概率作業(yè)紙答案

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第一章隨機(jī)事件及其概率

第三節(jié)事件的關(guān)系及運(yùn)算

一、選擇

1.事件AB表示（C）

（A）事件A與事件B同時發(fā)生（B）事件A與事件B都不發(fā)生

（C）事件A與事件B不同時發(fā)生（D）以上都不對

2.事件A,B，有A?B，則A?B?（B）

（A）A（B）B（C）AB（D）A?B

二、填空

1.設(shè)A,B,C表示三個隨機(jī)事件，用A,B,C的關(guān)系和運(yùn)算表示⑴僅A發(fā)生為ABC⑵A,B,C中正好有一件發(fā)生為ABC?ABC?ABC⑶A,B,C中至少有一件發(fā)生為A?B?C

三、簡答題

1.任意拋擲一顆骰子，觀測出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)。事件A表示“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)〞，事件B表示“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)可以被3整除〞，請寫出以下事件是什么事件，并寫出它們包含的基才能件A,B,A?B,AB,?AB解：A表示“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)〞，A??2,4,6?B表示“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)可以被3整除〞，B??3,6?

A?B表示“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)可以被2或3整除〞，A?B??2,3,4,6?

AB表示“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)既可以被2整除，也可以被3整除〞，AB??6?

，A?B??1,5?A?B表示“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)既不可以被2整除，也不可以被3整除〞

2.向指定目標(biāo)射擊兩次。設(shè)事件A,B,C,D分別表示“兩次均未擊中〞、“擊中一次〞、“擊中兩次〞、“至少擊中一次〞，請寫出所有基才能件，并用基才能件表示事件A,B,C,D

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概率論與數(shù)理統(tǒng)計標(biāo)準(zhǔn)作業(yè)紙班級學(xué)號姓名

解：基才能件為w1：“第一次擊中，其次次擊中〞w2：“第一次未擊中，其次次擊中〞

“第一次擊中，其次次未擊中〞w4：“第一次未擊中，其次次未擊中〞w3：

A?{w4}，B?{w2,w3}，C?{w1}，D?{w1,w2,w3}

3.袋中有10個球，分別寫有號碼110，其中1，2，3，4，5號球為紅球；6，7，8號球為白球；9，10號球為黑球。設(shè)試驗為：

（1)從袋中任取一球，觀測其顏色；（2）從袋中任取一球，觀測其號碼。

分別寫出試驗的基才能件及樣本空間，并指出樣本空間的基才能件是否等可能的。解：（1）w1：“取出紅球〞；w2：“取出白球〞；w3：“取出黑球〞??{w1,w2,w3}，基才能件不是等可能的。（2）wi：“取出標(biāo)有號碼i的球〞，(i?1,2,3?10)

??{w1,w2,?w10}?{1,2,?10)，基才能件是等可能的。

第四節(jié)概率的古典定義

一、選擇

1．將數(shù)字1、2、3、4、5寫在5張卡片上，任意取出3張排列成三位數(shù)，這個數(shù)是奇數(shù)的概率是（B）

（A）

1235310110（B）（C）（D）

二、填空

1.從裝有3只紅球，2只白球的盒子中任意取出兩只球，則其中有并且只有一只紅球的概率為

C3C2C2511?35

2.把10本書任意放在書架上，求其中指定的3本書放在一起的概率為

3!8!10!

3.為了減少比賽場次，把20個球隊任意分成兩組，每組10隊進(jìn)行比賽，則最強(qiáng)的兩個隊被分在不同組內(nèi)的概率為

C2C18C102023?1019。

三、簡答題

1．若10件產(chǎn)品中有7件正品，3件次品。從中依次取出3件產(chǎn)品。⑴每次取出后不放回，求取出的3件產(chǎn)品中有2件正品，1件次品的概率。⑵若每次取出后將取出的產(chǎn)品放回，

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求取出的3件產(chǎn)品中有2件正品，1件次品的概率。解：（1）設(shè)事件A為不放回時取出的3件產(chǎn)品中有2件正品，1件次品。

CCCPP21P(A)?733(3733)??0.525

40C10P1021221（2）設(shè)事件B為有放回時取出的3件產(chǎn)品中有2件正品，1件次品。P(B)?C373103224411000

P(B)??4411000

2.電話號碼由7個數(shù)組成，每個數(shù)字可以是0，1，2，?，9中的任一個數(shù)字（但第一個

數(shù)字不能為0），求電話號碼是由完全不一致的數(shù)字組成的概率。解：P(A)?P9P9P9101155?0.1512

3.將3個球隨機(jī)地投入4個盒子中，求以下事件的概率（1）A任意3個盒子中各有一球；（2）B任意一個盒子中有3個球；（3）C任意1個盒子中有2個球，其他任意1個盒子中有1個球。解：（1）P(A)?C43!433?38（2）P(B)?C4431?116（3）P(C)?C4C3C343121?916

第五節(jié)概率加法定理

一、選擇

1.設(shè)隨機(jī)事件A和B同時發(fā)生時，事件C必發(fā)生，則以下式子正確的是（C）

(A)P(C)?P(AB)(B)P(C)?P(A)?P(B)

(C)P(C)?P(A)?P(B)?1(D)P(C)?P(A)?P(B)?1

142.已知P(A)?P(B)?P(C)?，P(AB)?0，P(AC)?P(BC)?116。則事件A、

B、C全不發(fā)生的概率為（B）

(A)

28(B)

38(C)

58(D)

68

3.已知事件A、B滿足條件P(AB)?P(AB)，且P(A)?p，則P(B)?（A）

(A)1?p(B)p(C)

p2(D)1?p2

二、填空

1.從裝有4只紅球3只白球的盒子中任取3只球，則其中至少有一只紅球的概率為

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1?C3C337?3435（0.97）

2.擲兩枚篩子，則兩顆篩子上各自出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)最小為2的概率為0.25

3.袋中放有2個伍分的錢幣，3個貳分的錢幣，5個壹分的錢幣。任取其中5個，則總數(shù)超過一角的概率是0.5

三、簡答題

1．某工廠生產(chǎn)的一批產(chǎn)品共100個，其中有5個次品。從這批產(chǎn)品中任取一半來檢查，求發(fā)現(xiàn)次品不多于一個的概率。

解：設(shè)事件Ai表示發(fā)現(xiàn)i個次品，其中i=0，1，2，3，4，5；

所求事件即為事件A0和A1的和事件，由于事件A0和事件A1互不相容，因此得到所求概率為P(A0?A1)?P(A0)?P(A1)?C95?C95C5C1005050491?0.181

2．一批產(chǎn)品共20件，其中一等品9件，二等品7件，三等品4件。從這批產(chǎn)品中任取3件，求:(1)取出的3件產(chǎn)品中恰有2件等級一致的概率；

