第五章 時間序列的模型識別匯總

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第五章時間序列的模型識別

前面四章我們探討了時間序列的平穩(wěn)性問題、可逆性問題，關(guān)于線性平穩(wěn)時間序列模型，引入了自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)，由此得到ARMA(p,q)統(tǒng)計(jì)特性。從本章開始，我們將運(yùn)用數(shù)據(jù)開始進(jìn)行時間序列的建模工作，其工作流程如下：

1.模型識別

用相關(guān)圖和偏相關(guān)圖識別模型

形式（確定參數(shù)p,q）2.參數(shù)估計(jì)對初步選取的模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)

3.診斷與檢驗(yàn)

包括參數(shù)的顯著性檢驗(yàn)和

殘差的隨機(jī)性檢驗(yàn)

不可取模型是否可取可取中止

圖5.1建立時間序列模型流程圖

在ARMA(p,q)的建模過程中，對于階數(shù)(p,q)的確定，是建模中比較重要的步驟，也是比較困難的。需要說明的是，模型的識別和估計(jì)過程必然會交織，所以，我們可以先估計(jì)一個比我們希望找到的階數(shù)更高的模型，然后決定哪些方面可能被簡化。在這里我們使用估計(jì)過程去完成一部分模型識別，但是這樣得到的模型識別必然是不確切的，而且在模型識別階段對于有關(guān)問題沒有確切的公式可以利用，初步識別可以我們提供有關(guān)模型類型的試探性的考慮。

對于線性平穩(wěn)時間序列模型來說，模型的識別問題就是確定ARMA(p,q)過程的階數(shù)，從而判定模型的具體類別，為我們下一步進(jìn)行模型的參數(shù)估計(jì)做準(zhǔn)備。所采用的基本方法主要是依據(jù)樣本的自相關(guān)系數(shù)（ACF）和偏自相關(guān)系數(shù)（PACF）初步判定其階數(shù)，假使利用這種方法無法明確判定模型的類別，就需要借助諸如AIC、BIC等信息準(zhǔn)則。我們分別給出幾種定階方法，它們分別是（1）利用時間序列的相關(guān)特性，這是識別模型的基本理論依據(jù)。假使樣本的自相關(guān)系數(shù)（ACF）在滯后q+1階時突然截?cái)?，即在q處截尾，那么我們可以判定該序列為MA(q)序列。同樣的道理，假使樣本的偏自相關(guān)系數(shù)（PACF）在p處截尾，那么我們可以判定該序列為AR(p)序列。假使ACF和PACF都不截尾，只是按指數(shù)衰減為零，則應(yīng)判定該序列為ARMA(p,q)序列，此時階次尚需作進(jìn)一步的判斷；（2）利用數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法檢驗(yàn)高階模型新增加的參數(shù)是否近似為零，根據(jù)模型參數(shù)的置信區(qū)間是否含零來確定模型階次，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蜌埐畹南嚓P(guān)特性等；（3）利用信息準(zhǔn)則，確定一個與模型階數(shù)有關(guān)

1

的準(zhǔn)則函數(shù)，既考慮模型對原始觀測值的接近程度，又考慮模型中所含待定參數(shù)的個數(shù)，最終選取使該函數(shù)達(dá)到最小值的階數(shù)，常用的該類準(zhǔn)則有AIC、BIC、FPE等。實(shí)際應(yīng)用中，往往是幾種方法交織使用，然后選擇最為適合的階數(shù)(p,q)作為待建模型的階數(shù)。

§5.1自相關(guān)和偏自相關(guān)系數(shù)法

在平穩(wěn)時間序列分析中，最關(guān)鍵的過程就是利用數(shù)據(jù)去識別和建模，根據(jù)第三章探討的內(nèi)容，一個比較直觀的方法，就是通過觀測自相關(guān)系數(shù)（ACF）和偏自相關(guān)系數(shù)（PACF）可以對擬合模型有一個初步的識別，這是由于從理論上說，平穩(wěn)AR、MA和ARMA模型的ACF和PACF有如下特性：

