江西省上高重點(diǎn)中學(xué)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試題及參考答案

上高重點(diǎn)中學(xué)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期數(shù)學(xué)月考卷一、選擇題(共8題)1.不等式a?2x2+4a?2x?12<0的解集為R，則實(shí)數(shù)A.a?1≤a<2 B.a?1<a≤2

C.a?2<a<12.已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足(z+1)(2?i)=3+i2021,則|z|=A.1 B.2 C.5 D.53.函數(shù)f(x)=|x|?lg?|2x|x2A. B.

C. D.4.已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π2)的部分圖象如圖所示，其中B，C兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，若函數(shù)g(x)=f(ax)(a>0)在[π3,π]上恰有3A.[32,73)∪(52,4)5.某校從甲、乙、丙等8名教師中選派4名同時(shí)去4個(gè)邊遠(yuǎn)地區(qū)支教(每地1名教師)，其中甲和乙不能都去，甲和丙都去或都不去，則不同的選派方案有(

)A.900種 B.600種 C.300種 D.150種6.某種芯片的良品率X服從正態(tài)分布，公司對科技改造團(tuán)隊(duì)的獎(jiǎng)勵(lì)方案如下：若芯片的良品率不超過95%，不予獎(jiǎng)勵(lì)；若芯片的良品率超過95%但不超過96%，每張芯片獎(jiǎng)勵(lì)100元；若芯片的良品率超過96%，每張芯片獎(jiǎng)勵(lì)200元.則每張芯片獲得獎(jiǎng)勵(lì)Y的數(shù)學(xué)期望為元(

)

附：隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布Nμ,σ2，則P(μ?σ<ξ<μ+σ)=0.6826，P(μ?2σ<ξ<μ+2σ)=0.9544，P(μ?3σ<ξ<μ+3σ)=0.9974.A.52.28 B.65.87 C.50.13 D.131.747.已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=anA.928 B.2728 C.10318.已知橢圓y212+x24=1，圓O:x2+y2=4，過橢圓上任一與頂點(diǎn)不重合的點(diǎn)G引圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為P,QA.54 B.45 C.43二、多選題(共4題)9.已知函數(shù)fx=sinωx+3cosA.函數(shù)y=fx的圖象關(guān)于點(diǎn)π3,0中心對稱

B.函數(shù)fx在區(qū)間?π6,π3上的值域?yàn)?,2

C.將函數(shù)y=fx的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的1210.已知在一次數(shù)學(xué)測驗(yàn)中，某校1000學(xué)生的成績服從正態(tài)分布N(100,100)，其中90分為及格線，120分為優(yōu)秀線，則對于該校學(xué)生成績，下列說法正確的有(參考數(shù)據(jù)：①P(μ?σ<X≤μ+σ)=0.6827；②P(μ?2σ<X≤μ+2σ)=0.9545；③P(μ?3σ<X≤μ+3σ)=0.9973.)(

)A.標(biāo)準(zhǔn)差為100 B.及格率超過86%

C.得分在(70,130]內(nèi)的人數(shù)約為997 D.得分低于80的人數(shù)和優(yōu)秀的人數(shù)大致相等11.在數(shù)列an中，a1=2，a2=6，a3=12，若an+1?an是等差數(shù)列，A.a2021=2021×2022 B.b2021=2021×2022

C.12.如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為1，E為BA.直線EC1與直線AD是異面直線

B.在直線A1C1上存在點(diǎn)F，使EF⊥平面A1CD

C.直線BA1與平面A1三、填空題(共4題)13.(1?12x?4x)614.經(jīng)過兩條直線2x?y+4=0和x?y+5=0的交點(diǎn)，并且垂直于直線x?2y=0的直線方程是__________.15.數(shù)列an滿足：an=an?5,n≤7(a?4)n+17,n>7，且16.設(shè)f(x)=a(x?5)2+6lnx，其中a∈R，曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與y軸相交于點(diǎn)(0,6)四、解答題(共5題)17.已知圓C經(jīng)過三點(diǎn)O(0,0)，A(1,1)，B(4,2)；

(1)求圓C的方程；

(2)經(jīng)過點(diǎn)M(1,?4)的直線l被圓C所截得的弦長為45，求直線l的方程．

18.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，sin2A+sin2C=sin2B+sin?Asin?C.

