概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 第八章

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第八章第1頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期五推斷統(tǒng)計(jì)：利用樣本統(tǒng)計(jì)量對(duì)總體某些性質(zhì)或數(shù)量特征進(jìn)行推斷。隨機(jī)原則總體樣本總體參數(shù)統(tǒng)計(jì)量推斷估計(jì)參數(shù)估計(jì)檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)抽樣分布第2頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

假設(shè)檢驗(yàn)

基本思想

檢驗(yàn)規(guī)則

檢驗(yàn)步驟

常見(jiàn)的假設(shè)檢驗(yàn)第3頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

基本思想小概率原理：如果對(duì)總體的某種假設(shè)是真實(shí)的，那么不利于或不能支持這一假設(shè)的事件A（小概率事件）在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生的；要是在一次試驗(yàn)中A竟然發(fā)生了，就有理由懷疑該假設(shè)的真實(shí)性，拒絕這一假設(shè)。總體（某種假設(shè)）抽樣樣本（觀察結(jié)果）檢驗(yàn)（接受）（拒絕）小概率事件未發(fā)生小概率事件發(fā)生第4頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

檢驗(yàn)規(guī)則確定檢驗(yàn)規(guī)則檢驗(yàn)過(guò)程是比較樣本觀察結(jié)果與總體假設(shè)的差異。差異顯著，超過(guò)了臨界點(diǎn)，拒絕H0；反之，差異不顯著，接受H0差異臨界點(diǎn)拒絕H0接受H0cc判斷兩類錯(cuò)誤接受或拒絕H0，都可能犯錯(cuò)誤I類錯(cuò)誤——棄真錯(cuò)誤，發(fā)生的概率為α

II類錯(cuò)誤——取偽錯(cuò)誤，發(fā)生的概率為β檢驗(yàn)決策H0為真 H0非真 拒絕H0

犯I類錯(cuò)誤（α）正確 接受H0正確犯II類錯(cuò)誤（β） 怎樣確定c?第5頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期五α大β就小，α小β就大基本原則：力求在控制α前提下減少β

α——顯著性水平，取值：0.1,0.05,0.01,0.005等。如果犯I類錯(cuò)誤損失更大，為減少損失，α值取?。蝗绻窱I類錯(cuò)誤損失更，α值取大。確定α，就確定了臨界點(diǎn)c。①設(shè)有總體：X~N（μ，σ2），σ2已知。②隨機(jī)抽樣：樣本均值③標(biāo)準(zhǔn)化：④確定α值，⑤查概率表，知臨界值⑥計(jì)算Z值，作出判斷0接受區(qū)拒絕區(qū)拒絕區(qū)第6頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

當(dāng)檢驗(yàn)判斷為接受原假設(shè)H0時(shí)，就有可能犯取偽的錯(cuò)誤即II類錯(cuò)誤。犯II類錯(cuò)誤的概率計(jì)算：(1)先求出拒絕H0的臨界值；(2)再求得在統(tǒng)計(jì)量真實(shí)的抽樣分布下達(dá)到臨界值的概率β。統(tǒng)計(jì)中，稱不犯取偽錯(cuò)誤的概率1-β為統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)的能力或效力。II類錯(cuò)誤的概率β的計(jì)算第7頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

檢驗(yàn)步驟建立總體假設(shè)H0，H1抽樣得到樣本觀察值12選擇統(tǒng)計(jì)量確定H0為真時(shí)的抽樣分布3根據(jù)具體決策要求確定α確定分布上的臨界點(diǎn)C和檢驗(yàn)規(guī)則計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的數(shù)值比較并作出檢驗(yàn)判斷7456第8頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期五8.1假設(shè)檢驗(yàn)的基本概念和思想

一、基本概念(一)兩類問(wèn)題1、參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)

總體分布已知,參數(shù)未知,由觀測(cè)值x1,…,xn檢驗(yàn)假設(shè)H0：=0；H1：≠02、非參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)總體分布未知,由觀測(cè)值x1,…,xn檢驗(yàn)假設(shè)H0：F(x)=F0(x;);H1：F(x)≠F0(x;)

