第十六章 習(xí)題解答

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16-1設(shè)某一時刻的橫波波形曲線如圖16-1(a)所示，水平箭頭表示該波的傳播方向，試分別用矢量標(biāo)明圖中A、B、C、D、E、F、G、H、I等質(zhì)點(diǎn)在該時刻的運(yùn)動方向，并畫出經(jīng)過T后的波形曲線。

4解：波形曲線表示的是某一時刻波線上所有質(zhì)點(diǎn)偏離平衡位置的振動位移的分布圖。將波形曲線沿波的傳播方向平移，就是下一時刻波線上質(zhì)點(diǎn)偏離平衡位置的位移分布，據(jù)此可確定各質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方向，如圖16-1（b）所示。將波形曲線圖16-1(a)沿波的傳播方向平移λ/4就是經(jīng)過T/4后的波形曲線，如圖16-1（c）所示。

習(xí)題16-1圖

16-3一橫波沿繩子傳播，其波函數(shù)為y?0.20cos?2.5?t??x?（其中各量均采用國際單位制）。

（1）求波的振幅、波速、頻率及波長；（2）求繩上質(zhì)點(diǎn)振動時的最大速度。

解：（1）將已知波函數(shù)化成標(biāo)準(zhǔn)形式，并與標(biāo)準(zhǔn)形式對應(yīng)項(xiàng)比較，即可求出各參量。

x??y?0.20cos?2.5?t??x??0.20cos2??1.25t??

2??x??與波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)形式y(tǒng)?Acos2???t??相比較，得

???A?0.20m，??1.25Hz，??2.0m

u????2.0?1.25?2.5(m?s?1)

（2）質(zhì)點(diǎn)振動時的最大速度

vmax?A??2??A?2?3.14?1.25?0.20?1.57(m?s?1)

16-4一波源作簡諧振動，周期為

1s，經(jīng)平衡位置向正方向運(yùn)動時，作為100計時起點(diǎn)。設(shè)此振動以400m?s?1的速度沿直線傳播，求：

（1）該波動沿某波線的方程；

（2）距波源為16m處和20m處質(zhì)點(diǎn)的振動方程和初相；（3）距波源為15m處和16m處的兩質(zhì)點(diǎn)的相位差。解：（1）由題義可知T?1s，u?400m?s?1。經(jīng)平衡位置向正方向運(yùn)動時，100作為波源作簡諧振動的計時起點(diǎn)，由旋轉(zhuǎn)矢量法可得????2，波長??uT?4m。

tx??將其帶入波動方程的標(biāo)準(zhǔn)形式y(tǒng)?Acos?2?(?)???可得該波動沿某波

T???線的方程為：

??x???y?Acos?2??100t????

4?2???（2）將x1?16m，x2?20m分別代入上面所得波動方程中，可得兩處質(zhì)點(diǎn)的振動方程和初相分別為：

17??21????y16?A16cos?200?t?y?Acos200?t?，2023???22?????16??17?21??，?20???；蚓鶠???，即與波源同步調(diào)。22217?16????222（3）距波源為15m處和16m處的兩質(zhì)點(diǎn)的相位差為

???16-5有一波在介質(zhì)中傳播，其波速u?1.0?103m?s?1，振幅A?1.0?10?4m，頻率??1.0?103Hz，若介質(zhì)的密度??8.0?102kg?m?3,求：

（1）該波的能流密度；

（2）1min內(nèi)垂直通過面積為0.4m2的總能量。解：（1）將已知數(shù)據(jù)代入波的能流密度表達(dá)式I?122?A?u，可得2

I??122?A?u21?8.0?102?(2??1.0?103)2?1.0?10?42?1.58?105(W?m?2)??2?1.0?103

（2）1min內(nèi)垂直通過面積為0.4m2的總能量為

W?ISt?1.58?105?0.4?60?3.79?106(J)

