《空間向量基本定理》示范課教案【高中數(shù)學(xué)蘇教版】

第六章第六章空間向量與立體幾何6.2.1空間向量基本定理教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)1．了解空間向量基本定理及其推論；2．理解空間向量的基底、基向量的概念．理解空間任一向量可用空間不共面的三個已知向量唯一線性表示；3．通過演繹法，從平面向量基本定理引入，類比推導(dǎo)出空間向量基本定理的概念.教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：向量的分解（空間向量基本定理及其推論）．教學(xué)難點(diǎn)：作出適合的空間圖形，利用空間基本定理進(jìn)行分析.教學(xué)過程教學(xué)過程一、新課導(dǎo)入想一想：在平面中，我們?nèi)绾斡脙蓚€不共線的向量去表示某一個向量？答案：回顧平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2（1）平面向量基本定理表明，平面內(nèi)任一向量可以用該平面的兩個不共線向量來線性表示，對于空間向量，有類似的結(jié)論嗎？如圖，OP是否可以用平面內(nèi)兩個基底向量來表示？二、新知探究問題1：如圖所示，空間內(nèi)的向量OP如何表示？追問1：構(gòu)成平面內(nèi)基底向量的基本要求？答案：平面基底向量不共線．追問2：猜一猜空間內(nèi)向量表示需要幾個基底向量？基底向量的基本要求是什么？如何來表示？答案：3個，空間基底向量要求不共面，OP解：證明：設(shè)e1,e2,OA=e1

,

OB=e2

,OC=過點(diǎn)P做直線PP'∥OC，交平面OAB于P'；在平面OAB內(nèi)，過點(diǎn)P'做直線P'A'∥OB，P'B'根據(jù)向量共線的條件，存在三個確定的實數(shù)x,y,z，使OA'=xOAOB'=yOBPP'=zOC=z所以，OP=OA'+OB'+PP'=x從而，p=xe1+y唯一性證明：p=xe1+y假設(shè)存在實數(shù)組x',yp=x'e1于是，xe1+ye2+ze3即，x?因為x'所以e從而e1,e2,e3共面，這與已知e因此，有序?qū)崝?shù)組（x,y,z)是唯一的。下定義：空間向量基本定理：如果三個向量e1,e2,e3不共面，那么對空間任一向量p，p=xe1+ye2即p由e1,e2下定義：我們把{e1,e2,如果空間一個基底的三個基向量兩兩互相垂直，那么這個基底叫做正交基底.特別地，當(dāng)一個正交基底的三個基向量都是單位向量時，稱這個基底為單位正交基底，通常用{i,j【概念鞏固】練1：(多選)在正方體中,下列選項中可以作為空間一組基底的是()A．{AB,AD,AA1}BBCADA1B1C1D1追問1：組成空間基底向量的要求是什么？答案：空間基底向量要求不共面．所以，選ACD練習(xí)2：已知{e1,e2,e3}是空間的一組基底向量，且OA=e追問1：如何確定向量不共面？答案：假設(shè)OA,OB,OC共面，即存在實數(shù)∴e1+2e2?e3∵{e∴e1∴?3x∴不存在實數(shù)x，y，使得OA=∴OA,OB,推論：設(shè)O,A,B,C是不共面的四點(diǎn)，則對空間任意一點(diǎn)P，都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組（x,y,z），使得OP設(shè)計意圖：通過引入平面向量基本定理，類推到空間向量基本定理，并通過證明空間向量的表示方法，來引出空間向量基本定理的定義.再通過實例，來鞏固空間向量基底的概念特征.三、應(yīng)用舉例例1如圖，在正方體OADB-CAˊDˊBˊ,點(diǎn)E是AB與OD的交點(diǎn)，M是ODˊ與CE的交點(diǎn)，試用向量OA，OB，OC表示向量OD'和分析：OD解：∵OD=OA∴OD'=OD+DD由ΔOME~ΔD'又OE=1則OM=12D∴OM=

13OD變式一：在上圖中，作出向量OA+答案：如圖所示，向量OG即為所求向量.設(shè)計意圖：通過例題與變式題，對空間向量基本定理的應(yīng)用與空間作圖進(jìn)行練習(xí)，掌握空間向量的分解與合成.方法總結(jié)：通過基底向量來一步步合成所求向量.四、課堂練習(xí)1．已知{e1,e2,c=e1?e2+e3，d=e1+2e2．如圖所示，已知空間四邊形OABC，點(diǎn)M、N分別是邊OA、BC的中點(diǎn)，且OA=a,OB=b,OC=c，用a，b，OOABCMN參考答案：1．解：d=xa+yb+zc=x(e=(x+y+z)e1+(x+y-z)e2+(x-y+z)e3．∵∴x+y+z2．MN=MA+AB=OB=1=1五、課堂小結(jié)1.空間向量基本定理及推論：定理：如果三個向量e1,e2,e3p=xe1+ye推論：設(shè)O,A,B,C是不共面的四點(diǎn)，則對空間任意一點(diǎn)P，都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組（x,y,