數(shù)學(xué)初二（上）期中（2021-2022）海淀區(qū)八一學(xué)校含答案

第1頁（共1頁）2021-2022學(xué)年北京市海淀區(qū)八一學(xué)校八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題3分，共16分）1．（3分）冬季奧林匹克運動會是世界規(guī)模最大的冬季綜合性運動會，每四年舉辦一屆．第24屆冬奧會將于2022年在北京和張家口舉辦．下列四個圖分別是四屆冬奧會圖標中的一部分，其中是軸對稱圖形的為（）A． B． C． D．2．（3分）下列運算正確的是（）A．x2?x3＝x6 B．x2+x2＝2x4 C．x6÷x2＝x3 D．（﹣2x）2＝4x23．（3分）已知：如圖，D、E分別在AB、AC上，若AB＝AC，AD＝AE，∠A＝60°，∠B＝25°，則∠BDC的度數(shù)是（）A．95° B．90° C．85° D．80°4．（3分）下列等式中，從左到右的變形是因式分解的是（）A．x（x﹣2）＝x2﹣2x B．（x+1）2＝x2+2x+1 C．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2） D．x+2＝x（1+）5．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分線MN交AC于點D，則∠DBC的度數(shù)是（）A．20° B．30° C．40° D．50°6．（3分）小聰在用直尺和圓規(guī)作一個角等于已知角時，具體過程是這樣的：已知：∠AOB．求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB．作法：（1）如圖，以點O為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA，OB于點C，D；（2）畫一條射線O′A′，以點O′為圓心，OC長為半徑畫弧，交O′A′于點C′；（3）以點C'為圓心，CD長為半徑畫弧，與第（2）步中所畫的弧相交于點D′；（4）過點D'畫射線O′B′，則∠A′O′B′＝∠AOB．小聰作法正確的理由是（）A．由SSS可得△O′C′D′≌△OCD，進而可證∠A′O′B′＝∠AOB B．由SAS可得△O′C′D′≌△OCD，進而可證∠A′O′B′＝∠AOB C．由ASA可得△O′C′D′≌△OCD，進而可證∠A′O′B′＝∠AOB D．由“等邊對等角”可得∠A′O′B′＝∠AOB7．（3分）如果m2+m＝5，那么代數(shù)式m（m﹣2）+（m+2）2的值為（）A．14 B．9 C．﹣1 D．﹣68．（3分）已知長方形ABCD可以按圖示方式分成九部分，在a，b變化的過程中，下面說法正確的有（）①長方形ABCD的長寬之比可能為2；②圖中存在三部分的周長之和恰好等于長方形ABCD的周長；③當長方形ABCD為正方形時，九部分都為正方形；④當長方形ABCD的周長為60時，它的面積可能為100．A．②③ B．①③ C．②③④ D．①③④二、填空題（每題2分，共16分）9．（2分）直接寫出計算結(jié)果：（2ab2）3＝．10．（2分）點M（﹣1，﹣3）關(guān)于x軸對稱的點的坐標是．11．（2分）如果等腰三角形的一個底角是80°，那么頂角是度．12．（2分）分解因式：x2﹣6x+9＝．13．（2分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝1，AB＝4，則△ABD的面積是．14．（2分）已知（a+b）2＝32，a﹣b＝2，則ab＝．15．（2分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D在BC上（不與點B，C重合）．只需添加一個條件即可證明△ABD≌△ACD，這個條件可以是（寫出一個即可）．16．（2分）如圖，已知∠MON，在邊ON上順次取點P1，P3，P5…，在邊OM上順次取點P2，P4，P6…，使得OP1＝P1P2＝P2P3＝P3P4＝P4P5…，得到等腰△OP1P2，△P1P2P3，△P2P3P4，△P3P4P5…（1）若∠MON＝30°，可以得到的最后一個等腰三角形是；（2）若按照上述方式操作，得到的最后一個等腰三角形是△P3P4P5，則∠MON的度數(shù)α的取值范圍是．三、解答題（17，18題每小題12分，19、20題每題4分，21題5分，22題4分，23題3分，24題5分，25題4分，26題6分，27題7分，共60分）17．（12分）計算：（1）6x2?3xy．（2）（3x+1）（x﹣2）．（3）（6x4﹣9x3）÷3x2．