烏賈因天文臺(tái)。在這段時(shí)間（中國(guó)的隋唐時(shí)期），整個(gè)世界（無(wú)論東方還是西方）都沒(méi)有產(chǎn)生一個(gè)大數(shù)學(xué)家。婆羅摩笈多出生在印度的7大宗教圣城之一的烏賈因，并在這里長(zhǎng)大。婆多摩笈多成年以后，一直在故鄉(xiāng)烏賈因天文臺(tái)工作，在望遠(yuǎn)鏡出現(xiàn)之前，它可謂是東方最古老的天文臺(tái)之一。628年發(fā)表天文學(xué)著作《婆羅摩修正體系》（宇宙的開(kāi)端），這是一部有21章的天文學(xué)著作，其中第12、18章講的是數(shù)學(xué)，分?jǐn)?shù)成就十分可貴，比較完整地?cái)⑹隽肆愕倪\(yùn)算法則，丟番圖方程求解的“瓦格布拉蒂”法，即現(xiàn)在所謂的佩爾（英，1611－1685年）方程的一種解法。1.2.3婆什迦羅Ⅱ（1114－1188年）印度的第二顆人造衛(wèi)星“婆什迦羅號(hào)”（1979）。印度古代和中世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家婆什迦羅，出生于印度南方的比德?tīng)?，成年后?lái)到烏賈因天文臺(tái)工作，成為婆多摩笈多的繼承者，后來(lái)還做了這家天文臺(tái)的臺(tái)長(zhǎng)。古印度數(shù)學(xué)最高成就《天文系統(tǒng)之冠》（1150年，中國(guó)的南宋時(shí)期），其中有兩部婆什迦羅的重要數(shù)學(xué)著作《算法本源》、《莉拉沃蒂》?！端惴ū驹础分饕接懘鷶?shù)問(wèn)題?！独蚶值佟罚ㄔ狻懊利悺保囊粋€(gè)印度教信徒的祈禱開(kāi)始展開(kāi)，講的是算術(shù)問(wèn)題，流傳著一個(gè)浪漫的故事?！独蚶值佟分械囊粋€(gè)算術(shù)問(wèn)題：帶著微笑眼睛的美麗少女，請(qǐng)你告訴我，按照你的理解的正確反演法，什么數(shù)乘以3，加上這個(gè)乘積的3/4，然后除以7，減去此商的1/3，自乘，減去52，取平方根，加上8，除以10，得2？根據(jù)反演法，從2這個(gè)數(shù)開(kāi)始回推，于是（2?10－8）^2＝144，144＋52＝196，＝14，14?（3/2）?7?（4/7）/3=28，答案是28。由于印度屢被其他民族征服，使印度古代天文學(xué)和數(shù)學(xué)受外來(lái)文化影響較深，但印度數(shù)學(xué)始終保持東方數(shù)學(xué)以計(jì)算為中心的實(shí)用化特點(diǎn)。與算術(shù)和代數(shù)相比，印度人在幾何方面的工作則顯得薄弱。此外，印度人用詩(shī)的語(yǔ)言來(lái)表達(dá)數(shù)學(xué)，他們的著作含糊而神秘（雖然發(fā)明了零號(hào)），且多半是經(jīng)驗(yàn)的，很少給出推導(dǎo)和證明。2、阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)（公元8－15世紀(jì)）2.1早期阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)（8世紀(jì)中葉－9世紀(jì)）阿爾·花拉子米（783－850年）（蘇聯(lián)，1983），生于波斯北部花拉子模地區(qū)（今烏茲別克境內(nèi)），813年來(lái)到巴格達(dá)，后成為智慧宮的領(lǐng)頭學(xué)者。820年出版《還原與對(duì)消概要》，以其邏輯嚴(yán)密、系統(tǒng)性強(qiáng)、通俗易懂和聯(lián)系實(shí)際等特點(diǎn)被奉為“代數(shù)教科書(shū)的鼻祖”，1140年被羅伯特（英）譯成拉丁文傳入歐洲，成為歐洲延用幾個(gè)世紀(jì)標(biāo)準(zhǔn)的代數(shù)學(xué)教科書(shū)，這也使得花拉子米成為中世紀(jì)對(duì)歐洲數(shù)學(xué)影響最大的阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家，這對(duì)東方數(shù)學(xué)家來(lái)說(shuō)十分罕見(jiàn)。