(1)求角B；

(2)若b=7，19.學(xué)校為了了解高三學(xué)生每天自主學(xué)習(xí)中國古典文學(xué)的時(shí)間，隨機(jī)抽取了高三男生和女生各50名進(jìn)行問卷調(diào)查，其中每天自主學(xué)習(xí)中國古典文學(xué)的時(shí)間超過3小時(shí)的學(xué)生稱為“古文迷”，否則為“非古文迷”，調(diào)查結(jié)果如表：古文迷非古文迷合計(jì)男生262450女生302050合計(jì)5644100(Ⅰ)根據(jù)表中數(shù)據(jù)能否判斷有60%的把握認(rèn)為“古文迷”與性別有關(guān)？

(Ⅱ)現(xiàn)從調(diào)查的女生中按分層隨機(jī)抽樣的方法抽出5人進(jìn)行調(diào)查，求所抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人數(shù)；

(Ⅲ)現(xiàn)從(Ⅱ)中所抽取的5人中再隨機(jī)抽取3人進(jìn)行調(diào)查，記這3人中“古文迷”的人數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望．

參考公式：χ2=n(ad?bc)2P(χ2≥000000χ001356

20.已知三棱柱ABC?A1B1C1，側(cè)面AA1C1C是邊長為2的菱形，∠CAA1(1)在棱AC上是否存在一點(diǎn)E，使得AD//平面B1C(2)當(dāng)三棱錐B?A1DC1的體積為3時(shí)，求平面

21.設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若點(diǎn)(an,(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式a(2)設(shè)數(shù)列bn滿足bn=an?(4

22．已知橢圓C:的離心率為，以橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形周長為.(1)求橢圓的方程；(2)直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，線段的垂直平分線與交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，如果，求的值.

答案和解析1.【答案】B

【解析】【分析】本題考查不等式恒成立問題，考查分類討論思想，屬于一般題.

分別在a?2=0和a?2≠0的情況下，結(jié)合一元二次不等式恒成立的求法可構(gòu)造不等式組求得結(jié)果.【解答】解：當(dāng)a?2=0，即a=2時(shí)，不等式?12<0恒成立，滿足題意；

當(dāng)a?2≠0，由不等式解集為R得：a?2<0Δ=16(a?2)2+48(a?2)<0

，解得：?1<a<2；

綜上所述：實(shí)數(shù)a的取值范圍為

2.【答案】A

【解析】【分析】本題考查特殊復(fù)數(shù)的運(yùn)算，復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，復(fù)數(shù)的模，屬于中檔題.

先利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行化簡，再求復(fù)數(shù)的模即可.【解答】解：由已知，得z=3+i2?i?1=3+i?2+i2?i

3.【答案】C

【解析】【分析】本題考查函數(shù)圖象及函數(shù)的奇偶性，屬于中檔題.

由函數(shù)解析式知f(x)為偶函數(shù)，排除A，D，利用x→+∞時(shí)，f(x)→+∞排除B，從而得C符合題意.【解答】解：由解析式知f(x)的定義域?yàn)閧x|x≠0}，

又f(?x)=|?x|?lg?|?2x|(?x)2=|x|?lg?|2x|x2=f(x)，

所以f(x)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱，所以A，D不符合題意，

由二次函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的增長速度知，當(dāng)x→+∞時(shí)，lg?|2x|

4.【答案】D

【解析】【分析】本題考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題.

先求出f(x)的解析式，得g(x)=f(ax)=sin(2ax+【解答】解：由題意知BC//x軸，

所以f(x)的圖象的一條對稱軸方程為x=π2+2π32=7π12，7π12?π3=π4=14?2πω，

所以ω=2.

由于f(x)的圖象過(π3,0)，

由2×π3+φ=π+2kπ，k∈Z，且0<φ<π2，得φ=π3，

所以f(x)=sin(2x+π3).

故g(x)=f(ax)=sin(2ax+π3)，

因?yàn)閤∈[π3,π]，

所以2ax+π3

5.【答案】B

【解析】【分析】本題考查排列與排列數(shù)公式的掌握程度，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)甲是否去支教進(jìn)行分類，第一類，甲去支教，則乙不去支教，且丙也去支教，第二類，甲不去支教，且丙也不去支教，即求得答案.【解答】解：依題意，就甲是否去支教進(jìn)行分類計(jì)數(shù)：

第一類，甲去支教，則乙不去支教，且丙也去支教，

則滿足題意的選派方案有C52?A44=240種；

第二類，甲不去支教，且丙也不去支教，

則滿足題意的選派方案有

6.【答案】B

【解析】【分析】本題考查了正態(tài)分布列的定義與應(yīng)用問題，也考查了推理與計(jì)算能力，屬于中檔題．

根據(jù)X～N(0.95,0.012)得出μ=0.95，μ+σ=0.96【解答】解：因?yàn)閄～N(0.95,0.012)，所以μ=0.95，μ+σ=0.96，

所以P(X≤0.95)=P(X≤μ)=0.5，

P(0.95<X≤0.96)=P(μ<X≤μ+σ)=12P(μ?σ<X≤μ+σ)=12×0.6826=0.3413；

P(X>0.96)=1

7.【答案】C

【解析】【分析】本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系，裂項(xiàng)相消法求和，屬于中檔題.

