數(shù)理統(tǒng)計的基本概念考研資料

第六章數(shù)理統(tǒng)計的基本概念

第一節(jié)基本概念

1、概念網(wǎng)絡(luò)圖

,總體、

個體

數(shù)理統(tǒng)計的基本概念樣本一正態(tài)總體下的四大分布

樣本函數(shù)

統(tǒng)計量

2、重要公式和結(jié)論

（1）數(shù)理在數(shù)理統(tǒng)計中，常把被考察對象的某一個（或多個）指標(biāo)的全

統(tǒng)計的基總體體稱為總體（或母體）。我們總是把總體看成一個具有分布的隨

本概念機(jī)變量（或隨機(jī)向量）。

個體總體中的每一個單元稱為樣品（或個體）。

我們把從總體中抽取的部分樣品X,,X2，…，乙稱為樣本。樣本

中所含的樣品數(shù)稱為樣本容量，?般用n表示。在一般情況下，

總是把樣本看成是n個相互獨(dú)立的且與總體有相同分布的隨機(jī)

樣本變量，這樣的樣本稱為簡單隨機(jī)樣本。在泛指任一次抽取的結(jié)

果時，X|，w，…,x”表示n個隨機(jī)變量（樣本）；在具體的一次

抽取之后，再，X2,…,X”表示n個具體的數(shù)值（樣本值）。我們

稱之為樣本的兩重性。

設(shè)匹，血,…,X,為總體的一個樣本，稱

樣本函數(shù)和夕=夕（xi,x2,---,xn）

統(tǒng)計量為樣本函數(shù)，其中9為一個連續(xù)函數(shù)。如果夕中不包含任何未

知參數(shù)，則稱夕（的，》2「”,演）為一個統(tǒng)計量。

-1〃

樣本均值x=

〃/=1

]n

樣本方差S—Z(%，X)2.

〃-1(=1

樣本標(biāo)準(zhǔn)差S1」一￡區(qū)-x)2.

樣本k階原點(diǎn)矩

1〃

常見統(tǒng)計量Mk=-gx：,攵=1,2,….

及其性質(zhì)?,=l

樣本k階中心矩

1〃—

M'k二一￡(/一個，攵=2,3,….

〃片

2

E(了)=〃，D(X)=—,

n

ES)=T,E(S*2)=H^2,

n

1?1_—

其中S*2=—￡(Xj-X)2,為二階中心矩。

47=1

設(shè)X1,%2,…,x”為來自正態(tài)總體N(〃,cr2)的一-個樣本，則樣

(2)正態(tài)本函數(shù)

總體下的正態(tài)分布

泮N?N(OD

四大分布

a/y/n

設(shè)X1,%2,…,X"為來自正態(tài)總體NO。？)的'個樣本，則樣

本函數(shù)

產(chǎn)fX—〃,..

t分布L------?/(?-1),

其中t(n-1)表示自由度為n-1的t分布。

設(shè)七,》2,…,X"為來自正態(tài)總體N(〃,cr2)的一個樣本，則樣

本函數(shù)

/分布

何(〃-1斤2

2?％51)，

(J

其中力2(〃一1)表示自由度為n-1的力2分布。

設(shè)Xi，%,…,x”為來自正態(tài)總體N（〃,cr：）的一個樣本，而

必，為，…,尤為來自正態(tài)總體N（〃,<7；）的一個樣本，則樣本

函數(shù)

defS：/CT.2

產(chǎn)一^7^?尸（”「1’〃2—1），

F分布

其中

S|=5（Ex）,S2=X（y,y）;

-1/=l〃2-1,=1

廠（勺一1,〃2—1）表示第.自由度為勺一1，第二自由度為

〃2-1的F分布。

（3）正態(tài)又與S2獨(dú)立。

總體下分

布的性質(zhì)

例6.1：從正態(tài)總體N（3.4,6?）中抽取容量為n的樣本，如果要求其樣本均值位于區(qū)間（L4,

5.4）內(nèi)的概率不小于0.95,問樣本容量n至少應(yīng)取多大？

第二節(jié)重點(diǎn)考核點(diǎn)

統(tǒng)計量的分布

第三節(jié)常見題型

1、統(tǒng)計量的性質(zhì)