阿拉伯語(yǔ)的“al-jabr”意為還原，即移項(xiàng)，傳入歐洲后，到14世紀(jì)演變?yōu)槔≌Z(yǔ)“algebra”，就成了今天英文的“algebra”（代數(shù)），因此花拉子米的上述著作通常稱(chēng)為《代數(shù)學(xué)》?？梢哉f(shuō)，正如埃及人發(fā)明了幾何學(xué)，阿拉伯人命名了代數(shù)學(xué)?！洞鷶?shù)學(xué)》所討論的數(shù)學(xué)問(wèn)題本身并不比丟番圖或婆羅摩笈多的問(wèn)題簡(jiǎn)單，但它探討了一般性解法，因而遠(yuǎn)比希臘人和印度人的著作更接近于近代初等代數(shù)?！洞鷶?shù)學(xué)》中關(guān)于三項(xiàng)二次方程的求解。花拉子米的另一本書(shū)《印度計(jì)算法》，系統(tǒng)介紹了印度數(shù)碼和十進(jìn)制記數(shù)法，12世紀(jì)，這本書(shū)便傳入歐洲并廣為傳播（其拉丁文手稿現(xiàn)存于劍橋大學(xué)圖書(shū)館），所以歐洲一直稱(chēng)這種數(shù)碼為阿拉伯?dāng)?shù)碼。976年的西班牙數(shù)碼。印度－阿拉伯?dāng)?shù)碼用較少的符號(hào)，最方便地表示一切數(shù)和運(yùn)算，給數(shù)學(xué)的發(fā)展帶來(lái)很大的方便，是一一項(xiàng)卓越的偉大貢獻(xiàn)。它傳入歐洲以后，加快了歐洲數(shù)學(xué)的發(fā)展，許多數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家對(duì)這套集體智慧的發(fā)現(xiàn)贊美不絕。法國(guó)數(shù)學(xué)家拉普拉斯（1749－1827年）寫(xiě)道：“用十個(gè)記號(hào)來(lái)表示一切的數(shù)，每個(gè)記號(hào)不但有絕對(duì)的值，而且有位置的值，這種巧妙的方法出自印度。這是一個(gè)深遠(yuǎn)而又重要的思想，它今天看來(lái)如此簡(jiǎn)單，以至我們忽視了它的真正偉績(jī)，簡(jiǎn)直無(wú)法估計(jì)它的奇妙程度。而當(dāng)我們想到它竟逃過(guò)古代希臘最偉大的阿基米德和阿波羅尼奧斯兩位天才思想的關(guān)注時(shí)，我們更感到這成就的偉大了?！庇《龋⒗?dāng)?shù)碼13世紀(jì)傳入我國(guó)，是元朝伊斯蘭教徒從當(dāng)時(shí)西方帶進(jìn)來(lái)的一套阿拉伯?dāng)?shù)碼，中國(guó)人沒(méi)有采用它。公元16世紀(jì)，西洋歷算書(shū)大量輸入我國(guó)，原著上的印度－阿拉伯?dāng)?shù)字，我國(guó)一律用中國(guó)數(shù)碼一、二、三等改譯出來(lái)。光緒十一年（公元1885年）上海出版了一本用上?？谝糇g出的西算啟蒙書(shū)，書(shū)中正式出現(xiàn)了印度－阿拉伯?dāng)?shù)字通用原型。1892年，美國(guó)傳教士狄考文（W.M.Calvin,1836－1908年）和清代鄒立文合譯《筆算數(shù)學(xué)》一書(shū)，首次正式采用了印度－阿拉伯?dāng)?shù)字，數(shù)字是按書(shū)籍直寫(xiě)的。直到1902－1905年，中國(guó)數(shù)學(xué)教科書(shū)或數(shù)學(xué)用表才普遍使用印度－阿拉伯?dāng)?shù)字，并且一律與西洋算書(shū)一樣橫排。阿爾·巴塔尼（858－929年），出生于哈蘭（今土耳其東南部），對(duì)希臘三角學(xué)系統(tǒng)化的工作，最重要的著作《歷數(shù)書(shū)》（或《天文論著》、《星的科學(xué)》）中發(fā)現(xiàn)地球軌道是一個(gè)經(jīng)常變動(dòng)的橢圓，創(chuàng)立了系統(tǒng)的三角學(xué)術(shù)語(yǔ)，哥白尼、第谷、開(kāi)普勒、伽利略等人都利用和參考了它的成果。