第七章 線性變換

第七章線性變換

基礎(chǔ)訓(xùn)練題判斷下面所定義的變換，哪些是線性的，哪些不是：在向量空間V中，b(&)=&+a,a是V中一固定的向量；在向量空間r3中，b(%,x2,X3X3,i+i*2 12 3 3⑶在向量空間R3中，b(XxX3)=(2lx,x+x點(diǎn))2 1 2 2 3 1(4)把復(fù)數(shù)域看作復(fù)數(shù)域上的向量空間，b(?=&.解(1)當(dāng)。部時(shí)，b是線性變換；當(dāng)“0時(shí)，b不是線性變換；b不是線性變換；b是線性變換；b不是線性變換；設(shè)b是向量空間V的線性變換，如果bk—導(dǎo)0,但b恩=0,求證&b&…，bk—心(k>0)線性無(wú)關(guān).證明：令ig+ib^+…+1b成=0 (1)式兩端用bS1作用得：lbk-1^+lbk6+A+lb2k-2&=00 1 k-1由已知得:b無(wú)=°k+i^=A=sk一2^=0, 0，所以有10=0.則(1)式變?yōu)椋?普+A+lkbk-1^=0 (2)式兩端用bk-2作用得：lbk-1g+lbk&A+lb2k-3&=01 2 k-1同理li=0.重復(fù)上述過(guò)程有:l0=l1=alk1=0.在向量空間R[x]中，b(f(x))=f，(x),T(f(x))=xf(x),證明，bT—Tb=l.證明:對(duì)任意f(x)eR[x]，有(bT-Tb)(f(x))=bT(f(x))-Tb(f(x))=b(x(f(x))-f(x)=f(x)+xf3-xf3=f(x).所以bT-Tb=l.在向量空間R3中，線性變換b,T如下：b(x,x,x)=(x,x,x+x)TOC\o"1-5"\h\z'12 3 1 2 1 2t(x,x,x)=(x+x—x,0,x—x—x)'1 2 3 1 2 3 3 1 2求bT,Tb,b2；求b+T,b—T,2b.解：⑴bT(x,x,x)=b(x+x一x,0,x一x一x)=解：⑴123 1 2 3 3 1 2(x+x-x,0,x+x-x)=T(x,x,x)，.?.bT=T.1 2 3 1 2 3 1 2 3Tb(x,x,x)=T(x,x,x+x)=(0,0,0),二Tb=01 2 3 1 2 1 2b2(x,x,x)=b(x,x,x+x)—(x,x,x+x)..?.b2=b.1 2 3 12 1 2 12 1 2

(2)(b+T)(X,X,X)—b(X,X,X)+T(X,X,X)(2)TOC\o"1-5"\h\z1 2 3 1 2 3 1 2 3=(X,X,X+X)+(X+X一X,0,X一X一X)1 2 1 2 1 2 3 3 1 2=(2x+X一x,x,X)?1 2 3 2 3(b-T)(X,X,X)—b(X,X,X)-T(X,X,X)1 2 3 1 2 3 1 2 3=(X,X,X+X)一(X+X一X,0,X一X一X)1 2 1 2 1 2 3 3 1 2(一X+X,X,2X+2X一X)?2 3 2 1 2 32b(x,x,X)=2(x,x,X+X)—(2x,2x,2x+2x)?1 2 3 12 1 2 1 2 1 2已知向量空間R3的線性變換b為b(x,x,x)=(x+x+x,x+x，-x)'1 2 3 1 2 3 2 3 3證明，b是可逆變換，并求b-1.證明:b(1,0,0,)=(1,0,0,)，b(0,1,0,)=(1,1,0,)，b(0,0,1,)=(1,1,-1,).b關(guān)于R3的一個(gè)基(1,0,0,),(0,1,0,),(0,0,1,)的矩陣為:A=[011'