（2）取出的3件產(chǎn)品中至少有2件等級一致的概率。

解：設(shè)事件Ai表示取出的3件產(chǎn)品中有2件i等品，其中i=1，2，3；

（1）所求事件為事件A1、A2、A3的和事件，由于這三個事件彼此互不相容，故

P(A1?A2?A3)?P(A1)?P(A2)?P(A3)?C9C11?C7C13?C4C16C320232121=0.671

（2）設(shè)事件A表示取出的3件產(chǎn)品中至少有2件等級一致，那么事件A表示取出的

3件產(chǎn)品中等級各不一致，則P(A)?1?P(A)?1?C9C7C4C320231?0.779

3.一條電路上安裝有甲、乙兩根保險絲，當(dāng)電流強(qiáng)度超過一定值時，它們單獨(dú)燒斷的概率分別為0.8和0.9，同時燒斷的概率為0.72，求電流強(qiáng)度超過這一定值時，至少有一根保險絲被燒斷的概率。

解：設(shè)A，B分別表示甲、乙保險絲被燒斷

P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.8?0.9?0.72?0.98

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第六節(jié)條件概率、概率乘法定理

一、選擇

1.事件A,B為兩個互不相容事件，且P(A)?0,P(B)?0，則必有(B)

(A)P(A)?1?P(B)(B)P(A|B)?0

(C)P(A|B)?1(D)P(A|B)?1

2.將一枚篩子先后擲兩次，設(shè)X1,X2分別表示先后擲出的點(diǎn)數(shù)。記A?{X1＋X2＝10}，B?{X1?X2}，則P(BA)?（A）

(A)

13(B)

14(C)

25(D)

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3.設(shè)A、B是兩個事件，若B發(fā)生必然導(dǎo)致A發(fā)生，則以下式子中正確的是（A）

(A)P(A?B)?P(A)(B)P(AB)?P(A)(C)P(BA)?P(B)(D)P(B?A)?P(B)?P(A)

二、填空

1.已知事件A的概率P(A)=0.5，事件B的概率P(B)=0.6及條件概率P(BA)=0.8，則和事件A?B的概率P(A?B)?0.7

2.A,B是兩事件，P(A)?0.3,P(B)?0.4,P(B|A)?0.6,1526則P(A|A?B)?

?0.577

三、簡答題

1.袋中有a個白球與b個黑球。每次從袋中任取一個球，取出的球不再放回去。求其次次取出的球與第一次取出的球顏色一致的的概率。

解：設(shè)事件A表示第一次取出白球，事件B表示其次次取出白球，則事件A表示第一次取出黑球，事件B表示其次次取出黑球；所求事件用事件A和事件B的關(guān)系和運(yùn)算表示即為事件AB和事件AB的和事件，又P(AB)?P(A)P(BA)?a?a?1a?ba?b?1；

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P(AB)?P(A)P(BA)?ba?b?b?1a?b?1

由于兩事件互不相容，因此得到所求概率為：P(AB?AB)?P(AB)?P(AB)?P(A)P(BA)?P(A)P(BA)?a?a?1a?ba?b?1+

ba?b?b?1a?b?1

2.獵人在距離100米處射擊一動物，擊中的概率為0.6；假使第一次未擊中，則進(jìn)行其次次射擊，但由于動物逃跑而使距離便成為150米；假使其次次又未擊中，則進(jìn)行第三次射擊，這時距離變?yōu)?00米。假定最多進(jìn)行三次射擊，設(shè)擊中的概率與距離成反比，求獵人擊中動物的概率。

解：設(shè)第i次擊中的概率為pi，（i=1，2，3）由于第i次擊中的概率pi與距離di成反比，所以設(shè)pi?kdi，（i=1，2，3）；

由題設(shè)，知d1?100，p1?0.6，代入上式，得到k?60再將k?60代入上式，易計算出p2?60150?0.4，p3?60200?0.3

設(shè)事件A表示獵人擊中動物，事件Bi表示獵人第i次擊中動物（i=1，2，3），則所求概率為:P(A)?P(B1)?P(B1B2)?P(B1B2B3)?P(B1)?P(B1)P(B2B1)?P(B1)P(B2B1)P(B3B1B2)?0.6?(1?0.6)?0.4?(1?0.6)?(1?0.4)?0.3

?0.832

第七節(jié)全概率公式

一、選擇

1．袋中有5個球，3個新球，2個舊球，現(xiàn)每次取一個，無放回的取兩次，則其次次取到新球的概率為（A）

(A)

353424310(B)(C)(D)

2.若隨機(jī)事件A和B都不發(fā)生的概率為p,則以下結(jié)論中正確的是（C）

(A)A和B都發(fā)生的概率等于1?p(B)A和B只有一個發(fā)生的概率等于1?p

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(C)A和B至少有一個發(fā)生的概率等于1?p(D)A發(fā)生B不發(fā)生或B發(fā)生A不發(fā)生的概率等于1?p

二、填空

1.一批產(chǎn)品共有10個正品和2個次品，任意抽取兩次，每次抽一個，抽出后不再放回，則其次次抽出的是次品的概率為

16

2.老師提出一個問題，甲先回復(fù)，答對的概率是0.4;假使甲答錯了，就由乙答，乙答對的概率是0.5;假使甲答對了，就不必乙回復(fù)，則這個問題由乙答對的概率為0.33.試卷中有一道選擇題，共有4個答案可供選擇，其中只有一個答案是正確的。任一考生假使會解這道題，則一定能選出正確答案；假使他不會解這道題，則不妨任選一個答案。若考生會解這道題的概率是0.8,則考生選出正確答案的概率為0.85

三、簡答題

1.盒中放有12個乒乓球，其中有9個是新球。第一次比賽時從中任取3個來用，比賽后仍放回盒中。其次次比賽時再從盒中任取3個，求其次次取出的球都是新球的概率。解：設(shè)事件Bi表示第一次比賽時用了i個新球（i=0,1,2,3）,事件A表示其次次取出的球都是新球，則

3P(A)??P(Bi?0i)P(A|Bi)

12333?C3C3312?C9C3312?C3C9C31221?C8C3312?C3C9C312?C7C312?C9C312?C6C312?0.146

2.玻璃杯成箱出售，每箱20只.假設(shè)各箱含0,1,2只殘次品的概率分別為0.8,0.1和0.1.一顧客欲購一箱玻璃杯,在購買時,售貨員任取一箱,而顧客隨機(jī)的觀測4只,若無殘次品,則買下該箱玻璃杯,否則退還.試求顧客買下該箱的概率。