（4）（x+2y）2．18．（6分）分解因式：（1）12xyz﹣9x2y2；（2）a2m﹣25m．19．（4分）如圖，點B、E、C、F在同一條直線上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求證：AB∥DE．20．（4分）先化簡，再求值：（2a+b）（2a﹣b）﹣4a（a﹣3b），其中a＝﹣1，b＝2．21．（5分）在直角坐標系中，△ABC的三個頂點的位置如圖所示．（1）請畫出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A′B′C′（其中A′，B′，C′分別是A，B，C的對應(yīng)點，不寫畫法）；（2）直接寫出A′，B′，C′三點的坐標：（），B′（），C′（）．（3）點Q在坐標軸上，且滿足△BCQ是等腰三角形，則所有符合條件的Q點有個．22．（4分）如圖，點D、E在△ABC的BC邊上，AB＝AC，AD＝AE．求證：BD＝CE．23．（3分）如圖，某地有兩所大學(xué)和兩條交叉的公路．圖中點M，N表示大學(xué)，OA，OB表示公路，現(xiàn)計劃修建一座物資倉庫，希望倉庫到兩所大學(xué)的距離相同，到兩條公路的距離也相同，你能確定出倉庫P應(yīng)該建在什么位置嗎？請在圖中畫出你的設(shè)計．（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）24．（5分）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AC邊上一點，連接BD，EC⊥AC，且AE＝BD，AE與BC交于點F．（1）求證：CE＝AD；（2）當AD＝CF時，求證：BD平分∠ABC．25．（4分）小明在學(xué)習(xí)有關(guān)整式的知識時，發(fā)現(xiàn)一個有趣的現(xiàn)象：對于關(guān)于x的多項式x2﹣2x+3，由于x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，所以當x﹣1取任意一對互為相反數(shù)的數(shù)時，多項式x2﹣2x+3的值是相等的．例如，當x﹣1＝±1，即x＝2或0時，x2﹣2x+3的值均為3；當x﹣1＝±2，即x＝3或﹣1時，x2﹣2x+3的值均為6．于是小明給出一個定義：對于關(guān)于x的多項式，若當x﹣t取任意一對互為相反數(shù)的數(shù)時，該多項式的值相等，就稱該多項式關(guān)于x＝t對稱．例如x2﹣2x+3關(guān)于x＝1對稱．請結(jié)合小明的思考過程，運用此定義解決下列問題：（1）多項式x2﹣4x+6關(guān)于x＝對稱；（2）若關(guān)于x的多項式x2+2ax+3關(guān)于x＝4對稱，求a的值；（3）整式（x2+8x+16）（x2﹣6x+9）關(guān)于x＝對稱．26．（6分）課堂上，老師提出了這樣一個問題：如圖1，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于點D，且AB+BD＝AC．求證：∠ABC＝2∠ACB．小明的方法是：如圖2，在AC上截取AE，使AE＝AB，連接DE，構(gòu)造全等三角形來證明結(jié)論．（1）小天提出，如果把小明的方法叫做“截長法”，那么還可以用“補短法”通過延長線段AB構(gòu)造全等三角形進行證明．輔助線的畫法是：延長AB至F，使BF＝，連接DF．請補全小天提出的輔助線的畫法，并在圖1中畫出相應(yīng)的輔助線；（2）小蕓通過探究，將老師所給的問題做了進一步的拓展，給同學(xué)們提出了如下的問題：如圖3，點D在△ABC的內(nèi)部，AD，BD，CD分別平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，且AB+BD＝AC．求證：∠ABC＝2∠ACB．請你解答小蕓提出的這個問題；（3）小東將老師所給問題中的一個條件和結(jié)論進行交換，得到的命題如下：如果在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，點D在邊BC上，AB+BD＝AC，那么AD平分∠BAC．小東判斷這個命題也是真命題，老師說小東的判斷是正確的．請你利用圖4對這個命題進行證明．27．（7分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線l經(jīng)過點M（3，0），且平行于y軸．給出如下定義：點P（x，y）先關(guān)于y軸對稱得點P1，再將點P1關(guān)于直線l對稱得點P′，則稱點P′是點P關(guān)于y軸和直線l的二次反射點．（1）已知A（﹣4，0），B（﹣2，0），C（﹣3，1），則它們關(guān)于y軸和直線l的二次反射點A′，B′，C′的坐標分別是；（2）若點D的坐標是（a，0），其中a＜0，點D關(guān)于y軸和直線l的二次反射點是點D′，求線段DD′的長；（3）已知點E（4，0），點F（6，0），以線段EF為邊在x軸上方作正方形EFGH，若點P（a，1），Q（a+1，1）關(guān)于y軸和直線l的二次反射點分別為P′，Q′，且線段P′Q′與正方形EFGH的邊有公共點，求a的取值范圍．

