改2023年高考數(shù)學(xué)試題及答案（XX卷）

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2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試XX卷數(shù)學(xué)全解全析

數(shù)學(xué)Ⅰ試題

注意事項(xiàng)考生在答題前請認(rèn)真閱讀本本卷須知及各題答題要求1.本試卷共4頁，包含填空題（第1題——第14題）、解答題（第15題——第20題）。本卷總分值160分，考試時(shí)間為120分鐘?？荚嚱K止后，請將本卷和答題卡一并交回。2.答題前，請您務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置。3.請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與您本人是否相符。4.請?jiān)诖痤}卡上依照晤順序在對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答，在其他位置作答一律無效。作答必需用0.5毫米黑色墨水的簽字筆。請注意字體工整，筆跡明白。5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫明白，線條、符號等須加黑、加粗。6.請保持答題卡卡面清潔，不要折疊、破損。參考公式：錐體的體積公式:V錐體=

1Sh，其中S是錐體的底面積，h是高。3一、填空題：本大題共14小題，每題5分，共70分。請把答案填寫在答題卡相應(yīng)的位．．．．．．．置上.．．

1、設(shè)集合A={-1,1,3}，B={a+2,a2+4},A∩B={3}，則實(shí)數(shù)a=______▲_____.[解析]考察集合的運(yùn)算推理。3?B,a+2=3,a=1.

2、設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z(2-3i)=6+4i（其中i為虛數(shù)單位），則z的模為______▲_____.[解析]考察復(fù)數(shù)運(yùn)算、模的性質(zhì)。z(2-3i)=2(3+2i),2-3i與3+2i的模相等，z的模為2。3、盒子中有大小一致的3只白球，1只黑球，若從中隨機(jī)地摸出兩只球，兩只球顏色不同的概率是_▲__.

[解析]考察古典概型知識。p?3?1

624、某棉紡廠為了了解一批棉花的質(zhì)量，從中隨機(jī)抽取了100根棉花纖維的長度（棉花纖維的長度是棉花質(zhì)量的重要指標(biāo)），所得數(shù)據(jù)都在區(qū)間[5,40]中，其頻率分布直方圖如下圖，則其抽樣的100根中，有_▲___根在棉花纖維的長度小于20mm。[解析]考察頻率分布直方圖的知識。中國權(quán)威高考信息資源門戶.

100×（0.001+0.001+0.004）×5=30

5、設(shè)函數(shù)f(x)=x(ex+ae-x)(x?R)是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a=_______▲_________[解析]考察函數(shù)的奇偶性的知識。g(x)=ex+ae-x為奇函數(shù)，由g(0)=0，得a=－1。

x2y26、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線??1上一點(diǎn)M，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是3，則M到

412雙曲線右焦點(diǎn)的距離是___▲_______[解析]考察雙曲線的定義。MF4MF=4。?e??2，d為點(diǎn)M到右準(zhǔn)線x?1的距離，d=2，

d27、右圖是一個(gè)算法的流程圖，則輸出S的值是______▲_______

[解析]考察流程圖理解。1?2?22???24?31?33,輸出S?1?2?2???2?63。8、函數(shù)y=x2(x>0)的圖像在點(diǎn)(ak,ak2)處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為ak+1,k為正整數(shù)，a1=16，則a1+a3+a5=____▲_____[解析]考察函數(shù)的切線方程、數(shù)列的通項(xiàng)。

25在點(diǎn)(ak,ak2)處的切線方程為：y?ak2?2ak(x?ak),當(dāng)y?0時(shí)，解得x?所以ak?1?ak，2ak,a1?a3?a5?16?4?1?21。2229、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓x?y?4上有且僅有四個(gè)點(diǎn)到直線12x-5y+c=0的距離為1，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是______▲_____[解析]考察圓與直線的位置關(guān)系。圓半徑為2，圓心（0，0）到直線12x-5y+c=0的距離小于1，

|c|?1，c的取值范圍是（-13，13）。1310、定義在區(qū)間?0,?????上的函數(shù)y=6cosx的圖像與y=5tanx的圖像的交點(diǎn)為P，過點(diǎn)P作2?PP1⊥x軸于點(diǎn)P1，直線PP1與y=sinx的圖像交于點(diǎn)P2,則線段P1P2的長為_______▲_____。[解析]考察三角函數(shù)的圖象、數(shù)形結(jié)合思想。線段P1P2的長即為sinx的值，且其中的x滿足6cosx=5tanx，解得sinx=

22。線段P1P2的長為33中國權(quán)威高考信息資源門戶.

