(一)數(shù)學系一數(shù)學分析期末考試題

#/9（一）數(shù)學系一年級《數(shù)學分析》期末考試題姓名姓名學號一、（滿分0分，每小題2分）單項選擇題：b和c是三個數(shù)列，且存在Vnn時有a<b<c，則(

nnna{

nb｝都收斂時，nc｝收斂；n和b都發(fā)散時，c發(fā)散;a{

nb｝都有界時，nc｝有界；n｛有界時，c｝都有界；nsinkxx<0,、f(x)=<x

k,2+x,x=0,x>0,（k為常數(shù)）.函數(shù)f（x）在A.左連續(xù);B.右連續(xù)C.連續(xù)D.不連續(xù)、f''(x0）在點x0=0必A.A.左連續(xù);B.右連續(xù)C.連續(xù)D.不連續(xù)、f''(x0）在點x0=0必A.limAx-0于2(x0+心)-f2(x0)AxB.limAx.01(x0+心)-f(x0)1'AxC.(lim、Ax—00 AxD.limAx—0f’(x。+心)-f’(x0)Ax4、設(shè)函數(shù)f（x）在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，在開區(qū)間（a,b）內(nèi)可微，但f（a）豐f（b）。則（3S(3S(a,b)，使f'也)=0；B.35g（a,b），使f化）牛0；C.VxgC.Vxg(a,b)，使f'(x)豐0；D.當f(b)f(a)時，對Vxg(a,b)有f'(x)5、設(shè)在區(qū)間5、設(shè)在區(qū)間I上有Jf(x)dx=F(x)+cJg(x)dx=G(x)+c。則在I上有(Jf(x)g(x)dxJf(x)g(x)dx=F(x)G(x)；Jf(x)g(x)dx=F(x)G(x)+c；J[f(x)G(x)dx+g(x)F(x)]dx=F(x)G(x)+c；J[f(x)F(x)dx+g(x)G(x)]dx=F(x)G(x)+c；、(滿分15分，每小題3分)填空題：limX-4wf(x)=sgn(cosx)。f(x)在區(qū)間—兀，兀上的全部間斷點為；兀f(X)=sin2x,f(11)()= ；64函數(shù)f(X)在R內(nèi)可導，且在(一8,1)內(nèi)遞增，在(1,+8)內(nèi)遞減,F(X)=f(xex),F(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為 三、(滿分36分，每小題6分)計算題：1、limf——-1-x—Ix2sin2x)1、2、把函數(shù)shx=exex展開成具Peano型余項的Maclaurin公式；、Jex+1arctgJex_1dx；、f(x2)=ex，計算積分J于dx；〈xx一3TOC\o"1-5"\h\z5、J dx；x2-3x+26、斜邊為定長c的直角三角形繞其直角邊旋轉(zhuǎn)，求所得旋轉(zhuǎn)體的最大體積；… 「2n2+n-32四、(滿分7分)驗證題：由有“￡-N”定義驗證數(shù)列極限lim———--=-；h.03n2-25 3五、(滿分32分，每小題8分)證明題：1設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)都在區(qū)間I上一致連續(xù)，證明函數(shù)f(x)+g(x)在區(qū)間I上一致連續(xù)；\o"CurrentDocument"設(shè)函數(shù)f(x)在點x可導且f1(x)豐0,試證明：Ay?df(x)|，其中0 0 x=x0Ay=f(x+Ax)一f(x)；003設(shè)函數(shù)f(x)在點a具有連續(xù)的二階導數(shù)，試證明：

