2023年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

本文格式為Word版，下載可任意編輯——2023年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)新世紀(jì)教育網(wǎng).精品資料版權(quán)所有@新世紀(jì)教育網(wǎng)

其次講：圓知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn)一、圓的定義及有關(guān)概念[來源:21世紀(jì)教育網(wǎng)]重點(diǎn)：把握?qǐng)A的定義及有關(guān)概念難點(diǎn)：熟練把握運(yùn)用概念

1、圓的定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)組成的圖形叫做圓。

2、有關(guān)概念：弦、直徑;弧、等弧、優(yōu)弧、劣弧、半圓;弦心距;等圓、同圓、同心圓。

圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱弧。連接圓上任意兩點(diǎn)間的線段叫做弦，經(jīng)過圓心的弦叫做直徑，直徑是最長(zhǎng)的弦。

在同圓或等圓中，能夠重合的兩條弧叫做等弧。

例．P為⊙O內(nèi)一點(diǎn)，OP=3cm，⊙O半徑為5cm，則經(jīng)過P點(diǎn)的最短弦長(zhǎng)為________；?最長(zhǎng)弦長(zhǎng)為_______．

解題思路：圓內(nèi)最長(zhǎng)的弦是直徑，最短的弦是和OP垂直的弦，答案：10cm，8cm知識(shí)點(diǎn)二、平面內(nèi)點(diǎn)和圓的位置關(guān)系

重點(diǎn)：把握平面內(nèi)點(diǎn)和圓的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系難點(diǎn)：運(yùn)用點(diǎn)和圓的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系

平面內(nèi)點(diǎn)和圓的位置關(guān)系有三種：點(diǎn)在圓外、點(diǎn)在圓上、點(diǎn)在圓內(nèi)當(dāng)點(diǎn)在圓外時(shí)，d＞r；反過來，當(dāng)d＞r時(shí)，點(diǎn)在圓外。當(dāng)點(diǎn)在圓上時(shí)，d＝r；反過來，當(dāng)d＝r時(shí)，點(diǎn)在圓上。當(dāng)點(diǎn)在圓內(nèi)時(shí)，d＜r；反過來，當(dāng)d＜r時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi)。

例．如圖，在Rt△ABC中，直角邊AB?3，BC?4，點(diǎn)E，F(xiàn)分

別是BC，_________，

AC的中點(diǎn)，以點(diǎn)A為圓心，AB的長(zhǎng)為半徑畫圓，則點(diǎn)E在圓A的

點(diǎn)F在圓A的_________．

解題思路：利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，答案：外部，內(nèi)部

，?4)．試判斷點(diǎn)P(3，?1)與圓O的練習(xí)：在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，圓O的半徑為5，圓心O的坐標(biāo)為(?1位置關(guān)系．

答案：點(diǎn)P在圓O上．

知識(shí)點(diǎn)三、圓的基本性質(zhì)

重點(diǎn)：把握垂徑定理、圓心角定理、圓周角定理及推論難點(diǎn)：定理及推論的運(yùn)用

1圓是軸對(duì)稱圖形，其對(duì)稱軸是任意一條過圓心的直線。

2、垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的弧。

垂徑定理的推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦對(duì)的弧。3、圓具有旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性，特別的圓是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是圓心。

圓心角定理：在同圓或等圓中，假使兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等。

4、圓周角定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半。[來源:21世紀(jì)教育網(wǎng)]圓周角定理推論１：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等。

圓周角定理推論２：直徑所對(duì)的圓周角是直角；９０°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。例1．如圖，在半徑為5cm的⊙O中，圓心O到弦AB的距離為3cm，則弦AB的長(zhǎng)是（）

新世紀(jì)教育網(wǎng)--中國(guó)最大型、最專業(yè)的中小學(xué)教育資源門戶網(wǎng)站。版權(quán)所有@新世紀(jì)教育網(wǎng)

新世紀(jì)教育網(wǎng).精品資料版權(quán)所有@新世紀(jì)教育網(wǎng)

A．4cmB．6cmC．8cmD．10cm

解題思路：在一個(gè)圓中，若知圓的半徑為R，弦長(zhǎng)為a，圓心到此弦的距離為d，?根據(jù)垂徑定理，有

aR2=d2+（2）2，所以三個(gè)量知道兩個(gè)，就可求出第三個(gè)．答案C

例2、如圖，A、B、C、D是⊙O上的三點(diǎn)，∠BAC=30°，則∠BOC的大小是()A、60°B、45°C、30°D、15°解題思路：運(yùn)用圓周角與圓心角的關(guān)系定理，答案：A