解:設(shè)Ai?“每箱有i只次品〞（i?0,1,2,),B?“買下該箱〞.P(B)?P(A0)P(B|A0)?P(A1)P(B|A1)?P(A2)P(B|A2)=0.8?1?0.1?C19C2044?0.1?C18C2044?0.94

3.袋中裝有50個乒乓球，其中20個黃的，30個白的，現(xiàn)有兩人依次隨機(jī)地從袋中各取

一球，取后不放回，求其次個人取到黃球的概率。

解：設(shè)事件Ai表示第i個人取得黃球，事件Ai表示第i個人取得白球，（i=1，2），

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根據(jù)題設(shè)條件可知：P(A1)?2050,P(A1)?3050,

P(A2A1)?1949,P(A2A1)?2049

應(yīng)用全概率公式，得所求概率為：

P(A2)?P(A1)P(A2A1)?P(A1)P(A2A1)?202330202????5049504954.一工廠有兩個車間，某天一車間生產(chǎn)產(chǎn)品100件，其中15件次品；二車間生產(chǎn)產(chǎn)品50件，其中有10件次品，把產(chǎn)品堆放一起（兩車間產(chǎn)品沒有區(qū)分標(biāo)志），求：（1）從該天生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)取一件檢查，它是次品的概率；（2）若已查出該產(chǎn)品是次品，則它是二車間生產(chǎn)的概率。

解：（1）設(shè)事件“取的產(chǎn)品來自1車間〞為A1,事件“取的產(chǎn)品來自2車間〞為A2，“從中任取一個是次品〞為B，

P?B??P?B|A1?P?A1??P?B|A2?P?A2??23?0.15?13?0.2?16

（2）P?A2|B??P?A2B?P?B??P?B|A2?P?A2?P?B??25

5．發(fā)報臺分別以概率0.6及概率0.4發(fā)出信號“?〞及“-〞。由于通信系統(tǒng)受到干擾，當(dāng)發(fā)出信號“?〞時，收報臺以概率0.8及0.2收到信號“?〞及“-〞；又當(dāng)發(fā)出信號“-〞時，收報臺以概率0.9及0.1收到信號“-〞及“?〞。

求：（1）當(dāng)收報臺收到信號“-〞時，發(fā)報臺確系發(fā)出信號“-〞的概率；（2）當(dāng)收報臺收到信號“?〞時，發(fā)報臺確系發(fā)出信號“?〞的概率。解：設(shè)事件A表示發(fā)報臺發(fā)出信號“?〞，則事件A表示發(fā)報臺發(fā)出信號“-〞；設(shè)事件B表示收報臺收到信號“?〞，則事件B表示收報臺收到信號“-〞；根據(jù)題設(shè)條件可知：P(A)?0.6,P(A)?0.4；

P(BA)?0.8,P(BA)?0.1；P(BA)?0.2,P(BA)?0.9；應(yīng)用貝葉斯公式得所求概率為：

P(AB)P(B)P(A)P(BA)P(A)P(BA)?P(A)P(BA)第8頁

（1）P(AB)???0.6?0.80.6?0.8?0.4?0.1

概率論與數(shù)理統(tǒng)計標(biāo)準(zhǔn)作業(yè)紙班級學(xué)號姓名=0.923（2）P(AB)?P(AB)P(B)P(A)P(BA)?P(A)P(BA)?P(A)P(BA)?0.4?0.90.4?0.9?0.6?0.2=0.75

第八節(jié)隨機(jī)事件的獨(dú)立性

一、選擇

1.設(shè)P(A)=0.8，P(B)=0.7，P(AB)=0.8，則以下結(jié)論正確的是（C）

(A)事件A與B互不相容(B)A?B

(C)事件A與B相互獨(dú)立(D)P(A?B)?P(A)?P(B)

?P（B）?0，則P(A?B)?（B）2.設(shè)A、B是兩個相互獨(dú)立的隨機(jī)事件,P（A）(A)P（A）?P（B）(B)1?P（A）?P（B）(C)1?P（A）(D)1?P（AB）?P（B）二、填空

1.設(shè)A與B為兩相互獨(dú)立的事件，P(A?B)=0.6，P(A)=0.4，則P(B)=

13

2.加工某一零件共需經(jīng)過三道工序。設(shè)第一、其次、第三道工序的次品率分別是2%、3%、5%。假定各道工序是互不影響的，則加工出來的零件的次品率是0.09693

三、簡答題

1.一個工人看管三臺車床，在一小時內(nèi)車床不需要工人看管的概率：第一臺等于0.9，其次臺等于0.8，第三臺等于0.7。求在一小時內(nèi)三臺車床中最多有一臺需要工人看管的概率。

解：設(shè)事件Ai表示第i臺車床不需要照管，事件Ai表示第i臺車床需要照管，（i=1，2，3），根據(jù)題設(shè)條件可知：

P(A1)?0.9,P(A1)?0.1

P(A2)?0.8,P(A2)?0.2P(A3)?0.7,P(A3)?0.3

設(shè)所求事件為B，則P(B)?P(A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3)根據(jù)事件的獨(dú)立性和互不相容事件的關(guān)系，得到：

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P(B)?P(A1)P(A2)P(A3)?P(A1)P(A2)P(A3)?P(A1)P(A2)P(A3)?P(A1)P(A2)P(A3)

?0.9?0.8?0.7?0.1?0.8?0.7?0.9?0.2?0.7?0.9?0.8?0.3=0.902

2.如下圖所示，設(shè)構(gòu)成系統(tǒng)的每個電子元件的可靠性都是p（012312536

（1）（2）解：（1）p3(2?p3)；（2）(2p?p2)3

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第九節(jié)獨(dú)立試驗序列

一、選擇

1.每次試驗成功率為p(0?p?1)，進(jìn)行重復(fù)試驗，直到第10次試驗才取得4次成功的概率為(B)

446346445336(A)C10p(1?p)(B)C9p(1?p)(C)C9p(1?p)(D)C9p(1?p)

二、填空

1.某射手在三次射擊中至少命中一次的概率為0.875，則這射手在一次射擊中命中的概率為0.5

2.設(shè)在三次獨(dú)立試驗中,事件A出現(xiàn)的概率相等.若已知事件A至少出現(xiàn)一次的概率等于

1927,則事件A在一次試驗中出現(xiàn)的概率為13

三、簡答題

1.電燈泡使用時數(shù)在1000小時以上的概率為0.2，求三個燈泡在使用1000小時以后最多只有一個壞了的概率。

解：三個燈泡的使用時數(shù)顯然是相互獨(dú)立的，已知n?3，p?0.8,q?0.2

003112P(0?m?1)?P3(0)?P3(1)?C3?0.8?0.2?C3?0.8?0.2=0.1042.射擊運(yùn)動中，一次射擊最多能得10環(huán)。設(shè)某運(yùn)動員在一次射擊中得10環(huán)的概率為0.4，得9環(huán)的概率為0.3，得8環(huán)的概率為0.2，求該運(yùn)動員在五次獨(dú)立的射擊中得到不少于48環(huán)的概率。

