第四章非線性模型的線性化

第四章非線性模型的線性化第一頁，共六十九頁，2022年，8月28日問題一如何度量彈性？第一章例題2.2如何估計家庭消費支出y的支出彈性？估計方程為模型解決了邊際效應(yīng)問題，但彈性無法求出第二頁，共六十九頁，2022年，8月28日問題二如何測度增長率？經(jīng)濟(jì)學(xué)家、企業(yè)家和政府十分關(guān)注變量的增長率，如政府預(yù)算赤字規(guī)劃就是依據(jù)GDP預(yù)期增長率而確定的；類似地，中央銀行常用未償付消費信貸的增長率來監(jiān)視貨幣政策的運行效果；如何用回歸分析度量這些變量的增長率？第三頁，共六十九頁，2022年，8月28日實際分析工作中，有許多回歸模型的因變量與自變量之間的關(guān)系并不呈現(xiàn)線性關(guān)系，此時，可以通過線性變換來使其線性化，從而利用回歸分析工具進(jìn)行分析。第四頁，共六十九頁，2022年，8月28日回歸模型的函數(shù)形式:第一類:標(biāo)準(zhǔn)線性模型因變量與自變量以及參數(shù)之間均成線性關(guān)系第二類:非標(biāo)準(zhǔn)線性模型因變量與自變量不成線性關(guān)系,但與參數(shù)成線性關(guān)系第三類:非線性模型因變量同參數(shù)不成線性關(guān)系第五頁，共六十九頁，2022年，8月28日一、非標(biāo)準(zhǔn)線性模型的線性化二、非線性模型的標(biāo)準(zhǔn)線性化三、例子第六頁，共六十九頁，2022年，8月28日一、非標(biāo)準(zhǔn)線性模型的線性化1.多項式回歸模型

在生產(chǎn)與成本函數(shù)的經(jīng)濟(jì)計量中廣泛應(yīng)用第七頁，共六十九頁，2022年，8月28日設(shè)z1=x，z2=x2，……zk=xk，則上式可化為標(biāo)準(zhǔn)線性回歸模型：例取k=3,令z1=x，z2=x2，z3=x3，上式變?yōu)?/p>

其中B1>0,B2>0,B3>0情形的圖形見下圖。其圖形與經(jīng)濟(jì)學(xué)中的總成本曲線相似。三元線性回歸模型第八頁，共六十九頁，2022年，8月28日第九頁，共六十九頁，2022年，8月28日K=2y=b0+b1

x+b2

x2+u

其中b1>0,b2>0和b1<0,b2<0情形的圖形分別見圖2和3。令z1=x，z2=x2，上式線性化為，

y=b0+b1z1+b2z2+u如經(jīng)濟(jì)學(xué)中的邊際成本曲線、平均成本曲線與圖相似。

第十頁，共六十九頁，2022年，8月28日圖3圖2第十一頁，共六十九頁，2022年，8月28日案例研究案例4.1.成本產(chǎn)量多項式模型擬合某企業(yè)財務(wù)經(jīng)理欲對企業(yè)的成本進(jìn)行控制，為了掌握成本與產(chǎn)量的數(shù)量關(guān)系，需要擬合一個成本函數(shù)。財務(wù)經(jīng)理搜集了10組成本與產(chǎn)量的資料，試以0.05的顯著水平擬合成本函數(shù)。（數(shù)據(jù)庫4.1）第十二頁，共六十九頁，2022年，8月28日1.繪制成本產(chǎn)量散點圖選擇二次曲線(拋物線)cost=a+bx+cx2+dx3+u第十三頁，共六十九頁，2022年，8月28日令z1=xz2=x2z3=x3

模型化為cost=a+bz1+cz2+dz3+u利用EVIEWS軟件進(jìn)行計算第十四頁，共六十九頁，2022年，8月28日2.EVIEWS運算結(jié)果VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.

