2023高考數(shù)學(xué)沖刺預(yù)計試題五

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廣東省潮州市2023屆高三其次次模擬考試

數(shù)學(xué)（理）試題

第一部分選擇題（共40分）

一、選擇題：（本大題共8小題，每題5分，共40分，在每題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的）1．設(shè)i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)

i等于2?i12121212A．?iB．??iC．?iD．??i

555555552．已知集合A??1,2,m?，B??3,4?，A?B??1,2,3,4?，則m?

????3．已知向量a?(1,3)，b?(?1,0)，則|a?2b|?

A.0B.3C.4D.3或4

A．1B.2C.2D.44、函數(shù)f（x）＝｜x－2｜－lnx在定義域內(nèi)的零點個數(shù)為

A、0B、1C、2D、3

?y?x?5．已知實數(shù)x,y滿足?x?y?1，則目標(biāo)函數(shù)z?2x?y的最大值為

?y??1?1C．5D．626.已知一個幾何體的三視圖及其大小如圖1，這個幾何體的體積V?

A．?3B．A．12?B．16?

C．18?

D．64?

7.從1，2，3，4，5中任取2個不同的數(shù)，事件A=“取到的2個數(shù)之和

為偶數(shù)〞，事件B=“取到的2個數(shù)均為偶數(shù)〞，則P(B|A)=（）.

1121(B)(C)(D)8452??8．設(shè)向量a?(a1,a2)，b?(b1,b2)，定義一運算：

(A)

?????1a?b?(a1,a2)?(b1,b2)?(a1b1,a2b2),已知m?(,2)，n?(x1,sinx1)。點Q在y?f(x)2???????的圖像上運動，且滿足OQ?m?n（其中O為坐標(biāo)原點），則y?f(x)的最大值及最小正

周期分別是

A．

11,?B．,4?C．2,?D．2,4?22

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其次部分非選擇題（共110分）

二、填空題（本大題共7小題，分為必做題和選做題兩部分，每題5分，總分值30分）。（一）必做題：第9至13題為必做題，每道試題考生都必需作答。9.已知不等式x?2?1的解集與不等式x2?ax?b?0的解集

一致,則a?b的值為

開始1n10.若(2x?)的展開式中所有二項式系數(shù)之和為64，則

x展開式的常數(shù)項為.

11.已知等差數(shù)列?an?的首項a1?1，前三項之和S3?9，則

S?0K?1是?an?的通項an12.計算

?____．

=.

K?10?否輸出K,SS?S?1K(K?2)終止13．如圖，是一程序框圖，則輸出結(jié)果為

K?，S?.。

(說明，M?N是賦值語句，也可以寫成M?N，或M:?N

(二)選做題（14、15題，考生只能從中選做一題）⒕（幾何證明選講選做題）如圖3，圓O的割線PAB交圓

K?K?2APC圖3

BO于A、B兩點，割線PCD經(jīng)過圓心。已知PA?6，

1AB?7，PO?12。則圓O的半徑R?____．

3?OD⒖（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）在極坐標(biāo)系(?,?)（0???2?）中，直線???4被圓

??2sin?截得的弦的長是．

三、解答題：本大題共6小題，總分值80分．解答須寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16．（本小題總分值12分）

已知函數(shù)f(x)?3(sin2x?cos2x)?2sinxcosx．

（Ⅰ）求f(x)的最小正周期；（Ⅱ）設(shè)x?[?

??,]，求f(x)的值域和單調(diào)遞增區(qū)間．335:05:57PM

17．（本小題總分值12分）某次運動會在我市舉行，為了搞好接待工作，組委會招募了16名男

志愿者和14名女志愿者，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，男、女志愿者中分別有10人和6人愛好運動，其余不愛好。

（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成以下2×2列聯(lián)表：愛好運動不愛好運動總計男女總計106161430（2）根據(jù)列聯(lián)表的獨立性檢驗，能否在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下認(rèn)為性別與愛好運動有關(guān)？（3）從女志愿者中抽取2人參與接待工作，若其中愛好運動的人數(shù)為?，求?的分布列

和均值。

n(ad?bc)2參考公式：K?，其中n?a?b?c?d.

(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)2

參考數(shù)據(jù)：

P(K2?k0)0.400.7080.251.3230.102.7060.0106.635k018．（此題總分值14分）

如下圖，已知AB為圓O的直徑，點D為線段AB上一點，且AD?P1DB，點C為圓O上一點，且BC?3AC．3點P在圓O所在平面上的正投影為點D，PD?DB．（1）求證：PA?CD；

（2）求二面角C?PB?A的余弦值．

AC第18題圖

DOB5:05:57PM

19．(此題總分值14分)

an?11已知數(shù)列{an}滿足：a1?1,a2?，且an?2?（n?N*）．

2an?an?1（Ⅰ）求證：數(shù)列{2an}為等差數(shù)列；an?1

（Ⅱ）求數(shù)列{an}的通項公式；（Ⅲ）求下表中前n行所有數(shù)的和Sn．20．（此題總分值14分）

a1a1a2a2a1a3a1a2a3???????????