2.2中期阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)（10－12世紀(jì)）奧馬·海雅姆（1048－1131年）（阿爾巴尼亞，1997），出生于波斯東北部霍拉桑地區(qū)（今伊朗東北部），受命在伊斯法罕（今伊朗西部）天文臺(tái)負(fù)責(zé)歷法改革工作，編制了中世紀(jì)最精密的歷法“哲拉里歷”（在平年365天的基礎(chǔ)上，每33年增加8個(gè)閏日。這樣一來(lái)，與實(shí)際的回歸年僅相差19.37秒，即每4460年才誤差一天，比現(xiàn)在全世界實(shí)行的公歷，每400年置97個(gè)閏日，還要準(zhǔn)確），在代數(shù)學(xué)方面的成就集中反映于他的《還原與對(duì)消問(wèn)題的論證》（1070），最杰出的貢獻(xiàn)是研究三次方程根的幾何作圖法，提出的用圓錐曲線圖求根的理論。這一創(chuàng)造，使代數(shù)與幾何的聯(lián)系更加密切，可惜在1851年以前歐洲人并不了解他的這種解析幾何方法。此外，他在證明歐幾里得平行公設(shè)方面也做了有益的嘗試。奧馬·海雅姆陵墓（伊朗，1934年修建），“海亞姆”指制造或經(jīng)營(yíng)帳篷的職業(yè)。阿爾·比魯尼（973－1048年）（巴基斯坦，1973），出生于波斯花拉子模城的比倫郊區(qū)，三角學(xué)理論的貢獻(xiàn)是利用二次插值法制定了正弦、正切函數(shù)表，證明了一些三角公式，如正弦公式、和差化積公式、倍角公式和半角公式，提出地球繞太陽(yáng)運(yùn)轉(zhuǎn)，太陽(yáng)是宇宙中心的思想等。2.3后期阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)（13－15世紀(jì)）納西爾丁·圖西（1201－1274年）（伊朗，1956），出生于波斯的圖斯城（也屬霍拉桑地區(qū)，今伊朗境內(nèi)），最重要的數(shù)學(xué)著作《論完全四邊形》是數(shù)學(xué)史上流傳至今最早的三角學(xué)專(zhuān)著。在此以前，三角學(xué)知識(shí)只出現(xiàn)于天文學(xué)的論著中，是附屬于天文學(xué)的一種計(jì)算方法，納西爾丁的工作使得三角學(xué)成為純粹數(shù)學(xué)的一個(gè)獨(dú)立分支，對(duì)15世紀(jì)歐洲三角學(xué)的發(fā)展起重要的作用。正是在這部書(shū)里，首次陳述了著名的正弦定理。阿爾·卡西（1380－1429年）（伊朗，1979），出生于卡尚（今屬伊朗），在撒馬爾罕（帖木兒王國(guó)都城，今屬烏茲別克）創(chuàng)建天文臺(tái)，并出任第一任臺(tái)長(zhǎng)，百科全書(shū)《算術(shù)之鈅》（1427），在數(shù)學(xué)上取得了兩項(xiàng)世界領(lǐng)先的成就，一是圓周率的計(jì)算，1424年一直算到了正3·2^28邊形的周長(zhǎng)以給出π的17位精確值，二是給出sin1°的精確值。人們常以他的卒年（1429）作為阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)的終結(jié)。恰好這個(gè)時(shí)候，歐洲的文藝復(fù)興之火開(kāi)始在亞平寧半島（意大利南部）點(diǎn)燃。思考題1、印度數(shù)學(xué)對(duì)世界數(shù)學(xué)發(fā)展最重要的貢獻(xiàn)是什么？他們的數(shù)學(xué)發(fā)展有何重要貢獻(xiàn)？2、有關(guān)零號(hào)“0”的歷史。3、簡(jiǎn)述阿爾·花拉子米的數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)。4、論述阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)對(duì)保存希臘數(shù)學(xué)、傳播東方數(shù)學(xué)的作用。5、試說(shuō)明：古代東方數(shù)學(xué)的特點(diǎn)之一是以計(jì)算為中心的實(shí)用化數(shù)學(xué)。6、求斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式。