C141.76676.37532222.236780Z163.477664.77860713.283720Z2-12.96150.985665-13.15010Z30.9395880.05910615.896770

R-squared0.998339

Meandependentvar

276.1AdjustedR-squared0.997509

S.D.dependentvar

65.81363S.E.ofregression3.284911

Akaikeinfocriterion

5.50573Sumsquaredresid64.74382

Schwarzcriterion

5.626764Loglikelihood-23.5287

F-statistic

1202.22Durbin-Watsonstat2.700212

Prob(F-statistic)

0第十五頁，共六十九頁，2022年，8月28日3.回歸計算結(jié)果分析：成本函數(shù)的樣本回歸方程為:調(diào)整R2,約為0.9975,說明產(chǎn)量可解釋成本變化的99.75%,擬合效果好。F統(tǒng)計量為約1202.22>F0.05(3，46)=2.84，說明解釋變量整體顯著。各回歸系數(shù)的t檢驗值均大于t0.025(46)=2.0218,表明回歸系數(shù)j均顯著不為零，能夠解釋成本的變化。第十六頁，共六十九頁，2022年，8月28日案例研究案例成本產(chǎn)量多項式模型擬合某企業(yè)財務(wù)經(jīng)理欲對企業(yè)的成本進(jìn)行控制，為了掌握成本與產(chǎn)量的數(shù)量關(guān)系，需要擬合一個成本函數(shù)。財務(wù)經(jīng)理搜集了50組成本與產(chǎn)量的資料，試以0.05的顯著水平擬合二項成本函數(shù)。(數(shù)據(jù)庫見4.成本函數(shù))第十七頁，共六十九頁，2022年，8月28日1.繪制成本產(chǎn)量散點圖選擇二次曲線(拋物線):y=a+bx+bx2+u第十八頁，共六十九頁，2022年，8月28日2.eviews運算結(jié)果VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.C122.77947.0248717.477810X-0.125540.009926-12.6480Z4.40E-053.33E-0613.208330R-squared0.791443

Meandependentvar

42.0872AdjustedR-squared0.782568

S.D.dependentvar

11.95626S.E.ofregression5.575155

Akaikeinfocriterion

6.332642Sumsquaredresid1460.87

Schwarzcriterion

6.447363Loglikelihood-155.316

F-statistic

89.17903Durbin-Watsonstat2.071888

Prob(F-statistic)

0第十九頁，共六十九頁，2022年，8月28日3.回歸計算結(jié)果分析：成本函數(shù)的樣本回歸方程為:調(diào)整R2,約為0.78,說明產(chǎn)量與產(chǎn)量平方這兩個變量可解釋成本變化的78%，而其余的22%變動要由其他因素的影響來解釋。F統(tǒng)計量為約89.17，根據(jù)F統(tǒng)計量得到的P值近似為0，遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于顯著水平0.05，說明回歸方程有效?；貧w系數(shù)的t檢驗值及p值表明回歸系數(shù)顯著不為零，能夠解釋成本的變化。第二十頁，共六十九頁，2022年，8月28日對成本函數(shù)求導(dǎo),得到邊際成本函數(shù)估計式:當(dāng)x=2784.09時,邊際成本為0.當(dāng)x>2784.09時,邊際成本>0,呈上升趨勢當(dāng)x<2784.09時,邊際成本<0,遞減第二十一頁，共六十九頁，2022年，8月28日2.雙曲線函數(shù)模型模型形式設(shè)z=1/x,則上式化為：第二十二頁，共六十九頁，2022年，8月28日平均固定成本Y與產(chǎn)出X關(guān)系B1經(jīng)濟(jì)理論隨X增加，Y逐漸降低，最后接近B1第二十三頁，共六十九頁，2022年，8月28日恩格爾消費曲線：消費者在某一商品上支出與其總收入或總消費支出的關(guān)系B1第二十四頁，共六十九頁，2022年，8月28日【例4.2】

調(diào)查某地區(qū)20個家庭用于電腦、旅游的支出y和家庭可支配收入x的數(shù)據(jù)如下（單位:萬元）,要求擬合恰當(dāng)?shù)幕貧w模型。1.首先擬合散點圖第二十五頁，共六十九頁，2022年，8月28日根據(jù)圖形，考慮建立回歸模型：