例3、如圖1和圖2，MN是⊙O的直徑，弦AB、CD?相交于MN?上的一點(diǎn)P，?∠APM=∠CPM．

（1）由以上條件，你認(rèn)為AB和CD大小關(guān)系是什么，請(qǐng)說明理由．

（2）若交點(diǎn)P在⊙O的外部，上述結(jié)論是否成立？若成立，加以證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．

AFODNBPDFMPECAEBMCN(1)(2)

解題思路：（1）要說明AB=CD，只要證明AB、CD所對(duì)的圓心角相等，?只要說明它們的一半相等．

上述結(jié)論依舊成立，它的證明思路與上面的題目是一模一樣的．解：（1）AB=CD

理由：過O作OE、OF分別垂直于AB、CD，垂足分別為E、F∵∠APM=∠CPM∴∠1=∠2

OE=OF

連結(jié)OD、OB且OB=OD∴Rt△OFD≌Rt△OEB∴DF=BE

根據(jù)垂徑定理可得：AB=CD

（2）作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足為E、F

∵∠APM=∠CPN且OP=OP，∠PEO=∠PFO=90°∴Rt△OPE≌Rt△OPF∴OE=OF

連接OA、OB、OC、OD

易證Rt△OBE≌Rt△ODF，Rt△OAE≌Rt△OCF∴∠1+∠2=∠3+∠4∴AB=CD

例4．如圖，AB是⊙O的直徑，BD是⊙O的弦，延長(zhǎng)BD到C，使AC=AB，BD與CD的大小有什么關(guān)系？為什么？

新世紀(jì)教育網(wǎng)--中國(guó)最大型、最專業(yè)的中小學(xué)教育資源門戶網(wǎng)站。版權(quán)所有@新世紀(jì)教育網(wǎng)

新世紀(jì)教育網(wǎng).精品資料版權(quán)所有@新世紀(jì)教育網(wǎng)

解題思路：BD=CD，由于AB=AC，所以這個(gè)△ABC是等腰，要證明D是BC的中點(diǎn)，?只要連

A結(jié)AD證明AD是高或是∠BAC的平分線即可．

解：BD=CD

理由是：如圖24-30，連接AD

OC∵AB是⊙O的直徑

∴∠ADB=90°即AD⊥BC

D又∵AC=AB

B∴BD=CD.練習(xí)

1：AB是⊙O的直徑，AC、AD是⊙O的兩弦，已知AB=16，AC=8，AD=?8，?求∠DAC的度數(shù)．2．如圖，以平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A為圓心，AB為半徑作圓，分別交BC、AD于E、F，若∠D=50°，求弧BE的度數(shù)和弧EF的度數(shù)．

AFD

BCE

.3.如圖，⊙C經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，且與兩坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A與點(diǎn)B，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，4），M是圓上一點(diǎn)，∠BMO=120°．（1）求證：AB為⊙C直徑．

（2）求⊙C的半徑及圓心C的坐標(biāo)．

答案：1.(1)AC、AD在AB的同旁，如右圖所示:∵AB=16，AC=8，AD=83，

A_C_111∴2AC=2（2AB），∴∠CAB=60°，

同理可得∠DAB=30°，∴∠DAC=30°．

（2）AC、AD在AB的異旁，同理可得：∠DAC=60°+30°=90°．2．BE的度數(shù)為80°，EF的度數(shù)為50°．3.（1）略（2）4，（-23，2）

B_知識(shí)點(diǎn)四、圓與三角形的關(guān)系

重點(diǎn)：把握確定圓的條件、三角形的外心、內(nèi)心

難點(diǎn)：確定圓的條件、三角形的外心、內(nèi)心等知識(shí)熟練運(yùn)用1、不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓。2、三角形的外接圓：經(jīng)過三角形三個(gè)頂點(diǎn)的圓。

3、三角形的外心：三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，即三角形外接圓的圓心。4、三角形的內(nèi)切圓：與三角形的三邊都相切的圓。

