第六章習(xí)題與復(fù)習(xí)題（二次型）

本文格式為Word版，下載可任意編輯——第六章習(xí)題與復(fù)習(xí)題（二次型）習(xí)題6.1

1．寫出以下二次型的矩陣.

222（1）f(x1,x2,x3)?x1?x2?x3?x1x2?x1x3?x2x3

（2）f(x1,x2,x3,x4)?x1x2?x2x3

?135??T?（3）f(x1,x2,x3,x4)?X?246?X

?785???2．將二次型

22f(x1,x2,x3)?x12?3x2?2x3?8x1x2?10x2x3

表成矩陣形式，并求該二次型的秩.

3．設(shè)

?a1?A=?0?0?0a200??0?，B=a3??T?a2??0?0?0a300??0?a1??證明A與B合同，并求可逆矩陣C，使得B=CAC．

4．假使n階實(shí)對(duì)稱矩陣A與B合同，C與D合同，證明?

?AO??BO??與??合同.

?OC??OD?習(xí)題6.2

1．用正交變換法化以下實(shí)二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，并求出所用的正交變換.

222（1）f(x1,x2,x3)?2x1?3x2?3x3?4x2x3

2222．已知二次型f(x1,x2,x3)?2x1?x2?x3?2cx1x2?2x2x3的秩為2.

(1)求c;

(2)求一正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形.

223．已知二次型f(x1,x2,x3)?4x2?3x3?2ax1x2?4x1x3?8x2x3經(jīng)正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形

1

22f?y12?6y2?by3,求a,b的值與所用正交變換.

?x????????4.已知二次曲面方程x2?ay2?z2?2bxy?2xy?2yz?4可經(jīng)正交變換?y??Q???化為橢圓柱面?z????????方程?2?4?2?4,求a,b的值與正交矩陣Q.

5．用配方法化以下二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，并求出所用的可逆線性變換.

222（1）f(x1,x2,x3)?x1?2x2?5x3?2x1x2?2x1x3?8x2x3

6．在二次型f（x1，x2，x3）=(x1?x2)2?(x2?x3)2?(x3?x1)2中，令

?y1?x1?x2??y2?x2?x3?y?x?x31?3222得f=y1可否由此認(rèn)定上式為原二次型f的標(biāo)準(zhǔn)形且原二次型的秩為3？為?y2?y3什么？若結(jié)論是否定的，請(qǐng)你將f化為標(biāo)準(zhǔn)形并確定f的秩.

7．判斷矩陣A???01??11?與B????是否合同.

?12??13?習(xí)題6.3

1．判定以下實(shí)二次型的正定性.

222（1）f(x1,x2,x3)?2x1?3x2?4x3?4x1x2?2x2x3222（2）f(x1,x2,x3)??2x1?3x2?x3?2x1x2?2x1x3?2x2x3

（3）f(x1,x2,x3)?x1x2?5x1x3?x2x3（4）

2222．a(chǎn)為何值時(shí)，實(shí)二次型f(x1,x2,x3)?x1?(2?a)x2?ax3?2x1x2?2x1x3?x2x3是正定

?xi?1n2i?1?i?j?n?xxij

的.

2

?101???3.設(shè)矩陣A??020?,B?(kE?A)2,其中k為實(shí)數(shù).?101???（1）求對(duì)角陣?，使B與?相像；（2）求參數(shù)k的值，使B為正定矩陣.習(xí)題六(A)

一、填空題

2221．二次型f(x1,x2,x3)?2x1?x2?3x3?2x1x2?4x1x3?6x2x3的矩陣為.2．二次型f(x1,x2,x3)?(ax1?bx2?cx3)2的矩陣為.

?12?4???1?4?，則該二次型為.3．已知二次型的矩陣為?2??4?47???

4．二次型f(x1,x2,x3)?(x1?x2)2?(x2?x3)2?(x3?x1)2的秩為.

2225．化二次型f(x1,x2,x3)?x1為規(guī)范形，所用的可逆線性變換矩陣為.?4x2?3x36．二次型f(x1,x2,x3)?x1x2?x1x3?x2x3的規(guī)范形為.