第9頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期五以樣本(X1,…,Xn)出發(fā)制定一個(gè)法則,一旦觀測(cè)值(x1,…,xn)確定后,我們由這個(gè)法則就可作出判斷是拒絕H0還是接受H1,這種法則稱為H0對(duì)H1的一個(gè)檢驗(yàn)法則,簡(jiǎn)稱檢驗(yàn)法。樣本觀測(cè)值的全體組成樣本空間S,把S分成兩個(gè)互不相交的子集W和W*,即S=W∪W*,W∩W*=

假設(shè)當(dāng)(x1,…,xn)∈W時(shí),我們就拒絕H0；當(dāng)(x1,…,xn)∈W*時(shí),我們就接受H0。子集WS就稱為檢驗(yàn)的拒絕域(或臨界域)。(二)檢驗(yàn)法則與拒絕域第10頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期五(三)檢驗(yàn)的兩類錯(cuò)誤稱

H0真而被拒絕的錯(cuò)誤為第一類錯(cuò)誤或棄真錯(cuò)誤；稱

H0假而被接受的錯(cuò)誤為第二類錯(cuò)誤或取偽錯(cuò)誤。記p(I)=p{拒絕H0|

H0真};=p{接受H0|

H0假}對(duì)于給定的一對(duì)H0和H1,總可找出許多臨界域,人們自然希望找到這種臨界域W,使得犯兩類錯(cuò)誤的概率都很小。奈曼—皮爾遜(Neyman—Pearson)提出了一個(gè)原則：“在控制犯第一類錯(cuò)誤的概率不超過(guò)指定值的條件下,盡量使犯第二類錯(cuò)誤小”按這種法則做出的檢驗(yàn)稱為“顯著性檢驗(yàn)”,稱為顯著性水平或檢驗(yàn)水平。第11頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期五？怎樣構(gòu)造的拒絕域方可滿足上述法則？如:對(duì)總體X~N(,1),要檢驗(yàn)H0：=0；H1：=1顯著性檢驗(yàn)的思想和步驟：(1)根據(jù)實(shí)際問(wèn)題作出假設(shè)H0與H1；(2)構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量,在H0真時(shí)其分布已知；(3)給定顯著性水平的值,參考H1,令

P{拒絕H0|H0真}=,求出拒絕域W；(4)計(jì)算統(tǒng)計(jì)量的值,若統(tǒng)計(jì)量W,則拒絕H0,否則接受H0第12頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期五8.2單正態(tài)總體的假設(shè)檢驗(yàn)一、單總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)1、2已知的情形---U檢驗(yàn)

對(duì)于假設(shè)H0：=0；H1：0,構(gòu)造查表,計(jì)算,比較大小,得出結(jié)論第13頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期五說(shuō)明：(1)H0：=0；H1：m0稱為雙邊HT問(wèn)題；而H0：=0；H1：>0(或<0),則稱為單邊問(wèn)題；

(2)

H0：0；H1：>0

或H0：0；H1：u<u0也稱為單邊HT問(wèn)題,不過(guò)這是一個(gè)完備的HT問(wèn)題。

(3)可證:完備的HT問(wèn)題與不完備的HT問(wèn)題有相同的拒絕域,從而檢驗(yàn)法一致?！は瓤紤]不完備的右邊HT問(wèn)題的解H0：=0；H1：>0,第14頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期五現(xiàn)考慮完備的右邊HT問(wèn)題H0：0；H1：>0,若取拒絕域?yàn)閯t犯第一類錯(cuò)誤的概率為第15頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期五于是故是H0：0；H1：>0,的水平為的拒絕域第16頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