a1anan?1a2an?1an?1??ana1an?1????????????????

x2y23設(shè)橢圓2?2?1(a?b?0)的左右頂點分別為A(?2,0),B(2,0)，離心率e?．

ab2過該橢圓上任一點P作PQ?x軸，垂足為Q，點C在QP的延長線上，且|QP|?|PC|．（1）求橢圓的方程；

（2）求動點C的軌跡E的方程；

（3）設(shè)直線AC（C點不同于A,B）與直線x?2交于點R，D為線段RB的中點，試判斷直線CD與曲線E的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

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21．（此題總分值14分）

設(shè)a?0,函數(shù)f(x)?1.2x?a1a（Ⅰ）證明:存在唯一實數(shù)x0?(0,)，使f(x0)?x0；（Ⅱ）定義數(shù)列{xn}:x1?0,xn?1?f(xn),n?N*.

（i）求證:對任意正整數(shù)n都有x2n?1?x0?x2n；(ii)當(dāng)a?2時,若0?xk?1(k?2,3,4,?)，21證明:對任意m?N*都有:xm?k?xk?.

3?4k?1

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參考答案

一、選擇題：本大題共8小題，每題5分，共40分．

題號答案1A2D3C4C5C6B7B8C二、填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每題5分，總分值30分．（一）必做題（9～13題）

9．－1__．10．－160．11．2n?1．12．e2．13．11,分，3分）

（二）選做題（14、15題，考生只能從中選做一題）

⒕8；⒖2．2.解析：m?3或4

27.提醒：“從1，2，3，4，5中任取2個不同的數(shù)〞一共有C5?10種不同選取方式，其中滿

5．（21122足事件A的有C3所以P(A)??C2?4種選取方式，

42?，而滿足事件B要求的有C22?1種，1051P(A?B)101C1??.即P(A?B)??，再由條件概率計算公式，得P(B|A)?24P(A)C105222516．（本小題總分值12分）

解：（Ⅰ）∵f(x)??3(cos2x?sin2x)?2sinxcosx??3cos2x?sin2x3分

?f(x)的最小正周期為?．????5分

（Ⅱ）∵x?[???33,]，???3?2x??3??，??3??sin(2x?)?1．23?f(x)的值域為[?2,3]．??????10分?當(dāng)y?sin(2x??3)遞減時，f(x)遞增．

??2?2x??3??，即

?12?x??3．

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????故f(x)的遞增區(qū)間為?,?．????????12分

?123?

17．解：（1）男女總計愛好運動10616不愛好運動6814總計161430??2分

（2）假設(shè)：是否愛好運動與性別無關(guān)，由已知數(shù)據(jù)可求得：

30?(10?8?6?6)2K??1.1575?2.706

(10?6)(6?8)(10?6)(6?8)2因此，在犯錯的概率不超過0.10的前提下不能判斷愛好運動與性別有關(guān)6分

（3）愛好運動的人數(shù)為?的取值分別為：0，1，2，其概率分別為：

11C8228C6C848C6215P(??1)P(??2)?2??8分P(??0)?2??291C1491C14C1491

愛好運動的人數(shù)為?的分布列為：

?P

??10分

01228914891159128481578?1??2??.?12分91919191所以愛好運動的人數(shù)?的值為：E??0?

18．（此題總分值14分）解析：（Ⅰ）法1：連接CO，由3AD?DB知，點D為AO的中點，又∵AB為圓O的直徑，∴AC?CB，由3AC?BC知，?CAB?60?，

∴?ACO為等邊三角形，從而CD?AO．3分∵點P在圓O所在平面上的正投影為點D，∴PD?平面ABC，又CD?平面ABC，∴PD?CD，5分

由PD?AO?D得，CD?平面PAB，

又PA?平面PAB，∴PA?CD．6分

ACPDOB5:05:57PM

（注：證明CD?平面PAB時，也可以由平面PAB?平面ACB得到，酌情給分．）法2：∵AB為圓O的直徑，∴AC?CB，

在Rt?ABC中設(shè)AD?1，由3AD?DB，3AC?BC得，DB?3，AB?4，BC?23，

∴

BDBC3，則?BDC∽?BCA，??BCAB2∴?BCA??BDC，即CD?AO．3分∵點P在圓O所在平面上的正投影為點D，∴PD?平面ABC，又CD?平面ABC，

∴PD?CD，5分由PD?AO?D得，CD?平面PAB，

平面，PABPA?CD．6分法3：∵AB為圓O的直徑，∴AC?CB，又

在Rt?ABC中由3AC?BC得，?ABC?30?，設(shè)AD?1，由3AD?DB得，DB?3，BC?23，由余弦定理得，CD2?DB2?BC2?2DB?BCcos30??3，∴CD2?DB2?BC2，即CD?AO．3分∵點P在圓O所在平面上的正投影為點D，∴PD?平面ABC，又CD?平面ABC，∴PD?CD，--5分由PD?AO?D得，CD?平面PAB，

