數(shù)學(xué)分析各?？佳性囶}及答案

#證明 (反證法)，假設(shè)f(X,y)不是f(X,y)在羽y>0上的最大值。由于00limf(x,y)=0，存在r>0，當(dāng)x2+y2>r,x>0,y>0時(shí)，f(x,y)<f(x,y)。00x2+y2-s考察閉區(qū)域D={(x,y):x>0,y>0,x2+y2<r},顯然(x,y)gD,由已知f(x,y)在D00上連續(xù)，從而f(x,y)在D上取得最大值，設(shè)為f(x,y)。顯然在6D上，總有11TOC\o"1-5"\h\zf(x,y)<f(x,y)，因而必有：f'(x,y)=f'(x,y)=0。當(dāng)x2+y2>r,x>0,y>000 x11 y11時(shí)，f(x,y)<f(x,y)<f(x,y)，因此00 11f(x,y)是f(x,y)在x,y>0上的最大值。由假設(shè)，(x,y)豐(x,y)。11 11 00這與已知矛盾，可知假設(shè)不真。.設(shè)處處有f"(x)>0.證明：曲線y=f(x)位于任一切線之上方，且與切線有唯一公共點(diǎn)．證明設(shè)(x,y)為曲線y=f(x)上任一點(diǎn)，在該點(diǎn)處曲線的切線方程為00TOC\o"1-5"\h\zy=f(x)+f'(x)(x—x)0 00對曲線y=f(X)上任意點(diǎn)，按Taylor公式展開，得f(X)=f(X)+f'(X)(X-X)+1f )(X-X)20 0 02 0由f"(x)>0知，當(dāng)X豐X時(shí)，f(x)+f'(x)(x-x)<f(x),而(x,y)為唯一公共點(diǎn).得0 0 0 0 00證．.求I=J產(chǎn)—乎,L是取反時(shí)針方向的單位圓周.L4x2+9y2解L的參數(shù)方程：x=cos0,y=sin9,0<0<2兀I=Jxdy-yd二卜cos20+sin20d0=4J；1+tan20d0=41，dt=4(6arctan-31)L4x2+9y2 04cos20+9sin20 04+9tan20 04+=4(6arctan-31)+s兀=I07.設(shè)fq是連續(xù)正值函數(shù)，JJJf(x2+y2+z2)dxdydzF(t)=x2+Jj+z2<t2(x2+y2)f(x2+y2)dxdx2+y2<12證明F(t)(t>0)是嚴(yán)格單調(diào)減函數(shù).JJJf(x2+y2+z2)dxdydz(x2+y2)f(x2+y2)dxdx2+y2<t212f(12)Jtr3f(r2)dr-13f(12)Jtr2f(r2)drF'(t)=2 0 e 0 (Jtr3f(r2)dr)20Jtr2f(r2)dr=2f ，當(dāng)t>0時(shí)Jtr3f(r2)dr012f(12)Jtr2f(r2)(r一t)dr

=2 /?-0 <0(Jtr3f(r2)dr)20因此，F(xiàn)(t)(t>0)是嚴(yán)格單調(diào)減函數(shù)。8?設(shè)級數(shù)￡高n=0收斂，證明J1￡axndx=￡0n=0a n-

n+1ga證明由乙n+1n=0收斂知，S(x)=￡出xn+1在b"上一致收斂，從而n=0S(x)=￡-On7xn+1左連續(xù)n+1n=0ga即lim，—-xn+1x-1- 0n+1n=0=￡念?對vxe(0，］)有n=0Jx(￡gatn)dt=￡gJx0 n=0￡gaaxndx=，-n—xn+1,

n n+1n=0于是「￡axndx=lim"￡atn)dt=lim￡g0n=0na ga n-xn+1= n-n+1 n+1n=09．設(shè)f(x)在[0，g)上連續(xù)，其零點(diǎn)為x:0=x<x<n 01<x< ，n證明：積分Jgf(x)dx收斂O級數(shù)￡Jxn+1f(x)dx收斂.xn=0 n證明xn=0n00汀+證明xn=0n00汀+ixn=0n斂。f(x)dx=limJxN+1f(x)dx=limJxN+1nT90xT90N+1f(x)dx=J+9f(x)dx0即］Efxn+1f(x)dx收xn=0n2kf(x)dx=k+"(x)dx，若J"f(x)dx收斂，則同理可知￡>"+1f(x)dx不收斂。x

n=0n)，當(dāng)nT8時(shí)，f(x)n10.設(shè)a<b,f(x)在［a,b］)，當(dāng)nT8時(shí)，f(x)n在［ab］上一致收斂于f(x).證明：至少存在一點(diǎn)x0e［a,b］，使得f(xo)>0.證明由f(x)在［a,b］上一致收斂于f(x)，得知f(x)在［a,b］上連續(xù)，且數(shù)列nJbf(x)dx收斂于Jbf(x)dx，即limJbf(xdx=Jbfxdx，由于Jbf(x)dx>0，得n nna a nT9a a aJbf(x)dx>0，至少存在一點(diǎn)