例1：設(shè)某廠生產(chǎn)一種燈管,其壽命X~N(,2002),由以往經(jīng)驗(yàn)知平均壽命

=1500小時(shí),現(xiàn)采用新工藝后,在所生產(chǎn)的燈管中抽取25只,測(cè)得平均壽命1675小時(shí),問(wèn)采用新工藝后,燈管壽命是否有顯著提高。(=0.05)解:這里拒絕H0第17頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期五·左邊HT問(wèn)題H0：=0；H1：<0,或H0：0；H1：<0,可得顯著性水平為的拒絕域?yàn)榈?8頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期五例2：已知某煉鐵廠的鐵水含碳量在正常情況下服從正態(tài)分布N(4.55,0.112).某日測(cè)得5爐鐵水含碳量如下:4.28,4.40,4.42,4.35,4.37.如果標(biāo)準(zhǔn)差不變,該日鐵水的平均含碳量是否顯著偏低?(取=0.05)解:得水平為的拒絕域?yàn)檫@里拒絕H0第19頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期五注:上題中,用雙邊檢驗(yàn)或右邊檢驗(yàn)都是錯(cuò)誤的.若用雙邊檢驗(yàn),H0：=4.55；H1：4.55,則拒絕域?yàn)橛蓔U|=3.78>1.96,故拒絕H0,說(shuō)明可以認(rèn)為該日鐵水的平均含碳量顯著異于4.55.但無(wú)法說(shuō)明是顯著高于還是低于4.55.不合題意若用右邊檢驗(yàn),H0：4.55；H1：>4.55,則拒絕域?yàn)橛蒛=-3.78<-1.96,故接受H0,說(shuō)明不能認(rèn)為該日鐵水的平均含碳量顯著高于4.55.但無(wú)法區(qū)分是等于還是低于4.55.不合題意.第20頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期五2、2未知的情形·雙邊檢驗(yàn):對(duì)于假設(shè)H0：=0；H1：0由p{|T|t/2(n1)}=,得水平為的拒絕域?yàn)閨T|t/2(n1),第21頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期五例3：用熱敏電阻測(cè)溫儀間接溫量地?zé)峥碧骄诇囟?重復(fù)測(cè)量7次，測(cè)得溫度(℃):112.0113.4111.2112.0114.5112.9113.6而用某種精確辦法測(cè)得溫度為112.6(可看作真值),試問(wèn)用熱敏電阻測(cè)溫儀間接測(cè)溫有無(wú)系統(tǒng)偏差(設(shè)溫度測(cè)量值X服從正態(tài)分布,取=0.05)?解:H0：=112.6；H1：112.6由p{|T|t0.025(n1)}=0.05,得水平為=0.05的拒絕域?yàn)閨T|t0.025(6)=2.4469這里接受H0第22頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期五·右邊HT問(wèn)題H0：=0

；H1：>0,或H0：0

；H1：>0,由p{Tt(n1)}=,得水平為的拒絕域?yàn)門t(n1),第23頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期五例4：某廠生產(chǎn)鎳合金線，其抗拉強(qiáng)度的均值為10620(kg/mm2)今改進(jìn)工藝后生產(chǎn)一批鎳合金線，抽取10根,測(cè)得抗拉強(qiáng)度(kg/mm2)為:10512,10623,10668,10554,10776,10707,10557,10581,10666,10670.認(rèn)為抗拉強(qiáng)度服從正態(tài)分布,取=0.05,問(wèn)新生產(chǎn)的鎳合金線的抗拉強(qiáng)度是否比過(guò)去生產(chǎn)的合金線抗拉強(qiáng)度要高?解:H0：=10620；H1：>10620由p{Tt0.05(9)}=0.05,得拒絕域?yàn)門t0.05(9)=1.8331這里接受H0第24頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期五·左邊HT問(wèn)題H0：=0

；H1：<0,或H0：0

；H1：<0,由p{T-t(n1)}=,得水平為的拒絕域?yàn)門-t(n1)第25頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期五例5設(shè)正品鎳合金線的抗拉強(qiáng)度服從均值不低于10620(kg/mm2)的正態(tài)分布,今從某廠生產(chǎn)的鎳合金線中抽取10根,測(cè)得平均抗拉強(qiáng)度10600(kg/mm2),樣本標(biāo)準(zhǔn)差為80.,問(wèn)該廠的鎳合金線的抗拉強(qiáng)度是否不合格?(=0.1)