第五講：文藝復(fù)興時(shí)期的數(shù)學(xué)主要介紹15－17世紀(jì)初的東西方數(shù)學(xué)，內(nèi)容有文明背景、文藝復(fù)興時(shí)期的歐洲數(shù)學(xué)。近代始于對(duì)古典時(shí)代的復(fù)興，但人們很快看到，它遠(yuǎn)不是一場(chǎng)復(fù)興，而是一個(gè)嶄新的時(shí)代。在數(shù)學(xué)的許多領(lǐng)域發(fā)生了變化，在此介紹代數(shù)學(xué)、三角學(xué)、射影幾何、對(duì)數(shù)等的進(jìn)步。1、代數(shù)學(xué)歐洲人在數(shù)學(xué)上的推進(jìn)是從代數(shù)學(xué)開(kāi)始的，它是文藝復(fù)興時(shí)期成果最突出、影響最深遠(yuǎn)的領(lǐng)域，拉開(kāi)了近代數(shù)學(xué)的序幕，其中包括三、四次方程的求解與符號(hào)代數(shù)的引入。關(guān)于方程的根式解。16世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)最重要的成就。1515年博洛尼亞大學(xué)數(shù)學(xué)教授費(fèi)羅（意，1465－1526年）發(fā)現(xiàn)了形如x^3+mx=n的三次方程的代數(shù)解法，密傳給學(xué)生費(fèi)奧。塔塔利亞（意，1499－1557年）（原姓豐坦那，塔塔利亞是綽號(hào)，意為口吃者）發(fā)表了《論數(shù)字與度量》（1556－1560），被稱(chēng)為數(shù)學(xué)百科全書(shū)和16世紀(jì)最好的數(shù)學(xué)著作之一，其中有關(guān)于二項(xiàng)展開(kāi)式系數(shù)排成的“塔塔利亞三角形”，比帕斯卡發(fā)表它的時(shí)間（1665年）要早100多年。塔塔利亞最重要的數(shù)學(xué)成就是發(fā)現(xiàn)了三次方程的代數(shù)解法，進(jìn)行了兩次歷史性的辨論。塔塔利亞宣稱(chēng)可解形如x^3+mx^2=n的三次方程，1535年2月22日費(fèi)奧與塔塔利亞在威尼斯公開(kāi)競(jìng)賽，各出30個(gè)問(wèn)題，塔塔利亞在2小時(shí)內(nèi)全部解出而獲勝，揚(yáng)名整個(gè)意大利。1539年塔塔利亞把他關(guān)于三次方程的解法寫(xiě)成一首25行詩(shī)告訴卡爾丹。1548年8月10日塔塔利亞與卡爾丹的學(xué)生費(fèi)拉里在米蘭大教堂附近舉行了公開(kāi)辯論，爭(zhēng)論從上午10點(diǎn)持續(xù)到晚飯時(shí)間，聽(tīng)眾一哄而散，結(jié)果不了了之。雙方各自宣布獲勝。直至8年后，塔塔利亞才在他的名著《論數(shù)字與度量》中的一篇插文里敘述了整個(gè)論戰(zhàn)過(guò)程。米蘭大教堂：歐洲中世紀(jì)最大的教堂，可供4萬(wàn)人舉行宗教活動(dòng)，建于1386－1485年。有135個(gè)尖塔，象濃密的塔林刺向天空，且在每個(gè)塔尖上有神的雕像。教堂外部總共有2000多個(gè)雕像，甚為奇特。如果連內(nèi)部雕像總共有6000多尊，是世界上雕像最多的哥特式教堂。這個(gè)教堂有一個(gè)高達(dá)107米的尖塔，出于公元15世紀(jì)意大利建筑巨匠伯魯諾列斯基之手。塔頂上有金色圣母瑪利亞雕像，在陽(yáng)光下顯得光輝奪目，神奇而又壯麗，高聳的尖塔把人們的目光引向虛渺的天空，使人忘卻今生，幻想來(lái)世?？柕ぃㄒ猓?501－1576年），醫(yī)學(xué)博士，16世紀(jì)文藝復(fù)興時(shí)期人文主義的代表人物，其中的一些科學(xué)觀點(diǎn)與達(dá)?芬奇的論述頗為相似，著作《事物之精妙》（1550年）、《世間萬(wàn)物》（1557年）僅在16世紀(jì)就有十幾個(gè)版本流傳，后來(lái)又被譯為多種文字，影響深遠(yuǎn)。