河南省焦作市2023-2024學年高二上學期1月期末考試數學試題（含答案解析）

焦作市普通高中2023—2024學年（上）高二期末考試數學考生注意：1.答題前，考生務必將自已的姓名?考生號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.拋物線的準線方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據拋物線的標準方程求解.【詳解】由拋物線得：焦點在x軸上，開口向右，p=2，所以其準線方程為，故選：B【點睛】本題主要考查拋物線的幾何性質，屬于基礎題.2.已知隨機變量，且，則（）A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4【答案】B【解析】【分析】根據題意，利用正態(tài)分布曲線的對稱性，即可求解.【詳解】根據正態(tài)分布曲線的對稱性，可得.故選：B.3.已知直線與垂直，則（）A.0 B.0或 C. D.0或【答案】B【解析】【分析】根據兩直線垂直的條件，列出等式，即可求出結果.【詳解】因為，則有，解得或，故選：B.4.今年冬天，“北上滑雪”成為熱門的度假方式，某滑雪場通過調查了解到有的游客是第一次滑雪，其他游客以前滑過雪，則從所有游客中任選四人，其中恰有兩人是第一次滑雪的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意可得四人中恰有兩人是第一次滑雪的概率為，計算即可得解.【詳解】四人中恰有兩人是第一次滑雪的概率為.故選：C.5.把2個相同的紅球?1個黃球?1個藍球放到三個盒子里，每個盒子中至少放1個球，則不同的放法種數為（）A.18 B.20 C.21 D.24【答案】C【解析】【分析】先把4個球分成3堆，得到其分法，再把球放入3個盒子里，即可得到總放法.【詳解】先把4個球分成3堆，分法有4種：(紅紅，黃，藍)?(紅黃，紅，藍)?(紅藍，紅，黃)?(紅，紅，藍黃).前3種分法，把3堆球放入3個盒子中，各有種放法，最后一種分法，把3堆球放入3個盒子中，有3種放法，所以共有種放法.故選：C6.如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，為棱的中點，且，則（）A.6 B.8 C.9 D.10【答案】A【解析】【分析】利用空間向量的基本運算及數量積公式表示出，計算即可.【詳解】底面為菱形，，,為棱的中點,，解得.故選:A.7.小明利用課余時間參與科學探究活動——觀察蒜苗的生長，下表記錄了大蒜發(fā)芽后第4天至第8天的蒜苗高度，若用最小二乘法算得蒜苗高度與時間天的線性回歸方程為，則根據回歸方程預測，從第（）天開始蒜苗高度大于.時間天45678蒜苗高度12.44.65.66.4A.15 B.16 C.17 D.18【答案】D【解析】【分析】由表中數據可得樣本中心點，代入回歸方程求出，確定回歸方程，計算得解.【詳解】由表中數據得，代入方程，解得，則回歸方程為，令，解得，因為，所以.故選：D.8.橢圓具有如下光學性質：從橢圓的一個焦點發(fā)出的光線，經過橢圓反射后，反射光線過橢圓的另一個焦點（如圖）.已知橢圓的左?右焦點分別為，過點的直線與交于點，，過點作的切線，點關于的對稱點為，若，，則（）注：表示面積.A.2 B. C.3 D.【答案】C【解析】【分析】結合橢圓性質以及光學性質得，再結合即可得解.【詳解】如圖，由橢圓的光學性質可得三點共線.設，則.故，解得.又，所以，所以.故選：C.【點睛】關鍵點睛：關鍵是充分結合光學性質以及橢圓定義，將線段長度都用來表示，由此即可順利得解.二?多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.若的展開式中各項的二項式系數之和為128，則（）A. B.項的系數為C.各項系數之和為 D.【答案】ACD【解析】【分析】根據二項式系數之和的性質即可求出，即可判斷A；根據二項式定理即可判斷B；令，即可判斷C；根據根據二項式系數的性質即可判斷D.【詳解】因為的展開式中各項的二項式系數之和為128，所有，解得，故A正確；展開式中項為，故B錯誤；令，則展開式中的各項系數之和為，故C正確；因為，所以最大，故D正確.故選：ACD.10.已知曲線，則（）A.當時，曲線是橢圓B.當時，曲線是以直線為漸近線的雙曲線C.