第1課時變化率與導(dǎo)數(shù)一輪復(fù)習(xí)講義

第三知識塊導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第1課時變化率與導(dǎo)數(shù)高考風向標縱觀2022年高考試題可以看出，導(dǎo)數(shù)的概念及其運算是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的基礎(chǔ)，是高考重點考查的內(nèi)容。要牢記導(dǎo)數(shù)公式，熟練應(yīng)用導(dǎo)數(shù)公式求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，掌握求導(dǎo)數(shù)的方法?？疾榉绞揭钥陀^題為主，主要考查導(dǎo)數(shù)的基本公式和運算法則，以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義。預(yù)測在2022年高考中該知識點的考查會保持不變。考綱解讀：1．了解導(dǎo)數(shù)概念的某些實際背景（如瞬時速度、加速度、光滑曲線的切線的斜率等）；掌握函數(shù)在一點處的導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義；理解導(dǎo)數(shù)的概念。2．熟記常函數(shù)，冪函數(shù)（n為有理數(shù)），三角函數(shù),指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式；掌握兩個函數(shù)四則運算的求導(dǎo)法則；3．掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，會求某些簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。重點：導(dǎo)數(shù)的概念、常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)難點：導(dǎo)數(shù)的概念、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。核心知識突破知識點一：函數(shù)的平均變化率1、定義：設(shè)函數(shù)在處附近有定義，如果時，與的比（也叫函數(shù)的平均變化率）有極限即無限趨近于某個常數(shù)，我們把這個極限值叫做函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，記作，即2、疑難解析：（1）事物的變化率是相關(guān)的兩個量的“增量的比值”。如氣球的平均膨脹率是半徑的增量與體積增量的比值；（2）函數(shù)的平均變化率表現(xiàn)函數(shù)的變化趨勢，當取值越小，越能準確體現(xiàn)函數(shù)的變化情況。（3）函數(shù)的平均變化率的幾何意義是表示連接函圖像上兩點割線的斜率。（4）是自變量在處的改變量，；而是函數(shù)值的改變量，可以是0。函數(shù)的平均變化率是0，并不一定說明函數(shù)沒有變化，應(yīng)取更小考慮。知識點二：導(dǎo)數(shù)的概念：1、導(dǎo)數(shù)的定義趨近于零時，趨近于常數(shù)c?？捎梅枴啊庇涀鳎寒敃r，或記作，符號“”讀作“趨近于”。函數(shù)在的瞬時變化率，通常稱作在處的導(dǎo)數(shù)，并記作。2、導(dǎo)函數(shù)如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的每點處都有導(dǎo)數(shù)，此時對于每一個，都對應(yīng)著一個確定的導(dǎo)數(shù)，從而構(gòu)成了一個新的函數(shù),稱這個函數(shù)為函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)，簡稱導(dǎo)數(shù)，注意：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與在點處的導(dǎo)數(shù)不是同一概念，是常數(shù)，是函數(shù)在處的函數(shù)值，反映函數(shù)在附近的變化情況。3、導(dǎo)數(shù)幾何意義（1）函數(shù)在點的導(dǎo)數(shù)是曲線上點處的切線的斜率；(2)如果在點可導(dǎo)，則曲線在點處的切線方程為：(3)若曲線在點處的導(dǎo)數(shù)不存在，就是切線與軸平行;，切線與軸正向夾角為銳角；，切線與軸正向夾角為鈍角；，切線與軸平行。

4、瞬時速度設(shè)函數(shù)在附近有定義，當自變量在附近改變量為時，函數(shù)值相應(yīng)地改變，如果當趨近于0時，平均變化率趨近于一個常數(shù)c（也就是說平均變化率與某個常數(shù)c的差的絕對值越來越小，可以小于任意小的正數(shù)），那么常數(shù)c稱為函數(shù)在點的瞬時變化率。知識點三：常見基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù):①②③;④;⑤⑥;⑦;⑧.知識點四：函數(shù)四則運算求導(dǎo)法則1、，這個法則可推廣到任意有限個可導(dǎo)函數(shù)的和（或差）；2、，特別的；3、，特別的當時，有.知識點五：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則1、求導(dǎo)法則：設(shè)函數(shù)在點處有導(dǎo)數(shù),函數(shù)在點的對應(yīng)點處有導(dǎo)數(shù),則復(fù)合函數(shù)在點處有導(dǎo)數(shù),且.注意：選擇中間變量是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵。求導(dǎo)時需要記住中間變量，注意逐層求導(dǎo)，不遺漏。其中還應(yīng)特別注意中間變量的關(guān)系，求導(dǎo)后，要把中間變量轉(zhuǎn)換成自變量的函數(shù)。