2021-2022學(xué)年北京市海淀區(qū)八一學(xué)校八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（每題3分，共16分）1．（3分）冬季奧林匹克運動會是世界規(guī)模最大的冬季綜合性運動會，每四年舉辦一屆．第24屆冬奧會將于2022年在北京和張家口舉辦．下列四個圖分別是四屆冬奧會圖標中的一部分，其中是軸對稱圖形的為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解．【解答】解：A、不是軸對稱圖形，故本選項不合題意；B、不是軸對稱圖形，故本選項不合題意；C、不是軸對稱圖形，故本選項不合題意；D、是軸對稱圖形，故本選項符合題意．故選：D．【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．2．（3分）下列運算正確的是（）A．x2?x3＝x6 B．x2+x2＝2x4 C．x6÷x2＝x3 D．（﹣2x）2＝4x2【分析】選項A根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則判斷即可，同底數(shù)冪的乘法法則：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加；選項B根據(jù)合并同類項法則判斷即可，合并同類項的法則：把同類項的系數(shù)相加，所得結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變；選項C根據(jù)同底數(shù)冪的除法法則判斷即可，同底數(shù)冪的除法法則：底數(shù)不變，指數(shù)相減；選項D根據(jù)冪的乘方與積的乘方運算法則判斷即可，冪的乘方法則：底數(shù)不變，指數(shù)相乘；積的乘方法則：把每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘．【解答】解：A．x2?x3＝x5，故本選項不合題意；B．x2+x2＝2x2，故本選項不合題意；C．x6÷x2＝x4，故本選項不合題意；D．（﹣2x）2＝4x2，故本選項符合題意；故選：D．【點評】本題考查了合并同類項，同底數(shù)冪的乘除法以及冪的乘方與積的乘方，掌握相關(guān)運算法則是解答本題的關(guān)鍵．3．（3分）已知：如圖，D、E分別在AB、AC上，若AB＝AC，AD＝AE，∠A＝60°，∠B＝25°，則∠BDC的度數(shù)是（）A．95° B．90° C．85° D．80°【分析】根據(jù)SAS證△ABE≌△ACD，推出∠C＝∠B，求出∠C的度數(shù)，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得出∠BDC＝∠A+∠C，代入求出即可．【解答】解：在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴∠C＝∠B，∵∠B＝25°，∴∠C＝25°，∵∠A＝60°，∴∠BDC＝∠A+∠C＝85°，故選：C．【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定和三角形的外角性質(zhì)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出∠C的度數(shù)和得出∠BDC＝∠A+∠C．4．（3分）下列等式中，從左到右的變形是因式分解的是（）A．x（x﹣2）＝x2﹣2x B．（x+1）2＝x2+2x+1 C．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2） D．x+2＝x（1+）【分析】根據(jù)因式分解是把一個多項式轉(zhuǎn)化成幾個整式乘積的形式，可得答案．