第五章插值型數(shù)值微分與數(shù)值積分

第五章插值型數(shù)值微分與數(shù)值積分第一頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日5.1插值型數(shù)值微分公式

故一般限于對(duì)節(jié)點(diǎn)上的導(dǎo)數(shù)值采用插值多項(xiàng)式的相應(yīng)導(dǎo)數(shù)值進(jìn)行近似計(jì)算，以便估計(jì)誤差。

這類公式稱為插值型數(shù)值微分公式。

當(dāng)x為插值節(jié)點(diǎn)xi

時(shí)，上式簡(jiǎn)化為

一般地

第二頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日

常用的數(shù)值微分公式

即

1.兩點(diǎn)公式(n=1)

這稱為兩點(diǎn)公式。第三頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日兩點(diǎn)公式的截?cái)嗾`差為這里第四頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日2.三點(diǎn)公式(n=2)

這稱為三點(diǎn)公式，其中（5—4b）又稱為中點(diǎn)公式。

第五頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日三點(diǎn)公式的截?cái)嗾`差為這里第六頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日進(jìn)一步由可得計(jì)算公式

第七頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日為估計(jì)二階導(dǎo)數(shù)數(shù)值微分公式的誤差，可設(shè)f(x)四階連續(xù)可微，故得從而得到誤差估計(jì)式二階導(dǎo)數(shù)的截?cái)嗾`差第八頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日例1：已知列表x2.52.552.602.652.70y1.581141.596871.612451.627881.64317解:h=0.05第九頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日

例5.1為計(jì)算在x=2處的一階導(dǎo)數(shù)值，我們可選用中點(diǎn)公式當(dāng)計(jì)算保留四位小數(shù)時(shí)，得到計(jì)算結(jié)果如表5-1(書103頁(yè)）。

而精確值為，可見當(dāng)h=0.1時(shí)近似結(jié)果最好，步長(zhǎng)太大或太小計(jì)算效果均不好。

第十頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日5.2插值型數(shù)值積分

x0x1---xi-1xixi+1---xnf(x0)f(x1)---f(xi-1)f(xi)f(xi+1)---f(xn)2.由下列列表函數(shù)求L-插值多項(xiàng)式稱為插值型求積公式，稱為求積節(jié)點(diǎn)，稱為求積系數(shù)，其和第十一頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日

Newton-Cotes公式

則，考慮等距節(jié)點(diǎn)的情形

——牛頓-柯特斯公式Cotes系數(shù)

第十二頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日n=1,2,4的N-C公式這稱為梯形公式；幾何意義：用梯形面積代替f(x)作為曲邊的曲邊梯形面積。圖1梯形公式

ab第十三頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日這稱為Simpsion公式圖2Simpson公式

ab幾何意義：用拋物線作曲邊的曲邊梯形面積代替f(x)作為曲邊的曲邊梯形面積。第十四頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)應(yīng)于情形的Cotes系數(shù)見表5-2(書106頁(yè))。

這稱為Cotes公式。求積公式的穩(wěn)定性分析第十五頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日復(fù)合求積公式

第十六頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日當(dāng)取m=1時(shí)，稱為復(fù)合梯形公式，簡(jiǎn)記為Tn1.復(fù)合梯形公式=1為第十七頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日當(dāng)取m=2時(shí)，稱為復(fù)合Simpson公式，簡(jiǎn)記為Sn2.復(fù)合Simpson公式第十八頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日當(dāng)取m=4時(shí)，稱為復(fù)合Cotes公式，簡(jiǎn)記為Cn(公式見書107頁(yè)））3.復(fù)合Cotes公式第十九頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日

例5.2試?yán)帽?-3的函數(shù)表，分別用復(fù)合梯形公式、復(fù)合Simpson公式和復(fù)合Cotes公式計(jì)算定積分

解：1.寫出公式第二十頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日2.確定h第二十一頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日3.列表kxkf(xk)T8S4C2000.00000011711/80.110312243221/40.194700221233/80.257733243241/20.303265221455/80.334538243263/40.354275221277/80.3647542432810.367879117∑4.207046.34171247.56338第二十二頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日第二十三頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日插值型求積公式的誤差分析與步長(zhǎng)減半算法

1、求積公式的誤差記為采用插值型求積公式進(jìn)行積分近似的截?cái)嗾`差，則由多項(xiàng)式插值公式的誤差估計(jì)式（5-1）得因此，當(dāng)f(x)為次數(shù)不超過(guò)n次的多項(xiàng)式時(shí)，插值型求積公式精確成立。第二十四頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日特別地，第二十五頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日從而可得第二十六頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日為便于估計(jì)誤差，實(shí)際計(jì)算時(shí)常常采用步長(zhǎng)逐次減半的算法，下面介紹其思想。由(5-17a)得所以2、變步長(zhǎng)法則第二十七頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日類似地，可對(duì)Simpson公式和Cotes公式分別利用（5-18b）和（5-18c）進(jìn)行事后誤差估計(jì)，建立步長(zhǎng)逐次減半的算法。因此，可先用計(jì)算出T1，并把步長(zhǎng)減半算出T2，若則T2即為所求的近似值，否則再把步長(zhǎng)減半，算出T4，根據(jù)式(5-18a)進(jìn)行事后誤差估計(jì)，如此遞推計(jì)算，直到某個(gè)n滿足為止，取

為所求的近似值，這就是梯形公式的步長(zhǎng)逐次減半算法。第二十八頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日為減少計(jì)算量，需建立遞推公式，現(xiàn)對(duì)復(fù)合梯形公式推導(dǎo)之。這里對(duì)應(yīng)于新的步長(zhǎng)，對(duì)應(yīng)于新分點(diǎn)。第二十九頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日因此可建立梯形公式的步長(zhǎng)逐次減半遞推公式：第三十頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日解:第三十一頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日計(jì)算結(jié)果見下表第三十二頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日

例5.3

試用梯形公式的步長(zhǎng)逐次減半算法計(jì)算定積分

使誤差小于。解

一般的計(jì)算結(jié)果見表5-4(書112頁(yè))。第三十三頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日

龍貝格積分法

這說(shuō)明收斂較快的Simpson步長(zhǎng)減半序列可由梯形公式的步長(zhǎng)減半序列構(gòu)造生成。第三十四頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日類似地，(5-20c)稱為龍貝格（Romberg）積分公式。按以上方法可繼續(xù)外推下去，建立如下收斂較快的外推算法—龍貝格積分法（書114頁(yè)）。第三十五頁(yè)，共三十九頁(yè)