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解：設(shè)事件A表示5次射擊不少于48環(huán)，事件A1表示5次射擊每次均中10環(huán)，事件A2表示5次射擊一次中9環(huán)，4次中10環(huán)，事件A3表示5次射擊2次中9環(huán)，3次中10環(huán)，事件A4表示5次射擊一次中8環(huán)，4次中10環(huán)，并且A1,A2,A3,A4兩兩互不相容，由于每次射擊是相互獨(dú)立的，

44則所求概率P(A)?P(?Ai)?i?1?P(A)

ii?1114223114?(0.4)5?C5(0.3)(0.4)?C5(0.3)(0.4)?C5(0.2)(0.4)

?0.1318

3.甲乙丙三人同時向同一飛機(jī)射擊，設(shè)擊中的概率分別為0.4、0.5、0.7。假使只有一人擊中，則飛機(jī)被擊落的概率是0.2；假使有二人擊中，則飛機(jī)被擊落的概率是0.6；假使是三人都擊中，則飛機(jī)一定被擊落。求飛機(jī)被擊落的概率。

解：設(shè)事件A,B,C分別表示甲擊中飛機(jī)、乙擊中飛機(jī)、丙甲擊中飛機(jī)，事件Di表示有i個人擊中飛機(jī)(i?1,2,3)，則事件D1?ABC?ABC?ABCD2?ABC?ABC?ABCD3?ABC

已知P(A)?0.4,P(B)?0.5,P(C)?0.7，根據(jù)事件的獨(dú)立性得到P(D1)?0.4?0.5?0.3?0.6?0.5?0.3?0.6?0.5?0.7?0.36

P(D2)?0.4?0.5?0.3?0.4?0.5?0.7?0.6?0.5?0.7?0.41

P(D3)?0.4?0.5?0.7?0.14

設(shè)E表示飛機(jī)被擊落，則

3P(E)??P(Di?1i)P(E|Di)?0.36?0.2?0.41?0.6?0.14?1?0.458

第11頁

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其次章隨機(jī)變量及其分布

其次節(jié)離散隨機(jī)變量

一、選擇

1設(shè)離散隨機(jī)變量

且b?0，則?為((A)??0的任意實數(shù)(C)??11?b??X的分布律為:P{X?k}?b?,(k?1,2,3,?),k

)

(B)??b?1(D)??1b?1Sn(1??)???b??b·1??k?1knn

解由于?P{Xk?1n???k}??b?k?1nk?1即所以limSn?limb·?n??(1??)1???1于是可知,當(dāng)??1時,b·?1

1??所以應(yīng)選(C).???11?b?1,(因b?0)二、填空

1假使隨機(jī)變量X的分布律如下所示,則C?.

X

P

30123

1C

12C

13C

14C

解根據(jù)?P(xx1?0)?1i得：C?2512.

4512進(jìn)行重復(fù)獨(dú)立試驗,設(shè)每次試驗成功的概率為,失敗的概率為,將試驗進(jìn)

5行到出現(xiàn)一次成功為止,以X表示所需試驗次數(shù),則X的分布律是_________.(此時稱X聽從參數(shù)為p的幾何分布).

解:X的可能取值為1，2，3，?X?K???第1~K?1次失敗,第K次成功?.所以X的分布律為P?X?K??()51K?1?45,K?1,2,?

第12頁

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三、簡答

1一個袋子中有5個球,編號為1,2,3,4,5,在其中同時取3只,以X表示取出的3個球中的最大號碼,試求X的概率分布.

解X的可能取值為3,4,5.3只球號碼分布為1,2,3,只有一種取法，所以事件{X?3},只能是取出的P{X?3}?1C53?1104，另外2個號碼可在1，2，3中任取事件{X?4},意味著3只球中最大號碼是2只，共有C3種取法，故C3232P{X?4}?C5?3105，另外2個號碼可在1，2，3,4中任取

事件{X?5},意味著3只球中最大號碼是2只，共有C2?6種取法，故C4C5232P{X?5}??35從而，X的概率分布是X345P

110

310

35

2一汽車沿一街道行駛,需要通過三個均設(shè)有綠路燈信號的路口,每個信號燈為紅和綠與其他信號為紅或綠相互獨(dú)立,且紅綠兩種信號顯示時間相等,以X表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口個數(shù),求X的概率分布.

第13頁

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解由題設(shè)知X的可能值為0,1,2,3,設(shè)Ai(i?1,2,3)表示\汽車在第P(Ai)?P(Ai)?12,于是122i個路口首次遇到紅燈\，A1,A2,A3相互獨(dú)立，且P{X?0}?P(A1)?12P{X?1}?P(A1A2)?P(A1)P(A2)?1223

P{X?2}?P(A1A2A3)?P(A1)P(A2)P(A3)?P{X?3}?P(A1A2A3)?P(A1)P(A2)P(A3)?故分布律為13

X0123P

12

122

123

123

第三節(jié)超幾何分布二項分布泊松分布

一、選擇

1甲在三次射擊中至少命中一次的概率為0.936,則甲在一次射擊中命中的概率p=______.

(A)0.3(B)0.4(C)0.5(D)0.6解:D

設(shè)X?〞三次射擊中命中目標(biāo)的次數(shù)〞,則X~B(3,p),已知P(X?1)?1?P(X?0)?1?(1?p)?0.936，解之得(1?p)?0.064?1?p?0.4?p?0.6

2設(shè)隨機(jī)變量X~b(2,p),Y~b(3,p),若P?X?1??59,則P?Y?1??______.

7933(A)34

(B)1729(C)1927(D)

解:C

二、填空

1設(shè)離散隨機(jī)變量X聽從泊松分布,并且已知P?X?1??P?X?2?,

第14頁

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則P?X?4?＝23e2.

三、簡答

1.某地區(qū)的月降水量X（單位：mm）聽從正態(tài)分布N(40,42),試求該地區(qū)連續(xù)10個月降水量都不超過50mm的概率.

解：設(shè)A＝“某月降水量不超過P（A）＝P（x?50)?P（觀測10個月該地區(qū)降水量是否設(shè)Y＝“該地區(qū)降水量不超P（Y＝10）＝0.99381050mm〞4?50?404)??(2.5)?0.9938x?40超過50mm，相當(dāng)做10天貝努利試驗過50mm的月數(shù)〞，則

Y～B（10，0.9938）＝0.9396

2某地區(qū)一個月內(nèi)發(fā)生交通事故的次數(shù)X聽從參數(shù)為?的泊松分布,即

X~P(?),據(jù)統(tǒng)計資料知,一個月內(nèi)發(fā)生

8次交通事故的概率是發(fā)生10次交通

事故的概率的2.5倍.