他是一個(gè)天才和愚人的奇怪混合，也是一個(gè)富有傳奇色彩的怪杰，兼學(xué)者與無(wú)賴(lài)于一身，被譽(yù)為百科全書(shū)式的學(xué)者，渡過(guò)了光怪陸離的一生，在數(shù)學(xué)、天文學(xué)、哲學(xué)、物理學(xué)和醫(yī)學(xué)中都有一定的成就，同時(shí)也一直醉心于占星術(shù)（為基督命運(yùn)占星和對(duì)自己死期的預(yù)卜）和賭博的研究，一生共寫(xiě)了各種類(lèi)型的文章、書(shū)籍200多種。最重要的數(shù)學(xué)著作是1545年在紐倫堡出版的《大術(shù)》（全名為《大術(shù)，或論代數(shù)法則》），該書(shū)系統(tǒng)給出代數(shù)學(xué)中的許多新概念和新方法，內(nèi)有三次、四次方程的解法（由卡爾丹的學(xué)生費(fèi)拉里（意，1522－1565年）發(fā)現(xiàn)）。在《大術(shù)》中方程的負(fù)根被采用，專(zhuān)門(mén)討論了解方程中遇到的虛根問(wèn)題，首次把它當(dāng)作一般的數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，認(rèn)識(shí)到如果一個(gè)方程有一個(gè)虛根，則應(yīng)該有與之共軛的另一個(gè)虛根。邦貝利（意，1526－1573），意大利文藝復(fù)興時(shí)期最后一位代數(shù)學(xué)家，他的前輩們?cè)?jīng)將這門(mén)學(xué)科推向一個(gè)發(fā)展高潮。邦貝利認(rèn)為除了卡爾丹之外還沒(méi)有人能夠很深入代數(shù)學(xué)這一學(xué)科，但他對(duì)卡爾丹的表述并不滿意，因此準(zhǔn)備寫(xiě)一本書(shū)，以其清楚明了的表述使任何人都可以不必借助別的書(shū)而掌握代數(shù)學(xué)這門(mén)學(xué)問(wèn)，這是1572年邦貝利出版《代數(shù)》的背景。在書(shū)中邦貝利引進(jìn)了虛數(shù)，正式給出了負(fù)數(shù)的明確定義。認(rèn)識(shí)到了數(shù)學(xué)符號(hào)的意義，符號(hào)系統(tǒng)的建立使代數(shù)成為一門(mén)科學(xué)，從常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)的標(biāo)志，反映了數(shù)學(xué)高度抽象與簡(jiǎn)煉。修道士帕西奧里（意，1445－1517年）（意，1994），1494年用鉛字印刷出版的《算術(shù)集成》（全稱(chēng)《算術(shù)、幾何、比與比例集成》）是繼斐波那契之后第一部?jī)?nèi)容全面的數(shù)學(xué)書(shū)，其中采用了優(yōu)越的記號(hào)及大量的數(shù)學(xué)符號(hào)（多為詞語(yǔ)的縮寫(xiě)形式或詞首字母），這是本書(shū)的最突出之處，推進(jìn)了代數(shù)學(xué)的發(fā)展。雖然帕西奧里對(duì)數(shù)學(xué)本身缺乏創(chuàng)建，但其著作具有簡(jiǎn)明、通俗和綜合的特點(diǎn)，因而廣泛流傳，16世紀(jì)意大利的代數(shù)學(xué)有長(zhǎng)足的發(fā)展，其間帕西奧里著作的教育和啟示作用是不能忽視的。《算術(shù)集成》中有“青蛙入井問(wèn)題”的變形“貓捉老鼠問(wèn)題”：一只老鼠在60英尺高的白楊樹(shù)頂上，一只貓?jiān)跇?shù)腳下的地上。老鼠每天下降1/2英尺，晚上又上升1/6英尺；貓每天往上爬1英尺，晚上又滑下1/4英尺；這棵樹(shù)在貓和老鼠之間每天長(zhǎng)1/4英尺，晚上又縮1/8英尺。試問(wèn)貓要多久能捉住老鼠？施蒂費(fèi)爾（德，1487－1567年），16世紀(jì)德國(guó)最大的數(shù)學(xué)家，研究過(guò)代數(shù)和數(shù)論，首先使用加號(hào)＋、減號(hào)－和根號(hào)的人之一，1544年《綜合數(shù)學(xué)》（又譯《算術(shù)大全》）中指出：符號(hào)使用是代數(shù)學(xué)的一大進(jìn)步。