概率論與數(shù)理統(tǒng)計第四講

概率論與數(shù)理統(tǒng)計第四講第1頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五1、有些試驗結果本身與數(shù)值有關（本身就是一個數(shù)）.例如，擲一顆骰子面上出現(xiàn)的點數(shù)；五月份張家港最高溫度；每天從鎮(zhèn)江下火車的人數(shù)；昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)；

一、隨機變量的概念2第2頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五這種對應關系在數(shù)學上理解為定義了一種實值函數(shù).X(e)e.R這種實值函數(shù)與在高等數(shù)學中大家接觸到的函數(shù)一樣嗎？2、在有些試驗中，試驗結果看來與數(shù)值無關，但我們可以引進一個變量來表示它的各種結果.也就是說，把試驗結果數(shù)值化.

3第3頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五（1）它隨試驗結果的不同而取不同的值，因而在試驗之前只知道它可能取值的范圍，而不能預先肯定它將取哪個值.（2）由于試驗結果的出現(xiàn)具有一定的概率，于是這種實值函數(shù)取每個值和每個確定范圍內(nèi)的值也有一定的概率.稱這種定義在樣本空間上的實值函數(shù)為隨量機變簡記為r.v.4第4頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五而表示隨機變量所取的值時,一般采用小寫字母x,y,z等.隨機變量通常用大寫字母X,Y,Z或希臘字母ζ,η等表示定義：設隨機試驗的樣本空間為S={e}.X=X(e)是定義在樣本空間S上的實值單值函數(shù)，稱X=X(e)為隨機變量.5第5頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五例如，從某一學校隨機選一學生，測量他的身高.我們可以把可能的身高看作隨機變量X,然后我們可以提出關于X的各種問題.如P(X>1.7)=？P(1.5<X<1.7)=?

一旦選定了一個學生并量了他的身高之后，我們就得到X的一個具體的值，記作x.

這時,要么x≥1.7米，要么x<1.7米，再去求P(x≥1.7米)就沒有什么意義了.P(X≤1.5)=?6第6頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五有了隨機變量,隨機試驗中的各種事件，就可以通過隨機變量的關系式表達出來.

二、引入隨機變量的意義如：單位時間內(nèi)某電話交換臺收到的呼叫次數(shù)用X表示，它是一個隨機變量.事件{收到不少于1次呼叫}{X1}{沒有收到呼叫}{X=0}

隨機事件是從靜態(tài)的觀點來研究隨機現(xiàn)象，而隨機變量則是一種動態(tài)的觀點.7第7頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五三、隨機變量的分類

如“取到次品的個數(shù)”，“收到的呼叫數(shù)”等.隨機變量離散型隨機變量連續(xù)型隨機變量所有取值可以逐個一一列舉.例如，“電視機的壽命”，實際中常遇到的“測量誤差”等.全部可能取值不僅無窮多，而且還不能一一列舉，是充滿一個區(qū)間.它們有很多相同或相似之處；又各有特點.8第8頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五解：分析例1一報童賣報，每份0.15元，其成本為0.10元.報館每天給報童1000份報，并規(guī)定他不得把賣不出的報紙退回.設X為報童每天賣出的報紙份數(shù)，試將報童賠錢這一事件用隨機變量的表達式表示.當0.15X<1000×0.1時，報童賠錢故{報童賠錢}{X666}{報童賠錢}{賣出的報紙錢不夠成本}9第9頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五

這樣，我們就掌握了X這個隨機變量取值的概率規(guī)律.從中任取3個球取到的白球數(shù)X是一個隨機變量X可能取的值是0,1,2取每個值的概率為例2且10第10頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五1.定義:其中(k=1,2,…)滿足：

k=1,2,…（1）（2）定義1：設xk(k=1,2,…)是離散型隨機變量X所取的一切可能值，稱

k=1,2,……

為離散型隨機變量X的分布律(或概率分布).用這兩條性質(zhì)判斷一個函數(shù)是否是分布律四、離散型隨機變量概率分布的定義11第11頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五解:依據(jù)分布律的性質(zhì):P(X=k)≥0,

a≥0從中解得欲使上述函數(shù)為分布律應有這里用到了常見的冪級數(shù)展開式例3設隨機變量X的分布律為：k=0,1,2,…,試確定常數(shù)a.12第12頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五2、表示方法（2）圖示法（3）公式法（1）列表法：X~再看例2任取3個球X為取到的白球數(shù)X可能取的值是0,1,20.10.30.6kPK01213第13頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五例4.某籃球運動員投中籃圈概率是0.9，求他兩次獨立投籃投中次數(shù)X的分布律.解：X可取0、1、2為值

P(X=0)=(0.1)(0.1)=0.01

P(X=1)=2(0.9)(0.1)=0.18

P(X=2)=(0.9)(0.9)=0.81且P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1常表示為：14第14頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五例5.

某射手連續(xù)向一目標射擊，直到命中為止，已知他每發(fā)命中的概率是p，求所需射擊發(fā)數(shù)X

的分布律.解:顯然，X可能取的值是1,2,…，

P(X=1)=P(A1)=p,為計算P(X=k)，k=1,2,…，Ak

={第k發(fā)命中}，k=1,2,…，設于是15第15頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五可見這就是求所需射擊發(fā)數(shù)X的分布律.