令則上式化為：利用Eviews回歸第二十六頁，共六十九頁，2022年，8月28日DependentVariable:YMethod:LeastSquaresDate:11/10/10Time:21:00Sample:120Includedobservations:20VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.C6.1576830.17471335.244460.0000Z-17.612301.014160-17.366380.0000R-squared0.943678

Meandependentvar3.750500AdjustedR-squared0.940549

S.D.dependentvar1.950734S.E.ofregression0.475639

Akaikeinfocriterion1.446324Sumsquaredresid4.072183

Schwarzcriterion1.545897Loglikelihood-12.46324

F-statistic301.5913Durbin-Watsonstat1.689790

Prob(F-statistic)0.000000第二十七頁，共六十九頁，2022年，8月28日估計方程為

第二十八頁，共六十九頁，2022年，8月28日例題美國菲利普斯曲線的研究

菲利普斯曲線是反映貨幣工資變動率（或通貨膨脹率）與失業(yè)率之間變動關(guān)系的一條曲線，現(xiàn)利用1958年－1969年美國小時收入指數(shù)的百分比（y)與失業(yè)率，建立1958－1969年美國的菲利普斯曲線。1.作出散點圖（見數(shù)據(jù)）：近似倒數(shù)曲線選用模型：y=a+b(1/x)＋u轉(zhuǎn)第二十九頁，共六十九頁，2022年，8月28日散點圖第三十頁，共六十九頁，2022年，8月28日2.計算結(jié)果VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.

1/x20.587884.6794824.3996070.0013C-0.259441.00864-0.257210.8022

R-squared0.65936

Meandependentvar

4.066667AdjustedR-squared0.625296

S.D.dependentvar

1.271601S.E.ofregression0.778386

Akaikeinfocriterion

2.487823Sumsquaredresid6.058842

Schwarzcriterion

2.56864Loglikelihood-12.9269

F-statistic

19.35654Durbin-Watsonstat0.639368

Prob(F-statistic)

0.001336第三十一頁，共六十九頁，2022年，8月28日3.方程檢驗回歸方程為：擬合度檢驗表明，自變量失業(yè)率可以解釋工資增長率變動的62.5％。方程的F檢驗表明，在0.01的顯著性水平下，方程是極顯著的。系數(shù)的t檢驗說明，在0.01的顯著性水平下，1/x系數(shù)也是極顯著的。第三十二頁，共六十九頁，2022年，8月28日4.結(jié)果分析結(jié)果說明在1958－1969年之間，美國的收入指數(shù)與失業(yè)率程倒數(shù)關(guān)系，隨著失業(yè)率的增加，工資率減少，且減少的幅度依賴于失業(yè)率。第三十三頁，共六十九頁，2022年，8月28日3.對數(shù)函數(shù)模型半對數(shù)模型：經(jīng)濟(jì)學(xué)中半對數(shù)模型常用來對增長率問題進(jìn)行研究,如人口增長率,GDP增長率,商品需求增長率等.化為線性模型:令lny=z或lnx=t上式化為：第三十四頁，共六十九頁，2022年，8月28日回歸系數(shù)的意義:(1)式中:x每變動1個單位,y將變動100特別地：當(dāng)x為時間變量時,則系數(shù)衡量了y的年增長速度.所以該模型也常稱為符合增長率模型