^00f

對(duì)任意aeV,都有ct(a)=tq(a),就說(shuō)。與匚可交換);(2)如果q+t,b-c都與p可交換，則也都與p可交換.證:⑴由已知cyp=證:⑴由已知cyp=pcyjp=pi那么（<jt）p=c（Tp）=a（pi）_(Cjp)T—p((5T)?C)2p=b(bp)=C)(pc>)—(C)p)Cj—p(52.(2)同理可證.證明，數(shù)域F上的有限維向量空間V的線性變換b是可逆變換的充分必要條件是。把非零向量變?yōu)榉橇阆蛄?證明:不妨設(shè)V是n維的3,A兀是它的一個(gè)基P關(guān)于這弓“2n個(gè)基的矩陣為A.顯然9可逆當(dāng)且僅當(dāng)A可逆.。把非零向量變?yōu)榉橇阆蛄慨?dāng)且僅當(dāng)氏2=箱，而秩。=秩"。的零度=dimkera.且秩b+o的零度=n.所以秩°=n當(dāng)且僅當(dāng)°的零度是。，即a可逆當(dāng)且僅當(dāng)凡北二o?故?？赡娈?dāng)且僅當(dāng)。把非零向量變?yōu)榉橇阆蛄?證明，可逆線性變換把線性無(wú)關(guān)的向量組變?yōu)榫€性無(wú)關(guān)的向量組.證明:令b是向量空間v的可逆線性變換，a,a,A,a是v的TOC\o"1-5"\h\z1 2 m一組線性無(wú)關(guān)的向量，令kcj（（x）+kb（以）+A+ka（a）=0*112 2 mm兩端用cj-i作用得k偵+A+ke=0?由已知a,oc,A>a線11 mm 1 2 m

性無(wú)關(guān),所以:k=k=A=k=0?故b（以）,b（以）,A，b（a）線性無(wú)關(guān).

1 2 m 1 2 m設(shè)佗，6,e^F上向量空間V的一個(gè)基.已知V的線1 2 3性變換b在說(shuō)，62,63)下的矩陣為A='"11 ”12 %'A=aaaYaaa?求b在｛6,6,6)下的矩陣；132求b在｛6],k62,63)下的矩陣(k主0,keF);求b在｛6,6+6,6)下的矩陣.1 1 2 3解:⑴b(6,解:⑴b(6,6,6)=(6,6,6)1 3 2 1 3 2a11a31[a21a13a33a23a12a32a]22(2)b(6,k6,6)=(6,k6,6)1 2 3 1 2 3(入a111—ak21a31ka12a22ka32a1-ak23a33(3)a(3)a13-a23]

a23a)33b(6,6+6,6)=(6,6+6,6)TOC\o"1-5"\h\z1 1 2 3 1 1 2 3'a一aa+a一a一a11 21 11 12 21 22a. a.+aYa. a.+a在R3中定義線性變換b如下b(x,x,x)=(2x+x,x—4x,3x),V(x,x,x)eR3.*123 2 3 1 2 1 1 2 3(1)求b在基6=(1,0,0),6=(0,1,0),6=(0,0,1)下1 2 3的矩陣；(2)利用⑴中結(jié)論，求b在基yd11),a2=(1,10),

a3=(l,0,0)下的矩陣.解?(1)<J(￡ ,￡)=(8,￡,8)。2r1-401 2 3 1 2 3000?(2)從基4,8,￡｝到基(x,a,a)的過(guò)渡矩陣為P=110F在TOC\o"1-5"\h\z1 2 3 1 2 3k,a,a｝下的矩陣為：1 2 3‘02n‘00n2nninPi-1-40?p=01-ii-40ii000J-1000J0JTOC\o"1-5"\h\z‘3 3 3、=-6-6-2.<6 5 1,已知M(F)的兩個(gè)線性變換b,匚如下2b(x)=x「ii],t(x)=rio]x,vxgM(f).11-1J 1-2Oj試求<j+t,qt在基E,E,E,E下的矩陣.又問(wèn)b和匚是TOC\o"1-5"\h\z11 12 21 22否可逆？若可逆，求其逆變換在同一基下的矩陣.證明? n1)r1。) 「21)匹明?(b+T)E=E + E=nii1-1 -20H-202E+E—2E+0E?11 12(b+T)E122122riiWio)flo)+ E=2E+E—2E+0E?11 12(b+T)E122122riiWio)flo)+ E=J-1 -2012 0-2=E12E+0E11 12+0E-2E.22Erii)+(i0]E="0o'21J-b"2*21JL21(b+T)E210E11+0E12+E21+E.E1、+f10、E=f00)221V1-1J―2V0J22V1J22(b+T)E22+氣—E22.所以a+T在基匕,勾,氣,E22下的矩陣為21001000—20110—21—1A=同理可證aT在基E,E,E,E下的矩陣.a(E)=E+E,a(E)=E-E,a(E)=0E+0E+E+E,a(E)=11 11 12 12 11 12 21 11 12 21 22 220E+0E+E-E.所以a在此基下的矩陣為:11 12 21 22顯然,b顯然,b可逆.所以a可逆.a在同一基下的矩陣為:f11f112211B-1=2——20000V0000112211———22Jf11001—1000011V001—1B=J同理可討論t的可逆性及求t的矩陣.設(shè)a是數(shù)域F上n維向量空間V的一個(gè)線性變換.W1,W2是V的子空間，并且