【解答】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，故此選項不符合題意；B、是整式的乘法，不是因式分解，故此選項不符合題意；C、把一個多項式轉(zhuǎn)化成幾個整式乘積的形式，是因式分解，故此選項符合題意；D、沒把一個多項式轉(zhuǎn)化成幾個整式乘積的形式，不是因式分解，故此選項不符合題意．故選：C．【點評】本題考查了因式分解的意義．嚴格按照因式分解的定義去驗證每個選項是正確解答本題的關(guān)鍵．5．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分線MN交AC于點D，則∠DBC的度數(shù)是（）A．20° B．30° C．40° D．50°【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DA＝DB，得到∠DBA＝∠A＝40°，計算即可．【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝40°，∴∠ABC＝∠C＝70°，∵MN是AB的垂直平分線，∴DA＝DB，∴∠DBA＝∠A＝40°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝30°，故選：B．【點評】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關(guān)鍵．6．（3分）小聰在用直尺和圓規(guī)作一個角等于已知角時，具體過程是這樣的：已知：∠AOB．求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB．作法：（1）如圖，以點O為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA，OB于點C，D；（2）畫一條射線O′A′，以點O′為圓心，OC長為半徑畫弧，交O′A′于點C′；（3）以點C'為圓心，CD長為半徑畫弧，與第（2）步中所畫的弧相交于點D′；（4）過點D'畫射線O′B′，則∠A′O′B′＝∠AOB．小聰作法正確的理由是（）A．由SSS可得△O′C′D′≌△OCD，進而可證∠A′O′B′＝∠AOB B．由SAS可得△O′C′D′≌△OCD，進而可證∠A′O′B′＝∠AOB C．由ASA可得△O′C′D′≌△OCD，進而可證∠A′O′B′＝∠AOB D．由“等邊對等角”可得∠A′O′B′＝∠AOB【分析】先利用作法得到OD＝OC＝OD′＝OC′，CD＝C′D′，然后根據(jù)全等三角形的判定方法對各選項進行判斷．【解答】解：由作圖得OD＝OC＝OD′＝OC′，CD＝C′D′，則根據(jù)“SSS”可判斷△C′O′D′≌△COD．故選：A．【點評】本題考查了作圖﹣基本作圖：基本作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．也考查了全等三角形的判定．7．（3分）如果m2+m＝5，那么代數(shù)式m（m﹣2）+（m+2）2的值為（）A．14 B．9 C．﹣1 D．﹣6【分析】直接利用單項式乘多項式計算，再把已知代入得出答案．【解答】解：m（m﹣2）+（m+2）2＝m2﹣2m+m2+4m+4＝2m2+2m+4．當m2+m＝5時，原式＝2（m2+m）+4＝2×5+4＝10+4＝14．故選：A．【點評】此題主要考查了單項式乘多項式，完全平方公式，正確將原式變形是解題關(guān)鍵．8．（3分）已知長方形ABCD可以按圖示方式分成九部分，在a，b變化的過程中，下面說法正確的有（）①長方形ABCD的長寬之比可能為2；②圖中存在三部分的周長之和恰好等于長方形ABCD的周長；③當長方形ABCD為正方形時，九部分都為正方形；④當長方形ABCD的周長為60時，它的面積可能為100．A．②③ B．①③ C．②③④ D．①③④【分析】假設(shè)長方形的長寬比是2，推導(dǎo)出與已知的矛盾，排除①，根據(jù)正方形定義和長方形的周長公式判斷②③，根據(jù)長方形的周長為60，推導(dǎo)出該長方形的面積大于100，從而說明④錯誤．【解答】解：如圖：①長方形的長為a+2b，寬為2a+b，若該長方形的長寬之比為2，則a+2b＝2（2a+b），解得a＝0．這與題意不符，故①的說法不正確；②四邊形AEFG、FHKM、SKWC的周長之和等于長方形ABCD的周長，故②正確；③當長方形ABCD為正方形時，2a+b＝a+2b，所以a＝b，所以九部分都為正方形，故③的說法正確；④當長方形ABCD的周長為60時，即2（2a+b+a+2b）＝60，整理，得a+b＝10，∴四邊形GHWD的面積為100，長方形ABCD的面積大于100，故④的說法不正確．