5、三角形的內(nèi)心：三角形三條角平分線的交點(diǎn)，即三角形內(nèi)切圓的圓心。

例1．如圖，通過防治“非典〞，人們加強(qiáng)了衛(wèi)生意識(shí)，大街隨地亂扔生活垃圾的人少了，人們自覺地將生活垃圾倒入垃圾桶中，如圖24-49所示，A、B、C?為市內(nèi)的三個(gè)住宅小區(qū)，環(huán)保公司要建一垃圾回收站，為便利起見，?要使得回收站建在三個(gè)小區(qū)都相等的某處，請(qǐng)問假使你是工程師，你將如何選址．

新世紀(jì)教育網(wǎng)--中國(guó)最大型、最專業(yè)的中小學(xué)教育資源門戶網(wǎng)站。版權(quán)所有@新世紀(jì)教育網(wǎng)

新世紀(jì)教育網(wǎng).精品資料版權(quán)所有@新世紀(jì)教育網(wǎng)

AC

.解題思路：連結(jié)AB、BC，作線段AB、BC的中垂線，兩條中垂線的交點(diǎn)即為垃圾回收站所在的位置．

例2．如圖，點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)切圓的圓心，若∠BAC=80°，則∠BOC=（）A．130°B．100°C．50°D．65°

解題思路：此題解題的關(guān)鍵是弄清三角形內(nèi)切圓的圓心是三角形內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，答案A

例3．如圖，Rt△ABC，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，則它的外心與頂點(diǎn)C的距離為（）．

AA．5cmB．2.5cmC．3cmD．4cm

解題思路：直角三角形外心的位置是斜邊的中點(diǎn)，答案B

練習(xí)1、如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是直徑，BC=4，AC=3，CD平BC分∠ACB，則弦AD長(zhǎng)為（）

BCOB5A．252B．2C．2D．3

A

D2．設(shè)I是△ABC的內(nèi)心，O是△ABC的外心，∠A=80°，則∠BIC=?________，?∠BOC=________．答案1.A2.130°160°

知識(shí)點(diǎn)五、直線和圓的位置關(guān)系：相交、相切、相離重點(diǎn)：，直線和圓的位置關(guān)系的性質(zhì)和判定難點(diǎn)：直線和圓三種位置關(guān)系的性質(zhì)及判定。

當(dāng)直線和圓相交時(shí)，d＜r；反過來，當(dāng)d＜r時(shí)，直線和圓相交。[21世紀(jì)教育網(wǎng)]當(dāng)直線和圓相切時(shí)，d＝r；反過來，當(dāng)d＝r時(shí)，直線和圓相切。當(dāng)直線和圓相離時(shí)，d＞r；反過來，當(dāng)d＞r時(shí)，直線和圓相離。切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的直徑

切線的判定定理：經(jīng)過直徑的一端，并且垂直于這條直徑的直線是圓的切線。

切線長(zhǎng)：在經(jīng)過圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)到切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)。

切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和圓外這點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角。例1、在

中，BC=6cm，∠B=30°，∠C=45°，以A為圓心，當(dāng)半徑r多長(zhǎng)時(shí)所作的⊙A與

直線BC相切？相交？相離？

解題思路：作AD⊥BC于D

新世紀(jì)教育網(wǎng)--中國(guó)最大型、最專業(yè)的中小學(xué)教育資源門戶網(wǎng)站。版權(quán)所有@新世紀(jì)教育網(wǎng)

新世紀(jì)教育網(wǎng).精品資料版權(quán)所有@新世紀(jì)教育網(wǎng)

在在

中，∠B=30°∴中，∠C=45°

∴CD=AD∵BC=6cm∴∴∴當(dāng)

時(shí)，⊙A與BC相切；當(dāng)時(shí)，⊙A與BC相離。

例2．如圖，AB為⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，D在AB的延長(zhǎng)線上，且∠DCB=?∠A．（1）CD與⊙O相切嗎？假使相切，請(qǐng)你加以證明，假使不相切，請(qǐng)說明理由．（2）若CD與⊙O相切，且∠D=30°，BD=10，求⊙O的半徑．

