留數(shù)定理及應(yīng)用

留數(shù)及其應(yīng)用摘要數(shù)定理得知，計(jì)算函數(shù)f(z)沿C的積分，可歸結(jié)為計(jì)算圍線C內(nèi)各孤立奇點(diǎn)處的留數(shù)之和．而留數(shù)又是該奇點(diǎn)處的羅朗級(jí)數(shù)的負(fù)一次冪的系數(shù)，因此我們只關(guān)心該奇點(diǎn)處羅朗留數(shù)理論是復(fù)積分和復(fù)級(jí)數(shù)理論相結(jié)合的產(chǎn)物，利用留數(shù)定理可以把沿閉路的積分轉(zhuǎn)化為計(jì)算孤立點(diǎn)處的留數(shù)．此外，在數(shù)學(xué)分析及實(shí)際問題中，往往一些被積函數(shù)的原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示，有時(shí)即便可以，計(jì)算也非常復(fù)雜．我們利用留數(shù)定理可以把要求的積分轉(zhuǎn)化為復(fù)變函數(shù)沿閉曲線的積分，從而把待求積分轉(zhuǎn)化為留數(shù)計(jì)算．本文首先介紹留數(shù)定義及留數(shù)定理，然后針對(duì)具體不同的積分類型有不同的計(jì)算方法以及留數(shù)理論在定積分中的一些應(yīng)用．關(guān)鍵詞留數(shù)定理；留數(shù)計(jì)算；應(yīng)用引言對(duì)留數(shù)理論的學(xué)習(xí)不僅是前面知識(shí)的延伸，更為對(duì)原函數(shù)不易直接求得的定積分和反常積分的求法提供了一個(gè)較為方便的方法．預(yù)備知識(shí)孤立奇點(diǎn).設(shè)f(z)在點(diǎn)〃的把計(jì)算閉曲線上的積分值的問題轉(zhuǎn)化為計(jì)算各個(gè)孤立奇點(diǎn)上的留數(shù)的問題，即計(jì)算在每一個(gè)孤立奇點(diǎn)處的羅朗展式中負(fù)冪一次項(xiàng)的系數(shù)C.-1在一般情況下，求羅朗展式也是比較麻煩的，因此，根據(jù)孤立奇點(diǎn)的不同類型，分別建立留數(shù)計(jì)算的一些簡(jiǎn)便方法是十分必要的.若z0為f(z)的可去奇點(diǎn)則f(z)在0<z-z01VR某去心鄰域內(nèi)解析，但在點(diǎn)a不解析，則稱a為f的孤立奇點(diǎn).例如sinz,ez以z=0為孤立奇點(diǎn).z、五以z=0為奇點(diǎn)，但不是孤立奇點(diǎn)，是支點(diǎn)11 ^以z-0為奇點(diǎn)(又由sin=0,得z= (k=±1,±2...,)故z-0不是孤立奇.1 z k兀sin—z點(diǎn)).設(shè)a為f(z)的孤立奇點(diǎn)，則f(z)在a的某去心鄰域內(nèi)，有為f(z)在點(diǎn)a的主要部分，稱f(z)=￡^^^+￡c(z—a)〃，稱￡n.^a)n為f(z)在點(diǎn)a的主要部分，稱￡C(z-a)n為f(z)在點(diǎn)a的正則部分，nn=0當(dāng)主要部分為0時(shí)，稱a為f(z)的可去奇點(diǎn);c C c當(dāng)主要部分為有限項(xiàng)時(shí)，設(shè)為二—m + (m-1)——+???+-5(c豐0)(z—a)m(z—a)m-i z—a-m稱a為f(z)的m級(jí)極點(diǎn)；當(dāng)主要部分為無限項(xiàng)時(shí)，稱a為本性奇點(diǎn).留數(shù)的概念及留數(shù)定理留數(shù)的定義設(shè)函數(shù)f(z)以有限點(diǎn)a為孤立點(diǎn)，即f(z)在點(diǎn)a的某個(gè)去心鄰域0<|z?a|<R內(nèi)解析，則積分2^7Jf(zbz(T:|z.a|=p,0<p<R)為f(z)在點(diǎn)a的r留數(shù)，記為：Resf(z).z=a留數(shù)定理介紹留數(shù)定理之前，我們先來介紹復(fù)周線的柯西積分定理：TOC\o"1-5"\h\z設(shè)D是由復(fù)周線C=C+C-+C-+…C-所圍成的有界連通區(qū)域，函數(shù)f(z)01 2 n在D內(nèi)解析，在D=D+C上連續(xù)，則Jf(zbz=0.C定理1M(留數(shù)定理)設(shè)f(z)在周線或復(fù)周線C所范圍的區(qū)域D內(nèi)，除a,a，…,a外解析，在閉域D=D+C上除a,a，…,a外連續(xù)，則(“大范圍”12 n 12 n\o"CurrentDocument"積分)Jf(z)dz=2兀i￡Resf(z). (1)z=aC k=1k證明以a為心，充分小的正數(shù)p為半徑畫圓周r:z?a=p(k=1,2,…,n)k k k k使這些圓周及內(nèi)部均含于D，并且彼此相互隔離，應(yīng)用復(fù)周線的柯西定理得Jf(z)dz=￡nJf(z)dz，C k=1rk由留數(shù)的定義，有Jf(z)dz=2兀iResf(z).z=ak特別地，由定義得Jf(z》z=2兀iRes,z=airk k代入(1)式得Jf(zbz=2兀i￡Resf(z).k=1Z=ak定理2設(shè)a為f(z)的n階極點(diǎn)，f(z ，(z-a)n其中p(z)在點(diǎn)a解析，①(a)w0,則()0n-1)(a)Resf(z)=Gy-z=a這里符號(hào)中(。)(a)代表p(a)，且有①(n-1)(a)=lim5(n-1)(z).zfa推論3設(shè)a為f(z)的一階極點(diǎn)，5(z)=(z-a)f(z),Resf(z)=5(a).z=a推論4設(shè)a為f(z)的二階極點(diǎn)，w(z)=(z-a)2f(z),Resf(z)=6(a).z=a留數(shù)的引理,R充分大)上連續(xù)，且2引理1設(shè)f(z)沿圓弧S:z二Re?(,R充分大)上連續(xù)，且2limzf(z”九于S上一致成立(即與0<0<0中的0無關(guān))，則R-+8 R 1 2limJf(z)dz=i(0-0)九.Rf+8SR引理2(若爾當(dāng)引理)設(shè)函數(shù)g(z)沿半圓周r:z=Rei?(0<0<兀，R充分R大)上連續(xù)，且limg(z)=0在r上一致成立，則RlimJg(z)eimzdz=0(m>0).rf+8rR