(1)求1個月內(nèi)發(fā)生8次、10次交通事故的概率；（2）求1個月內(nèi)至少發(fā)生1次交通事故的概率；（3）求1個月內(nèi)至少發(fā)生2次交通事故的概率；

第15頁

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解這是泊松分布的應(yīng)用問題X~P(?),P{X?k}??ek??k!,k?0,1,2,?.這里?是未知的,關(guān)鍵是求出據(jù)題意有即解出2?.??P{X?8}?2.5P{X?10}8???e8!8?2.5??e1010!10?6??36,??66e8!??6(1)P{X?8}?(2)?0.1033?e?6?10P{X?10}?6e10!?0.0413P{X?0}?e?0.00248P{X?1}?1?P{X?0}?1?0.00248?0.9975(3)P{X?1}?6e2?0.01487?6P{X?2}?6e2!?0.04462P{X?2}?P{X?0}?P{X?1}?P{X?2}?0.00248?0.01487?0.04462?0.0620

第五節(jié)隨機(jī)變量的分布函數(shù)

一、填空題1

??1設(shè)離散隨機(jī)變量X~?1??30161?1?,則X的分布函數(shù)為.?2?第16頁

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解當(dāng)x??1時，F(xiàn)(x)?P{X?x}?0;13?1612?12;當(dāng)?1?x?0時，F(xiàn)(x)?P{X?x}?當(dāng)0?x?1時，F(xiàn)(x)?P{X?x}?當(dāng)x?1時，F(xiàn)(x)?P{X?x}?整理，得?0,?1?,?3F(x)???1,?2??1,當(dāng)x??113?1316??1

當(dāng)?1?x?0當(dāng)0?x?1當(dāng)x?1二、選擇

1設(shè)F1(x)與F2(x)分別為隨機(jī)變量X1與X2的分布函數(shù),為使F(x)?aF1(x)?bF2(x)是某一變量的分布函數(shù),在以下給定的數(shù)值中應(yīng)取

(A)a?35,b??25(B)a?23,b?23(C)a??12,b?32(D)a?12,b??32

分析x???根據(jù)分布函數(shù)的性質(zhì)：x???x???x???limF(x)?1,因此有即1?a?b

limF(x)?alimF1(x)?blimF2(x)故應(yīng)選(A).?0,x?0?2.設(shè)函數(shù)F(x)??x2,0?x?1.則F(x)______.

?1,x?1?(A)是隨機(jī)變量的分布函數(shù).(B)不是隨機(jī)變量的分布函數(shù).(C)是離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù).(D)是連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù).解:A

顯然F(x)滿足隨機(jī)變量分布函數(shù)的三個條件:

第17頁

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(1)F(x)是不減函數(shù)，(2)0?F(x)?1,且F(??)?0,F(??)?1，(3)

F(x?0)?F(x)

?0,x?(*)?2?x3.設(shè)F(x)??,(*)?x?2當(dāng)(*)取以下何值時,F(x)是隨機(jī)變量的分布函

?41,x?2??數(shù).

(A)0(B)0.5(C)1.0(D)1.5

解:A只有A使F(x)滿足作為隨機(jī)變量分布函數(shù)的三個條件.

三．簡答

1設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)?A?Barctanx,求A,B的值.解:由隨機(jī)變量分布函數(shù)的性質(zhì)

x???limF(x)?0.x???limF(x)?1.

?2)?A?知

0?limF(x)?lim(A?Barctanx)?A?B?(?x???x????2B.

??A?B?0????21?limF(x)?lim(A?Barctanx)?A?B??A?B.解?

x???x???22?A??B?1?2?得A?

12,B?1?

第六節(jié)連續(xù)隨機(jī)變量的概率密度

二、選擇

1.設(shè)f(x)、F(x)分別表示隨機(jī)變量X的密度函數(shù)和分布函數(shù)，以下選項中錯誤的是（A）

第18頁

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（A）0?f(x)?1（B）0?F(x)?1

（C）?????f(x)dx?1（D）f(x)?F(x)

'2.以下函數(shù)中，可為隨機(jī)變量X的密度函數(shù)的是(B)

?sinx,（A）f(x)???0,0?x??其它??sinx,（B）f(x)???0,?3?0?x?其它?2

??sinx,（C）f(x)???0，?0?x?其它2（D）f(x)?sinx,???x???

二、填空

1.設(shè)連續(xù)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為

F(X)?12?1arctanx,???x????

,???x???

(1)P(?1?X?1)?0.5，(2)概率密度f(x)?三、簡答題

1.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度

?Ax2e?x，f(x)???0,x?0x?01?(x?1)2

求：（1）常數(shù)A；（2）概率P(X?1)。答案（1）

12（2）0.9197

2.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度

?c?x,?f(x)?c?x,??0,??1?x?00?x?1x?1求：（1）常數(shù)c；（2）概率P(X?0.5)；（3）分布函數(shù)F(x)。

第19頁

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0,??12?(1?x),?答案（1）1；（2）0.75；（3）F(x)??2?1?1(1?x)2,?2?1,?x??1?1?x?0

0?x?1x?13.向某一目標(biāo)發(fā)射炮彈，設(shè)彈著點(diǎn)到目的地的距離X(m)的概率密度

x?1??xe2500,f(x)??1250?0,?2x?0x?0

假使彈著點(diǎn)距離目標(biāo)不超過50m時，即可摧毀目標(biāo)。求：

求：（1）發(fā)射一枚炮彈，摧毀目標(biāo)的概率；

（2）至少應(yīng)發(fā)射多少枚炮彈，才能使摧毀目標(biāo)的概率大于0.95？答案（1）0.6321（2）n?3。4.已知隨機(jī)變量X的概率密度

f(x)?12e?x,???x???，

求：分布函數(shù)F(x)。

1?x?1?e,??2答案F(X)???1ex,??2x?0

x?05.已知隨機(jī)變量X的概率密度

?1,?3??2f(x)??,?9?0,??0?x?13?x?6其它若k使得P(X?k)?23，則k的取值范圍是

答案1?k?3

第七節(jié)均勻分布、指數(shù)分布

第20頁

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三、選擇

1.在區(qū)間??1,2?上聽從均勻分布的隨機(jī)變量X的密度函數(shù)是(B)

?1?,（B）f(x)??3?0,?13,?3,（A）f(x)???0,?1?x?2其它?1?x?2其它

（C）f(x)?3,???x???（D）f(x)????x???

