9軸對(duì)稱與等腰等邊三角形復(fù)習(xí)

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學(xué)員編號(hào)：年級(jí)：初二課時(shí)數(shù)：3學(xué)員姓名：白迪娜輔導(dǎo)科目：數(shù)學(xué)學(xué)科教師：張維康課題星級(jí)上課日期及時(shí)段9、軸對(duì)稱與等腰等邊三角形復(fù)習(xí)★★2023.11.018:00--10:00教學(xué)內(nèi)容本章重點(diǎn):1.能夠判斷軸對(duì)稱圖形，能按要求作出簡單平面圖形經(jīng)過一次二次軸對(duì)稱后的圖形。能利用軸對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案。2.理解線段垂直平分線的性質(zhì)和判定，并能夠靈活運(yùn)用。3.把握等腰三角形、等邊三角形的性質(zhì)和判定，并能夠運(yùn)用性質(zhì)和判定進(jìn)行證明和計(jì)算。4.把握30?的直角三角形的性質(zhì)，并能夠運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算。本章難點(diǎn):1.能夠判斷軸對(duì)稱圖形，能按要求作出簡單平面圖形經(jīng)過一次二次軸對(duì)稱后的圖形。能利用軸對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案。2.理解線段垂直平分線的性質(zhì)和判定，并能夠靈活運(yùn)用。3.把握等腰三角形、等邊三角形的性質(zhì)和判定，并能夠運(yùn)用性質(zhì)和判定進(jìn)行證明和計(jì)算。4.把握30?的直角三角形的性質(zhì)，并能夠運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算。精銳教育網(wǎng)站：.1

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軸對(duì)稱圖形軸對(duì)稱軸對(duì)稱作圖線段垂直平分線軸對(duì)稱概念性質(zhì)等腰三角形判定等邊三角形性質(zhì)判定30?的直角三角形的性質(zhì)中小學(xué)1對(duì)1課外輔導(dǎo)專家12.1軸對(duì)稱1）軸對(duì)稱圖形：假使一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠相互重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形。2）軸對(duì)稱：把一個(gè)圖形沿一條直線翻折過去，假使它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱。兩個(gè)圖形關(guān)于直線對(duì)稱也稱為軸對(duì)稱。兩個(gè)圖形中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)叫做關(guān)于這條直線的對(duì)稱點(diǎn)，這條直線叫做對(duì)稱軸。3）垂直平分線：經(jīng)過線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線。4）圖形軸對(duì)稱的性質(zhì)：假使兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線。（軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸，是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線）5）線段垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。6）線段垂直平分線的判定：與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上12.2作軸對(duì)稱圖形12.2.1作軸對(duì)稱圖形1）歸納1：由一個(gè)平面圖形可以得到它關(guān)于一條直線l成軸對(duì)稱的圖形，這個(gè)圖形與原圖形的形狀、大小完全一致；新圖形上的每一點(diǎn)，都是原圖形上的某一點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)；連接任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段被對(duì)稱軸垂直平分。2）歸納2：幾何圖形都可以看作由點(diǎn)組成，我們只要分別作出這些點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，再連接這些對(duì)應(yīng)點(diǎn)，就可以得到原圖形的軸對(duì)稱圖形；對(duì)于一些由直線、線段或射線組成的圖形，只要作出圖形中的一些特別點(diǎn)（如線段端點(diǎn)）的對(duì)稱點(diǎn)，連接這些對(duì)稱點(diǎn)，就可以得到原圖形的軸對(duì)稱圖形。12.2.2用坐標(biāo)表示軸對(duì)稱歸納：點(diǎn)（x，y）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，-y）；點(diǎn)（x，y）關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（-x，y）。12.3等腰三角形12.3.1等腰三角形1）等腰三角形：兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形。2）等腰三角形的性質(zhì)：（1）等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡寫成“等邊對(duì)等角〞）（2）等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合3）等腰三角形的判定方法：假使一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡寫成“等角對(duì)等邊〞）12.3.1等邊三角形1）等邊三角形：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形。2）等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三條邊都相等，三個(gè)角都相等，并且每一個(gè)角都等于60?.3）等邊三角形的判定：（1）有一個(gè)角是60?的等腰三角形是等邊三角形.精銳教育網(wǎng)站：.1

2中小學(xué)1對(duì)1課外輔導(dǎo)專家（2）三個(gè)角都相等或三條邊都相等的三角形是等邊三角形.4）300直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中，假使一個(gè)銳角等于30?，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。例1.如圖1－6，將矩形紙片ABCD（圖①）按如下步驟操作：（1）以過點(diǎn)A的直線為折痕折疊紙片，使點(diǎn)B恰好落在AD邊上，折痕與BC邊交于點(diǎn)E（如圖②）；（2）以過點(diǎn)E的直線為折痕折疊紙片，使點(diǎn)A落在BC邊上，折痕EF交AD邊于點(diǎn)F（如圖③）；（3）將紙片收展平，那么∠AFE的度數(shù)為（）圖1－6A．60°B．67.5°C．72°D．75°例2.已知，如圖1－11，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在y軸上，BC⊥x軸于點(diǎn)C，點(diǎn)A關(guān)于直線OB的對(duì)稱點(diǎn)D恰好在BC上，點(diǎn)E與點(diǎn)O關(guān)于直線BC對(duì)稱，∠OBC＝35°，求∠OED的度數(shù)．例3.已知：如圖2－3，線段AB．求作：線段AB的垂直平分線MN．作法：圖2－3例4．已知：如圖2－4，∠ABC及兩點(diǎn)M、N．求作：點(diǎn)P，使得PM＝PN，且P點(diǎn)到∠ABC兩邊的距離相等．作法：圖2－4精銳教育網(wǎng)站：.1