例6.2：設(shè)（乂，占,…,丫7）取自總體X?N（0,0.52）,則________

3=i）

_____O

例6.3：設(shè)總體X服從正態(tài)分布N（%?2），總體y服從正態(tài)分布

N（〃2,X2,…X“,和匕石，…七分別是來自總體X和丫的簡單隨機(jī)樣本，則

22

之(Xj—滅)+￡(ry-n

/=1j=\

%+〃2-2

2、統(tǒng)計量的分布

例6.4：設(shè)…，X,）是來自正態(tài)總體N（〃Q2）的簡單隨機(jī)樣本，X是樣本均值,

記

1”一1〃_

1”

￡=一^（乂-〃）2,S4之黨（一）2,

則服從自由度為n-1的t分布的隨機(jī)變量是

(A)/=X',X—R

(B)t=

S]/J"-1

s2/V?^T'

X-uX-u

(C)t—-------尸.(D)t—-------1=.[]

S31aS)品

例6.5：設(shè)總體X?N（0,儼），從總體中取一個容量為6的樣本（X1,X2,…，乂6）,設(shè)

22

Y=（Xt+X2+X3）+（X4+X5+Xb）,試確定常數(shù)C,使隨機(jī)變量CY服從72分布。

第四節(jié)歷年真題

數(shù)學(xué)一:

1（98,4分）從正態(tài)總體N（3.4,6?）中抽取容量為〃的樣本，如果要求其樣本均

值位于區(qū)間（1.4,5.4）內(nèi)的概率不小于0.95,問樣本容量力至少應(yīng)取多大？

［附表］:①(Z)=

2(01,7分)設(shè)總體X?N(〃,b2)(b>0),從該總體中抽取簡單隨機(jī)樣本

___12n

,其樣本的均值x=—Yxi,求統(tǒng)計量

2n,=1

y=￡(Xj+Xn+i-2T)2的數(shù)學(xué)期望E(Do

z=l

3(03,4分)設(shè)隨機(jī)變量X??〃)(〃>l),y=°v，則

X-

(A)Y~x2(Z>)(B)Y~x2(?-1)

(C)Y~F(w,l)(D)K~F(l,w)

4.(05,4分)設(shè)X-X2,…,X”(〃N2)為來自總體N(0,l)的簡單隨機(jī)樣本，滅為樣

本均值，S?為樣本方差，則

(A)點(diǎn)?N(0,l)(B)nS2~x\n)

(C)小區(qū)?傘―1)(D)("OX：—

s

i=2

5.(05,9分)設(shè)X-X2,…,X”(〃>2)為來自總體N(0,l)的簡單隨機(jī)樣本，亍為樣

本均值，記匕=乂—刀,z=l,2,-,?o

求：(I)匕的方差。匕，/=1,2,???,/?；

(II)X與匕的協(xié)方差。。丫化,匕)。

數(shù)學(xué)二:

1（94,3分）設(shè)天/2,…,X,是來自正態(tài)總體N（〃Q2）的簡單隨機(jī)樣本，X

是樣本均值，記

S”迄…

則服從自由度為7^1的￡分布的隨機(jī)變量是

(A)t=X/(B)t=X-4

S]/-1

X-u

(C)t=^=(D)t=/[]

S314rlSj4n

2（97,3分）設(shè)隨機(jī)變量才和N相互獨(dú)立且都服從正態(tài)分布N（0,32）,,而

X/2,…王和乂,丫2,…多分別是來自總體乃和F的簡單隨機(jī)樣本。則統(tǒng)計量

u=：；：…服從

分布，參數(shù)為

3（98,3分）設(shè)乂,工2，丫3，丫4是來自正態(tài)總體〃（0,22）的簡單隨機(jī)樣本。

X=a（X1-2媽）2+b（,3X3-4尤）2.則當(dāng)a=，IB寸，統(tǒng)計量期員

從？分布，其自由度為。

4（99,7分）設(shè)X”X2,…X9是來自正態(tài)總體開的簡單隨機(jī)樣本，

yl...X）,

i=（X1++6Y2=^X1+XS+X9）

o3

心生因-獷,z=^2目力

2/=13

證明統(tǒng)計量z服從自由度為2的t分布。

5（01,3分）設(shè)總體￥力（0,2b,而X「X2,…,X|5是來自總體X的簡單隨機(jī)樣

本，則隨機(jī)變量

y=X；+…+X.

-2（X1+…+腌

服從分布，參數(shù)為O

6（02,3分）設(shè)隨機(jī)變量X和y都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則

（A）K4服從正態(tài)分布。（B）1+產(chǎn)服從V分布。

（C）片和戶都服從V分布。（D）》/「服從多｝布。[]

7（03,4分）設(shè)總體才服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，X1,Xz，…X“為來自總體才

Ig

的簡單隨機(jī)樣本，則當(dāng)〃->8時，工=—依概率收斂于。

〃/=1

8（04,4分）設(shè)總體X服從正態(tài)分布N（出,。2）,總體y服從正態(tài)分布

N（〃2,?。?，

乂,占廣。叫和乂名,…4分別是來自總體x和y的簡單隨機(jī)樣本，則

_2肛_2

X（xj-X）+Z（%-丫）

E-----------------------------=___.

