定積分概念教學(xué)案例設(shè)計方案書

《定積分的概念》教學(xué)案例設(shè)計1教學(xué)目標(biāo)及重點難點1.1教學(xué)目知識目標(biāo)：1.通過求曲邊梯形的面積和變速直線運動的路程，了解定積分概念的實際背景意義；2.借助于幾何直觀理解定積分的基本思想，了解定積分的概念，會應(yīng)用定積分的定義求函數(shù)的定積分．理解掌握定積分的幾何意義和性質(zhì)；能力目標(biāo)：體會“以直代曲逼近代替”等數(shù)學(xué)思想.情感態(tài)度價值觀：體會定積分在實際問題中的應(yīng)用，體會數(shù)學(xué)的強大威力.1.2教學(xué)點微元法思想和定積分的基本性質(zhì)1.3教學(xué)點無限細分和無窮累積的思維方法2教學(xué)過簡錄2.1實例路，引課題教師憶前面曲邊圖形面積，變速運動的路程，變力做功等問題的解決方法，解決步驟是什么？”學(xué)生：分割→以直代曲→求和→取極限（逼近）教師對這四個步驟再以分析、理解、歸納，找出共同點師生共同歸納得出，以上兩個例子盡管來自不同領(lǐng)域，卻都歸結(jié)為求同一結(jié)構(gòu)的和式的極限.我們以后還將看到，在求變力所作的功、水壓力、某些空間體的體積等許多問題中，都會出現(xiàn)這種形式的極限，因此，有必要在數(shù)學(xué)上統(tǒng)一對它們進行研究．2.2

演示驗，直觀感知教師讓我們再次回顧解決曲邊梯形的面積的方法，體會當(dāng)中蘊含的數(shù)學(xué)思想”（教師動畫演示對曲邊梯形的分割過程）/

這是曲梯形的過剩似值的合效果，請學(xué)們再察其不足近值的動演示教師：體現(xiàn)了哪些數(shù)學(xué)思想，哪位同學(xué)說說？學(xué)生1以上對曲邊梯形的無限分割體現(xiàn)了“無限逼近”的思想。學(xué)生2還有“近似代替”的思想，用不足近似值和過剩近似值代替曲邊梯形的面積，以及“以直代曲”的思想.教師：這種求面積的方法具有普遍意義，為此，引入定積分的概念定積分的念設(shè)函數(shù)(x在區(qū)[]上有定義，任意用分x02n[a,]n個小區(qū)間，表示i個小區(qū)間的長度，在[xx]上任取一iiiii

i

，作乘積f()i和ii/

nbnnbn

f

i

)ii若max{}時，上式的極限存在則稱函數(shù)f(x)在區(qū)[,b]可積，并稱此i極限值為(x[]上的定積分，記(x即a

f(xdxlim

i

f

i

)(1)i其中f(x)稱為被積數(shù)，f)dx稱為積表達，x稱為分變量[a,]稱為積分區(qū)間a,分別稱為積下限和上許多實際問題都可用定積分表例如，若變速直線運動的速度為v(t)，則在時間區(qū)[,b]上，物體經(jīng)過的路程為

vt)dt.(2)同理，圖51示的曲邊梯形面積可表為

fx)dx

(3)=fx

iii

變力做功r)drI．x)[a,]積，是指不管對區(qū)間分劃的方式怎樣，也不管點[xx]上如何選取，只極限值總是唯一確定的.ii

i

(4)在小區(qū)間哪些函數(shù)是可積的呢？定理

在閉區(qū)[]上連續(xù)的函數(shù)必[a,]上可積；在區(qū)[b]有界且只有有限個間斷點的函數(shù)也必[,b]可積.II．定積分是一個數(shù)，只取決于被積函數(shù)與積分區(qū)間，而與積分變量的記無關(guān)，即/

f(u)duf(u)du

fx

b

f(t)．

aIII．定義定積分時已假定下a小于上，為便于應(yīng)用，規(guī)定ba時，

f(x)dxx．

f(x)．定積分的何意義I若f(x)，積分dx表示如圖所示曲邊梯形面積，即

f(x)A．特別地，當(dāng)a時

ba

f(x針對訓(xùn)：用定積分示下列形的面積兩名學(xué)生黑板板)學(xué)生：

2xdx學(xué)生：

3

隨堂檢：利用定積的幾何義求值(1)

(

(2)

2

4

2

dxy

2

x請兩名同在黑板板演，并解自己的法)/

練習(xí)：計算下列定積分練習(xí)：計算下列定積分學(xué)生（略）學(xué)生：被積函y=4-x2,表圓心在原點半為2的半圓積分計算的是半圓的半徑為的半周，此積分計算的是半圓周面積。（

xdx

（

xdx學(xué)生（略）學(xué)生（略）II．f()，則積分

f(x)表示如圖－示的曲梯形面積的值，即y

f(x．a(chǎn)bO

xyf(

x這是顯的，因為此曲邊梯各點處的高f)而不是(x)．對定積的幾何意義幾點補說明：根據(jù)定分的幾何意,如用定積分表圖中陰部分的面積?(x)

y

yx

()

)S()dx學(xué)生：可以用部分面積的表示：

O

a

b

x

xdxx)a

(f()(dxIII如果在[]上f()值有正有負，

圖積分

f(x表示介于曲yf()及

=f)直線x間各部分面的代數(shù)．在

/

bb(bb(x)dxc軸上方圖形面積減軸下方的圖形積：定積分的質(zhì)

f(xA．2根據(jù)定分的定義，難得出積分的如下質(zhì)：性質(zhì)1

1dx性質(zhì)2

kf(x

f(x

（其中k是不為0常數(shù)）定積分的線性性質(zhì)）a性質(zhì)3

f(f(x)f(x2

(x（定積分的線性性質(zhì)）性質(zhì)4

()

cb

(f)x

cbaac（定積分對積分區(qū)間的可加性）教師：你能將性質(zhì)4加性推廣到更一般的情況嗎？（學(xué)生展開討論，選取幾個油代表性的，師生共同歸納得出）說明：①推廣

[f(x)()

f()]dx

(x

f()

f()②推廣:

bc

x)dx

x)dx

b

(x)dxaa③性質(zhì)解釋：

cy

性1

y

A

性4

By=1O

a

b

x

MOa

xSA

形A

形CPNB練習(xí)：1、據(jù)定積的可加性，將下列積分

1

x2)dx

表示為學(xué)生：

1

x2)dx

00xdx2、算定積：（

（2

學(xué)生（）式表示半2.3發(fā)散考，深探索

不計算分，比較下各組積的大小(1)

xdx

,

dx

;/

(2)

xdx

,

2dx

;(3)

xdx

,

)

;(4)

sin

,

.（四名學(xué)板演，教巡視，小組共同討得出）學(xué)生10：同一區(qū)內(nèi)，函數(shù)值的，對的定積分值。學(xué)生11：一函在不同間內(nèi)的積分比較大，先看函數(shù)的正負再看區(qū)間范圍的大.教師：表更嚴謹該怎么說？學(xué)生11：該是區(qū)長度的大小.教師：廣到一般情呢？學(xué)生：若在區(qū)間[b]，f(x)，則

f(x)dx0．學(xué)生13：在區(qū)[a,]，()g(x)，

f(x)

g(x．

學(xué)生14：畫圖定值比較積區(qū)間上兩函大小,再由

f(x)

g(x即得令F(x)ln(1x),(x)

11x

,F(x)F(0)0.2.4歸納結(jié)，提升華（學(xué)生知識和