連續(xù)系統(tǒng)的域分析

連續(xù)系統(tǒng)的域分析演示文稿當(dāng)前1頁，總共49頁。（優(yōu)選）連續(xù)系統(tǒng)的域分析.當(dāng)前2頁，總共49頁?！?.1拉普拉斯變換

從傅里葉變換到拉普拉斯變換

收斂域

(單邊)拉普拉斯變換

常見函數(shù)的拉普拉斯變換

單邊拉氏變換與傅里葉變換的關(guān)系當(dāng)前3頁，總共49頁。一、從傅里葉變換到拉普拉斯變換有些函數(shù)不滿足絕對可積條件，求解傅里葉變換困難。為此，可用一衰減因子e-t(為實常數(shù)）乘信號f(t)，適當(dāng)選取的值，使乘積信號f(t)e-t當(dāng)t∞時信號幅度趨近于0，從而使f(t)e-t的傅里葉變換存在。相應(yīng)的傅里葉逆變換為f(t)e-t=Fb(+j)=?[f(t)e-t]=令s=+j,d=ds/j，有當(dāng)前4頁，總共49頁。定義雙邊拉普拉斯變換對Fb(s)稱為f(t)的雙邊拉氏變換（或象函數(shù)），f(t)稱為Fb(s)的雙邊拉氏逆變換（或原函數(shù)）。當(dāng)前5頁，總共49頁。二、收斂域只有選擇適當(dāng)?shù)闹挡拍苁狗e分收斂，信號f(t)的雙邊拉普拉斯變換存在。

使f(t)拉氏變換存在的取值范圍稱為Fb(s)的收斂域。下面舉例說明Fb(s)收斂域的問題。當(dāng)前6頁，總共49頁。例1因果信號f1(t)=et

(t)，求拉氏變換。解可見，對于因果信號，僅當(dāng)Re[s]=>時，其拉氏變換存在。收斂域如圖所示。收斂域收斂邊界當(dāng)前7頁，總共49頁。例2反因果信號f2(t)=et(-t)，求拉氏變換。解可見，對于反因果信號，僅當(dāng)Re[s]=<時，其拉氏變換存在。收斂域如圖所示。當(dāng)前8頁，總共49頁。例3雙邊信號求其拉普拉斯變換。

求其拉普拉斯變換。解其雙邊拉普拉斯變換Fb(s)=Fb1(s)+Fb2(s)僅當(dāng)>時，其收斂域為<Re[s]<的一個帶狀區(qū)域，如圖所示。當(dāng)前9頁，總共49頁。例4求下列信號的雙邊拉普拉斯變換。

f1(t)=e-3t(t)+e-2t(t)

f2(t)=–e-3t(–t)–e-2t(–t)

f3(t)=e-3t(t)–e-2t(–t)解Re[s]=>–2Re[s]=<–3–3<<–2可見，象函數(shù)相同，但收斂域不同。雙邊拉氏變換必須標(biāo)出收斂域。當(dāng)前10頁，總共49頁。通常遇到的信號都有初始時刻，不妨設(shè)其初始時刻為坐標(biāo)原點。這樣，t<0時，f(t)=0。從而拉氏變換式寫為稱為單邊拉氏變換。簡稱拉氏變換。其收斂域一定是Re[s]>，可以省略。本課程主要討論單邊拉氏變換。當(dāng)前11頁，總共49頁。三、單邊拉氏變換簡記為F(s)=￡

[f(t)]

f(t)=￡-1[F(s)]或

f(t)←→F(s)當(dāng)前12頁，總共49頁。四、常見函數(shù)的拉普拉斯變換1、(t)←→1，>-∞2、(t)或1←→1/s，>03、指數(shù)函數(shù)e-s0t←→>-Re[s0]cos0t=(ej0t+e-j0t)/2←→sin0t=(ej0t–e-j0t)/2j←→當(dāng)前13頁，總共49頁。§5.2拉普拉斯變換性質(zhì)

線性性質(zhì)

尺度變換

時移特性

復(fù)頻移特性

時域微分

時域積分

卷積定理

s域微分

s域積分

初值定理

終值定理當(dāng)前14頁，總共49頁。一、線性性質(zhì)若f1(t)←→F1(s)Re[s]>1,f2(t)←→F2(s)Re[s]>2則a1f1(t)+a2f2(t)←→a1F1(s)+a2F2(s)Re[s]>max(1,2)例1

f(t)=(t)+(t)←→1+1/s，>0當(dāng)前15頁，總共49頁。二、尺度變換若f(t)←→F(s),Re[s]>0，且有實數(shù)a>0，則f(at)←→證明：當(dāng)前16頁，總共49頁。三、時移特性若f(t)

<----->F(s),Re[s]>0,且有實常數(shù)t0>0,則f(t-t0)(t-t0)<----->e-st0F(s),Re[s]>0

與尺度變換相結(jié)合f(at-t0)(at-t0)←→例1:求如圖信號的單邊拉氏變換。解：f1(t)=(t)–(t-1)，f2(t)=(t+1)–(t-1)F1(s)=當(dāng)前17頁，總共49頁。例2:已知f1(t)←→F1(s),求f2(t)←→F2(s)解：

f2(t)=f1(0.5t)–f1[0.5(t-2)]f1(0.5t)←→2F1(2s)f1[0.5(t-2)]←→2F1(2s)e-2sf2(t)←→2F1(2s)(1–e-2s)當(dāng)前18頁，總共49頁。四、復(fù)頻移（s域平移）特性若f(t)←→F(s),Re[s]>0,且有復(fù)常數(shù)sa=a+ja,則f(t)esat←→F(s-sa),Re[s]>0+a