存在實數，使得過點D.當時，直線總與曲線相交【答案】ABC【解析】【分析】A：根據的正負以及大小關系判斷；B：先表示出雙曲線方程，然后可知漸近線方程；C：代入于曲線方程，然后判斷方程是否有解即可；D：考慮時的情況.【詳解】當時，，所以方程表示的曲線是橢圓，故A正確；當時，方程為，所以，其漸近線方程為，即，故B正確；令，整理得且，此方程有解，故C正確；當時，曲線為雙曲線，直線為的一條漸近線，此時無交點，故D錯誤.故選：ABC.11.已知圓和圓，則（）A.圓與軸相切B.兩圓公共弦所在直線的方程為C.有且僅有一個點，使得過點能作兩條與兩圓都相切的直線D.兩圓的公切線段長為【答案】ACD【解析】【分析】利用圓與圓的位置關系，圓與圓的公切線條數，逐個選項分析即可.【詳解】圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑.對于A，顯然圓與軸相切，故A正確；對于B，易知兩圓相交，將方程與相減，得公共弦所在直線的方程為，故B錯誤；對于C，兩圓相交，所以兩圓的公切線只有兩條，又因為兩圓半徑不相等，所以公切線交于一點，即過點可以作出兩條與兩圓都相切的直線，故C正確；對于，因為，所以公切線段長為，故D正確.故選：ACD12.已知正方體的棱長為分別是棱和的中點，是棱上的一點，是正方形內一動點，且點到直線與直線的距離相等，則（）A.B.點到直線的距離為C.存在點，使得平面D.動點在一條拋物線上運動【答案】AD【解析】【分析】建立空間直角坐標系，選項A，利用向量法來證明線線垂直，通過計算得到，即可判斷出選項A的正誤；選項B，先計算出在方向上的投影向量的模為，再利用點到線的距離的向量法即可得出結果，從而判斷出選項的正誤；選項C，先求出平面的一個法向量為和，再判斷是否存在使，即可判斷出選項的正誤；選項D，根據條件得出點到直線的距離即點到點的距離，再利用拋物線的定義即可求出結果.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標系Axyz.對于選項A，易知，設，所以，又，得到，所以，故選項A正確；對于選項，因為，所以，又，則在方向上的投影向量的模為，又，所以點到直線的距離為，故選項B錯誤；對于選項C，設平面的一個法向量為，由選項A知，，，由，得到，取，所以平面的一個法向量為，由，得到，所以不存在點，使得平面，故選項C錯誤；對于選項D，因為平面平面，所以，所以點到直線的距離即點到點的距離，又點到直線與直線的距離相等，即點到點的距離等于點到直線的距離，又面，面，由拋物線定義知，點軌跡是以為焦點，所在直線為準線的拋物線的一部分，故選項正確，故選：AD.【點睛】關鍵點晴：本題的關鍵在于建立空間直角坐標系，利用向量法來解決線線垂直、點線距離和線面平行，對于選項D，將點線距離轉化點到點的距離，再利用拋物線的定義來解決.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知為正整數，且，則__________.【答案】5【解析】【分析】根據題意，結合排列數和組合數的公式，準確計算，即可求解.【詳解】由，根據排列數和組合數的公式，可得，解得.故答案為：.14.在空間直角坐標系中，向量，分別為異面直線的方向向量，若所成角的余弦值為，則__________.【答案】【解析】【分析】由向量夾角的余弦公式即可運算求解.【詳解】設所成的角為.由題意知，解得.故答案：.15.已知是雙曲線的左?右焦點，為上一點，且（為坐標原點），，則的離心率為__________.【答案】##【解析】【分析】根據條件得出，在中，根據條件，得到，再根據雙曲線的定義得出，即可建立等式，從而求出結果.【詳解】設雙曲線的半焦距為，則，因為，所以，在中，，所以為等邊三角形，所以，根據雙曲線定義可得，在中，由勾股定理可得，整理得，所以，解得，所以的離心率為.故答案為：.16.有甲?乙兩個魚缸，甲魚缸中有條金魚和條錦鯉，乙魚缸中有4條金魚和3條錦鯉，先從甲魚缸中隨機撈出一條魚放入乙魚缸，再從乙魚缸中隨機撈出一條魚，若從乙魚缸中撈出的是金魚的概率為，則的最小值為__________.【答案】4【解析】【分析】根據題意，利用全概率公式，列出方程求得，得到，結合基本不等式，即可求解.【詳解】由全概率公式可得，整理得，則，當且僅當時，等號成立，所以的最小值為.故答案為：.四?