2.聽從參數(shù)為0.5的指數(shù)分布的隨機(jī)變量X的密度函數(shù)是(C)?2e?2x,（A）f(x)???0,x?1?1?e2,（C）f(x)??2?0,?x?0x?0（B）f(x)?2e?2x,???x???

x?0x?0（D）f(x)?12e?12x,???x???

二、填空

1.設(shè)隨機(jī)變量X在在區(qū)間??1,2?上聽從均勻分布，則

(1)P(?6?x??1)?0,(2)P(?4?x?1)?⑶P(?2?x?3)?1,(4)P(1?x?6)?

1323,

,

三、簡答題

1.長度為l的線段上隨機(jī)取一點(diǎn)，這點(diǎn)把該線段分成兩段，求較短的一段與較長的一段之比小于

14的概率。

答案0.4

2.已知修理某種機(jī)器所需的時間T(小時）聽從指數(shù)分布e(1)，求：（1）在2小時之內(nèi)修好的概率；

（2）假使已修理了t0小時，在以后的2小時之內(nèi)修好的概率。答案（1）0.8647（2）0.8647

3.設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間?2,5?上聽從均勻分布，對進(jìn)行三次獨(dú)立觀測，試求至少有兩次觀測值大于3的概率。

1答案0.74。

4.某儀器有三只獨(dú)立工作的同型號電子元件，其壽命（單位：h）都聽從同一指數(shù)分布，

第21頁

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概率密度為

1?x?1600e,?f(x)??600?0,?x?0x?0

試求：在儀器使用的最初的200h內(nèi)至少有一只電子元件損害的概率。答案1?e?1?0.6321第八節(jié)隨機(jī)變量函數(shù)的分布

四、選擇

1.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為

?2e?2x,f(x)???0,x?0x?0

則隨機(jī)變量y?2X的概率密度為（D）

?2e?y,（A）fY(y)???0,y?0?2e?2y,（B）fY(y)??y?0?0,y?0y?0

?e?2y,（C）fY(y)???0,?e?y,（D）fY(y)??y?0?0,y?0y?0y?0

2.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為

?2e?2x,fX(x)???0,x?0x?0

則隨機(jī)變量y??2X的概率密度為（C）

?ey,（A）fY(y)???0,?e?y,（B）fY(y)??y?0?0,y?0y?0y?0y?0y?0

（C）fY(y)???0,?e,y（D）fY(y)???0,?e?yy?0,y?0

二、簡答題

1.設(shè)隨機(jī)變量X聽從二項分布B(3,0.4)，求以下隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布：

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（1）Y?2X?1（2）Y?X2?X(3)Y?答案(1)

Yp(2)Yp(3)

Yp00.21610.43200.64820.288-10.21610.432X(X?1)2

30.28860.06430.28850.06460.0642.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度

?2x,f(x)???0,0?x?1其它

求以下隨機(jī)變量的概率密度

（1）Y?1?2X（2）Y?1?2X(3)Y?X2答案

?y?1,?（1）fy(y)??2?0,??1,（3）fY(y)???0,1?y?3其它0?y?1其它?1?y,?（2）fy(y)??2?0,??1?y?1其它

3.設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間?0,2?上聽從均勻分布，求隨機(jī)變量函數(shù)Y?X3的概率密度。

?1?2?y3,答案fY(y)??6?0,?0?y?8其它

X4.設(shè)隨機(jī)變量X在聽從指數(shù)分布e(?)，其中??0，求隨機(jī)變量函數(shù)Y?e的概率密

度。

第23頁

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??y?(??1,)答案fY(y)??0,?y?1y?1

5.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為

fX(x)?1,???x???，

?(1?x)2求：隨機(jī)變量Y?1?答案fY(y)?3X的概率密度fY(y)。

263(1?y)????1?(1?y)?,???y???

6.設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間?1,2?上聽從均勻分布，求隨機(jī)變量函數(shù)Y?e2X的概率密度。?1,?答案fY(y)??2y?0,?24e?y?e其它

第九節(jié)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布

五、選擇題

?e?(x?y),⒈設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為f(x,y)???0,x?0,y?0;其他.

則P(X?Y)?(A)

（A）0.5（B）0.55（C）0.45（D）0.6

⒉二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)以下哪個隨機(jī)事件的的概率？(B)

（A）?X?x???Y?y?（B）?X?x???Y?y?（C）X?x?y（D）X?x?y

二、填空

1.下表列出了二維隨機(jī)變量(X,Y)聯(lián)合分布律及關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布律中的部分?jǐn)?shù)值，試將其余值填入表中的空白處

第24頁

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YXy11241816y2183812y31121413P{X?xi}?pi?1434x1x2P{Y?yi}?p?j12.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為

F(x,y)?A(B?arctan1x2)(C?arctany3)

則系數(shù)A=

?2，B=

?2，C=

?2，(X,Y)的聯(lián)合概率密度為

f(x,y)?6?(x?4)(y?9)222。

⒊已知二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為f(x,y)，R為一平面區(qū)域，則(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)=?x??y???f(x,y)dydx，P??X,Y??R??

??Rf(x,y)dxdy，曲面

z?f(x,y)叫做分布曲面，F(xiàn)(??,??)?1，F(xiàn)(x,??)?0，F(xiàn)(??,y)?

0，F(xiàn)(??,??)?0。

三、計算題。

1.已知隨機(jī)變量X1和X2的概率分布

X1P?114012114X2P012112而且P{X1X2?0}?1.求X1和X2的聯(lián)合分布。解：

第25頁

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X1X2?101

01140012140

?e?y,0?x?y⒉設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合概率密度為f(x,y)??

?0,其他（1）求P{X?Y?1}；（2）求聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)。

11?xx?y－1?12解（1）P{X?Y?1}???x?y?1f(x,y)dxdy??20dx?edy?1?e－2e

（2）F(x,y)?????xy???e?x-e?y,0?x?yf(x,y)dydx??

其他?0,⒊設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為

?Ae?(x?2y),f(x,y)???0,x?0,y?0;其他.