引理3 (1)設(shè)a為f(z)的n階零點(diǎn)，則a必為函數(shù)f^zz)的一階極點(diǎn)，并且ReszResz=a\f(z)]

fU⑵設(shè)b為f(z)的m階極點(diǎn)，則b必為函數(shù)將的一階極點(diǎn)，并且留數(shù)的計(jì)算函數(shù)在極點(diǎn)的留數(shù)法則1：如果z0為f(z)的簡(jiǎn)單極點(diǎn)，則Res[f(z),z]=lim(z一z)f(z)00z一zzz0法則2：設(shè)f(z)=P9，其中P(z),Q(z)在z處解析，如果P(z)牛0,z為Q(z)Q(z) 0 0的一階零點(diǎn)，則z0為f(z)的一階極點(diǎn)，且ResRes[f(z),z0]=P(z)

07(^)法則3：如果z0為f(z)的m階極點(diǎn)，則1 dm-1Res[f(z),z]= —lim-——[(z-z)mf(z)].0 (m-1)!z-zdzm-i 0z-z02.函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)定理1如果f(z)在擴(kuò)充復(fù)平面上只有有限個(gè)孤立奇點(diǎn)(包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)在內(nèi))為z,z,…z,8，則f(z)在各點(diǎn)的留數(shù)總和為零.12 n關(guān)于在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)計(jì)算，我們有以下的規(guī)則.