(2)式中,,表示x每變動1％時，,y將變動個單位。第三十五頁，共六十九頁，2022年，8月28日【例4.3】以企業(yè)研發(fā)支出（R&D）占銷售額的比重為被解釋變量（Y），以企業(yè)銷售額（X1）與利潤占銷售額的比重（X2）為解釋變量，一個有32容量的樣本企業(yè)的估計結(jié)果如下：其中括號中為系數(shù)估計值的標(biāo)準(zhǔn)差。（1）解釋log(X1)的系數(shù)。如果X1增加10%，估計Y會變化多少個百分點？這在經(jīng)濟(jì)上是一個很大的影響嗎？（2）針對R&D強度隨銷售額的增加而提高這一備擇假設(shè)，檢驗它不隨X1而變化的假設(shè)。分別在5%和10%的顯著性水平上進(jìn)行這個檢驗。第三十六頁，共六十九頁，2022年，8月28日（3）利潤占銷售額的比重X2對R&D強度Y是否在統(tǒng)計上有顯著的影響？解:（1）log(x1)的系數(shù)表明在其他條件不變時，x1變化1％，Y變化的單位數(shù)；換言之，當(dāng)企業(yè)銷售X1增長1%時，企業(yè)研發(fā)支出占銷售額的比重Y會增加0.0032個單位。由此，如果X1增加10%，Y會增加0.032個單位。這在經(jīng)濟(jì)上不是一個較大的影響。第三十七頁，共六十九頁，2022年，8月28日（3）對X2，參數(shù)估計值的t統(tǒng)計值為t=0.05/0.46=1.087，它比在10%的顯著性水平下的臨界值(t0.05(29)=1.69913)還小，因此可以認(rèn)為它對Y在統(tǒng)計上沒有顯著的影響。第三十八頁，共六十九頁，2022年，8月28日雙對數(shù)模型：則有在對數(shù)線性模型中，1度量了y關(guān)于x的彈性,稱作彈性系數(shù)。它表示x變動1%,y將變動1%.=對于線性模型，y=0+1x1+u，1稱作邊際系數(shù)

第三十九頁，共六十九頁，2022年，8月28日

【例4.4】1970-1980年美國的咖啡消費與價格的數(shù)據(jù)如下，要求擬合回歸模型。有關(guān)價格彈性問題研究解:作散點圖考慮建立回歸模型：第四十頁，共六十九頁，2022年，8月28日令y1=lnyx1=lnx則y1=α+?x1+μEviews回歸結(jié)果DependentVariable:Y1Method:LeastSquaresSample:19701980Includedobservations:11VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.C0.7774180.01524251.004550.0000X1-0.2530460.049374-5.1250860.0006R-squared0.744800

Meandependentvar0.787284AdjustedR-squared0.716445

S.D.dependentvar0.094174S.E.ofregression0.050148

Akaikeinfocriterion-2.984727Sumsquaredresid0.022633

Schwarzcriterion-2.912383Loglikelihood18.41600

F-statistic26.26651Durbin-Watsonstat0.680136

Prob(F-statistic)0.000624第四十一頁，共六十九頁，2022年，8月28日估計方程為：方程檢驗:a=0.05A:擬合度檢驗.說明自變量的對數(shù)能解釋因變量變差的74.48%,其余可由其他變量解釋B;F=26.27,PF=0.00006<0.05.方程較為顯著C:Lnx的t值=5.125對應(yīng)的P=0.0006<0.05.所以系數(shù)較為顯著不為零第四十二頁，共六十九頁，2022年，8月28日

從上述結(jié)果可以看到，咖啡的價格彈性系數(shù)是-0.253,意味著咖啡的價格每提高1%,對咖啡的需求量平均減少0.253%。由于彈性系數(shù)的絕對值小于1，所以認(rèn)為咖啡是缺乏價格彈性的。第四十三頁，共六十九頁，2022年，8月28日多元雙對數(shù)線形回歸模型

如三元偏彈性系數(shù)偏彈性系數(shù)的統(tǒng)計含義:第四十四頁，共六十九頁，2022年，8月28日例題4.5Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)其形式是其中：Q代表產(chǎn)出；L代表勞動；K代表資本;u為隨機(jī)項，其他為參數(shù)線性化：兩邊同時取對數(shù)設(shè)y=lnQ,a=lnA,x1=lnL,x2=lnK,則上式為：用OLS法估計后，再返回到原模型。α分別稱為勞動與資本的產(chǎn)出彈性。