最早在印刷圖書(shū)中用“＋”作加、用“－”作減的是維德曼（德，1460－約1499年），1489年出版的《各種貿(mào)易的最優(yōu)速算法》（又譯《簡(jiǎn)算與速算》）創(chuàng)用“＋”、“－”號(hào)用于表示剩余和不足，并未引起人們的注意。1544年施蒂費(fèi)爾及其他一些數(shù)學(xué)家相繼采用了這兩個(gè)抽象數(shù)學(xué)語(yǔ)言符號(hào)才真正地、正式地登上了加減運(yùn)算的舞臺(tái)，漸漸地名揚(yáng)四海，才得到了大家公認(rèn)和使用。等號(hào)叫一對(duì)雙生子。關(guān)于等號(hào)，《算術(shù)集成》中用ae（來(lái)自aequalis）表示相等。牛津大學(xué)數(shù)學(xué)教授雷科德（英，1510－1558）于1557年在代數(shù)論文《智慧的磨刀石》中首次用符號(hào)＝表示相等，文章中寫(xiě)道：“為了避免枯燥的重復(fù)isaequalleto這個(gè)詞，也就是等于，如像我經(jīng)常在自己的工作實(shí)際用到那樣，我就放二條平行線――同樣長(zhǎng)＝的一對(duì)雙生子，因?yàn)槿魏蝺杉|西，不可能比它們更相等?！卑l(fā)明現(xiàn)代小數(shù)點(diǎn)的人是克拉維斯（德，1537－1612年），他在繁榮數(shù)學(xué)這門(mén)學(xué)科上超過(guò)了16世紀(jì)的任何其他德國(guó)學(xué)者，1593年在羅馬出版的《星盤(pán)》中首次使用了現(xiàn)代意義上的小數(shù)點(diǎn)，即把小數(shù)點(diǎn)作為整數(shù)部分與小數(shù)部分分界的記號(hào)，1608年出版的《代數(shù)學(xué)》中更明確地使用這種小數(shù)點(diǎn)。這是用點(diǎn)表示小數(shù)記法之開(kāi)始。1629年吉拉德（荷，1593－1632年）出版的《代數(shù)的新發(fā)現(xiàn)》中用有限線段解釋方程的負(fù)根，并且第一個(gè)提出用減號(hào)“－”表示負(fù)數(shù)。從此，負(fù)數(shù)符號(hào)逐漸得到人們的認(rèn)識(shí)，沿用至今。韋達(dá)（法，1540－1603年），律師與政治家，業(yè)余研究數(shù)學(xué)，16世紀(jì)法國(guó)最大、最有影響的數(shù)學(xué)家（1593年解出比利時(shí)大使提出的45次方程問(wèn)題，但他不承認(rèn)負(fù)數(shù)，叫它為“不合理的數(shù)”），也被認(rèn)為是16世紀(jì)最大的數(shù)學(xué)家，從先輩的著作特別是丟番圖的著作中獲得了使用字母的想法，用字母等符號(hào)表示未知量的值進(jìn)行運(yùn)算，規(guī)定了代數(shù)與算術(shù)的分界，被西方稱(chēng)為“代數(shù)學(xué)之父”，1591年《分析引論》（或《分析方法入門(mén)》）是韋達(dá)最重要的代數(shù)著作，也是最早的符號(hào)代數(shù)專(zhuān)著。在《分析引論》的結(jié)尾寫(xiě)下一句座右銘“沒(méi)有不能解決的問(wèn)題”（Nullumnonproblemasolvere）。1615年《論方程的整理與修正》用代數(shù)方式推出了一般的二次方程的求根公式，記載了著名的韋達(dá)定理，即方程的根與系數(shù)的關(guān)系式。他的著作內(nèi)容深?yuàn)W，言辭艱澀，其理論在當(dāng)時(shí)并沒(méi)有產(chǎn)生很大影響，直到1646年韋達(dá)的文集出版才使他的理論漸漸流傳開(kāi)來(lái)。2、三角學(xué)1450年以前，三角學(xué)主要是球面三角。15、16世紀(jì)德國(guó)人從意大利人獲得了阿拉伯天文學(xué)著作中的三角學(xué)知識(shí)，如阿爾·巴塔尼（858－929年）的《歷數(shù)書(shū)》、納西爾丁·圖西（1201－1274年）的《論完全四邊形》。在16世紀(jì)，三角學(xué)已從天文學(xué)中分離出來(lái)，成為一個(gè)獨(dú)立的數(shù)學(xué)分支。