P(X=1)=P(A1)=p,Ak

={第k發(fā)命中}，k=1,2,…，設于是

若隨機變量X的分布律如上式，則稱X具有幾何分布.不難驗證:16第16頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五例6.一汽車沿一街道行駛，需要通過三個均設有紅綠信號燈的路口，每個信號燈為紅或綠與其它信號燈為紅或綠相互獨立，且紅綠兩種信號燈顯示的時間相等.以X表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口的個數(shù)，求X的分布律.解:

P(X=0)=P(A1)=1/2,Ai={第i個路口遇紅燈},i=1,2,3設路口3路口2路口1依題意,X可取值0,1,2,3.17第17頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五P(X=1)=P()=1/4

P(X=2)=P()=1/8X表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口的個數(shù)路口3路口2路口1路口3路口2路口1Ai={第i個路口遇紅燈},i=1,2,3設18第18頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五=1/8P(X=3)=P()路口3路口2路口1即不難看到X表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口的個數(shù)Ai={第i個路口遇紅燈},i=1,2,3設19第19頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五例7設生男孩的概率為p,生女孩的概率為q=1-p，令X表示隨機抽查出生的4個嬰兒中“男孩”的個數(shù).貝努里概型和二項分布五、我們來求X的分布律.X表示隨機抽查的4個嬰兒中男孩的個數(shù)，生男孩的概率為p.解:X可取值0,1,2,3,4.X的分布率是：20第20頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五男女X=0X=1X=2X=3X=421第21頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五例8將一枚均勻骰子拋擲3次，令X表示3次中出現(xiàn)“4”點的次數(shù)X的分布律是：不難求得，一般地，設在一次試驗中我們只考慮兩個互逆的結果：A或可形象地把兩個互逆結果叫做“成功”和“失敗”.擲骰子：“擲出4點”，“未擲出4點”抽驗產(chǎn)品：“是正品”，“是次品”22第22頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五這樣的n次獨立重復試驗稱作n重貝努里試驗，簡稱貝努里試驗或貝努里概型.設我們重復地進行n次獨立試驗(“重復”是指這次試驗中各次試驗條件相同)，每次試驗成功的概率都是p，失敗的概率都是q=1-p.23第23頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五用X表示n重貝努里試驗中事件A（成功）出現(xiàn)的次數(shù)，則（2）不難驗證：（1）稱r.vX服從參數(shù)為n和p的二項分布，記作X~b(n,p)當n=1時，P(X=k)=pk(1-p)1-k,k=0,1稱X服從0-1分布24第24頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五例9

已知100個產(chǎn)品中有5個次品，現(xiàn)從中有放回地取3次，每次任取1個，求在所取的3個中恰有2個次品的概率.解:因為這是有放回地取3次，因此這3次試驗的條件完全相同且獨立，它是貝努里試驗.依題意，每次試驗取到次品的概率為0.05.設X為所取的3個中的次品數(shù)，于是，所求概率為：則X~b(3,0.05)，25第25頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五注：若將本例中的“有放回”改為”無放回”，那么各次試驗條件就不同了，不是貝努里概型，此時，只能用古典概型求解.古典概型與貝努里概型不同，有何區(qū)別？26第26頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五貝努里概型對試驗結果沒有等可能的要求，但有下述要求：（1）每次試驗條件相同；二項分布描述的是n重貝努里試驗中出現(xiàn)“成功”次數(shù)X的分布律.（2）每次試驗只考慮兩個互逆結果A或，且P(A)=p，；（3）各次試驗相互獨立.可以簡單地說，27第27頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五例10

某類燈泡使用時數(shù)在1000小時以上的概率是0.2，求三個燈泡在使用1000小時以后最多只有一個壞了的概率.解:設X為三個燈泡在使用1000小時已壞的燈泡數(shù).X~B(3,0.8)，把觀察一個燈泡的使用時數(shù)看作一次試驗,“使用到1000小時已壞”視為“成功”.每次試驗,“成功”的概率為0.8

P(X1)=P(X=0)+P(X=1)=(0.2)3+3(0.8)(0.2)2=0.10428第28頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五對于固定n及p，當k增加時,概率P(X=k)先是隨之增加直至達到最大值,隨后單調(diào)減少.二項分布的圖形特點：X~B(n,p)當(n+1)p不為整數(shù)時，二項概率P(X=k)在k=[(n+1)p]達到最大值；n=10,p=0.7nPk29第29頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五對于固定n及p，當k增加時,概率P(X=k)先是隨之增加直至達到最大值,隨后單調(diào)減少.二項分布的圖形特點：X~b(n,p)當(n+1)p為整數(shù)時，二項概率P(X=k)在k=(n+1)p和k=(n+1)p-1處達到最大值.n=13,p=0.5Pkn0觀察二項分布的圖形隨參數(shù)n,p的具體變化.二項分布30第30頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五六、泊松分布定義：設隨機變量X所有可能取的值為0,1,2,…,且概率分布為：其中>0是常數(shù),則稱X服從參數(shù)為的泊松分布,記作X~.