α的經(jīng)濟(jì)含義第四十五頁，共六十九頁，2022年，8月28日α+=1，稱模型為規(guī)模報酬不變型；表明生產(chǎn)效率并不會隨著生產(chǎn)規(guī)模的擴(kuò)大而提高，只有提高技術(shù)水平，才會提高經(jīng)濟(jì)效益。α+>1，稱模型為規(guī)模報酬遞增型；表明按現(xiàn)有技術(shù)用擴(kuò)大生產(chǎn)規(guī)模來增加產(chǎn)出是有利的。α+<1，稱模型為規(guī)模報酬遞減型。表明按現(xiàn)有技術(shù)用擴(kuò)大生產(chǎn)規(guī)模來增加產(chǎn)出是得不償失的第四十六頁，共六十九頁，2022年，8月28日根據(jù)柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)可得到下列經(jīng)濟(jì)參數(shù)①勞動力邊際生產(chǎn)力

②資產(chǎn)邊際生產(chǎn)力表示在資產(chǎn)不變時增加單位勞動力所增加的產(chǎn)值表示在勞動力不變時增加單位資產(chǎn)所增加的產(chǎn)值。③產(chǎn)出彈性系數(shù)⑤資產(chǎn)產(chǎn)出彈性系數(shù)

第四十七頁，共六十九頁，2022年，8月28日柯布—道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)采用的邊際分析方法，可用于分析要素投入對產(chǎn)量（產(chǎn)出）的貢獻(xiàn)率、規(guī)模收益和其他系列問題。是生產(chǎn)函數(shù)中應(yīng)用廣泛的一種。第四十八頁，共六十九頁，2022年，8月28日案例1臺灣農(nóng)業(yè)生產(chǎn)效率評價用臺灣1958-1972年農(nóng)業(yè)生產(chǎn)總值（y），勞動力（x1），資本投入（x2）數(shù)據(jù)為樣本得估計模型，

ln^y=-3.4+1.50Lnx1+0.49Lnx2(2.78)(4.80)

R2=0.89,調(diào)整的R2

＝0.821

F=48.45第四十九頁，共六十九頁，2022年，8月28日1統(tǒng)計檢驗樣本的調(diào)整決定系數(shù)為0.821，說明勞動投入（對數(shù)）與資本投入（對數(shù)）對產(chǎn)出（對數(shù)）的解釋能力為82.1％，擬合效果良好。方程的F及T檢驗表明，回歸方程以及系數(shù)均是顯著有意義的2.意義解釋：b1=1.5為勞動的投入的彈性，表明在資本投入不變的情況下，勞動投入每增加1個百分點，產(chǎn)出平均將增加1.5％。b2=0.49為資本的產(chǎn)出彈性，表明在勞動投入不變得條件下，資本投入每增加1%，產(chǎn)出將平均增加0.49％。3.因為1.50+0.49=1.99，所以此生產(chǎn)函數(shù)屬規(guī)模報酬遞增函數(shù)。它表明當(dāng)勞動力和資本投入都增加1%時，產(chǎn)出增加1.99%。說明臺灣經(jīng)濟(jì)的特征是規(guī)模報酬遞增的。第五十頁，共六十九頁，2022年，8月28日例2天津市工業(yè)生產(chǎn)總值模型用天津市工業(yè)生產(chǎn)總值（Y），職工人數(shù)（L），固定資產(chǎn)凈值與流動資產(chǎn)平均余額（K）數(shù)據(jù)(1949-1997)為樣本得估計模型如下：

Ln^Y=0.7272+0.2587LnL+0.6986LnK(3.12)(3.08)(18.75)調(diào)整R2=0.92,s.e.=0.17,DW=0.42,F=1381.41，統(tǒng)計檢驗（略）2.結(jié)果解釋（略）因為0.2587+0.6986=0.9573，所以此生產(chǎn)函數(shù)基本屬于規(guī)模報酬不變函數(shù)。第五十一頁，共六十九頁，2022年，8月28日

表給出了1960-1982年7個oecd國家的最終能源需求（Y）、實際GDP（X2)、實際能源價格（X3）的指數(shù)數(shù)據(jù)。所有指數(shù)均以1970年為基數(shù)（1970=100）。利用雙對數(shù)模型進(jìn)行分析。例3能源需求研究