AR(p)MA(q)ARMA(p,q)模型（序列）

自相關(guān)系數(shù)（ACF）拖尾q階截尾拖尾偏自相關(guān)系數(shù)（PACF）p階截尾拖尾拖尾但是，在實(shí)際中ACF和PACF是未知的，對于給定的時間序列觀測值x1,x2,,xT，我們

?對其進(jìn)行估計(jì)。然而由于???k?和偏自相關(guān)系數(shù)??k?和需要使用樣本的自相關(guān)系數(shù)??kk??kk????均是隨機(jī)變量，對于相應(yīng)的模型不可能具有嚴(yán)格的“截尾性〞，只能浮現(xiàn)出在某步之后

??的“截尾性〞來判斷???和???的??和??圍繞零值上、下波動，因此，我們需要借助??kkkkkk?k?和截尾性，進(jìn)而由此可以給出模型的初步識別。首先，我們需要給出樣本的自相關(guān)系數(shù)???的定義。偏自相關(guān)系數(shù)?kk設(shè)平穩(wěn)時間序列?Xt?的一個樣本x1,??,xT。則樣本自協(xié)方差系數(shù)定義為

1T?k??k???xj?x??xj?k?x?,1?k?T?1Tj?1???k???k,1?k?T?1(5.1)

1T?k?是?Xt?的自協(xié)方差系數(shù)??k?的估其中x??xj為樣本均值，則樣本自協(xié)方差系數(shù)??Tj?1計(jì)。樣本自相關(guān)系數(shù)定義為

?k???k??0,k?T?1?是?Xt?的自相關(guān)系數(shù)??k?的估計(jì)。

(5.2)

作為?Xt?的自協(xié)方差系數(shù)??k?的估計(jì)，根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識，樣本自協(xié)方差系數(shù)還可以寫為

2

1T?k??k???xj?x??xj?k?x?,1?k?T?1

T?kj?1???k???k,1?k?T?1(5.3)

在上述兩種估計(jì)中，當(dāng)樣本容量T很大，而k的絕對值較小時，上述兩種估計(jì)值相差不大，其中由(5.1)定義的第一種估計(jì)值的絕對值較小。根據(jù)前面章節(jié)的探討，由于AR(p)，MA(q)或者ARMA(p,q)模型的自協(xié)方差系數(shù)??k?都是以負(fù)指數(shù)階收斂到零，所以在對平穩(wěn)時間序列的數(shù)據(jù)擬合AR(p)，MA(q)或者ARMA(p,q)模型時，希望實(shí)際計(jì)算的樣本自

?k?能以很快的速度收斂。因此，我們一般選擇由(5.1)定義的第一種估計(jì)值作協(xié)方差系數(shù)??為??k?的點(diǎn)估計(jì)。

?k?的值，定義樣本偏自相關(guān)根據(jù)第三章偏自相關(guān)系數(shù)的計(jì)算，利用樣本自相關(guān)系數(shù)???如下：系數(shù)?kk???D??kk?k,k?1,2,?D其中

,T

(5.4)

??D1?1??1?1?k?1??k?2?1??,Dk1?1??1?1?1??2??k?

?k?1??k?2??k?1??k?2??k?的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)，我們將在下一章給予探討。關(guān)于樣本的自相關(guān)系數(shù)???也滿足Bartlett公式，即當(dāng)樣本容量T充分大時，Quenouille證明，?kk???~N?0,1T??kk這樣根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)，我們有

（5.5）

1???（5.6）P?????68.3%kkT??2???（5.7）P?????95.5%kkT??