又PA?平面PAB，∴PA?CD．6分（Ⅱ）法1：（綜合法）過點D作DE?PB，垂足為E，連接CE．7分由（1）知CD?平面PAB，又PB?平面PAB，

∴CD?PB，又DE?CD?D，∴PB?平面CDE，又CE?平面CDE，∴CE?PB，9分

∴?DEC為二面角C?PB?A的平面角．10分由（Ⅰ）可知CD?EPA?∴

PA（注：在第（Ⅰ）問中使用方法1時，此處需要設(shè)出線段的長度，酌情給分．）∴PB?32，則DE?3，PD?DB?3，

DCOBPD?DB932，??PB2325:05:57PM

∴在Rt?CDE中，tan?DEC?CD36，??DE32321515，即二面角C?PB?A的余弦值為．14分55????????????法2：（坐標(biāo)法）以D為原點，DC、DB和DP的方向分別為x軸、y軸和z軸的正向，建

∴cos?DEC?立如下圖的空間直角坐標(biāo)系．8分

（注：假使第（Ⅰ）問就使用“坐標(biāo)法〞時，建系之前先要證明CD?AB，酌情給分．）設(shè)AD?1，由3AD?DB，3AC?BC得，PD?DB?3，CD?∴D(0,0,0)，C(3,0,0)，B(0,3,0)，P(0,0,3)，

3，

zP????????????∴PC?(3,0,?3)，PB?(0,3,?3)，CD?(?3,0,0)，

????由CD?平面PAB，知平面PAB的一個法向量為CD?(?3,0,0)．10分設(shè)平面PBC的一個法向量為n?(x,y,z)，則

???????n?PC?0?3x?3y?0，即，令y?1，則x?3，z?1，?????????3y?3z?0?n?PB?0∴n?(3,1,1)，12分

設(shè)二面角C?PB?A的平面角的大小為?，

ACxDOBy????n?CD?315?????則cos??，13分??5|n|?|CD|5?3∴二面角C?PB?A的余弦值為15．14分52an?1119．解：（Ⅰ）由條件a1?1,a2?，an?2?，得

2an?an?1an?2an?1aa?n?1?n?1?????2分?an?1an?an?1an?2an?1∴數(shù)列{an}為等差數(shù)列．??????3分an?1ana?1?(n?1)?1?n?1?????????4分an?1a2（Ⅱ）由（Ⅰ）得

5:05:57PM

∴

a1a1a2a?????n?1?2?3???n?n!??????????????7分

anana2a3an?1???????????8分n!∴

（Ⅲ）?akan?k?1(n?1)!k??Cn?1(k?1,2,?,n)?????????10分

an?1k!(n?k?1)!a1ana2an?1aa?????n1an?1an?1an?1∴第n行各數(shù)之和

12nn?1?Cn?2（n?1,2,??）?????12分?1?Cn?1???Cn?1?2∴表中前n行所有數(shù)的和

Sn?(22?2)?(23?2)???(2n?1?2)?(22?23???2n?1)?2n

22(2n?1)??2n?2n?2?2n?4.???14分

2?120．（此題總分值14分）

解析：（1）由題意可得a?2，e?∴b2?a2?c2?1，

c3，∴c?3，2分?a2x2所以橢圓的方程為?y2?1．4分

4?x0?x?x?x0?（2）設(shè)C(x,y)，P(x0,y0)，由題意得?，即?1，6分

y0?x?y?2y0??22x0x2122又?y0?1，代入得?(y)?1，即x2?y2?4．

442即動點C的軌跡E的方程為x?y?4．8分（3）設(shè)C(m,n)，點R的坐標(biāo)為(2,t)，

22????????∵A,C,R三點共線，∴AC//AR，

????????而AC?(m?2,n)，AR?(4,t)，則4n?t(m?2)，

5:05:57PM

∴t?4n，m?24n2n)，點D的坐標(biāo)為(2,)，10分m?2m?2∴點R的坐標(biāo)為(2,n?∴直線CD的斜率為k?2nm?2?(m?2)n?2n?mn，m?2m2?4m2?4而m2?n2?4，∴m2?4??n2，∴k?mnm，12分??2?nnm(x?m)，化簡得mx?ny?4?0，n∴直線CD的方程為y?n??∴圓心O到直線CD的距離d?4m2?n2?4?2?r，4所以直線CD與圓O相切．14分21．（此題總分值14分）

（Ⅰ）證明:①f(x)?x?x?ax?1?0.??????1分令h(x)?x?ax?1,則h(0)??1?0,h()?331a1?0,a3∴h(0)?h()?0.???2分

又h(x)?3x?a?0,∴h(x)?x?ax?1是R上的增函數(shù).???3分故h(x)?x?ax?1在區(qū)間?0,3/231a??1??上有唯一零點,a?即存在唯一實數(shù)x0??0,??