例1:已知因果信號f(t)的象函數(shù)F(s)=求e-tf(3t-2)的象函數(shù)。解：e-tf(3t-2)←→當(dāng)前19頁，總共49頁。五、時域的微分特性（微分定理）若f(t)←→F(s),Re[s]>0,則f’(t)←→sF(s)–f(0-)推廣：證明：當(dāng)前20頁，總共49頁。六、時域積分特性（積分定理）證明：①②①②當(dāng)前21頁，總共49頁。例1:t2(t)<---->?當(dāng)前22頁，總共49頁。七、卷積定理時域卷積定理若因果函數(shù)f1(t)←→F1(s),Re[s]>1,

f2(t)←→F2(s),Re[s]>2則f1(t)*f2(t)←→F1(s)F2(s)復(fù)頻域（s域）卷積定理

當(dāng)前23頁，總共49頁。八、s域微分和積分若f(t)←→F(s),Re[s]>0,則例1：t2e-2t(t)←→

?e-2t(t)←→

1/(s+2)t2e-2t(t)←→當(dāng)前24頁，總共49頁。例2：當(dāng)前25頁，總共49頁。九、初值定理和終值定理初值定理和終值定理常用于由F(s)直接求f(0+)和f(∞），而不必求出原函數(shù)f(t)初值定理設(shè)函數(shù)f(t)不含(t)及其各階導(dǎo)數(shù)則終值定理若f(t)當(dāng)t→∞時存在，并且f(t)←→F(s),Re[s]>0,0<0，則當(dāng)前26頁，總共49頁。舉例例1：當(dāng)前27頁，總共49頁?！?.3拉普拉斯逆變換直接利用定義式求反變換---復(fù)變函數(shù)積分，比較困難。通常的方法:（1）查表（2）利用性質(zhì)（3）部分分式展開-----結(jié)合若象函數(shù)F(s)是s的有理分式，可寫為若m≥n（假分式）,可用多項式除法將象函數(shù)F(s)分解為有理多項式P(s)與有理真分式之和。當(dāng)前28頁，總共49頁。由于L-1[1]=(t)，

L

-1[sn]=(n)(t)，故多項式P(s)的拉普拉斯逆變換由沖激函數(shù)構(gòu)成。下面主要討論有理真分式的情形。當(dāng)前29頁，總共49頁。一、零、極點的概念若F(s)是s的實系數(shù)有理真分式（m<n)，則可寫為分解零點極點當(dāng)前30頁，總共49頁。二、拉氏逆變換的過程求F(s)的極點將F(s)展開為部分分式查變換表求出原函數(shù)f(t)當(dāng)前31頁，總共49頁。部分分式展開1.第一種情況：單階實數(shù)極點當(dāng)前32頁，總共49頁。單階實極點舉例(1)求極點(2)展為部分分式(3)逆變換求系數(shù)當(dāng)前33頁，總共49頁。假分式情況：作長除法當(dāng)前34頁，總共49頁。第二種情況：極點為共軛復(fù)數(shù)共軛極點出現(xiàn)在

當(dāng)前35頁，總共49頁。求f(t)=2|K1|e-tcos(t+)(t)當(dāng)前36頁，總共49頁。共軛極點舉例當(dāng)前37頁，總共49頁。第三種情況：有重根存在如何求K2?當(dāng)前38頁，總共49頁。K2的求法當(dāng)前39頁，總共49頁。逆變換當(dāng)前40頁，總共49頁。一般情況求K11，方法同第一種情況：求其他系數(shù)，要用下式當(dāng)前41頁，總共49頁。舉例當(dāng)前42頁，總共49頁。當(dāng)前43頁，總共49頁?！?.4復(fù)頻域分析一、微分方程的變換解描述n階系統(tǒng)的微分方程的一般形式為系統(tǒng)的初始狀態(tài)為y(0-),y(1)(0-),…，y(n-1)(0-)。思路：用拉普拉斯變換微分特性若f(t)在t=0時接入系統(tǒng)，則f(j)(t)←→sjF(s)當(dāng)前44頁，總共49頁。

y(t)，yzi(t)，yzs(t)s域的代數(shù)方程當(dāng)前45頁，總共49頁。舉例例1描述某LTI系統(tǒng)的微分方程為

y"(t)+5y'(t)+6y(t)=2f'(t)+6f(t)已知初始狀態(tài)y(0-)=1，y'(0-)=-1，激勵f(t)=5cost(t)，求系統(tǒng)的全響應(yīng)y(t)解：方程取拉氏變換，并整理得Yzi(s)Yzs(s)當(dāng)前46頁，總共49頁。y(t)=2e–2t(t)

–e–3t(t)

-4e–2t(t)

+yzi(t)yzs(t)暫態(tài)分量yt(t)穩(wěn)態(tài)分量ys(t)當(dāng)前47頁，總共49頁。二、系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)H(s)定義為它只與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、元件參數(shù)有關(guān)，而與激勵、初始狀態(tài)無關(guān)。yzs(t)=h(t)*f(t)H(s)=L[h(t)]Yzs(s)=L

[h(t)]F(s)當(dāng)前48頁，總共49頁。例2已知當(dāng)輸入f(t)=e-t(t)時，某LTI因果系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)=(3e-t-4e-2t