〃1+〃2-2

9.（06,4分）設(shè)總體X的概率密度為/（刀）=；/“（一8Vx<+8）,毛，％2,…,x”為

總體的簡單隨機(jī)樣本，其樣本方差S2,則成2=

第七章參數(shù)估計

第一節(jié)基本概念

1、概念網(wǎng)絡(luò)圖

'無偏性]

‘矩估計'

點(diǎn)估計＜一估計量的評選標(biāo)準(zhǔn)有效性，

.極大似然估計.

從樣本推斷總體一致性

區(qū)間估計｛單正態(tài)總體的區(qū)間估計｝

2、重要公式和結(jié)論

設(shè)總體X的分布中包含有未知數(shù)仇,，2,…，則其分布函數(shù)可以表成

F（x;4,名，…,/）?它的k階原點(diǎn)矩v,=E[Xk）（k=1,2,…，⑼中也

包含了未知參數(shù)片,,即匕=匕.（仇，％,…。又設(shè)

七，x”為總體X的n個樣本值，其樣本的k階原點(diǎn)矩為

1n

-\x.（Z:=1,2,-??,??）.

n；.

這樣，我們按照“當(dāng)參數(shù)等于其估計量時，總體矩等于相應(yīng)的樣本矩”

的原則建立方程，即有

AAA1J、

vi（價,%，…，。〃）=一E'i，

⑴點(diǎn)

矩估計AAA1

估計%（用&…4）=—Zx\

〃Z=1

?

AAA]〃

匕⑸電，…，%=一￡x：.

[ni=\

由.上面的m個方程中，解出的m個未知參數(shù)（后,即為參數(shù)

（優(yōu)，/，,,,,/）的矩估計量。

若3為。的矩估計,g（x）為連續(xù)函數(shù)，則g。）為g（e）的矩估計。

當(dāng)總體X為連續(xù)型隨機(jī)變量時，設(shè)其分布密度為

/(x；q，&，…,/),其中4，仇，…仇為未知參數(shù)。又設(shè)

X1…,X”為總體的一個樣本，稱

〃仇，2,…,￡)=自/區(qū);仇，仇

/=!

為樣本的似然函數(shù)，簡記為。.

當(dāng)總體X為離型隨機(jī)變量時，設(shè)其分布律為

p{x=x}=p(x；q…4)，則稱

L(X],X2,…,x”；q,2,…4)=[[,區(qū);仇…4)

極大似/=1

然估計為樣本的似然函數(shù)。

若似然函數(shù)￡(再,二,…,小;名，仇在標(biāo)處取

到最大值，則稱江,,3”分別為仇，仇，…,仇，的最大似然估計值，

相應(yīng)的統(tǒng)計量稱為最大似然估計量。

SlnA?

=0,z=1,2,…，加

強(qiáng)一

若2為。的極大似然估計，g(x)為單調(diào)函數(shù)，則g(歷為g(6)的極大

似然估計。

AAA

設(shè)。=火為，聲,…,x“)為求知參數(shù)。的估計量。若E(。)=6,則稱

無偏性方亞的無偏估計量。

E(X)=E(X),E(S2)=D(X)

設(shè)11="(X],X，2，…,X“)和=)2(X],X，2，…,X“)是未知參數(shù)6

有效性

的兩個無偏估計量。若。(4)<。@2),則稱就比有效。

⑵估

計量的設(shè)4”是。的一串估計量，如果對于任意的正數(shù)￡,都有

評選標(biāo)

準(zhǔn)limP欣-例〉￡)=0,

8

則稱人為。的一致估計量(或相合估計量)。

?致性

若3為e的無偏估計，且->o(〃-8),則)為夕的一致估計。

只要總體的E(X)和D(X)存在，一切樣本矩和樣本矩的連續(xù)函數(shù)都是相

應(yīng)總體的一致估計量。

乙出

，…，

,X”

本占

從樣

我們

如果

數(shù)eo

知參

的未

待估

一個

含有

體x

設(shè)總

與

,乙）

，2,…

（x”x

=q

用

計量

個統(tǒng)

出兩

找

，

發(fā)

置信區(qū)

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得區(qū)

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，演）

，X，2,…

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