試求（1）常數(shù)A；(2)概率P(0?X?1,0?Y?2).解：（1）由于?故???0?????????f(x,y)?1，

?(x?2y)???0Aedxdy?A210?1，所以A?2

（2）P(0?X?1,0?Y?2)??dx?212e?(x?2y)dy?(1?e)(1?e)

?1?4第十節(jié)二維隨機(jī)變量的邊緣分布

六、選擇題

⒈設(shè)二維離散隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率函數(shù)為P(xi,yj)，則X的邊緣概率函數(shù)

PX(xi)為（A）

（A）?P(xi,yj)（B）?P(xi,yj)（C）?P(xi,yj)（D）以上都不對

jii,j第26頁

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⒉(X,Y)為二維連續(xù)隨機(jī)變量，對任意的實數(shù)x，函數(shù)P(X?x,Y???)為（B）（A）隨機(jī)變量Y的邊緣分布函數(shù)（B）隨機(jī)變量X的邊緣分布函數(shù)（C）(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)（D）以上都不對

二、填空

⒈設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為

F(x,y)?A(B?arctan121x2)(C?arctanx2y3)

則X的邊緣分布函數(shù)為FX(x)?3??arctan，Y的邊緣概率密度為

fY(y)???y?9?2。

⒉設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為F(x,y)，則隨機(jī)變量X的邊緣分布函數(shù)為

FX(x)?F(x,??)，隨機(jī)變量Y的邊緣分布函數(shù)為FY(y)?F(??,y)。

⒊設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為f(x,y)，則隨機(jī)變量X的邊緣概率密度為

fX(x)??????f(x,y)dy，隨機(jī)變量Y的邊緣概率密度為fY(y)??????f(x,y)dx。

三、計算題

?e?y,0?x?y⒈設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合概率密度為f(x,y)??，求X的邊

?0,其他緣概率密度fx(x)。

??x?y?x解x?0時,fX(x)??edy?e,x?0時，fX(x)?0?e?x，x?0故fX(x)??

0,x?0??2e?(x?2y),x?0,y?02.已知二維隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合概率密度為f(x,y)??

其他.?0,求隨機(jī)變量X和Y的邊緣概率密度。

?e?x，x?0?2e?2y，y?0解fX(x)??，fY(y)??。

0,x?00,y?0??第27頁

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第十一節(jié)隨機(jī)變量的獨(dú)立性

七、選擇題

?2x,0?x?1⒈設(shè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X和Y的概率密度分別為fX(x)??，

?0,其他?e?y,y?0，則?的二次方程?2?2X??Y?0具有實根的概率是（A）fY(y)???0,其他（A）e?1（B）e?2（C）e?3（D）e?4

二、填空

1.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為

F(x,y)?A(B?arctanx2)(C?arctany3)

則隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立（填獨(dú)立或不獨(dú)立）。

2.獨(dú)立連續(xù)隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)等于它們的邊緣分布函數(shù)的乘積，獨(dú)立連續(xù)隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度等于它們的邊緣概率密度的乘積，獨(dú)立離散隨機(jī)變量的聯(lián)合概率函數(shù)等于它們的邊緣概率函數(shù)的乘積。

三、計算題

1.已知隨機(jī)變量X1和X2的概率分布

X1P?114012114X2P012112而且P{X1X2?0}?1.問X1和X2是否獨(dú)立？為什么？解：由于P{X1?0,X2?0}?0,P[X1?0}P{X2?0}?14?0,所以X1和X2不獨(dú)立。

?2e?(x?2y),x?0,y?02.已知二維隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合概率密度為f(x,y)??

其他.?0,隨機(jī)變量X和Y是否獨(dú)立？

?e?x，x?0?2e?2y，y?0解由于fX(x)??，fY(y)??。

x?0?0,?0,y?0故f(x,y)?fX(x)fY(y)

第28頁

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所以隨機(jī)變量X和Y獨(dú)立。

第三章隨機(jī)變量的數(shù)字特征

第一節(jié)數(shù)學(xué)期望

八、選擇

1.擲6顆骰子，令X為6顆骰子的點(diǎn)數(shù)之和，則E(X)?（D）

（A）42（B）21/2（C）7/2（D）21

2.對離散型隨機(jī)變量X，若有P(X?xk)?pk(k?1,2,3,?)，則當(dāng)（B）時，

??xk?1kpk稱為X的數(shù)學(xué)期望。

（A）?xkpk收斂（B）?xkpk收斂（C）?xk?為有界函數(shù)（D）limxkpk?0

k?1k?1k????二、填空

?1?x,?1?x?0,?1.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)??1?x,0?x?1,則E?X?0,其它，???0。

?kx?,0?x?1,2.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)??其中k,??0，又已知

0,其它,?E?X??0.75，則k?3，??2。

三、簡答題

1.把4個球隨機(jī)地放入4個盒子中去，設(shè)X表示空盒子的個數(shù)，求E?X?。

A4444解：P?X?0??2?664，P?X?1??C4C4A344123?3664164

P?X?2??所以E?XC4(2?2)466444?36642164，P?X?3??2164?3?164C4443?

??0??1??2??8164

第29頁

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?12y2,0?y?x?1,2.設(shè)(X,Y)的聯(lián)合概率密度為f(x,y)??，求E?X?,E?Y?。

其它，?0,解：E?X????0?y?x?1xf(x,y)dxdy??10xdx?12ydy?0x245，同理E?Y??35。

其次節(jié)隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望

一、填空

1.設(shè)隨機(jī)變量X聽從參數(shù)為1的指數(shù)分布，則數(shù)學(xué)期望E?X?e?2X??2.設(shè)隨機(jī)變量X聽從二項分布B(3,0.4)，則E?X24/3。

??2.16。

二、簡答題

1.設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，概率密度分別為?e?x,x?0,?e?y,y?0,fX(x)??fY(y)??

?0,x?0,?0,y?0,求隨機(jī)變量函數(shù)Z?X?Y的數(shù)學(xué)期望。

?e?x?y,x?0,y?0,解：由于X和Y相互獨(dú)立，所以f(x,y)?fX(x)fY(y)??

其它,?0,E?Z??E?X?Y??????0?y???0(x?y)e?x?ydxdy

?????0xedx??x??0edy????0edx??x0yedy

?y?1?1?2。

2.按季節(jié)出售某種應(yīng)時商品，每售出1kg獲利潤6元,如到季末尚有剩余商品，則每kg凈虧損2元，設(shè)某商店在季節(jié)內(nèi)這種商品的銷售量X（以kg計）是一隨機(jī)變量，X在區(qū)間

?8,16?內(nèi)聽從均勻分布，為使商店所獲得利潤最大，問商品應(yīng)進(jìn)多少貨？

解：設(shè)t表示進(jìn)貨量，易知應(yīng)取8?t?16，進(jìn)貨t所得利潤記為Wt(X)，且有?6X?2(t?X),8?X?t,(有積壓)Wt(X)??