V=W1十W2證明，b是可逆變換的充要條件是V=b(W1)十b(W2)證明:令以,A,a是W的一個(gè)基.令a,A，a是W的一個(gè)基.1 r1 r+1 n 2由已知得：a,A,a是的一個(gè)基.必要性:設(shè)b可逆，則b(ai),A,b(ar),b(a/A,b(氣)也是v的一個(gè)基.但b(W)=￡(b(a),A,b(a))?b(W)=￡(b(a)A,b(a))所以v=b(Wi)+b(W),b(Wi)Cb(w2)=｛0｝，故V=b(W])十b(W2).充分性:將必要性的過(guò)程倒過(guò)去即可.在M2(F)中定義線性變換b為b(X)=f01)X, VXeMjF).*-3J 2求。在基｛E]],El?,E2i，E22｝下的矩陣，其中f10),E=f011,E=f001,E=f001D0>12；00J210J22；01JE]]解：b在基｛e,E,E,E｝下的矩陣為11 12 21 220]0-3°7f0010]0-3°700020-3"020證明，與n維向量空間V的全體線性變換可交換的線性變換是數(shù)量變換.證明:由P習(xí)題二及第10題的結(jié)論易得.給定R3的兩個(gè)基%=(1,0,1),。2=(2,1,0),。3=(1，1，1)；和 B=(1,2,-1),B=(2,2,—1),B=(2,—1,TOC\o"1-5"\h\z1 2 3—1).b是R3的線性變換，且a(ai)=Pi,i=1,2,3.求由基｛a,a,a｝到基形邙邛｝的過(guò)渡矩陣；1 2 3 12 3b關(guān)于基｛a”a2,a3｝的矩陣；b關(guān)于基很］邙2,%｝的矩陣.解：(1)令e=(1,0,0),e=(0,1,0),￡=(0,0,1)測(cè)由｛a1,a2,a3｝到佗1’1 2 3 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3(121'18,町的過(guò)渡矩陣為：011.由基｛氣,8,町到基也,匡，町3 2 011 1 3 2 1 2 3」0L(122)的過(guò)渡矩陣為：011?、101/所以由基｛a,a,a｝到基很，&,P｝的過(guò)渡矩陣為：1 2 3 12 3(121V1(122)-2P=011.22-1-1〔111),111)13■—23(2)b(a,a,a)=(p,p,p)=(a,a,a)P-所以b在(a,a,a)下的

矩陣為：33~2233221_52~2TOC\o"1-5"\h\z( 3 3)-2---2 2x1 3.<y關(guān)于基很，P，町的矩陣為：2 2 1 2 311-￡I2 2；設(shè)a=(—1,0,—2),a=(0,1,2),a=(1,2,5),1 2 3p=(—1,1,0),p=(1,0,1),亳=(0,1,2),&=(0,3,5)2 3是R3中的向量，b是R3的線性變換，并且b(a)=(2,0,—1),a(a)=(0,0,l)q(a)=(0,1,2).2 3求b關(guān)于基也邛"的矩陣；JLNO求b(?關(guān)于基｛a,a,a｝的坐標(biāo)；12 3求戒)關(guān)于基｛。，頃J的坐標(biāo).12 3心(~\o1) 6-111) 、解:令7=012仃=101?則從基｛a”％，以3到基很］,1［一225廠［o12?P,P｝的過(guò)渡矩陣為：3r12-qp00、=T-i?T=-4-32T=1-211 2￥2-b210TOC\o"1-5"\h\z(j(oc)=(2,0,—1)=一一以+——a-—ai 313233b(oc)=(0,0,1)=-oc--a+0a2 3132 3b(a)=(0,1,2)=0a+a+0a11所以b關(guān)于的矩陣為:11所以b關(guān)于的矩陣為:10.從而b關(guān)于基很］邛很］邛2邙3｝的矩陣為:11B=T11B=T-1AT=10I-11010(a1,a2,a3)的坐標(biāo)(2)&=(0,3,5)=5a-1a+(a1,a2,a3)的坐標(biāo)313233為:A-(5\53_135■—13J="-56「9679-癸19J由(2)可知b(&)=(a,a,a)-"-561967=(%邙2,印.T-1."-56、9671239-奇V9J9危V9J所以b(&)關(guān)于很邛/町的坐標(biāo)為:

j1 2 3(56)r56)r56)9ri00)9967=00167=26,——9I-11299262671IvJIvJ3J設(shè)R3有一個(gè)線性變換b定義如下：b(x,x,x)=(x+x,x+x,x),V(x,x,x)gR3.'123 1 2 2 3 3 1 2 3下列R3的子空間哪些在b之下不變？(1){(0, 0, c)| ceR); (2){(0,b,c)|b,ceR);(3){(a, 0, 0)| aeR); (4){(a,b,0)|a,beR);{(a, 0, c)| a,ceR); (6){(a,—a,0)|aeR).解:(3)與⑷在b之下不變.設(shè)b是n維向量空間V的一個(gè)線性變換，證明下列條件等價(jià)：(1)b(V)=V; (2)kerb={0).證明:因?yàn)橹萣+b的零度=n.所以秩b=n當(dāng)且僅當(dāng)b的零度是0,即dimb(v)=n當(dāng)且僅當(dāng)dimkerb=0，因此b(V)=V當(dāng)且僅當(dāng)Kerb={0}.已知R3的線性變換b定義如下：b(x,x,x)=(x+2x—x,x+x,x+x—2x),V(x,x'123 1 2 3 2 3 1 2 3 1 2x)eR3.3求b的值域b(V)與核Kerb的維數(shù)和基.解：b關(guān)于基\=(1,0,0),￡2=(0,1,0),83=(0,0,1)的矩陣為：'12T'A=01 1.b(￡1)=(1,0,1)，。(￡2)=(2,1,1)，b(v)口1-2J 2=L(。(8),。(8))-ker。=旋),其中E=(3,-1,1)，dimker。=1.設(shè)。是向量空間V的一個(gè)線性變換，W是。的一個(gè)不變子空間，證明，W是。2的不變子空間.證明:由不變子空間的定義易證.設(shè)。是數(shù)域F上n(>0)維向量空間V的一個(gè)線性變換，｛%%,???，氣，氣+”…，％｝是V的基.證明，如果｛七％,???,ar｝是Ker。的基，那么｛。(、>…,。(%)｝是Im。的基.證明：已知｛%%,???，aj是Ker。的基，則。(籍)=0,i=1,2,…,r.令1。(a)+1。(a)+?+1。(a)=。，則r+1 'r+1 r+2 'r+2 n'n。(1a+ +1a)=0，1a+ 1agr+1r+1 nn r+1r+1 nnKer。.所以1a+ +1a=1a+ +1ar+1r+1 nn1 1 rr但a”a?,…，a,a*”…，a是V的一個(gè)基，故、=…=1n=0.所以?！?。(an)線性無(wú)關(guān).又Im。=￡(。(aj,。(aj…，。(a))=(。(a+1),…，。(a)).從而結(jié)論成立.設(shè)Q,T是向量空間V的線性變換，且b+c=l,QT=2=。.這里I是V的恒等變換，6是V的零變換.證明：V=q(V施(V);c(V)=KerT.證明：(1)v/V,&=i(&)=(q+t)(&)=q(g)+t(&).所以V=q(V)+t(V).對(duì)任意gee(V)At(V).則g=Q(&1)+t(&2).由已知條件可得g=l(Q(g1))=(q+t)(q(g1))=Q?(q(g1)=Q-(t(g2)=qt(g2)=0.故結(jié)論成立.(2)對(duì)任意Q(g)eQ(V),則t(q(g))=0,所以q(g)eKerT.反之，對(duì)任意geKerT,貝iJt(g)=0.由已知條件可得,g=(q