?x2?1,x?011、已知函數(shù)f(x)??,則滿足不等式f(1?x2)?f(2x)的x的范圍是__▲___。

x?0?1,2?1?x?2x[解析]考察分段函數(shù)的單調(diào)性。??x?(?1,2?1)?2?1?x?0?x2x312、設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足3≤xy≤8，4≤≤9，則4的最大值是▲。

yy2[解析]考察不等式的基本性質(zhì)，等價(jià)轉(zhuǎn)化思想。

111x22x3x221x3()?[16,81]，2?[,]，4?()?2?[2,27]，4的最大值是27。

xy83yyyyxy

13、在銳角三角形ABC，A、B、C的對邊分別為a、b、c，

ba??6cosC，則abtanCtanC?=____▲_____。tanAtanB[解析]考察三角形中的正、余弦定理三角函數(shù)知識的應(yīng)用，等價(jià)轉(zhuǎn)化思想。一題多解。（方法一）考慮已知條件和所求結(jié)論對于角A、B和邊a、b具有輪換性。當(dāng)A=B或a=b時(shí)滿足題意，此時(shí)有：cosC?11?cosC1C22C??，tan?，tan，

321?cosC222tanA?tanB?1tanC2?2，

tanCtanC?=4。tanAtanBbaa2?b2?c23c22222226ab??a?b,a?b?（方法二）??6cosC?6abcosC?a?b，

ab2ab2tanCtanCsinCcosBsinA?sinBcosAsinCsin(A?B)1sin2C???????tanAtanBcosCsinAsinBcosCsinAsinBcosCsinAsinB1c2c2c2????4由正弦定理，得：上式=?21cosCab(a2?b2)1?3c662

14、將邊長為1m正三角形薄片，沿一條平行于底邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記

2(梯形的周長）S?,則S的最小值是____▲____。

梯形的面積中國權(quán)威高考信息資源門戶.

[解析]考察函數(shù)中的建模應(yīng)用，等價(jià)轉(zhuǎn)化思想。一題多解。設(shè)剪成的小正三角形的邊長為x，則：S?(3?x)24(3?x)2??(0?x?1)21331?x?(x?1)??(1?x)22（方法一）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最小值。

4(3?x)24(2x?6)?(1?x2)?(3?x)2?(?2x)，S?(x)?S(x)???222(1?x)31?x34(2x?6)?(1?x2)?(3?x)2?(?2x)4?2(3x?1)(x?3)????2222(1?x)(1?x)331S?(x)?0,0?x?1,x?，

311當(dāng)x?(0,]時(shí)，S?(x)?0,遞減；當(dāng)x?[,1)時(shí)，S?(x)?0,遞增；

33故當(dāng)x?1323時(shí)，S的最小值是。33（方法二）利用函數(shù)的方法求最小值。

4t241111?2??令3?x?t,t?(2,3),?(,)，則：S?

t323?t?6t?83?8?6?1t2t故當(dāng)?

二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分，請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明或演算步驟.15、（本小題總分值14分）

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。(1)求以線段AB、AC為鄰邊的平行四邊形兩條對角線的長；(2)設(shè)實(shí)數(shù)t滿足(AB?tOC)·OC=0，求t的值。

[解析]本小題考察平面向量的幾何意義、線性運(yùn)算、數(shù)量積，考察運(yùn)算求解能力?？偡种?4分。

1t31323,x?時(shí)，S的最小值是。833????????（1）（方法一）由題設(shè)知AB?(3,5),AC?(?1,1)，則????????????????AB?AC?(2,6),AB?AC?(4,4).中國權(quán)威高考信息資源門戶.

????????????????所以|AB?AC|?210,|AB?AC|?42.

