基本要求-控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

基本要求-控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型第一頁，共39頁。2-1概述一.數(shù)學(xué)模型1.定義：描述控制系統(tǒng)內(nèi)部物理量(或變量)之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。靜態(tài)數(shù)學(xué)模型;動態(tài)數(shù)學(xué)模型;建立數(shù)學(xué)模型是分析和設(shè)計自動控制系統(tǒng)的首要任務(wù)。第二頁，共39頁。

另一個原因：許多表面上看毫無共同之處的控制系統(tǒng)，其運動規(guī)律具有相似性，可以用相同形式的數(shù)學(xué)模型表示。2.為什么要建立數(shù)學(xué)模型：只是定性地了解系統(tǒng)的工作原理和大致的運動過程是不夠的，還要從理論上對系統(tǒng)性能進(jìn)行定量的分析和計算。第三頁，共39頁。3.表示形式a.時域:微分﹑差分﹑狀態(tài)方程

b.復(fù)域:傳遞函數(shù)﹑結(jié)構(gòu)圖

c.頻域:頻率特性

三種數(shù)學(xué)模型之間的關(guān)系線性系統(tǒng)傳遞函數(shù)微分方程頻率特性拉氏變換傅氏變換第四頁，共39頁。4.建立方法a.分析法根據(jù)支配系統(tǒng)的內(nèi)在的運動規(guī)律以及系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，列寫相應(yīng)的運動方程，建立數(shù)學(xué)模型。b.工程實驗法給系統(tǒng)施加激勵信號,記錄系統(tǒng)的輸出響應(yīng)，用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型逼近從而建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。第五頁，共39頁。二.線性系統(tǒng)1.定義：用線性微分方程描述的元件或系統(tǒng)。設(shè)元件輸入為時，對應(yīng)的輸出為

當(dāng)r（t）=r1（t）+r2（t）時，

c（t）=c1（t）+c2（t）滿足迭加性當(dāng)r（t）=Ar1（t）時，

c（t）=Ac1（t）滿足齊次性疊加原理：具有迭加性和均勻性(齊次性)。第六頁，共39頁。2.特點：線性性質(zhì)應(yīng)用。

迭加性的應(yīng)用

欲求系統(tǒng)在幾個輸入信號和干擾信號同時作用下的總響應(yīng)，只要對這幾個外作用單獨求響應(yīng)，然后加起來就是總響應(yīng)。

齊次性表明

當(dāng)外作用的數(shù)值增大若干倍時，其響應(yīng)的數(shù)值也增加若干倍。這樣，我們可以采用單位典型外作用（單位階躍、單位脈沖、單位斜坡等）對系統(tǒng)進(jìn)行分析——簡化了問題。第七頁，共39頁。線性連續(xù)系統(tǒng)微分方程的一般形式定常系統(tǒng)：系數(shù)為常數(shù)時變系統(tǒng)線性系統(tǒng)：滿足齊次性和疊加性第八頁，共39頁。2-2微分方程的建立及線性化一.微分方程的建立

微分方程是控制系統(tǒng)最基本的數(shù)學(xué)模型，要研究系統(tǒng)的運動，必須列寫系統(tǒng)的微分方程。

一個控制系統(tǒng)由若干具有不同功能的元件組成，首先要根據(jù)各個元件的物理規(guī)律，列寫各個元件的微分方程，得到一個微分方程組，然后消去中間變量，即得控制系統(tǒng)總的輸入和輸出的微分方程。第九頁，共39頁。例1.彈簧-質(zhì)量-阻尼器機(jī)械位移系統(tǒng)。求m在外力F(t)作用下，物體的運動軌跡。mkF(t)x(t)阻尼系數(shù)f阻尼器彈簧第十頁，共39頁。首先確定：輸入F(t),輸出x(t)其次：依據(jù)元件運動規(guī)律1.牛頓第二定律物體所受的合外力等于物體質(zhì)量與加速度的乘積2.牛頓第三定律作用力等于反作用力

(這里不考慮重力的影響)mF1(彈簧的拉力)F(t)外力F2阻尼器的阻力第十一頁，共39頁。

微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式:1、與輸入量有關(guān)的項寫在方程的右端；2、與輸出量有關(guān)的項寫在方程的左端；3、方成兩端變量的導(dǎo)數(shù)項均按降冪排列第十二頁，共39頁。電氣系統(tǒng)三元件（知識補(bǔ)充）電阻電容電感電學(xué)：歐姆定理、基爾霍夫定律。第十三頁，共39頁。例題2RC電網(wǎng)絡(luò)建模第十四頁，共39頁。例2（變化1）RL電路：研究在輸入電壓ur(t)作用下，電容電壓uL(t)的變化。第十五頁，共39頁。例2（變化3）RLC電路：研究在輸入電壓ur(t)作用下，電容電壓uc(t)的變化。RLCur(t)uc(t)i(t)第十六頁，共39頁。這兩個式子很相似，故可用電子線路來模擬機(jī)械平移系統(tǒng)，這也證明了我們前面講到的，看似完全不同的系統(tǒng)，具有相同的運動規(guī)律，可用相同的數(shù)學(xué)模型來描述。比較：電路系統(tǒng)微分方程上題機(jī)械平移系統(tǒng)的微分方程第十七頁，共39頁。綜上所述,列寫元件微分方程的步驟如下:1)在條件許可下適當(dāng)簡化，忽略一些次要因素；2)根據(jù)元件的工作原理及其在控制系統(tǒng)中的作用,確定其輸入量和輸出量;3)分析元件工作中所遵循的物理或化學(xué)規(guī)律,列寫相應(yīng)的微分方程;4)消去中間變量,得到輸出量與輸入量之間關(guān)系的微分方程。5)將微分方程寫成標(biāo)準(zhǔn)形式。第十八頁，共39頁?？紤]兩個模塊是串聯(lián)關(guān)系，總體傳遞函數(shù)是兩個模塊傳遞函數(shù)相乘就可以了單個模塊題目變種2，尋求新解法（不考慮負(fù)載效應(yīng)）第十九頁，共39頁。上述公式的對應(yīng)拉普拉斯變換題目變種2，尋求新解法（考慮負(fù)載響應(yīng)）第二十頁，共39頁。聯(lián)立，可解得：微分方程為:題目變種3，尋求新解法第二十一頁，共39頁。P36例子2-8電機(jī)控制系統(tǒng)裝在定子中的激磁繞組加有恒定的直流電壓，用來建立恒定的磁場，裝在轉(zhuǎn)子上的電樞繞組加有可變的控制電壓，從而產(chǎn)生控制電流，載流導(dǎo)體在恒定磁場中會產(chǎn)生電磁轉(zhuǎn)矩.該轉(zhuǎn)矩與電樞電流成正比。第二十二頁，共39頁。