11法則4： Re5[f^z),^]二—Re5[f()?一,0].zz2例1求函數(shù)f(z)=/二在奇點(diǎn)處的留數(shù).1+Z2解f(z)有兩個(gè)一階極點(diǎn)z=±，，于是根據(jù)(6.5)得Res(Res(f,i)=P(i) ei2 iQr(i) 2i 2eRe取f,-i)=QO=S二餐2求函數(shù)f(z)=cosz在奇點(diǎn)處的留數(shù).z3f(z)有一個(gè)三階極點(diǎn)z=0，故由(6.7)得1 cosz 1 1Res(f,0)=lim(z3?一z)〃=lim(-cosz)=——2z-oz3 2z-o 2四.留數(shù)定理在定積分中的應(yīng)用利用留數(shù)計(jì)算定積分活反常積分沒有普遍的實(shí)用通法，我們只考慮幾種特殊類型的積分．.形如于f(cosx,sinx疝型的積分0這里f(cosx,sinx)表示cosx,sinx的有理函數(shù)，并且在［0,2兀］上連續(xù)，把握此類積分要注意，第一：積分上下限之差為2兀,這樣當(dāng)作定積分時(shí)x從0經(jīng)歷變到2兀，對(duì)應(yīng)的復(fù)變函數(shù)積分正好沿閉曲線繞行一周.第二：被積函數(shù)是以正弦和余弦函數(shù)為自變量。當(dāng)滿足這兩個(gè)特點(diǎn)之后，我們可設(shè)z=eix,則dz=izdx,. eix—e-ixz2—1 eix+e-ixz2+1TOC\o"1-5"\h\zsinx= = ,cosx= = 得i 2iz 2 2z千( .M /z2-1z2-11dzJf(cosx,sinx)dx=Jf , -Iz=112z2izIiz0=2兀i￡Resf(z).k=1z=zk

例1計(jì)算I=于上？5+3cos00解令z="，則TOC\o"1-5"\h\z「干 d0 , 2、入5+3cos0 Izl=i2(3z2+；0z+3y0.2f/L 、di』=i(3z+j(z+3)"二2.2兀iRest 1r—=藝i_i(3z+1)(z+3) 2z一3例2計(jì)算I#例2計(jì)算I#dx+v'3cosx解I二手(—竺一02+<3cosx_4 zdz=—Q) -： ，3iUtz2+2z+1

J3由于分母有兩個(gè)根z「-*,z2=-73，其中|4一一因此匕I= ?2兀iRes=4兀*3i z=zzzi.形如小f(x迎x型的積分一0把握此類積分要注意，首先分析其函數(shù)特點(diǎn)，函數(shù)必須滿足一下兩條才能適