綜上所述，正確的是：②③．故選：A．【點評】本題考查了長方形、正方形的周長和面積即等式的性質(zhì)等知識點，掌握正方形的判定、長方形的周長公式和正方形的面積公式是解決本題的關(guān)鍵．二、填空題（每題2分，共16分）9．（2分）直接寫出計算結(jié)果：（2ab2）3＝8a3b6．【分析】利用積的乘方的法則對式子進行運算即可．【解答】解：（2ab2）3＝23×a3（b2）3＝8a3b6．故答案為：8a3b6．【點評】本題主要考查積的乘方，解答的關(guān)鍵是對積的乘方的法則的掌握．10．（2分）點M（﹣1，﹣3）關(guān)于x軸對稱的點的坐標是（﹣1，3）．【分析】根據(jù)“關(guān)于x軸對稱的點，橫坐標相同，縱坐標互為相反數(shù)”解答．【解答】解：點M（﹣1，﹣3）關(guān)于x軸對稱的點的坐標是（﹣1，3）．故答案為：（﹣1，3）．【點評】本題考查了關(guān)于x軸、y軸對稱的點的坐標，解決本題的關(guān)鍵是掌握好對稱點的坐標規(guī)律：（1）關(guān)于x軸對稱的點，橫坐標相同，縱坐標互為相反數(shù)；（2）關(guān)于y軸對稱的點，縱坐標相同，橫坐標互為相反數(shù)．11．（2分）如果等腰三角形的一個底角是80°，那么頂角是20度．【分析】由已知等腰三角形的一個底角是80°，利用等腰三角形的性質(zhì)得另一個底角也是80°，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理可求頂角的度數(shù)【解答】解：∵三角形是等腰三角形，∴兩個底角相等，∵等腰三角形的一個底角是80°，∴另一個底角也是80°，∴頂角的度數(shù)為180°﹣80°﹣80°＝20°．故填20．【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理；借助三角形的內(nèi)角定理求解有關(guān)角的度數(shù)問題是一種很重要的方法，要熟練掌握．12．（2分）分解因式：x2﹣6x+9＝（x﹣3）2．【分析】原式利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式＝（x﹣3）2．故答案為：（x﹣3）2【點評】此題考查了因式分解﹣運用公式法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．13．（2分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝1，AB＝4，則△ABD的面積是2．【分析】直接利用角平分線的性質(zhì)得出D到AB的距離，進而利用三角形面積求法得出答案．【解答】解：過點D作DE⊥AB于點E∵∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，∴DC＝DE＝1，∵AB＝4，∴S△ABD＝×DE×AB＝×1×4＝2．故答案為：2．【點評】此題主要考查了角平分線的性質(zhì)以及三角形面積求法，正確得出D到AB的距離是解題關(guān)鍵．14．（2分）已知（a+b）2＝32，a﹣b＝2，則ab＝7．【分析】由a﹣b＝2，得（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝4．由（a+b）2＝32，得a2+b2+2ab＝32，那么（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab＝28，從而解決此題．【解答】解：∵a﹣b＝2，∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝4．∵（a+b）2＝32，∴a2+b2+2ab＝32．∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab＝28．∴ab＝7．故答案為：7．【點評】本題主要考查完全平方公式以及整式的加減運算，熟練掌握完全平方公式以及整式的加減運算法則是解決本題的關(guān)鍵．15．（2分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D在BC上（不與點B，C重合）．只需添加一個條件即可證明△ABD≌△ACD，這個條件可以是BD＝CD（寫出一個即可）．【分析】由題意可得∠ABC＝∠ACD，AB＝AC，即添加一組邊對應(yīng)相等，可證△ABD與△ACD全等．