故所求的兩條對角線的長分別為42、210。

（方法二）設(shè)該平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)為D，兩條對角線的交點(diǎn)為E，則:

E為B、C的中點(diǎn)，E（0，1）

又E（0，1）為A、D的中點(diǎn)，所以D（1，4）故所求的兩條對角線的長分別為BC=42、AD=210；

????????????（2）由題設(shè)知：OC=(－2,－1)，AB?tOC?(3?2t,5?t)。

由(AB?tOC)·OC=0，得：(3?2t,5?t)?(?2,?1)?0，從而5t??11,所以t??11。5|OC|5????????????????????2????AB?OC或者：AB·OC?tOC，AB?(3,5),t?????2??11

16、（本小題總分值14分）

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=900。(1)求證：PC⊥BC；

(2)求點(diǎn)A到平面PBC的距離。

[解析]本小題主要考察直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，考察幾何體的體積，考察空

間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算能力。總分值14分。

（1）證明：由于PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，所以PD⊥BC。

由∠BCD=900，得CD⊥BC，

又PD?DC=D，PD、DC?平面PCD，所以BC⊥平面PCD。

由于PC?平面PCD，故PC⊥BC。

（2）（方法一）分別取AB、PC的中點(diǎn)E、F，連DE、DF，則：易證DE∥CB，DE∥平面PBC，點(diǎn)D、E到平面PBC的距離相等。又點(diǎn)A到平面PBC的距離等于E到平面PBC的距離的2倍。由（1）知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC，由于PD=DC，PF=FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F。

中國權(quán)威高考信息資源門戶.易知DF=2，故點(diǎn)A到平面PBC的距離等于2。2（方法二）體積法：連結(jié)AC。設(shè)點(diǎn)A到平面PBC的距離為h。由于AB∥DC，∠BCD=900，所以∠ABC=900。從而AB=2，BC=1，得?ABC的面積S?ABC?1。由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱錐P-ABC的體積V?11S?ABC?PD?。33由于PD⊥平面ABCD，DC?平面ABCD，所以PD⊥DC。又PD=DC=1，所以PC?PD2?DC2?2。

2。2由PC⊥BC，BC=1，得?PBC的面積S?PBC?由VA?PBC?VP?ABC，S?PBC?h?V?故點(diǎn)A到平面PBC的距離等于2。

17、（本小題總分值14分）

131，得h?2，3某興趣小組測量電視塔AE的高度H(單位：m），如示意圖，垂直放置的標(biāo)桿BC的高度h=4m，仰角∠ABE=?，∠ADE=?。

(1)該小組已經(jīng)測得一組?、?的值，tan?=1.24，tan?=1.20，請據(jù)此算出H的值；(2)該小組分析若干測得的數(shù)據(jù)后，認(rèn)為適當(dāng)調(diào)整標(biāo)桿到電視塔的距離d（單位：m），使?與?之差較大，可以提高測量確切度。若電視塔的實(shí)際高度為125m，試問d為多少時(shí)，?-?最大？

[解析]此題主要考察解三角形的知識、兩角差的正切及不等式的應(yīng)用。（1）HHHh?tan??AD?，同理：AB?，BD?。

tan?ADtan?tan?AD—AB=DB，故得

HHhhtan?4?1.24????124。，解得：H?tan?tan?tan?tan??tan?1.24?1.20因此，算出的電視塔的高度H是124m。（2）由題設(shè)知d?AB，得tan??HHhH?h,tan????，dADDBd中國權(quán)威高考信息資源門戶.

HH?h?tan??tan?hdhddtan(???)???2?HH?hH(H?h)1?tan??tan?1??d?H(H?h)d?dddH(H?h)d??2H(H?h)，（當(dāng)且僅當(dāng)d?H(H?h)?125?121?555時(shí)，取等號）

d故當(dāng)d?555時(shí)，tan(???)最大。由于0??????2，則0??????2，所以當(dāng)d?555時(shí)，?-?最大。

故所求的d是555m。

18、（本小題總分值16分）

x2y2??1的左、右頂點(diǎn)為A、B，右焦點(diǎn)為在平面直角坐標(biāo)系xoy中，如圖，已知橢圓95F。設(shè)過點(diǎn)T（t,m）的直線TA、TB與橢圓分別交于點(diǎn)M(x1,y1)、N(x2,y2)，其中m>0,y1?0,y2?0。