3中小學(xué)1對(duì)1課外輔導(dǎo)專家例5．已知點(diǎn)A在直線l外，點(diǎn)P為直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，探究是否存在一個(gè)定點(diǎn)B，當(dāng)點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P與A、B兩點(diǎn)的距離總相等．假使存在，請(qǐng)作出定點(diǎn)B；若不存在，請(qǐng)說明理由．例6．已知：如圖3－7，A、B兩點(diǎn)在直線l的同側(cè)，點(diǎn)A'與A關(guān)于直線l對(duì)稱，連接A'B交l于P點(diǎn)，若A'B＝a.（1）求AP＋PB；（2）若點(diǎn)M是直線l上異于P點(diǎn)的任意一點(diǎn)，求證：AM＋MB＞AP＋PB．例7.已知：A、B兩點(diǎn)在直線l的同側(cè)，試分別畫出符合條件的點(diǎn)M．（1）如圖3－8，在l上求作一點(diǎn)M，使得｜AM－BM｜最小；作法：圖3－8（2）如圖3－9，在l上求作一點(diǎn)M，使得｜AM－BM｜最大；作法：圖3－9（3）如圖3－10，在l上求作一點(diǎn)M，使得AM＋BM最?。J教育網(wǎng)站：.1

4中小學(xué)1對(duì)1課外輔導(dǎo)專家圖3－10例8．（1）如圖3－11，點(diǎn)A、B、C在直線l的同側(cè)，在直線l上，求作一點(diǎn)P，使得四邊形APBC的周長最小；圖3－11（2）如圖3－12，已知線段a，點(diǎn)A、B在直線l的同側(cè)，在直線l上，求作兩點(diǎn)P、Q（點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè)）且PQ＝a，四邊形APQB的周長最?。畧D3－12例9．（1）已知：如圖3－13，點(diǎn)M在銳角∠AOB的內(nèi)部，在OA邊上求作一點(diǎn)P，在OB邊上求作一點(diǎn)Q，使得ΔPMQ的周長最??；圖3－13（2）已知：如圖3－14，點(diǎn)M在銳角∠AOB的內(nèi)部，在OB邊上求作一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離與點(diǎn)P到OA邊的距離之和最?。J教育網(wǎng)站：.1

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中小學(xué)1對(duì)1課外輔導(dǎo)專家圖3－14例10.已知：如圖7－9，在ΔABC中，CE是角平分線，EG∥BC，交AC邊于F，交∠ACB的外角（∠ACD）的平分線于G，探究線段EF與FG的數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論．圖7－9例11．如圖7－10，過線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)作射線AM，BN，使AM∥BN，請(qǐng)按以下步驟畫圖并回復(fù)．（1）畫∠MAB、∠NBA的平分線交于點(diǎn)E，∠AEB是什么角？（2）過點(diǎn)E任作一線段交AM于點(diǎn)D，交BN于點(diǎn)C．觀測(cè)線段DE、CE，有什么發(fā)現(xiàn)？請(qǐng)證明你的猜想．（3）試猜想AD，BC與AB有什么數(shù)量關(guān)系？圖7－10例12．已知：如圖7－11，ΔABC中，AB＝AC，∠A＝100°，BE平分∠B交AC于E．（1）求證：BC＝AE＋BE；（2）探究：若∠A＝108°，那么BC等于哪兩條線段長的和呢？試證明之．圖7－11精銳教育網(wǎng)站：.1

6中小學(xué)1對(duì)1課外輔導(dǎo)專家例13．已知：如圖8－4，ΔABC和ΔBDE都是等邊三角形．（1）求證：AD＝CE；（2）當(dāng)AC⊥CE時(shí)，判斷并證明AB與BE的數(shù)量關(guān)系．圖8－4例14.（1）如圖8－7，點(diǎn)O是線段AD的中點(diǎn)，分別以AO和DO為邊在線段AD的同側(cè)作等邊三角形OAB和等邊三角形OCD，連接AC和BD，相交于點(diǎn)E，連接BC，求∠AEB的大?。粓D8－7（2）如圖8－8，△OAB固定不動(dòng)，保持△OCD的形狀和大小不變，將△OCD圍著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)（△OAB和△OCD不能重疊），求∠AEB的大?。畧D8－8精銳教育網(wǎng)站：.1

7中小學(xué)1對(duì)1課外輔導(dǎo)專家例15.已知△DCE的頂點(diǎn)C在?AOB的平分線OP上，CD交OA于F,CE交OB于G.（1）如圖，若CD?OA,CE?OB,則圖中有哪些相等的線段,請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論:；（2）如圖2,若?AOB=120?,?DCE=?AOC,試判斷線段CF與線段CG的數(shù)量關(guān)系并加以證明；（3）若?AOB=?，當(dāng)?DCE滿足什么條件時(shí)，你在（2）中得到的結(jié)論依舊成立,請(qǐng)P直接寫出?DCE滿足的條件.A解:（1）結(jié)論:.C（2）FDOGB