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠ABD＝∠ACD，添加BD＝CD，∴在△ABD與△ACD中，∴△ABD≌△ACD（SAS），故答案為：BD＝CD．【點評】本題考查了全等三角形的判定，靈活運用全等三角形的判定是本題的關(guān)鍵．16．（2分）如圖，已知∠MON，在邊ON上順次取點P1，P3，P5…，在邊OM上順次取點P2，P4，P6…，使得OP1＝P1P2＝P2P3＝P3P4＝P4P5…，得到等腰△OP1P2，△P1P2P3，△P2P3P4，△P3P4P5…（1）若∠MON＝30°，可以得到的最后一個等腰三角形是△P1P2P3；（2）若按照上述方式操作，得到的最后一個等腰三角形是△P3P4P5，則∠MON的度數(shù)α的取值范圍是18°≤α＜22.5°．【分析】（1）利用等腰三角形的性質(zhì)求出∠OP2P3即可判斷．（2）由題意要使得得到的最后一個等腰三角形是△P3P4P5，需要滿足：∠P4P3P5＝4α＜90°且∠MP4P5＝5α≥90°，解不等式即可解決問題．【解答】解：（1）∵OP1＝P1P2＝P2P3，∴∠OP2P1＝∠O＝30°，∠P2P1P3＝∠P2P3P1＝60°，∴∠OP2P3＝90°，∴△P2P3P4不存在，∴得到的最后一個等腰三角形是△P1P2P3．故答案為△P1P2P3．（2）由題意要使得到的最后一個等腰三角形是△P3P4P5，需要滿足：∠P4P3P5＝4α＜90°且∠MP4P5＝5α≥90°，∴18°≤α＜22.5°，故答案為18°≤α＜22.5°．【點評】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．三、解答題（17，18題每小題12分，19、20題每題4分，21題5分，22題4分，23題3分，24題5分，25題4分，26題6分，27題7分，共60分）17．（12分）計算：（1）6x2?3xy．（2）（3x+1）（x﹣2）．（3）（6x4﹣9x3）÷3x2．（4）（x+2y）2．【分析】（1）利用單項式乘以單項式計算法則進行計算；（2）利用多項式乘以多項式計算法則，再算加減即可；（3）多項式除以單項式計算法則進行計算，然后再計算減法即可；（4）利用完全平方公式計算即可．【解答】解：（1）6x2?3xy＝18x3y．（2）（3x+1）（x﹣2）＝3x2﹣6x+x﹣2＝3x2﹣5x﹣2．（3）（6x4﹣9x3）÷3x2＝6x4÷3x2﹣9x3÷3x2＝2x2﹣3x．（4）（x+2y）2＝x2+4y2+4xy．【點評】此題主要考查了整式的混合運算，關(guān)鍵是掌握有乘方、乘除的混合運算中，要按照先乘方后乘除的順序運算，其運算順序和有理數(shù)的混合運算順序相似．18．（6分）分解因式：（1）12xyz﹣9x2y2；（2）a2m﹣25m．【分析】（1）直接提公因式3xy即可；（2）先提公因式m，再應(yīng)用平方差公式．【解答】解：（1）原式＝3xy（4z﹣3xy）；（2）原式＝m（a2﹣25）＝m（a+5）（a﹣5）．【點評】此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正確應(yīng)用乘法公式是解題關(guān)鍵．19．（4分）如圖，點B、E、C、F在同一條直線上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求證：AB∥DE．【分析】證明它們所在的三角形全等即可．根據(jù)等式的性質(zhì)可得BC＝EF．運用SSS證明△ABC與△DEF全等．【解答】證明：∵BE＝CF，∴BC＝EF，在△ABC與△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS），∴∠ABC＝∠DEF，∴AB∥DE．【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定．全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的對應(yīng)角相等．20．（4分）先化簡，再求值：（2a+b）（2a﹣b）﹣4a（a﹣3b），其中a＝﹣1，b＝2．【分析】直接利用乘法公式以及單項式乘多項式運算法則化簡，合并同類項，再把已知數(shù)據(jù)代入得出答案．【解答】解：（2a+b）（2a﹣b）﹣4a（a﹣3b），＝4a2﹣b2﹣4a2+12ab＝﹣b2+12ab，當a＝﹣1，b＝2時，原式＝﹣22+12×（﹣1）×2＝﹣4﹣24＝﹣28．【點評】此題主要考查了整式的混合運算—化簡求值，正確運用乘法公式計算是解題關(guān)鍵．21．（5分）在直角坐標系中，△ABC的三個頂點的位置如圖所示．