雷格蒙塔努斯（德，1436－1476年），又名繆勒，在維也納大學(xué)學(xué)習(xí)和講授天文學(xué)，逐漸掌握了托勒密的天文學(xué)說(shuō)，并努力鉆研與之相關(guān)的幾何學(xué)、算術(shù)與三角學(xué)，后到羅馬，不斷學(xué)習(xí)拉丁文和希臘文的經(jīng)典學(xué)術(shù)著作，對(duì)數(shù)學(xué)的主要貢獻(xiàn)是在三角學(xué)方面，代表作是完成于1464年《論各種三角形》（或稱(chēng)《三角學(xué)全書(shū)》，1533年出版），是歐洲人對(duì)平面和球面三角學(xué)所作的第一個(gè)完整、獨(dú)立的闡述，歐洲傳播三角學(xué)，他的著作手稿在學(xué)者中廣為傳閱，成為15世紀(jì)最有能力、最有影響的數(shù)學(xué)家，對(duì)16世紀(jì)的數(shù)學(xué)產(chǎn)生了相當(dāng)大的影響，哥白尼的工作受到他的影響，可惜40歲時(shí)英年早逝，死英是瘟疫，但有傳聞?wù)f他是被仇人毒死的。雷格蒙塔努斯出版的《星歷表》給出了1475－1506年間每天的天體位置，有趣的是，哥倫布在第四次航海探險(xiǎn)時(shí)隨身攜帶了一份《星歷表》，并利用它預(yù)示的1504年2月29日的月食嚇唬牙買(mǎi)加的土著印第安人，終于使他們屈服。韋達(dá)（法，1540－1603年），1579年《應(yīng)用于三角形的數(shù)學(xué)定律》系統(tǒng)講述了用所有6種三角函數(shù)解平面的球面三角形，這在西歐也許是第一部書(shū)，1615年《截角術(shù)》系統(tǒng)化了球面三角和平面三角學(xué)。3、射影幾何起源于繪畫(huà)和建筑學(xué)中的透視法，也就是投影和截景。公元前200年左右，古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯在《圓錐曲線論》中把二次曲線作為正圓錐面的截線來(lái)研究。文藝復(fù)興時(shí)期，繪畫(huà)藝術(shù)的盛行促進(jìn)了理論的發(fā)展，透視法成為一門(mén)幾何與繪畫(huà)結(jié)合的熱門(mén)學(xué)科。阿爾貝蒂（意，1404－1472年）于1435年發(fā)表《論繪畫(huà)》一書(shū)，闡述了最早的數(shù)學(xué)透視法思想，他引入投影線和和截景概念，提出在同一投影線下和景物的情況下，任意兩個(gè)截景間有何種數(shù)學(xué)關(guān)系或何種共同的數(shù)學(xué)性質(zhì)等問(wèn)題，這些問(wèn)題是射影幾何發(fā)展的起點(diǎn)。德沙格（法，1591－1661年），約1630年住在巴黎的德沙格又同那時(shí)法國(guó)的幾個(gè)領(lǐng)頭的數(shù)學(xué)家成為朋友，隨后，經(jīng)常出席梅森的“巴黎學(xué)會(huì)”的活動(dòng)，與著名的數(shù)學(xué)家費(fèi)馬也有交往。上述這批人的活動(dòng)和所取得的成就，使法國(guó)成為17世紀(jì)上半葉世界數(shù)學(xué)史上最輝煌的國(guó)度，也為18、19世紀(jì)形成世界的數(shù)學(xué)中心打下良好的基礎(chǔ)。身處這一旋渦的德沙格以其新穎的思想和獨(dú)特的數(shù)學(xué)方法，開(kāi)辟了數(shù)學(xué)的一個(gè)新領(lǐng)域，成為射影幾何學(xué)的先驅(qū)。1636年發(fā)表了第一篇關(guān)于透視法的論文《關(guān)于透視繪圖的一般方法》，主要著作是1639年《試論錐面截一平面所得結(jié)果的初稿》，充滿了創(chuàng)造性的新思想、新方法，是射影幾何早期發(fā)展的代表作。書(shū)中提出并證明了“德沙格定理”：如果兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線共點(diǎn)，那么它們的對(duì)應(yīng)邊的交點(diǎn)共線。其逆定理也成立。圖形連續(xù)變化，變換的不變性，關(guān)心結(jié)構(gòu)不涉及度量。