為轉(zhuǎn)矩系數(shù)（牛·米/安）,

由于電動機(jī)是帶動減速器和負(fù)載一起轉(zhuǎn)動的，因此列寫電動機(jī)的運動方程時，必須考慮減速器，負(fù)載的轉(zhuǎn)動慣量和粘性摩擦的影響。

電機(jī)軸上力矩平衡方程式（不考慮負(fù)載轉(zhuǎn)矩）

J是電機(jī)轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動慣量同減速器、負(fù)載的轉(zhuǎn)動慣量折算的等效轉(zhuǎn)動慣量。

f是電機(jī)轉(zhuǎn)子的粘性摩擦系數(shù)+減速器、負(fù)載的粘性摩擦系數(shù)折算的等效粘性摩擦系數(shù)。電磁轉(zhuǎn)矩與電樞電流成正比。第二十三頁，共39頁。電樞是一個載流導(dǎo)體，轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)時切割了定子磁場的磁力線，于是電樞中就會產(chǎn)生感應(yīng)電勢Eb，因為與電樞電壓方向相反，故稱為反向電勢，它與電機(jī)的轉(zhuǎn)速成正比。kb是反電勢系數(shù)（伏/（弧度/秒））第二十四頁，共39頁。設(shè)電樞繞組的電阻和電感分別為Ra和La，根據(jù)基爾霍夫定律，電樞繞組的電壓平衡方程式為通常La很小，可以忽略不計,那么第二十五頁，共39頁。代入式：得到：第二十六頁，共39頁。令為直流電動機(jī)的傳遞系數(shù)為直流電動機(jī)的時間常數(shù)所以直流電機(jī)的運動方程為第二十七頁，共39頁。如果電樞電阻Ra和電機(jī)轉(zhuǎn)動慣量J都很小,課簡化為這說明電機(jī)轉(zhuǎn)速與電樞電壓成正比，這樣電動機(jī)（Ra和J都很?。┒伎梢宰鰹槌脺y速發(fā)電機(jī)使用，這就是測速發(fā)電機(jī)工作原理第二十八頁，共39頁。對比本PPT結(jié)論，你發(fā)現(xiàn)與教材例子2-8區(qū)別在哪里例子2-8考慮的負(fù)載總轉(zhuǎn)矩Mc，而上述沒有考慮。第二十九頁，共39頁。二.非線性元件的線性化

幾乎所有元件或系統(tǒng)的運動方程都是非線性方程。但在比較小的范圍運動來說，把這些關(guān)系看作是線性關(guān)系，是不會產(chǎn)生很大誤差的。方程式一經(jīng)線性化，就可以應(yīng)用迭加原理。1.幾種常見的非線性第三十頁，共39頁。有條件存在，只在一定的工作范圍內(nèi)具有線性特性；2.2.2

線性化問題的提出可以應(yīng)用疊加原理，以及應(yīng)用線性理論對系統(tǒng)進(jìn)行分析和設(shè)計。線性系統(tǒng)缺點：線性系統(tǒng)優(yōu)點：線性化定義

將一些非線性方程在一定的工作范圍內(nèi)用近似的線性方程來代替，使之成為線性定常微分方程。第三十一頁，共39頁。2.線性化的方法

（1）忽略弱非線性環(huán)節(jié)（如果元件的非線性因素較弱或者不在系統(tǒng)線性工作范圍內(nèi)，則它們對系統(tǒng)的影響很小，可以忽略）第三十二頁，共39頁。(2)偏微法（小偏差法，切線法，增量線性化法）

特別適用于具有連續(xù)變化的非線性特性函數(shù)。

第三十三頁，共39頁。取某平衡狀態(tài)A為工作點,對應(yīng)有。當(dāng)時，有。設(shè)函數(shù)在點連續(xù)可微，則將它在該點附近用泰勒級數(shù)展開為：第三十四頁，共39頁。當(dāng)增量很小時，略去其高次冪項，則有:

令則線性化方程可簡記為:

略去增量符號，便得到函數(shù)在工作點附近的線性化方程為y=Kx。第三十五頁，共39頁。P43[例2-13]鐵心線圈電路如圖2-11（a）所示，其磁通Φ與線圈中電流i之