（1）請畫出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A′B′C′（其中A′，B′，C′分別是A，B，C的對應(yīng)點，不寫畫法）；（2）直接寫出A′，B′，C′三點的坐標：（4，1），B′（2，4），C′（﹣1，﹣2）．（3）點Q在坐標軸上，且滿足△BCQ是等腰三角形，則所有符合條件的Q點有10個．【分析】（1）由點的對稱性，作出圖形即可；（2）關(guān)于y軸對稱的點的坐標特點：橫坐標變?yōu)橄喾磾?shù)，縱坐標不變，即可求解；（3）利用兩圓一線確定等腰三角形，作出圖形即可求解．【解答】解：（1）如圖1：（2）由圖可知A（﹣4，1），B（﹣2，3），C（1，﹣2），∴A點關(guān)于y軸對稱的點為（4，1），B點關(guān)于y軸對稱的點為（2，4），C點關(guān)于y軸對稱的點為（﹣1，﹣2），故答案為：（4，1），（2，4），（﹣1，﹣2）；（3）如圖：以B為圓心，BC長為半徑做圓，此圓與坐標軸有4個交點，以C為圓心，BC長為半徑做圓，此圓與坐標軸有4個交點，作線段BC的垂直平分線，此線與坐標軸有2個交點，∴△BCQ是等腰三角形時，Q點坐標有10個，故答案為10．【點評】本題考查軸對稱作圖，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，兩圓一線確定等腰三角形的方法是解題的關(guān)鍵．22．（4分）如圖，點D、E在△ABC的BC邊上，AB＝AC，AD＝AE．求證：BD＝CE．【分析】要證明線段相等，只要過點A作BC的垂線，利用三線合一得到P為DE及BC的中點，線段相減即可得證．【解答】證明：如圖，過點A作AP⊥BC于P．∵AB＝AC，∴BP＝PC；∵AD＝AE，∴DP＝PE，∴BP﹣DP＝PC﹣PE，∴BD＝CE．【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，做題時，兩次用到三線合一的性質(zhì)，由等量減去等量得到差相等是解答本題的關(guān)鍵．23．（3分）如圖，某地有兩所大學(xué)和兩條交叉的公路．圖中點M，N表示大學(xué)，OA，OB表示公路，現(xiàn)計劃修建一座物資倉庫，希望倉庫到兩所大學(xué)的距離相同，到兩條公路的距離也相同，你能確定出倉庫P應(yīng)該建在什么位置嗎？請在圖中畫出你的設(shè)計．（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）【分析】到兩條公路的距離相等，在這兩條公路的夾角的平分線上；到兩所大學(xué)的距離相等，在這兩所大學(xué)兩個端點的連線的垂直平分線上，所畫兩條直線的交點即為所求的位置．【解答】解：則點P為所求．【點評】用到的知識點為：到一個角兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上；到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上．24．（5分）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AC邊上一點，連接BD，EC⊥AC，且AE＝BD，AE與BC交于點F．（1）求證：CE＝AD；（2）當AD＝CF時，求證：BD平分∠ABC．【分析】（1）根據(jù)HL證明Rt△CAE與Rt△ABD全等，進而解答即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和角之間的關(guān)系解答即可．【解答】證明：（1）∵EC⊥AC，∠BAC＝90°，∴∠ACE＝∠BAC＝90°，在Rt△CAE與Rt△ABD中，，∴Rt△CAE≌Rt△ABD（HL），∴CE＝AD．（2）由（1）得Rt△CAE≌Rt△ABD，∴∠EAC＝∠ABD，∠E＝∠ADB．由（1）得CE＝AD，∵AD＝CF，∴CE＝CF．∴∠CFE＝∠E，∵∠CFE＝∠AFB，∴∠AFB＝∠E．∵∠E＝∠ADB，∴∠AFB＝∠ADB，∵∠AGB＝∠EAC+∠ADB，∠AGB＝∠DBC+∠AFB，∴∠EAC＝∠DBC．∵∠EAC＝∠DBA，∴∠DBA＝∠DBC，∴BD平分∠ABC．【點評】此題考查全等三角形問題，關(guān)鍵是根據(jù)HL證明三角形全等，再利用全等三角形的性質(zhì)解答．25．