根據(jù)題意，得出1an是以1a1=1為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，求出數(shù)列【解答】解：a1=1，an+1=an3an+1(n∈N?)，

則1an+1=3an+1an=1an

8.【答案】D

【解析】【分析】此題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡單性質(zhì)有應(yīng)用，屬于中檔題.設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y【解答】解：設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),G(x因?yàn)辄c(diǎn)G在切線GP,GQ上，所以x1x3所以直線PQ的方程為x3所以M(4因?yàn)辄c(diǎn)G(x3,所以3x所以3OM故選：D.

9.【答案】ACD

【解析】【分析】本題考查函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題.

先求f(x)=2【解答】解：由題意，化簡得f(x)=sinωx+3cosωx=2sin(ωx+π3)，

由題意知周期T=2πω=π，得ω=2，所以f(x)=2sin(2x+π3)，

當(dāng)x=π3時(shí)，2x+π3=π，y=0，故A項(xiàng)正確;

當(dāng)x∈[?π6,π3]時(shí)，2x+π3∈[0,π]，故f(x)∈[0,2]，故B項(xiàng)錯(cuò)誤;

將函數(shù)y=f(x)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的

10.【答案】CD

【解析】【分析】本題考查正態(tài)曲線及其性質(zhì)，屬于中檔題．

利用正態(tài)分布中兩個(gè)量μ和σ的意義，利用曲線的對稱性即可判斷各選項(xiàng)正誤．【解答】解：由題意知，μ=100,σ2=100，

A:標(biāo)準(zhǔn)差：σ2=10，故A錯(cuò)誤.

B：P(100?10<X≤100+10)=P(90<X≤110)=0.6827，P(X≤90)=12[1?P(90<X≤110)]=0.15865，

P(X>90)=1?P(X≤90)=0.84135<0.86=86%，故B錯(cuò)誤.

C：P(100?30<X≤100+30)=P(70<X≤130)=0.9973，

∴1000×0.9973≈997人，故C正確.

D:P(100?20<X≤100+20)=P(80<X≤120)=0.9545，

11.【答案】AC

【解析】【分析】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查裂項(xiàng)相消法求和，屬于中檔題.

由題意求出an+1?an=4+2(n?1)=2(n+1)，從而得到【解答】解：數(shù)列an+1?an是等差數(shù)列，因?yàn)閍1=2，a2=6，a3=12，

所以(a3?a2)?(a2?a1)=2，

所以an+1?an=4+2(n?1)=2(n+1)，

當(dāng)n≥2時(shí)，

an=(an

12.【答案】BCD

【解析】【分析】本題考查空間中直線與直線的位置關(guān)系，異面直線的判定，利用空間向量判定線面垂直，利用空間向量求線面角，點(diǎn)面距離，屬中檔題.

對于A，連接B1A,C1D，由E為BA1的中點(diǎn)可得E為B1A的中點(diǎn)，再由B1A//C1D且B1A=C1D可得EA//C1D且EA=【解答】解：對于A，連接B1A,C1D，因?yàn)樵谡襟wABCD?A1B1C1D1中E為BA1的中點(diǎn)，所以E為B1A的中點(diǎn)，又因?yàn)锽1A//C1D且B1A=C1D，所以EA//C1D且EA=12C1D，所以四邊形AEC1D為梯形，所以直線EC1與直線AD共面，故A錯(cuò)誤；

對于B，以A為原點(diǎn)，以AB，AD，AA1所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則E12,0,12，設(shè)A1F=λA1C1，則Fλ,λ,1，EF=λ?12,λ,12，設(shè)平面A1CD的一個(gè)法向量為m=x,y,z，由m?DC=0m?

13.【答案】581

【解析】【分析】本題考查二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)，屬于中檔題.