2．求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)步驟（1）適當選定中間變量，正確分解復(fù)合關(guān)系；（2）分步求導(dǎo)（弄清每一步求導(dǎo)是哪個變量對哪個變量求導(dǎo)）；（3）把中間變量代回原自變量（一般是x）的函數(shù)。整個過程可簡記為分解——求導(dǎo)——回代。熟練以后，可以省略中間過程。若遇多重復(fù)合，可以相應(yīng)地多次用中間變量。熱點題例例1、2BCAyx1O34561234（1）2BCAyx1O34561234（2）是的導(dǎo)函數(shù)，則的值是解析：（1）由圖可知，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義知．（2）解析:點評：（1）考查函數(shù)的平均變化率；（2）本題考查多項式的求導(dǎo)法則。變式拓展1、（1）設(shè)函數(shù)，求；（2）設(shè)函數(shù)，若，求的值．解：（1），∴（2）∵，∴由得：，解得：或例2、(1)（2022江西高考）若存在過點的直線與曲線和都相切，則等于A．或B．或C．或D．或解：設(shè)過的直線與相切于點，所以切線方程為即，又在切線上，則或，當時，由與相切可得，當時，由與相切可得，所以選.點評：函數(shù)的切線問題，切點是關(guān)鍵，因為它是聯(lián)結(jié)曲線和其切線的“橋梁”，在做題中往往需要設(shè)出切點．(2)（2022遼寧高考）設(shè)為曲線：上的點，且曲線在點處切線傾斜角的取值范圍為，則點橫坐標的取值范圍為（）A． B． C． D．解：由曲線在點處切線傾斜角的取值范圍為，可得曲線在點處切線的斜率范圍為，又，設(shè)點的橫坐標為，則，解得，故選．【命題立意】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求導(dǎo)運算以及三角函數(shù)的知識。例3、（1）過點（－1，0）作拋物線的切線，則其中一條切線為（）（A）（B）（C）（D）（2）已知曲線，求過點的切線方程.解：（1），設(shè)切點坐標為，則切線的斜率為2，且于是切線方程為，因為點（－1，0）在切線上，可解得＝0或－4，代入可驗正D正確。選D（2）∵P（2，4）在曲線上,當切點為P（2，4）時,,∴過點P（2，4）的切線方程為;當切點不是P（2，4）時,設(shè)切點為,則,又(),∴,即,又,∴,即,,,,又∴∴切點為,∴過點P（2，4）的切線方程為.綜合得過點P（2，4）的切線方程為或.【迷津指點】在確定曲線在某點處切線的方程時，一定要首先確定此點是否在曲線上，若此點在曲線上，則曲線在該點處切線的斜率即為該點的導(dǎo)數(shù)值，若此點不在曲線上，則需按照上述方法即應(yīng)先設(shè)切點，再求斜率，寫出直線的方程的方法解答。特別的若涉及到直線與圓錐曲線相切一類問題除可采用導(dǎo)數(shù)知識解答外，還可采用代數(shù)方法即應(yīng)用判別式的方法來解答，這一類巧借導(dǎo)數(shù)幾何意義“傳接”的各類綜合題頻頻出現(xiàn)變式拓展2、（1）曲線：在點處的切線為在點處的切線為，求（1）曲線的方程；（2）求曲線的過點的切線方程．解：（1）已知兩點均在曲線C上.∴∵∴，可求出∴曲線：（2）設(shè)切點為，則斜率，過切點的切線方程為：，∵過點，∴解得：或，當時，切點為，切線方程為：當時，切點為，切線方程為：例4、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）；（2）解：（1）.（2）【迷津指點】掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法關(guān)鍵在于分清函數(shù)的復(fù)合關(guān)系，適當選定中間變量，分步計算中的每一步都要明確是對哪個變量求導(dǎo)，而其中要特別注意的是中間變量的系數(shù)變式拓展3、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）為常數(shù)）（2）3、解析：真題體驗1、（2022遼寧理10）已知點P在曲線y=上，a為曲線在點P處的切線的傾斜角，則a的取值范圍是(A)[0,)(B)(D)1、D【解析】因為，即tana≥-1,所以2、（2022全國卷2理10）若曲線在點處的切線與兩個坐標圍成的三角形的面積為18，則（A）64（B）32（C）16（D）82、A【解析】，切線方程是，令，，令，，∴三角形的面積是，解得.故選A.3、（09全國Ⅰ理9）已知直線y=x+1與曲線相切，則a的值為()B.2C.-13、B4、（09安徽理9）已知函數(shù)在R上滿足，則曲線在點處的切線方程是()A.B.C.D.4、A5、（09江西文12）若存在過點的直線與曲線和都相切，則等于 ()A．或B．或C．或D．或5、A6、（09陜西理16）設(shè)曲線在點（1，1）處的切線與x軸的交點的橫坐標為,令，則的值為.6、－27、（2022·海南、寧夏21）設(shè)函數(shù)，曲線在點處的切線方程為.（1）求的解析式；（2）證明：曲線上任一點的切線與直線和直線所圍三角形的面積為定值，并求出此定值.（1）解，于是解得或因為，故（2）證明在曲線上任取一點．由知，過此點的切線方程為．令，得，切線與直線x=1交點為．令，得，切線與直線y=x的交點為．直線與直線的交點為(1,1)．從而所圍三角形的面積為．所以，所圍三角形的面積為定值2.思維方法：1、理解和掌握求導(dǎo)法則和公式的結(jié)構(gòu)規(guī)律是靈活進行求導(dǎo)運算的前提條件。具體解題時，還應(yīng)結(jié)合函數(shù)本身的特點，才能準確有效地進行求導(dǎo)運算，調(diào)動思維的積極性，在解決新問題時，觸類旁通，得心應(yīng)手；2、熟練掌握各基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式以及和、差、積、商的求導(dǎo)法則，復(fù)