解:H0：10620；H1：<10620由p{T-t0.1(9)}=0.1,得拒絕域?yàn)門-t0.1(9)=1.383這里接受H0第26頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期五二、單總體方差的假設(shè)檢驗(yàn)假定未知,·雙邊檢驗(yàn):對(duì)于假設(shè)第27頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期五得水平為的拒絕域?yàn)榈?8頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期五例6電工器材廠生產(chǎn)一批保險(xiǎn)絲，取10根測(cè)得其熔化時(shí)間（min）為42,65,75,78,59,57,68,54,55,71.問(wèn)是否可以認(rèn)為整批保險(xiǎn)絲的熔化時(shí)間的方差小于等于80?(=0.05),熔化時(shí)間為正態(tài)變量.)得水平為=0.05的拒絕域?yàn)檫@里接受H0第29頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期五設(shè)保險(xiǎn)絲的融化時(shí)間服從正態(tài)分布，取9根測(cè)得其熔化時(shí)間（min）的樣本均值為62,標(biāo)準(zhǔn)差為10.(1)是否可以認(rèn)為整批保險(xiǎn)絲的熔化時(shí)間服從N(60,92)?(=0.05)(2)是否可以認(rèn)為整批保險(xiǎn)絲的熔化時(shí)間的方差顯著大于70?(=0.05)EX答:(1)|t|=0.6<2.306,接受60;2.18<X2=9.877<17.535,接受10(2)X2=11.42<15.507,認(rèn)為方差不顯著大于70第30頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期五8.3雙正態(tài)總體均值差與方差比的假設(shè)檢驗(yàn)一、均值差的假設(shè)檢驗(yàn)第31頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期五而對(duì)應(yīng)的單邊問(wèn)題拒絕域?yàn)榫芙^域?yàn)榈?2頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期五例7：比較甲,乙兩種安眠藥的療效。將20名患者分成兩組,每組10人.其中10人服用甲藥后延長(zhǎng)睡眠的時(shí)數(shù)分別為1.9,0.8,1.1,0.1,-0.1,4.4,5.5,1.6,4.6,3.4;另10人服用乙藥后延長(zhǎng)睡眠的時(shí)數(shù)分別為0.7,-1.6,-0.2,-1.2,-0.1,3.4,3.7,0.8,0.0,2.0.若服用兩種安眠藥后增加的睡眠時(shí)數(shù)服從方差相同的正態(tài)分布.試問(wèn)兩種安眠藥的療效有無(wú)顯著性差異?(=0.10)解:第33頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期五這里:拒絕H0認(rèn)為兩種安眠藥的療效有顯著性差異第34頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期五上題中,試檢驗(yàn)是否甲安眠藥比乙安眠藥療效顯著?EX1這里:t=1.86>1.3304,故拒絕H0,認(rèn)為甲安眠藥比乙安眠藥療效顯著EX2上題中,試檢驗(yàn)是否乙安眠藥比甲安眠藥療效顯著?第35頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期五二、方差比的假設(shè)檢驗(yàn)兩樣本獨(dú)立,給定檢驗(yàn)水平,由觀測(cè)值假定1,2未知第36頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期五由p{FF1/2(n11,n21)或FF/2(n11,n21)}=F1/2F/2得拒絕域FF1/2(n11,n21)或FF/2(n11,n21)第37頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期五而對(duì)應(yīng)的單邊問(wèn)題拒絕域?yàn)镕F(n11,n21)FF1(n11,n21)拒絕域?yàn)榈?8頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期五例8：有甲乙兩種機(jī)床,加工同樣產(chǎn)品,從這兩臺(tái)機(jī)床加工的產(chǎn)品中隨機(jī)地抽取若干產(chǎn)品,測(cè)得產(chǎn)品直徑為(單位:mm):甲:20.5,19.8,19.7,20.4,20.1,20.9,19.6,19.9.乙:19.7,20.8,20.5,19.8,19.4,20.6,19.2.假定甲,乙兩臺(tái)機(jī)床的產(chǎn)品直徑都服從正態(tài)分布,試比較甲,乙兩臺(tái)機(jī)床加工的精度有無(wú)顯著差異?(=0.05)解:拒絕域?yàn)镕F10.025(7,6)=1/5.12=0.1953或FF0.025(7,6)=5.7這里:接受H0第39頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

幾種常見(jiàn)的假設(shè)檢驗(yàn)總體均值的檢驗(yàn)條件檢驗(yàn)條件量拒絕域H0、H1(1)H0：μ=μ0H1：μ≠μ0

z(2)H0：μ≤μ0H1：μ＞μ0(3)H0：μ≥μ0H1：μ＜μ0z0z0正