第九講卡氏定理

第九講卡氏定理第一頁，共二十四頁，2022年，8月28日上講回顧相應(yīng)位移

載荷

F作用點(diǎn)處沿載荷作用方向的位移D.

由所有載荷共同引起外力功

載荷

F

在其相應(yīng)位移

D上所作之功廣義載荷

力，力偶，一對(duì)大小相等、方向相反的力或力偶等廣義位移

線位移，角位移，相對(duì)線位移，相對(duì)角位移等應(yīng)變能

構(gòu)件因變形而儲(chǔ)存的能量（變形能）第二頁，共二十四頁，2022年，8月28日基本公式

一般物體相應(yīng)位移d:0D

線性彈性體載荷f:0Fk－線彈體在載荷作用點(diǎn)、沿其作用方向產(chǎn)生單位位移所需之力，稱為剛度系數(shù)第三頁，共二十四頁，2022年，8月28日克拉比隆定理

Fi－廣義載荷，D

i－相應(yīng)廣義位移（與加載次序無關(guān)）本定理只適用于線性彈性體第四頁，共二十四頁，2022年，8月28日

非圓截面桿或桿系：

圓截面桿或桿系：y,z軸－主形心軸第五頁，共二十四頁，2022年，8月28日功的互等定理Dij引起位移的載荷發(fā)生位移的部位兩種加載狀態(tài)功的互等定理（簡(jiǎn)單形式）第六頁，共二十四頁，2022年，8月28日先加F1，后加F2先加F2，后加F1線性彈性體的兩種加載方式與外力功：總功與加載次序無關(guān)第七頁，共二十四頁，2022年，8月28日

對(duì)于線性彈性體，F(xiàn)1在F2引起的位移D12上所作的功，等于F2在F1引起的位移D21上所作的功功的互等定理（一般形式）對(duì)于線性彈性體，第一組外力Fi在第二組外力引起的位移DiP

上所作的功，等于第二組外力Pj在第一組外力引起的位移DjF上所作的功第八頁，共二十四頁，2022年，8月28日位移互等定理位移互等定理當(dāng)F1=F2時(shí)當(dāng)F1與F2的數(shù)值相等時(shí)，F(xiàn)2在點(diǎn)1沿F1方位引起的位移D12，等于F1在點(diǎn)2沿F2方位引起的位移D21第九頁，共二十四頁，2022年，8月28日§3余能與卡氏第二定理余能概念克羅第－恩格塞定理卡氏定理例題第十頁，共二十四頁，2022年，8月28日余能概念余功與余能

ComplementaryWorkandComplementaryEnergy彈性體的余能Vc數(shù)

值上等于余功：余功的定義:第十一頁，共二十四頁，2022年，8月28日

單向應(yīng)力狀態(tài)下的余能密度為故拉壓桿與梁的余能為余能計(jì)算余能是載荷的函數(shù)對(duì)線彈體第十二頁，共二十四頁，2022年，8月28日克羅第－恩格塞定理問題：彈性結(jié)構(gòu)受n個(gè)載荷作用，求指定載荷Fk的相應(yīng)位移Δk給載荷增量余功增量余能增量第十三頁，共二十四頁，2022年，8月28日克羅第－恩格塞定理

彈性體的余能對(duì)載荷

Fk

的偏導(dǎo)數(shù)，等于該載荷的相應(yīng)位移

Dk－克羅第－恩格塞定理Crotti-Engesser’stheorem第十四頁，共二十四頁，2022年，8月28日卡氏定理線性彈性體的應(yīng)變能，對(duì)載荷

Fk的偏導(dǎo)數(shù)，等于該載荷的相應(yīng)位移

Dk

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卡氏第二定理對(duì)于線性彈性體：A.Castigliano(1847-1884)，意大利工程師。1870年入都靈工業(yè)學(xué)院，1873年提出工程師學(xué)位論文?？ㄊ系谝欢ɡ淼谑屙摚捕捻?，2022年，8月28日卡氏定理直接推導(dǎo)線彈性體受n個(gè)載荷外力功考慮兩個(gè)加載過程給載荷增量線彈性體外力功與加載次序無關(guān)第十六頁，共二十四頁，2022年，8月28日例題例3-1用卡氏定理求DBy解：（）第十七頁，共二十四頁，2022年，8月28日解：1.

分析方法施加矩為Me的力偶－附加力偶－附加力法轉(zhuǎn)角θB所對(duì)應(yīng)的載荷？EI例3-2利用卡氏定理計(jì)算qB第十八頁，共二十四頁，2022年，8月28日2.位移計(jì)算()第十九頁，共二十四頁，2022年，8月28日解：1.應(yīng)力分析例3-3利用克羅第－恩格塞定理計(jì)算

wA，第二十頁，共二十四頁，2022年，8月28日2.余能與位移計(jì)算（）第二十一頁，共二十四頁，2022年，8月28日AFFBaa例3-4圖示剛架的變形能為U，問代表什么？合力的相應(yīng)位移？A點(diǎn)合位移？解：考慮該剛架的另一載荷狀態(tài)，其變形能ABaa則第二十二頁，共二十四頁，2022年，8月28日若令則由復(fù)合求導(dǎo)法則可見