6t,，t?X?16,(無積壓)?利潤Wt(X)是隨機(jī)變量，如何獲得最大利潤？自然取“平均利潤〞的最大值，即求t使

第30頁

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?1?,0?x?16,得E?Wt(X)?最大。X的概率密度為f(x,y)??8

?0,其它，?E?Wt(X)???????Wt(x)f(x)dx?1?8168Wt(x)dx

?1

?8t8?6x?2(t?x)?dx?t21?816t6tdx

?14t?2?32令

d?Wt(X)?dt2?14?t?0,得t?14。

而

dE?Wt(X)?dt2??1?0,

故知當(dāng)t?14時，E?Wt(X)?取得極大值，且可知這也是最大值。所以，進(jìn)貨14kg時平均利潤最大。

第三節(jié)關(guān)于數(shù)學(xué)期望的定理

一、填空

1.已知離散型隨機(jī)變量X聽從參數(shù)為2的泊松分布P(X?xk)?則隨機(jī)變量Z?3X?2的數(shù)學(xué)期望E?Z??4。2.設(shè)X聽從泊松分布，已知E?(X?1)(X?2)??1，則E?X2ek?2k!,k?0,1,2,?,

??1。

3.設(shè)X表示10次獨(dú)立重復(fù)射擊命中目標(biāo)的次數(shù)，，每次射中目標(biāo)的概率為0.4，則X2的數(shù)學(xué)期望E?X2??18.4。

第31頁

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二、簡答題

1.設(shè)(X,Y)在A上聽從均勻分布，其中A為x軸，y軸及直線x?y?1?0所圍成的區(qū)域，求E??3X?2Y?。解：由于A的面積為

12，所以(X,Y)的概率密度為

?2,?1?x?0,?1?y?0,f(x,y)??

0,其它，?E?X??E?Y??????????????xf(x,y)dxdy??0?12xdx?dy??1

?10????????yf(x,y)dxdy??1

E??3X?2Y???3E?X??2E?Y??1

2.一民航送客車載有20位旅客自機(jī)場開出，旅客有10個車站可以下車，如到達(dá)一個車站沒有旅客下車就不停車，以X表示停車的次數(shù)，求E?X?。（設(shè)每位旅客在各個車站下車是等可能的，并設(shè)旅客是否下車相互獨(dú)立）

解：引入隨機(jī)變量

?0,在第i站沒有人下車，Xi??，i=1,2,?,10.

1,在第i站有人下車，?易知X?X1?X2???X10，現(xiàn)在來求E?X?。

?9??9?依照題意，P?Xi?0????P?Xi?1??1???

?10??10?2023所以E?Xi??9??1????10?20,i?1,2,?,10

20??9???10?1?????8.784

10??????進(jìn)而E?X??E?X1?X2???X10?

第32頁

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第四節(jié)方差與標(biāo)準(zhǔn)差

九、選擇

1.對于任意兩個隨機(jī)變量X和Y，若E(XY)?E(X)E(Y)，則（B）

（A）D(XY)?D(X)D(Y)（B）D(X?Y)?D(X)?D(Y)（C）X和Y獨(dú)立（D）X和Y不獨(dú)立

2.設(shè)兩個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X和Y的方差分別是4和2，則隨機(jī)變量3X?2Y的方差是（D）。

（A）8（B）16（C）28（D）44

3.設(shè)隨機(jī)變量?和?相互獨(dú)立,又X?2??5，Y?3??8，則以下結(jié)論不正確的是（B）

（A）D(X?Y)?4D(?)?9D(?)（B）D(X?Y)?4D(?)?9D(?)（C）E(X?Y)?E(X)?E(Y)（D）E(XY)?E(X)E(Y)

二、填空

X?0,?1,?X?0,則方差1.設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間??1,2?上聽從均勻分布，隨機(jī)變量Y??0,??1,X?0，?D?Y??8/9。

2.設(shè)X是一隨機(jī)變量,E(X)?1，E?X(X?1)??4，則D(X)?4。三、簡答題

?15xy2,0?y?x?1,1.設(shè)(X,Y)的聯(lián)合概率密度為f(x,y)??，求D?X?。

其它，?0,解：E?XE?X2????????????xf(x,y)dxdy?2?1015xdx?ydy?0103x22x256，

57??????????????2xf(x,y)dxdy??15xdx?ydy?0，

D?XE?X????E?X???2?57?2536?5252。

第33頁

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第五節(jié)某些常用分布的數(shù)學(xué)期望與方差

十、選擇

1.設(shè)X聽從（C）分布，則E(X)?D(X)。

（A）正態(tài)（B）指數(shù)（C）泊松（D）二項

2.已知X聽從二項分布，且E(X)?2.4，D(X)?1.44，則二項分布的參數(shù)為（B）

（A）n?4,p?0.6（B）n?6,p?0.4

（C）n?8,p?0.3（D）n?24,p?0.1二、填空

1.已知隨機(jī)變量X在?0,2?上聽從均勻分布，則E?X2??

4/3.

2.設(shè)P?X?1??P?X?2?，且X聽從參數(shù)為?的泊松分布，則E(X)?2

D(X)?2。

三、簡答題

1.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)在區(qū)域R:0?x?1,y?x內(nèi)聽從均勻分布，試求（1）X的邊緣概率密度；

（2）隨機(jī)變量函數(shù)Z?2X?1的方差D?Z?。解：由于區(qū)域R的面積為

?0x?y1?,x?1,?f(x,y?)???0,其它，,1，所以(XY,的聯(lián)合概率密度為)（1）當(dāng)x?0或x?1時，fX(x)?0，當(dāng)0?x?1時，fX(x)??2x,0?x?1,所以X的邊緣概率密度為fX(x)??

?0,其它。?x?xdx?2x，

（2）E?X???0x2xdx1?23，E?X2???10x2xdx?212

D?Z??D?2X?1??4D?X?222???4?E(X)?(E(X))??9第34頁

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第四章正態(tài)分布

第一節(jié)正態(tài)分布的概率密度與分布函數(shù)

十一、選擇

1.設(shè)X~N(?,?2),那么當(dāng)?增大時，則P(X????)（C）(A)增大(B)減少(C)不變(D)增減不定2.隨機(jī)變量X~N(?,1),且P{X?2}?P{X?2},則??（B）(A)1(B)2(C)3(D)4

二、填空

1.設(shè)隨機(jī)變量X~N(100,?2),且P(X?103)?0.3085,

則P(97?X?103)?0.3832.設(shè)隨機(jī)變量X~N(50,?2),且P(47?X?53)?0.6826,

則P(X?53)?0.1587

三、計算題

1.某地區(qū)的月降水量X（單位：mm）聽從正態(tài)分布N(40,42),試求該地區(qū)連續(xù)10個月降水量都不超過50mm的概率.解：設(shè)A＝“某月降水量不超過P（A）＝P（x?50)?P（觀測10個月該地區(qū)降水量是否設(shè)Y＝“該地區(qū)降水量不超P（Y＝10）＝0.99381050mm〞4?50?404)??(2.5)?0.9938x?40超過50mm，相當(dāng)做10天貝努利試驗過50mm的月數(shù)〞，則

Y～B（10，0.9938）＝0.9396其次節(jié)正態(tài)分布的數(shù)字特征

一、選擇

1.設(shè)隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立，X~B(10,0.2),Y~B(10,0.4