解題思路：（1）要說明CD是否是⊙O的切線，只要說明OC是否垂直于CD，垂足為C，?由于C點(diǎn)已在圓上．

由已知易得：∠A=30°，又由∠DCB=∠A=30°得：BC=BD=10解：（1）CD與⊙O相切

理由：①C點(diǎn)在⊙O上（已知）C②∵AB是直徑

∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°

AOBD∵∠A=∠OCA且∠DCB=∠A

∴∠OCA=∠DCB∴∠OCD=90°

綜上：CD是⊙O的切線．

（2）在Rt△OCD中，∠D=30°∴∠COD=60°∴∠A=30°∴∠BCD=30°∴BC=BD=10∴AB=20，∴r=10

答：（1）CD是⊙O的切線，（2）⊙O的半徑是10．

練習(xí)：1.如圖，AB為⊙O直徑，BD切⊙O于B點(diǎn)，弦AC的延長(zhǎng)線與BD交于D?點(diǎn)，?若AB=10，AC=8，則DC長(zhǎng)為________．

AA

時(shí)，⊙A與BC相交；當(dāng)

OCDBPCOB

2．如圖，P為⊙O外一點(diǎn)，PA、PB為⊙O的切線，A、B為切點(diǎn)，弦AB與PO交于C，⊙O半徑為1，PO=2，則PA_______，PB=________，PC=_______AC=______，BC=______∠AOB=________．3．如圖，P為⊙O外一點(diǎn)，PA切⊙O于點(diǎn)A，過點(diǎn)P的任一直線交⊙O于B、C，?連結(jié)AB、AC，連PO交⊙O于D、E．

C_新世紀(jì)教育網(wǎng)--中國(guó)最大型、最專業(yè)的中小學(xué)教育資源門戶網(wǎng)站。版權(quán)所有@新世紀(jì)教育網(wǎng)B_D_O_E_

新世紀(jì)教育網(wǎng).精品資料版權(quán)所有@新世紀(jì)教育網(wǎng)

（1）求證：∠PAB=∠C．

（2）假使PA2=PD·PE，那么當(dāng)PA=2，PD=1時(shí)，求⊙O的半徑．

答案：1．A2．B3.（1）提醒：作直徑AF，連BF，如右圖所示．

3（2）由已知PA2=PD·PE，可得⊙O的半徑為2．

知識(shí)點(diǎn)六、圓與圓的位置關(guān)系

．重點(diǎn)：兩個(gè)圓的五種位置關(guān)系中的等價(jià)條件及它們的運(yùn)用．難點(diǎn)：摸索兩個(gè)圓之間的五種關(guān)系的等價(jià)條件及應(yīng)用它們解題．

外離：兩圓沒有公共點(diǎn)，一個(gè)圓上所有的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部相離：

內(nèi)含：兩圓沒有公共點(diǎn)，一個(gè)圓上所有的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部相切：

外切：兩圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，除公共點(diǎn)外一個(gè)圓上所有的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部

內(nèi)切：兩圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，除公共點(diǎn)外一個(gè)圓上所有的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部相交：兩圓只有兩個(gè)公共點(diǎn)。

設(shè)兩圓的半徑分別為r1、r2，圓心距（兩圓圓心的距離）為d，則有兩圓的位置關(guān)系，d與r1和r2之間的關(guān)系．

外離?d>r1+r2外切?d=r1+r2

相交?│r1-r2│1+3，外離．

29?x（2）設(shè)B（x，0）x≠-2，則AB=，⊙B半徑為│x+2│，

y_A_O_x_①設(shè)⊙B與⊙A外切，則9?x=│x+2│+1，

當(dāng)x>-2時(shí)，9?x=x+3，平方化簡(jiǎn)得：x=0符題意，∴B（0，0），

29?x當(dāng)x-2（舍），29?x②設(shè)⊙B與⊙A內(nèi)切，則=│x+2│-1，

22當(dāng)x>-2時(shí)，9?x=x+1，得x=4>-2，∴B（4，0），

新世紀(jì)教育網(wǎng)--中國(guó)最大型、最專業(yè)的中小學(xué)教育資源門戶網(wǎng)站。版權(quán)所有@新世紀(jì)教育網(wǎng)

2新世紀(jì)教育網(wǎng).精品資料版權(quán)所有@新世紀(jì)教育網(wǎng)

29?x當(dāng)xEB，即大樹必位于欲修建的水池邊上，應(yīng)重新設(shè)計(jì)方案．∵當(dāng)x=2.4時(shí)，DE=5∴AD=3.2，

由圓的對(duì)稱性知滿足條件的另一設(shè)計(jì)方案，如下圖:

2222新世紀(jì)教育網(wǎng)--中國(guó)最大型、最專業(yè)的中小學(xué)教育資源門戶網(wǎng)站。版權(quán)所有@新世紀(jì)教育網(wǎng)