?100?7．已知實(shí)對(duì)稱矩陣A與矩陣?0?12?合同，則二次型XTAX的規(guī)范形為.

???022???

2228．已知f(x1,x2,x3)?2x1?x2?x3?2x1x2?ax2x3正定，則a=.2229．當(dāng)t滿足,f(x1,x2,x3)??x1?4x2?2x3?4tx1x2?2x1x3是負(fù)定的.22210．已知二次型f(x1,x2,x3)?x1?ax2?x3?2x1x2?2ax1x3?2x2x3

的正、負(fù)慣性指數(shù)均為1，則a=.

二、單項(xiàng)選擇題

2221.已知二次型f(x1,x2,x3)?(1?a)x1?(1?a)x2?2x3?2(1?a)x1x2的秩為2,則

a=().

3

(A)0(B)1(C)2(D)3

?100???2.設(shè)A??020?,則以下矩陣中與A合同的矩陣是().

?00?5?????100???(A)?010?(B)

?001???0??20??(C)?0?10?(D)

?00?5?????100???0?20???00?1????200????010??003???

3.假使n元二次型f?XTAX（其中AT?A）可經(jīng)可逆線性變換X?CY化為f?YBY,則以下結(jié)論不正確的是（）.T(A)A與B合同(B)A與B等價(jià)(C)A與B相像(D)A與B的秩相等4.設(shè)A,B都是正定陣,則().

(A)AB,A+B一定都是正定陣(B)AB是正定陣,A+B不是正定陣(C)AB不一定是正定陣,A+B是正定陣(D)AB,A+B都不是正定陣5.以下條件不能保證n階實(shí)對(duì)稱矩陣A為正定的是().(A)A正定

(B)二次型f=XTAX的負(fù)慣性指數(shù)為零(C)二次型f=XTAX的正慣性指數(shù)為n(D)A合同于單位矩陣

?16.二次型f(x1,x2,x3)?(x1?ax2?2x3)2?(2x2?3x3)2?(x1?3x2?ax3)2正定的充要條件是().(A)a??1(B)a??1(C)a?1(D)a?17.已知實(shí)對(duì)稱矩陣A滿足A2-5A+6E=O,則A().

(A)正定(B)半正定(C)負(fù)定(D)不定

2228.已知二次型f(x1,x2,x3)?x1?2x2?2x3?2ax1x2?4x1x3?8x2x3經(jīng)正交變換化為22,則a=().f?2y12?2y2?7y3

(A)1(B)?1(C)2(D)?29.以下矩陣合同于單位矩陣的是().

4

?121???(A)?242?(B)

?363????121???(C)?271?(D)

?118????10?1???040????10?1?????2?12????134???244????2?1?1??1?????110.設(shè)矩陣A???12?1?與矩陣B???，則A與B().

??1?12??0?????(A)合同且相像(B)合同但不相像

(C)不合同但相像(D)既不合同也不相像

(B)

?220???1．已知B??820?相像于對(duì)角陣.

?0a6???（1）求a的值；

（2）求正交變換使二次型XTBX為標(biāo)準(zhǔn)形.

222.已知二次型f(x1,x2,x3)?5x12?5x2?cx3?2x1x2?6x1x3?6x2x3的秩為2.(1)求c和二次型矩陣的特征值;(2)指出方程f(x1,x2,x3)?1表示哪種二次曲面.

3.已知實(shí)二次型f=XTAX中矩陣A的特征值為1，2，5，A屬于特征值1與2的特征向量分別為?1?(0,1,?1),?2?(1,0,0),求該二次型.4．設(shè)二次型f(x1,x2,x3)經(jīng)正交變換

TT1?x?(2y1?2y2?y3)1?3?1??x2?(?2y1?y2?2y3)

3?1?x??33(y1?2y2?2y3)?22化為了標(biāo)準(zhǔn)形f?4y12?y2?2y3,求該二次型。5．設(shè)A是n階對(duì)稱矩陣，假使對(duì)任一n維向量X，都有f=XTAX=0,證明A=O.

6．設(shè)f=XAX為n元實(shí)二次型，?與?分別為其矩陣A的最大特征值與最小特征值，證明對(duì)任一實(shí)n維向量X，總有?XX≤XAX≤?XX．

5

TTT