這樣，關(guān)于偏自相關(guān)系數(shù)??kk?的截尾性的判斷，轉(zhuǎn)化為利用上述性質(zhì)（5.6）或者（5.7），

?的截尾性?？梢耘袛?具體方法為對于每一個p>0，考察?p?1,p?1，…，?p?2,p?2，?p?M,p?Mkk??3

??中落入?kk1??2的比例是否占總數(shù)M的68.3％或95.5％?；?kkTT?都明顯地不為零，而當(dāng)p?p時，一般地，我們?nèi)?T。假使p?p0之前?0kk?p?1,p?1，?p?2,p?2，…，?p?M,p?M中滿足不等式

000000???kk1??2或?kkTT的個數(shù)占總數(shù)M的68.3％或95.5％，則可以認(rèn)定??kk?在p0處截尾，由此可以初步判定序列{Xt}為AR(p0)模型。

?k?，由其次章的Bartlett公式，對于q?0，???k?滿足對于樣本的自相關(guān)系數(shù)???1?k~N?0,??T?q??2??j???1?2???j?1???（5.8）

?k?也滿足進(jìn)一步地，當(dāng)樣本容量T充分大時，???k~N?0,1T??

（5.9）

?q?1，??q?2，…，??q?M中落入類似于（5.6）或者（5.7）式，對于每一個q?0，檢查??k??12?k?或者?中的比例是否占總數(shù)M的68.3％或95.5％左右。假使在q0之前，

TT000?k都明顯不為零，而當(dāng)q?q0時，??q?1，??q?2，…，??q?M中滿足上述不等式的個數(shù)達(dá)?到比例，則判斷??k?在q0處截尾。初步認(rèn)為序列{Xt}為MA(q0)模型。

?，得到ARMA模型?k?和偏自相關(guān)系數(shù)?至此，我們可以利用樣本的自相關(guān)系數(shù)??kk階數(shù)的初步判定方法。具體做法如下：

???k?在最初的q階明顯的大于2倍標(biāo)準(zhǔn)差范圍，即21(1)假使樣本自相關(guān)系數(shù)???T，而

??k都落在2倍標(biāo)準(zhǔn)差范圍之內(nèi)，并且由非零樣本自相關(guān)后幾乎95%的樣本自相關(guān)系數(shù)?系數(shù)衰減為在零附近小值波動的過程十分突然，這時尋常視為自相關(guān)系數(shù)??k?截尾，既可以初步判定相應(yīng)的時間序列為MA(q)模型

?假使?jié)M足上述性質(zhì)，則可以初步判定相應(yīng)的時間序列為(2)同樣，樣本偏自相關(guān)系數(shù)?kk

4

??

AR(p)模型。

?，假使均有超過5%的值落入2倍?k?和樣本偏自相關(guān)系數(shù)?(3)對于樣本自相關(guān)系數(shù)??kk標(biāo)準(zhǔn)差范圍之外，或者由非零樣本自相關(guān)系數(shù)和樣本偏自相關(guān)系數(shù)衰減為在零附近小值

波動的過程十分緩慢，這時都視為不戴尾的，我們將初步判定時間序列為ARMA模型，那么這樣的判斷往往會失效，由于這時ARMA(p,q)模型的階數(shù)p和q很難確定。總之，基于樣本自相關(guān)和偏自相關(guān)系數(shù)的定階法只是一種初步定階方法，可在建模開始時加以粗略地估計(jì)。

例5.1綠頭蒼蠅數(shù)據(jù)的時間序列。具有均衡性別比例數(shù)目固定的成年綠頭蒼蠅保存在一個盒子中，每天給一定數(shù)量的食物，每天對綠頭蒼蠅的總體計(jì)數(shù)，共得到T=82個觀測值。經(jīng)過平穩(wěn)性處理后計(jì)算其基于樣本自相關(guān)和偏自相關(guān)系數(shù)，見表5.1

表5.1綠頭蒼蠅的樣本ACF和PACF

樣本自相關(guān)系數(shù)樣本偏自相關(guān)系數(shù)??k?k?k??kk0.73-0.09-0.040.04-0.0