新世紀(jì)教育網(wǎng).精品資料版權(quán)所有@新世紀(jì)教育網(wǎng)

CGAFBDE..c此時(shí)，?AC=6，BC=8，AD=1.8，BE=3.2，這樣設(shè)計(jì)既滿足條件，又避開大樹．

練習(xí)1如下圖，?已知⊙O?的周長(zhǎng)等于6?cm，?求以它的半徑為邊長(zhǎng)的正六邊形ABCDEF的面積．

2．若半徑為5cm的一段弧長(zhǎng)等于半徑為2cm的圓的周長(zhǎng)，?則這段弧所對(duì)的圓心角為（）A．18°B．36°C．72°D．144°答案

1.設(shè)正六邊形邊長(zhǎng)為a，則圓O半徑為a，由題意得：2?a=6?，∴a=3．

如右圖，設(shè)AB為正六邊形的一邊，O為它的中心，過O作OD⊥AB，垂足為D，

O180?13則OD=r6，?則∠DOA=6=30°，AD=2AB=2，

ADB..c33在Rt△ABC中，OD=r6=2cm，112733∴S=6·2ar6=2×3×2×6=23cm2．

2.D

知識(shí)點(diǎn)八、弧長(zhǎng)和扇形、圓錐側(cè)面積面積

n?Rn?R2重點(diǎn)：n°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)L=180，扇形面積S扇=360、圓錐側(cè)面積面積及其它們的應(yīng)用．

難點(diǎn)：公式的應(yīng)用．

n?R1．n°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)L=180

n?R22．圓心角為n°的扇形面積是S扇形=360

3.全面積是由側(cè)面積和底面圓的面積組成的，所以全面積=?rL+r2．

新世紀(jì)教育網(wǎng)--中國(guó)最大型、最專業(yè)的中小學(xué)教育資源門戶網(wǎng)站。版權(quán)所有@新世紀(jì)教育網(wǎng)

新世紀(jì)教育網(wǎng).精品資料版權(quán)所有@新世紀(jì)教育網(wǎng)

例1．操作與證明：如下圖，O是邊長(zhǎng)為a的正方形ABCD的中心，將一塊半徑足夠長(zhǎng)，圓心角為直角的扇形紙板的圓心放在O處，并將紙板繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，求證：正方形ABCD的邊被紙板覆蓋部分的總長(zhǎng)度為定值a．

解題思路：如下圖，不妨設(shè)扇形紙板的兩邊與正方形的邊AB、AD?分別交于點(diǎn)M、N，連結(jié)OA、OD．

∵四邊形ABCD是正方形

∴OA=OD，∠AOD=90°，∠MAO=∠NDO，又∠MON=90°，∠AOM=∠DON∴△AMO≌△DNO∴AM=DN

∴AM+AN=DN+AN=AD=a

特別地，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)A（點(diǎn)B）重合時(shí)，點(diǎn)N必與點(diǎn)D（點(diǎn)A）重合，此時(shí)AM+AN仍為定值a．故總有正方形的邊被紙板覆蓋部分的總長(zhǎng)度為定值a．例2．已知扇形的圓心角為120°，面積為300?cm2．（1）求扇形的弧長(zhǎng)；

（2）若將此扇形卷成一個(gè)圓錐，則這個(gè)圓錐的軸截面面積為多少？

n?Rn?R2解題思路：（1）由S扇形=360求出R，再代入L=180求得．（2）若將此扇形卷成一個(gè)圓錐，

?扇形的弧長(zhǎng)就是圓錐底面圓的周長(zhǎng)，就可求圓的半徑，其截面是一個(gè)以底是直徑，?圓錐母線為腰的等腰三角形．[來源:21世紀(jì)教育網(wǎng)]解：（1）如下圖：

120?R2∵300?=360

∴R=30

120???30180∴弧長(zhǎng)L==20?（cm）

（2）如下圖：

∵20?=20?r∴r=10，R=30

AD=900?100=2021∴S軸截面=2×BC×AD

1=2×2×10×202=2023（cm2）

因此，扇形的弧長(zhǎng)是20?cm卷成圓錐的軸截面是2023cm2．

新世紀(jì)教育網(wǎng)--中國(guó)最大型、最專業(yè)的中小學(xué)教育資源門戶網(wǎng)站。版權(quán)所有@新世紀(jì)教育網(wǎng)