用。第一：f(z)=層，其中P(z)，Q(z)均為關(guān)于z的多項(xiàng)式，且分母Q(z)的次數(shù)至少比分子P(z)的次數(shù)高兩次；第二：f(z)在半平面上的極點(diǎn)為z(kk=1,2,3,…，n),在實(shí)軸上的極點(diǎn)為x(k=1,2,3,…，n)則有k于fGbx=2兀ik-k=1z=zk例3計(jì)算I=+T—2一dx.x4+x2+1-8解取f(z)=一三一= z4+z2+1 z2-z+1孤立點(diǎn)為1Wi孤立點(diǎn)為1Wi,z2 22-東,其中落在上半平面的為ziI=2兀i￡Resf(z)=k=1z=，k "3例4計(jì)算I=x例4計(jì)算I=x2+a2-8^^-dx(a>0).解由于limz.)2=0，且上半平面只有一個(gè)極點(diǎn)a「因此x2+a2-8=2兀i-Resz=aiz2z2(z+ai)z=ai2a.形如fP&eimxdx型的積分QU)-81)留數(shù)公式定理2[1](若爾當(dāng)引理)設(shè)函數(shù)g(z)沿半徑圓周r:z=Re，e(0we〈兀)R上連續(xù)，且limg(z)=0在r上一致成立，則limjg(z)eimzdz=0(m>上連續(xù)，證明Ve>0,3R(證明Ve>0,3R(E)>0，使當(dāng)R>R0 0rf+8rR時(shí)，有|g(z)|<E,zerR于是jg(z)eimzdz=jg(Re)，mRe曲Rei0d0<Reje-mRsin0d0(2)這里利用了gGei這里利用了gGei0)<8，阿ei0i=R以及eimRei0=e-mRsin0+imRcos0=e-mRsin0于是由若爾當(dāng)不等式”<sin0<0

—一—(0<0<于是由若爾當(dāng)不等式”<sin0<0

—一—(0<0<―)將(2)化為

2jg(z)eimzdz<2Rer

Rje-mRsin0d0=2Re]0=—2mR 2e--0I2mRI(1-e-mR)<—EmL—」0=0即limjg(z)eimzdz=0.rf+8rR2)舉例例5計(jì)算I=+T—xeix一dx.x2-2x+10-8解不難驗(yàn)證，函數(shù)f(z)=一匕一滿足若爾當(dāng)引理?xiàng)l件.z2-2z+10這里m=1，g(z)=z2-2z+10函數(shù)有兩個(gè)一階極點(diǎn)z=1+3i及z=1-3i，ResfResf(z)=z=1+3izeiz2-2z+10)(1+3i)e-3+i6iz=1+z=1+3i于是丁+8 xe沃 ,I=J dxX2-2x+10-8(1+3i)e-3+i=2—i 6i4.—=—e-334.—=—e-33(cos1-3sin1)+i—e-3(3cos1+sin1).形如于cosmxdx和joIX)3P(X) …八sinmxdx型積分QU)-8-8定理3Ei］設(shè)g(z)=%，其中尸G)和Q(Q是互質(zhì)多項(xiàng)式，并且符合條件:Q(x)(1)Q(x)的次數(shù)比尸(x)的次數(shù)高;(2)在實(shí)軸上Q(x)w0；則有fg則有fg(x)eimxdx=2兀iZima

kResg(z)emz=ak(3)特別地，將(3)式分開實(shí)虛部，就可用得到形如+”(x) 乖P(x).j—尸rcosmxdx及 sinmxdx的枳分.QU) QU)-8 -8例6計(jì)算/=Tf一簾一斗x.\x2+1)(C2+9/-8解利用f—i )-0(z-8)以及若爾當(dāng)引理，且分母在上半圓只有Q2+1八2+9)兩個(gè)孤立奇點(diǎn)z=i和z=3i,得到—q+1%+9)-8eiz eiz=Re2兀iRes， 弗 A+Res， 弗 A.=iVz2+1八2+9)z=3i12+1八2+9)=Re2兀=Re2兀i(z2+1)(z2+9)+Q+1)C+9)z=3iJA, 「、=Re2兀ie-1 =Re2兀i、16i+-48i,=-Q2-1).24e3例7計(jì)算I=+8x血mdx(m>0,a>0).x4+a40解被積函數(shù)為偶函數(shù)，所以T+8xsinmx, 1mxsinmx, 1.+fxemI=J dx=-J dx=-tmJ dx,-8x4+a4 2 x4+a4 2x4+a4-8-8

設(shè)函數(shù)關(guān)系式為f(z)=工二，它共有四個(gè)一階極點(diǎn)，即z4+a4兀*2k兀, 、a=ae4i(k=0,1,2,3)k7ce zzezeimz / 、得Resf