limf（a+h）+f（a-h）一2f（a）=r（a）；TOC\o"1-5"\h\zh-0 h2 八兀 2x4試證明：0x<7時，有不等式 smx——2 兀（二）一年級《數(shù)學分析》考試題一、（滿分10分，每小題2分）判斷題：1、無界數(shù)列必發(fā)散； （ ）、若對Vs，函數(shù)f在a+8,b-e上連續(xù)，則f在開區(qū)間（a,b）內(nèi)連續(xù)；（ ）3、初等函數(shù)在有定義的點是可導的； （ ）4f二中甲，若函數(shù)中在點x可導，V在點x不可導，則函數(shù)f在點x00 0必不可導； （ ）5、設(shè)函數(shù)f在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，在開區(qū)間（a,b）內(nèi)可導，但f（x）豐f（b），則對Vxg(a,b)，有f'(x)牛0； ( )二、(滿分20分，每小題4分)填空題：(n2+2)6(2n-1)8ilim = = ；nT8 (%2n2+1)102曲線y=xInx的所有切線中，與直線x+2y-2=0垂直的切線是,/ 、dy3y=ln(x+11+x2), ,二 ；dxd2y4函數(shù)f(x)二階可導，y=ef(x),則廣= ；dx2、把函數(shù)f（x）=e-x2展開成具Peano型余項的Maclaurin公式，f(x)=三、(滿分30分，每小題6分)計算題:J4+xln(1+x2)-2ilim- ； ；xf0x(ex-1)lim2v13x、f、f(x°x0,f'(x0x3,求limf(x0-2Ax)Axf0 Axsinx-xcosx、y= ：-,求dy；cosx+xsinx、y、y=x2sinx,求y(80) ；limx、-1、lim( )x2xt0x四、(滿分40分，每小題8分)證明題：、設(shè)函數(shù)f、設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上滿足條件：3L oVx「x2gI,有|f(xi)-f(x2)<Lx1-x2，證明f在區(qū)間1上一致連續(xù);、證明函數(shù)f(x)=|x—1在點x=1不可導；、設(shè)函數(shù)f(x)在內(nèi)連續(xù)且limf(x)=+8，試證明f(x)在有最小值;xt8、設(shè)0ab,f(x)在a,b上可導，在(a,b)內(nèi)可導，證明3^g(a,b)，使得21f(b)-f(a)]=(b2-a2)f?)；常數(shù)、設(shè)函數(shù)f和g可導且f豐0,又f(x)g(x)

f1(x常數(shù)、設(shè)函數(shù)f和g可導且f豐0,又f(x)g(x)

f1(x)g,(x)=0，證明g(x)=cf(x),其中c為(三)一年級《數(shù)學分析》考試題對錯判斷題：、設(shè)｛x｝?。秊閮蓚€數(shù)列，若xAy(n=1、2、 )則limxnn nnnt8Alimy；( )nn—82、若函數(shù)f(x)以A為極限，則f(x)可表為f(x)=A+o(1)；3、設(shè)f(x)定義于a,b上，若f(x)取遍f(a)與f(b)之間的任意值則f(x)比在4、若f(x)在la,+8)連續(xù)，且limf(x)存在，則f(x)在la,+8)有界xt+85、若y=f(x)的導數(shù)f'(x)在a,b上連續(xù)，則必存在常數(shù)使|f(x1)-f(x2)|<Lx1-x2,Vx,xgLa,b]；

126、①當xt0時，o(xm)+o(xn)=o(xm+n) (mAnA0)；②|at0(nt8)=at0(nt8)；n n7、若f(x)和g(x)在x點都不可導，則f(x)+g(x)在x點也不可導8、fa)為I上凸函數(shù)的充要條件為，對I上任意三點「X2^X3有:TOC\o"1-5"\h\zfX上f功<f(XJ_f(XJ2 1 3 1 ( )\o"CurrentDocument"X一X X一X21 319、若f(x)在X二階可導，則(x,f(X))為曲線y=f(x)的拐點的0 00充要條件為廣(可二0；、若為無上界的數(shù)集，則存在一個遞增數(shù)列&}uS使得nX―8, (n-⑹；n單項選擇題：X豐0在x=0處連續(xù)，則k=(x=0A.1eA.1eLX2、設(shè)f(X)=，LX— —eXY0x=1當X=0是不連續(xù)是因為(x>0limf(X)不存在X-0左，右極限不相等limf(x)豐f(0)左，右極限不相等X-0、設(shè)f(X)=(X一a和(X)，其中①(X)在x=a處連續(xù)但不可導，則f1(a)=(不存在。(。) ①(a) -D'(a)TOC\o"1-5"\h\z4當|X很小時，下列近似公式正確的是 ( )ex氏x lnx^x n1+.p1+x sinx-.5若f(X)和g(x)對于區(qū)間(a,b)內(nèi)每一點都有f1(X)=g1(x)，在(a,b)內(nèi)有 ( )f(x)=g(x) f(x)=c,g(x)=c,(c,c為常數(shù))1 2 12f(X)=cg(X)(為任意常數(shù)) f(X)=g(X)+c (為任意常數(shù))