解答題：共70分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.近年來，直播帶貨逐漸興起，成為鄉(xiāng)村振興新動力，為了解甲?乙兩個推銷農產品的直播間的銷售情況，統(tǒng)計了兩個直播間一段時間內觀眾下單的相關數據，得到如下的表格：下單觀眾數未下單的觀眾數甲直播間12080乙直播間6080（1）分別估計甲?乙直播間的觀眾下單的概率；（2）是否有的把握認為兩個直播間觀眾的下單意愿有差異？附.0.050.010.0013.8416.63510.828【答案】17.甲乙直播間觀眾下單概率分別為，；18.有的把握認為兩個直播間觀眾的下單意愿有差異.【解析】【分析】（1）根據表格中的數據，結合古典概型的概率計算公式，即可求解；（2）根據題意，得出的列聯表，求得，結合附表，即可得到結論.【小問1詳解】解：根據表格中的數據得，估計甲直播間觀眾下單的概率為，估計乙直播間觀眾下單的概率為.【小問2詳解】解：根據題意，得到的列聯表：下單的觀眾數未下單的觀眾數合計甲直播間12080200乙直播間6080140合計180160340可得，因為，所以有把握認為兩個直播間觀眾的下單意愿有差異.18.如圖，在四棱錐中，為棱的中點，平面.（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）建立適當的空間直角坐標系，證明即可.（2）由題意先證明平面，即是平面的一個法向量.結合線面角的正弦公式即可得解.【小問1詳解】因為平面，平面，所以，又，由題可知兩兩互相垂直，所以以所在直線為軸，過與平行的直線為軸，所在直線為軸建立如圖的空間直角坐標系.又，為棱的中點，易知.所以，所以，所以.【小問2詳解】因為平面，平面，所以.由（1）知，又，平面，所以平面，即是平面的一個法向量.又因為，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為.19.已知圓，過點作圓的兩條切線，切點分別為，且.（1）求的值；（2）過點作兩條互相垂直的直線，分別與圓交于不同于點的兩點，若，求直線的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）作出圖形后利用勾股定理求解即可.（2）利用等面積法求解即可.【小問1詳解】由題意可知圓的圓心為，半徑.因為，所以，從而，即，兩邊平方整理得，又因為，所以.【小問2詳解】由（1）知圓，點在圓上，又因為，所以線段為圓的直徑，即直線過圓心，顯然直線的斜率不為0，設其方程為，點到直線的距離為.根據三角形的面積公式可得.所以，解得，所以直線的方程為或.20.某商場為了促銷組織抽獎活動，規(guī)則如下：有兩個盒子，每個盒子中均有5張卡片，其中盒的卡片中有1張是中獎卡，盒的卡片中有3張是中獎卡，抽獎時，顧客先隨機選一個盒子，再從這個盒子中任意抽取3張卡片.（1）甲參加抽獎，若已知甲選到了盒，記他抽到中獎卡的張數為，求的分布列及期望；（2）乙參加抽獎，若已知乙只抽到1張中獎卡，求乙選到了盒的概率.【答案】（1）分布列見解析，（2）【解析】【分析】（1）根據題意，得到隨機變量的所有可能取值為，結合超幾何分布的概率計算公式，求得相應的概率，列出分布列，結合期望的計算公式，即可求解；（2）根據題意，結合條件概率的計算公式，即可求解.【小問1詳解】解：由題意得，隨機變量的所有可能取值為，可得，所以的分布列為123所以期望為.【小問2詳解】解：記“乙只抽到1張中獎卡”，“乙選到了A盒”，可得，則所求的概率為.21.如圖，在斜三棱柱中，，且三棱錐的體積為.（1）求三棱柱的高；（2）若平面平面為銳角，求二面角的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據題意，結合錐體的體積公式，列出方程，即可求解；（2）過點作于點，以為坐標原點，建立空間直角坐標系，分別求得平面和平面的法向量和，結合向量的夾角公式，即可求解.【小問1詳解】解：設三棱柱的高為，因為，所以，又因為三棱錐的體積為，可得，解得，即三棱柱的高為.【小問2詳解】解：過點作于點，連接，因為平面平面，平面平面，且平面，所以平面，由（1）知，又因為為銳角，所以，在中，，所以.以為坐標原點，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，則，可得，設平面