（4分）小明在學(xué)習(xí)有關(guān)整式的知識時，發(fā)現(xiàn)一個有趣的現(xiàn)象：對于關(guān)于x的多項式x2﹣2x+3，由于x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，所以當x﹣1取任意一對互為相反數(shù)的數(shù)時，多項式x2﹣2x+3的值是相等的．例如，當x﹣1＝±1，即x＝2或0時，x2﹣2x+3的值均為3；當x﹣1＝±2，即x＝3或﹣1時，x2﹣2x+3的值均為6．于是小明給出一個定義：對于關(guān)于x的多項式，若當x﹣t取任意一對互為相反數(shù)的數(shù)時，該多項式的值相等，就稱該多項式關(guān)于x＝t對稱．例如x2﹣2x+3關(guān)于x＝1對稱．請結(jié)合小明的思考過程，運用此定義解決下列問題：（1）多項式x2﹣4x+6關(guān)于x＝2對稱；（2）若關(guān)于x的多項式x2+2ax+3關(guān)于x＝4對稱，求a的值；（3）整式（x2+8x+16）（x2﹣6x+9）關(guān)于x＝﹣對稱．【分析】（1）對多項式進行配方，根據(jù)新定義判斷即可；（2）求出x2+2bx+3的對稱軸，令對稱軸x＝4即可；（3）對多項式進行配方，根據(jù)新定義判定即可．【解答】解：（1）x2﹣4x+6＝（x﹣2）2+2，則多項式關(guān)于x＝2對稱，故答案為：2；（2）∵x2+2ax+3＝（x+a）2+3﹣a2，∴關(guān)于x的多項式x2+2ax+3關(guān)于x＝﹣a對稱，∴﹣a＝4，∴a＝﹣4；（3）原式＝（x+4）2（x﹣3）2＝[（x+4）（x﹣3）]2＝（x2+x﹣12）2＝[（x+）2﹣]2，故關(guān)于x＝﹣對稱，故答案為：﹣．【點評】本題考查了配方法的應(yīng)用，能夠?qū)Χ囗検竭M行配方，根據(jù)新定義判斷出對稱軸是解題的關(guān)鍵．26．（6分）課堂上，老師提出了這樣一個問題：如圖1，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于點D，且AB+BD＝AC．求證：∠ABC＝2∠ACB．小明的方法是：如圖2，在AC上截取AE，使AE＝AB，連接DE，構(gòu)造全等三角形來證明結(jié)論．（1）小天提出，如果把小明的方法叫做“截長法”，那么還可以用“補短法”通過延長線段AB構(gòu)造全等三角形進行證明．輔助線的畫法是：延長AB至F，使BF＝BD，連接DF．請補全小天提出的輔助線的畫法，并在圖1中畫出相應(yīng)的輔助線；（2）小蕓通過探究，將老師所給的問題做了進一步的拓展，給同學(xué)們提出了如下的問題：如圖3，點D在△ABC的內(nèi)部，AD，BD，CD分別平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，且AB+BD＝AC．求證：∠ABC＝2∠ACB．請你解答小蕓提出的這個問題；（3）小東將老師所給問題中的一個條件和結(jié)論進行交換，得到的命題如下：如果在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，點D在邊BC上，AB+BD＝AC，那么AD平分∠BAC．小東判斷這個命題也是真命題，老師說小東的判斷是正確的．請你利用圖4對這個命題進行證明．【分析】（1）延長AB至F，使BF＝BD，連接DF，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得到∠ABC＝2∠F，證明△ADF≌△ADC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明結(jié)論；（2）在AC上截取AE，使AE＝AB，連接DE，證明△ADB≌△ADE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明結(jié)論；（3）延長AB至G，使BG＝BD，連接DG，證明△ADG≌△ADC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、角平分線的定義證明．【解答】證明：（1）延長AB至F，使BF＝BD，連接DF，則∠BDF＝∠F，∴∠ABC＝∠BDF+∠F＝2∠F，∵AD平分∠BAC∴∠BAD＝∠CAD，∵AB+BD＝AC，BF＝BD，∴AF＝AC，在△ADF和△ADC中，，∴△ADF≌△ADC（SAS），∴∠ACB＝∠F，∴∠ABC＝2∠ACB；（2）如圖3，在AC上截取AE，使AE＝AB，連接DE，∵AD，BD，CD分別平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，∴∠DAB＝∠DAE，∠DBA＝∠DBC，∠DCA＝∠DCB，∵A