三證明題：證明limn1n+2n+—\-9n=9；n-8h證明不等式： <arctanhYh；1-h2a+b 13對任意實數(shù)a,b有e2<-(ea+eb)；4證明：方程X3-3x+c=0(c為常數(shù))在hi］內(nèi)不可能有兩個不同的實根;5設(shè)函數(shù)f(x)在點x存在左，右導數(shù)，試證f(x)在x連續(xù)；006證明：若極限lim存在，則它只有一個極限；x-x0四計算題：1寫出f(x)=sinx的其拉格朗日型余項的馬克勞林公式；2求下列極限：lim(n1+於+—+n10)；n-8arctanxTOC\o"1-5"\h\zlim ；x-0 xxm-1lim ；xf1xn—1求J=esinM+b)的微分;dJ(0<tYdJ(0<tY兀)所確定，求一dx設(shè)函數(shù)J=J(x)的參量方程］ .Ij=bsint(四)一年級《數(shù)學分析》考試題敘述題：用￡-b語言敘述limf(x)=A (A為定數(shù))xfx-0敘述 中值定理，并舉出下列例子：第一個條件不成立，其它條件成立，結(jié)論不成立的例子；第二個條件不成立，其它條件成立，結(jié)論不成立的例子；第三個條件不成立，結(jié)論成立的例子；、計算題：求極限lim(Jn+2-2%：n+1+x/n)；nf8

2TOC\o"1-5"\h\z求極限hm(1一 )rnf8 x公式;求f(x)=ln(1+x)的帶 型余項的公式;tanx-x求lim ——；n-0x-sinx三、研究函數(shù)2xxa0f(x)=j0 x=0在x=0處的左，右極限和極限;1+x2 XY0四、研究函數(shù)求數(shù)集S=(|x2Y2｝的上、下確界，并依定義加以驗證；五、證明題：用定義證明：limt'x2+5=3；nf2證明：o(gQ方+o(gQ))=o(gQ)) x—x0設(shè)f(x)定義在區(qū)間I上，若存在常數(shù)，Vx'x''GI有f(x,)—f(x")<Lx,一x"證明：f(x)在I上一致連續(xù);設(shè)函數(shù)f(x)在點a的某個鄰域內(nèi)具有連續(xù)的二階導數(shù)，證明limf(a+h)+f(ai)一2f(a)二廣(a)hf0 h2(五)一年級《數(shù)學分析》考試題判斷題：(滿分10分，每小題2分)i若lima=0,貝Ulim—=8； ( )nanf8 nf8n、有限開區(qū)間(a,b)內(nèi)一致連續(xù)的函數(shù)f(x)必在開區(qū)間內(nèi)有界；( )、設(shè)函數(shù)y=f(x)在點X的某領(lǐng)域內(nèi)有定義，若存在數(shù)A,使0AyAy=f(x+Ax)一f(x)=AAx+o(Ax),00(Ax-0),則f(x)在點x0可導且A=f'(x0)；f(x)在點/可導、設(shè)函數(shù)f定義在區(qū)間I上，且滿足條件，z>0,使對VTf(x)在點/可導、設(shè)函數(shù)f定義在區(qū)間I上，且滿足條件，z>0,使對VTx有|f(x1)—f(x2)|<L\x1—x2連續(xù)但未必一致連續(xù);必一致連續(xù)；I，則f(x)在區(qū)間I上一致連續(xù)但未必連續(xù);必不一致連續(xù)；D、f''(x0)定義為：limf(x0+-)—f(x0)Ax-0 AxlimBAx-0f'(x+Ax)—f'(x)0Axlim(Ax-0f(x。十攝)一"x0))’；Ax(limAx-0Ax)-f(x°))′、f=T+W，若函數(shù)f在點X可導，則函數(shù)①和W都在點X可導；00( )、設(shè)函數(shù)f在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導，若對Vxg(a,b),f'(x)牛0，則必有f(x)豐f(b)；二單項選擇題：(滿分20分，每小題4分)1函數(shù)f(x)在點x連續(xù)的充要條件是0f(x—0)和f(x+0)中至少有一個存在;f(x—0)和f(X+0)存在且相等;f(x—0)f(x+0)f(x)、設(shè)函數(shù)。(x)和w(x)在區(qū)間I內(nèi)可導6'(x)=v'(x)，則在該區(qū)間內(nèi)有其中C其中C為常數(shù);。(x)=Cw(x)其中C為常數(shù)為使f在點x=3可