第五十二頁，共六十九頁，2022年，8月28日利用eviews計算得:VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.C1.5486520.09082317.051410Z20.9971820.01925851.779450Z3-0.3314290.024495-13.53060R-squared0.994041

Meandependentvar4.412121AdjustedR-squared0.993445

S.D.dependentvar0.224141S.E.ofregression0.018147

Akaikeinfocriterion-5.059507Sumsquaredresid0.006586

Schwarzcriterion-4.911399Loglikelihood61.18433

F-statistic1668.121Durbin-Watsonstat0.805351

Prob(F-statistic)0第五十三頁，共六十九頁，2022年，8月28日方程為:

(17.05)(51.77)(-13.53)

檢驗:經(jīng)濟(jì)意義檢驗:能源需求與收入正相關(guān),與實際價格負(fù)相關(guān),與理論相符合調(diào)整的決定系數(shù)為0.993.,說明兩個自變量對數(shù)聯(lián)合起來可以解釋因變量對數(shù)變化的99.3%,擬和效果好.F=1668.1.pf=0.000<0.01,,方程顯著t2=51.77,p2=0.000<0.01,t3=-13.53,p3=0.000<0.01說明兩個變量前的系數(shù)顯著不為0.收入與能源價格對需求有很強的影響第五十四頁，共六十九頁，2022年，8月28日結(jié)果說明分析表明,能源需求與收入正相關(guān),與實際價格負(fù)相關(guān),且收入彈性約為0.99,價格彈性約為-0.33.這說明在其他變量不變的情況下，收入每增加1%,對能源的需求量平均增加0.99%;同樣在其他變量不變的情況下，價格每增加1%,對能源的需求量平均降低0.33%.由于這個系數(shù)小于1,可認(rèn)為能源需求對價格是缺乏彈性的.第五十五頁，共六十九頁，2022年，8月28日二、非線性模型的標(biāo)準(zhǔn)線性化1.指數(shù)函數(shù)模型

對上式等號兩側(cè)同取自然對數(shù)，得

lny=Lna+bx+u

令lny=y*,lna=a*,

則

y*=a*+bx+u

第五十六頁，共六十九頁，2022年，8月28日第五十七頁，共六十九頁，2022年，8月28日

2.龔伯斯（Gompertz）曲線英國統(tǒng)計學(xué)家和數(shù)學(xué)家最初提出把該曲線作為控制人口增長的一種數(shù)學(xué)模型，此模型可用來描述一項新技術(shù)，一種新產(chǎn)品的發(fā)展過程。曲線的數(shù)學(xué)形式是

線性化過程如下：當(dāng)k給定時，第五十八頁，共六十九頁，2022年，8月28日令y*=Ln[Ln(k/y)],b*=Lnb，則

y*=b*-at上式可用最小二乘法估計b*和a。第五十九頁，共六十九頁，2022年，8月28日綜合:見上章3.10

關(guān)于中國旅游外匯收入影響因素分析首先要確定影響中國旅游外匯收入的重要因素。顯然外國和港澳臺地區(qū)來中國大陸旅游的人數(shù)是決定旅游外匯收入的重要因素。此外，中國大陸的涉外酒店數(shù)、中國涉外航空線路條數(shù)等也是決定旅游外匯收入的重要因素。出于資料收集的方便，從《中國統(tǒng)計年鑒》中得到中國旅游外匯收入（y），外國游客人數(shù)（x1），涉外酒店數(shù)（x2）數(shù)據(jù)見表3.3。第六十頁，共六十九頁，2022年，8月28日首先通過散點圖觀察,與的關(guān)系，可發(fā)現(xiàn)y與x1、x2基本上呈線性關(guān)系。所以，試建立二元線性回歸模型

第六十一頁，共六十九頁，2022年，8月28日利用EViews軟件得以下結(jié)果:第六十二頁，共六十九頁，2022年，8月28日樣本回歸方程為第六十三頁，共六十九頁，2022年，8月28日修正第六十四頁，共六十九頁，2022年，8月28日VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.Z