16-6頻率為300Hz、波速為330m·s-1的平面簡諧波在直徑為16.0㎝的管道中傳

播，能流密度為10.0×10-3J·s-1·m-2。求：（1）平均能量密度；（2）最大能量密度；

（3）兩相鄰?fù)辔徊嬷g的總能量。

1I解：（1）將已知數(shù)據(jù)代入波的能量密度表達(dá)式w??A2?2?，可得

2u10.0?10?3?3.03?10?5J·m-3（1）w?330（2）wmax?2w?6.06?10?5J·m

?5-3

0.162330??6.70?10?7J。（3）W?w?S???3.03?10??430016-7如下圖，兩振動方向一致的平面簡諧波分別位于A、B點(diǎn)。設(shè)它們的相

位一致，頻率均為??30Hz，波速u?0.50m·s-1。求點(diǎn)P處兩列波的相位差。

習(xí)題16－7圖

解：相位差的定義及余弦定理可得：

???2?r2?r1?3.0?32?0.072?2?3?0.07cos30??2??4.1?。

0.503016-8如下圖，B、C為兩個振動方向一致的平面簡諧波的波源，其振動表達(dá)式分別為y1?0.02cos2?t和y2?0.02cos?2?t???（國際單位制）。若兩列波在P點(diǎn)相遇，BP?0.40m，CP?0.50m，波速為0.20m·s-1，求：

（1）兩列波在P點(diǎn)的相位差；（2）P點(diǎn)合振動的振幅。

習(xí)題16-8圖

解：（1）把已知條件代入相位差公式????2??1?2?其中?2??,?1?0，r1?0.40m，r2?0.50m，??1Hz，

r2?r1?

0.20?0.20m，可得

?10.50?0.40?????0?2??0

0.20??u?（2）A1?A2?0.02m，由于兩列波在P點(diǎn)的相位差???0，因此在P點(diǎn)合振動加強(qiáng)，由合振動的振幅公式

2A?A12?A2?2A1A2cos??，可得

P點(diǎn)合振動的振幅

A?A1?A2?0.04m

16-9兩列波在一根很長的細(xì)繩上傳播，它們的方程分別為

y1?0.06cos??x?4t?和y2?0.06cos??x?4t?（國際單位制）。

（1）證明這細(xì)繩是作駐波式振動，并求波節(jié)點(diǎn)和波腹點(diǎn)的位置；

（2）波腹處的振幅多大？在x?1.2m處，振幅多大？解：（1）細(xì)繩的合振動為

y?y1?y2?0.06cos??x?4t??0.06cos??x?4t??0.12cos?xcos4?t為駐波方程。

1??波節(jié)位置應(yīng)滿足?x??k???,k?0,?1,?2,?，由此解得波節(jié)位置

2??1??x??k??,k?0,?1,?2,?

2??波腹位置應(yīng)滿足?x?k?,k?0,?1,?2,?，由此解得波腹位置

x?k,k?0,?1,?2,?

（2）波腹處的振幅等于0.12m；在x?1.2m處，振幅為

0.12cos?x?0.12cos1.2??0.097m

16-10一弦上的駐波方程式為y?0.03cos(。1.6?x)cos(550?t)（國際單位制）（1）若將此駐波看成是由傳播方向相反、振幅及波速均一致的兩列相干波疊加而成的，求它們的振幅及波速；

（2）求相鄰波節(jié)之間的距離；

（3）求t?3.0?10?3s時位于x?0.625m處質(zhì)點(diǎn)的振動速度。解：（1）將y?0.03cos(1.6?x)cos(550?t)與駐波方程y?2Acos比較，得兩列相干波的振幅

2??xcos?t相

A?0.032550?1.5?10?2m；波長???1.25m；頻率???275Hz；21.62波速u????1.25?275?343.8（m·s-1）（2）相鄰波節(jié)之間的距離為?x?xk?1?xk??2?1.25?0.625m2（3）t?3.0?10?3s時位于x?0.625m處質(zhì)點(diǎn)的振動速度為v??2A?cos2??xsin?t

??0.03?550?cos?sin?550??3.0?10?3???46.1m?s?1

16-11在試驗(yàn)室中做駐波試驗(yàn)時，將一根長3m的弦線一端系于電動音叉的一臂上，該音叉在垂直弦線長度的方向上以60Hz的頻率作振動，弦線的質(zhì)量為60×10-3kg。假使要使該弦線產(chǎn)生有四個波腹的