（1）設(shè)動點(diǎn)P滿足PF?PB?4,求點(diǎn)P的軌跡；（2）設(shè)x1?2,x2?221，求點(diǎn)T的坐標(biāo)；3（3）設(shè)t?9,求證：直線MN必過x軸上的一定點(diǎn)（其坐標(biāo)與m無關(guān)）。

[解析]本小題主要考察求簡單曲線的方程，考察方直線與橢圓的方程等基礎(chǔ)知識?？疾爝\(yùn)算求解能力和探究問題的能力?？偡种?6分。

（1）設(shè)點(diǎn)P（x，y），則：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。

2222由PF?PB?4，得(x?2)?y?[(x?3)?y]?4,化簡得x?229。2故所求點(diǎn)P的軌跡為直線x?（2）將x1?2,x2?9。215120分別代入橢圓方程，以及y1?0,y2?0得：M（2，）、N（，?）33391y?0x?3直線MTA方程為：，即y?x?1，?53?02?33中國權(quán)威高考信息資源門戶.

55y?0x?3直線NTB方程為：，即y?x?。?20232??0?393?x?7?聯(lián)立方程組，解得：?10，

y??3?所以點(diǎn)T的坐標(biāo)為(7,10)。3（3）點(diǎn)T的坐標(biāo)為(9,m)

y?0x?3m?(x?3)，，即y?m?09?312y?0x?3m?直線NTB方程為：，即y?(x?3)。m?09?36直線MTA方程為：

x2y2??1聯(lián)立方程組，同時(shí)考慮到x1??3,x2?3，分別與橢圓953(80?m2)40m3(m2?20)20m,)N(,?)。解得：M(、

80?m280?m220?m220?m220m3(m2?20)y?x?2220?m20?m（方法一）當(dāng)x1?x2時(shí)，直線MN方程為：?2240m20m3(80?m)3(m?20)??280?m220?m280?m20?m2令y?0，解得：x?1。此時(shí)必過點(diǎn)D（1，0）；

當(dāng)x1?x2時(shí)，直線MN方程為：x?1，與x軸交點(diǎn)為D（1，0）。所以直線MN必過x軸上的一定點(diǎn)D（1，0）。

240?3m23m2?60?（方法二）若x1?x2，則由及m?0，得m?210，2280?m20?m此時(shí)直線MN的方程為x?1，過點(diǎn)D（1，0）。

若x1?x2，則m?210，直線MD的斜率kMD40m210m80?m，??240?3m240?m2?180?m2直線ND的斜率kND?20m210m20?m，得kMD?kND，所以直線MN過D點(diǎn)。??23m2?6040?m?120?m2中國權(quán)威高考信息資源門戶.

因此，直線MN必過x軸上的點(diǎn)（1，0）。

19、（本小題總分值16分）

設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和為Sn，已知2a2?a1?a3，數(shù)列的等差數(shù)列。

（1）求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式（用n,d表示）；

（2）設(shè)c為實(shí)數(shù)，對滿足m?n?3k且m?n的任意正整數(shù)m,n,k，不等式Sm?Sn?cSk都成立。求證：c的最大值為

?S?是公差為dn9。2[解析]本小題主要考察等差數(shù)列的通項(xiàng)、求和以及基本不等式等有關(guān)知識，考察摸索、分析及論證的能力?？偡种?6分。（1）由題意知：d?0，

Sn?S1?(n?1)d?a1?(n?1)d

2a2?a1?a3?3a2?S3?3(S2?S1)?S3，3[(a1?d)2?a1]2?(a1?2d)2,

化簡，得：a1?2a1?d?d2?0,a1?d,a1?d2

Sn?d?(n?1)d?nd,Sn?n2d2，

當(dāng)n?2時(shí)，an?Sn?Sn?1?n2d2?(n?1)2d2?(2n?1)d2，適合n?1情形。故所求an?(2n?1)d2（2）（方法一）

m2?n2恒成立。Sm