直到1845年，法國(guó)幾何學(xué)家、數(shù)學(xué)史家沙勒才在巴黎的一個(gè)舊書(shū)店里發(fā)現(xiàn)這本書(shū)的手抄本，此時(shí)射影幾何正處于復(fù)興時(shí)期，人們才認(rèn)識(shí)到德沙格這本著作的價(jià)值。1950年前后，在巴黎國(guó)立圖書(shū)館又找到它的原版本，歷經(jīng)300余年的滄桑歲月，它終于在諸多數(shù)學(xué)名著中有了一個(gè)適當(dāng)?shù)奈恢?。射影幾何的綜合方法，用代數(shù)方法處理問(wèn)題更有效，射影幾何產(chǎn)生后很快讓位于代數(shù)、解析幾何和微積分，他們的工作也漸被遺忘，遲至19世紀(jì)才又被人們重新發(fā)現(xiàn)。4、對(duì)數(shù)16世紀(jì)前半葉，歐洲人把實(shí)用的算術(shù)計(jì)算放在數(shù)學(xué)的首位。由于天文和航海計(jì)算的需要，計(jì)算技術(shù)最大的改進(jìn)是對(duì)數(shù)的發(fā)明與應(yīng)用。1585年史蒂文（荷，1548－1620年）曾是荷蘭軍隊(duì)的軍需總監(jiān)，領(lǐng)導(dǎo)過(guò)許多公共建筑工程的建設(shè)，在數(shù)學(xué)方面最重要的著作《十進(jìn)算術(shù)》，系統(tǒng)地探討了十進(jìn)制記數(shù)及其運(yùn)算理論，并提倡用十進(jìn)制小數(shù)來(lái)書(shū)寫(xiě)分?jǐn)?shù)，闡述的思想雖然很簡(jiǎn)單，卻在西方產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。在西方史蒂文是第一個(gè)系統(tǒng)論述十進(jìn)分?jǐn)?shù)及其算術(shù)的人，其動(dòng)機(jī)是簡(jiǎn)化計(jì)算，把它獻(xiàn)給天文學(xué)家、測(cè)量人員和商人。納皮爾（蘇格蘭，1550－1617年），把大部分精力花在那個(gè)時(shí)代的政治和宗教論爭(zhēng)中，但仍為數(shù)學(xué)的發(fā)展做了許多有價(jià)值的工作。受三角公式積化和差，幾何級(jí)數(shù)指數(shù)等的啟示，納皮爾在對(duì)數(shù)的理論上至少花了20年的時(shí)間，于1590年左右開(kāi)始寫(xiě)關(guān)于對(duì)數(shù)的著作，1614年發(fā)表《奇妙對(duì)數(shù)規(guī)則的說(shuō)明》。納皮爾的驚人發(fā)明被整個(gè)歐洲熱心地采用，尤其是天文學(xué)界，簡(jiǎn)直為這個(gè)發(fā)現(xiàn)沸騰起來(lái)了。拉普拉斯就認(rèn)為，對(duì)數(shù)的發(fā)現(xiàn)“以其節(jié)省勞力而延長(zhǎng)了天文學(xué)家的壽命”。在誰(shuí)最先發(fā)現(xiàn)對(duì)數(shù)這個(gè)問(wèn)題上，納皮爾只遇到一個(gè)對(duì)手，即瑞士?jī)x器制造者比爾吉。比爾吉獨(dú)立設(shè)想并造出了對(duì)數(shù)表，于1620年出版了《算術(shù)和幾何級(jí)數(shù)表》。雖然兩個(gè)人都在發(fā)表之前就有了對(duì)數(shù)的概念，但納皮爾的途徑是幾何的，比爾吉的途徑是代數(shù)的。1620年岡特（英，1581－1626年）制成第一把對(duì)數(shù)尺。數(shù)學(xué)史上是先有對(duì)數(shù)，后有指數(shù)概念。而今天的教科書(shū)是先講指數(shù)，并用指數(shù)來(lái)定義對(duì)數(shù)，這正與它的歷史相反。對(duì)數(shù)17世紀(jì)中葉傳入我國(guó)，對(duì)數(shù)一詞被譯為“假數(shù)”。如1653年由波蘭數(shù)學(xué)家穆尼閣（1611－1656）和薛鳳祚合編的《比例對(duì)數(shù)表》一書(shū)，是傳入我國(guó)最早的對(duì)數(shù)著作。當(dāng)時(shí)lg2=0.3010中2