先由(1?12x【解答】解：(1?12x?4x)6=[1?(12x+4x)]6，

所以(1?12x?4x)6的展開式的通項(xiàng)為Tr+1=C6r?16?r?(?1)r?(12x+4x)r，

14.【答案】2x+y?8=0

【解析】【分析】本題考查求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，掌握兩直線垂直時(shí)斜率滿足的關(guān)系，會(huì)根據(jù)一點(diǎn)坐標(biāo)和斜率寫出直線的方程，是中檔題．

聯(lián)立已知的兩直線方程得到一個(gè)二元一次方程組，求出方程組的解即可得到兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，所求的直線過交點(diǎn)坐標(biāo)，然后由兩直線垂直時(shí)斜率的乘積等于?1，根據(jù)已知直線x?2y=0的斜率即可得到所求直線的斜率，點(diǎn)斜式寫出所求直線的方程即可．【解答】解：聯(lián)立得：{2x?y+4=0①x?y+5=0②，

①-②得：x=1，把x=1代入②，解得y=6，

原方程組的解為：x=1y=6，

所以兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,6)，

又因?yàn)橹本€x?2y=0的斜率為12，所以所求直線的斜率為?2，

則所求直線的方程為：y?6=?2(x?1)，即

15.【答案】(4,5)

【解析】【分析】本題考查數(shù)列的函數(shù)特征，分段函數(shù)的單調(diào)性，屬于一般題.

由分段函數(shù)的單調(diào)性得不等式組a>1a?4>0a【解答】解：由數(shù)列an是遞增數(shù)列得a>1a?4>0a7?5<a?4×8+17，

即a>1a>4a2?8a+15<0，

16.【答案】12【解析】【分析】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程、屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率，得到切線方程，結(jié)合已知列出方程求a的值即可.【解答】解：∵f(x)=a(x?5)2+6lnx，

故f′(x)=2a(x?5)+6x，(x>0)，

令x=1，得f(1)=16a，f′(1)=6?8a，

∴曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y?16a=(6?8a)(x?1)，

由切線與y軸相交于點(diǎn)(0,6).得6?16a=8a?6

17.【答案】解：(1)設(shè)圓C的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，D2+E2?4F>0，

則由圓C經(jīng)過三點(diǎn)O(0,0)，A(1,1)，B(4,2)；

可得F=02+D+E+F=020+4D+2E+F=0，

求得

D=?8E=6F=0，

可得圓C的方程為x2+y2?8x+6y=0.

(2)由x2+y2?8x+6y=0，得x?42+y+32=25，

所以圓心C(4,?3)，半徑為5，弦長為25，

故圓心C到直線l的距離為5.

再根據(jù)直線l【解析】本題主要考查用待定系數(shù)法求圓的方程，直線和圓相交的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離公式，屬于中檔題．

(1)設(shè)圓C的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，則根據(jù)圓C經(jīng)過三點(diǎn)O(0,0)，A(1,1)，B(4,2)；聯(lián)立方程組，求得D、E、F的值，可得圓C的方程．

(2)由題意利用弦長公式可得圓心C到直線l的距離為5，用點(diǎn)斜式設(shè)出直線l的方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式求得直線l的斜率18.【答案】解：(1)因?yàn)閟in2A+sin2C=sin2B+sinAsinC，

由正弦定理可得a2+c2=b2+ac，即a2+c2?b2=ac，

由余弦定理可得cosB=a2+c2【解析】本題考查解三角形，正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

(1)由正弦定理轉(zhuǎn)化條件可得a2+c2?b2=ac，再結(jié)合余弦定理，即可解出B；

(2)利用正弦定理整理?xiàng)l件得到a=3c，再由余弦定理即可解出c，進(jìn)而得到BC邊上的高．

19.【答案】

解：(Ⅰ)由列聯(lián)表得χ2=100(26×20?30×24)256×44×50×50≈0.6490.708，

所以沒有60%的把握認(rèn)為“古文迷”與性別有關(guān)．

(Ⅱ)調(diào)查的50名女生中“古文迷”有30人，“非古文迷”有20人，

按分層隨機(jī)抽樣的方法抽出5人，

則“古文迷”的人數(shù)為5×3050=3人，“非古文迷”有5×2050=2人．

即抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人數(shù)分別為3人和2人，

(Ⅲ)因?yàn)棣螢樗槿〉?人中“古文迷”的人數(shù)，所以ξ的所有取值為1，ξ123P331于是E(ξ)=1×3【解析】本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)知識的運(yùn)用，考查隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．

(Ⅰ)求出χ2，與表格中的數(shù)據(jù)比較，即可得出結(jié)論；

(