初中數(shù)學(xué)《旋轉(zhuǎn)》專題100題含答案

初中數(shù)學(xué)《旋轉(zhuǎn)》通關(guān)100題含參考答案

1.如圖，己知：BC與C一重合，2ABe=2jh=9t。，OABCZOC』，并且OC.h可由0碘

時針旋轉(zhuǎn)而得到.請你利用尺規(guī)作出旋轉(zhuǎn)中心0(保留作圖痕跡，不寫作法，注意最后用墨水筆

加黑)，并直接寫出旋轉(zhuǎn)角度是.

2.如圖，在Rt0ABC中，2BAC=9t。，如果將該三角形繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)到0AB'C的位

置，點B，恰好落在邊BC的中點處，求旋轉(zhuǎn)角的大小.

3.如圖1,在0ABC中，2A=3t°,AB=AC,2ABe的平分線Bh交AC于h.

(1)求證：Ah=BC；

(2)如圖2,過點h作h'〃BC交AB于'，將0Ah，繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)角a(t。€a€Ittf)

得到0Ah,,連接Ch',B,求證：Ch'=Bz'；

(3)在(2)的旋轉(zhuǎn)過程中是否存在Ch，〃AB?若存在，求出相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角a；若不存在，請說

明理由.

4.如圖，在平面直角坐標系中，0ABC的三個頂點坐標為AIt—t),B6t—3),C(It—1).(每個

小方格都是邊長為一個單位長度的正方形)

(1)將OABC沿y軸方向向上平移5個單位，畫出平移后得到的OAiBiQ；

(2)將0ABC繞點0順時針旋轉(zhuǎn)9t。，畫出旋轉(zhuǎn)后得到的OA2B2c2,并直接寫出點A旋轉(zhuǎn)到

點A2所經(jīng)過的路徑長.

5.如圖，在平面坐標系中，2A0B=9t°,AB〃x軸，OB=2,雙曲線y=k經(jīng)過點B.將0AOB

X

繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)，使點0的對應(yīng)點.落在x軸的正半軸上.若AB的對應(yīng)線段CB恰好經(jīng)過點

(1)點B的坐標和雙曲線的解析式.

(2)判斷點C是否在雙曲線上，并說明理由.

6.如圖，OABC在平面直角坐標系內(nèi)，頂點的坐標分別為A41t5)B4口1)C?ltl)將

OABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)9t°,得到OAB'C,，點B,C的對應(yīng)點分別為點B',C,

(1)畫出OAB'C'；

(2)寫出點B',C的坐標；

(3)求出在0ABC旋轉(zhuǎn)的過程中，點C經(jīng)過的路徑長.

7.正方形ABC一的邊長為3,h,'分別是AB,BC邊上的點，且將0.Ah繞點.

逆時針旋轉(zhuǎn)9t。，得到0.Ch.

AD

(1)求證：h'=zh

(2)當Ah=1時，求h'的長.

8.如圖，將0ABC放于平面直角坐標系中，得到頂點坐標為A?3tt,)B<3tt,)C垃3,)以B為

旋轉(zhuǎn)中心，在平面直角坐標系內(nèi)將0ABC順時針旋轉(zhuǎn)9t°.

(1)畫出旋轉(zhuǎn)后的OA'BU：

(2)寫出點A',C的坐標：

(3)求出線段BA旋轉(zhuǎn)到BA，時所掃過的扇形的面積.

9.已知：正方形ABC.中，2hAh=t5°,繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB,<(或它們的

延長線)于點h,h.

(1)如圖1,當2hAh繞點A旋轉(zhuǎn)到Bh=5時，有Bh+-h=hh.當2hAh繞點A域

到BhG5時，如圖2,請問圖1中的結(jié)論還是否成立?如果成立，請給予證明，如果不成

立，請說明理由；

(2)當2hAh繞點A旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時，線段Bh,一h和hh之間有怎樣的等量關(guān)系?請

寫出你的猜想，并證明.

10.如圖1,0為直線AB上一點，過點0作射線0C,2Aoe=3t。，將一直角三角板(2h=3t°)

的直角頂點放在點。處，一邊Oh在射線0A上，另一邊Oh與0C都在直線AB的上方.

(1)將圖1中的三角板繞點0以每秒3。的速度沿順時針方向旋轉(zhuǎn)一周.如圖2,經(jīng)過t秒后,

Oh恰好平分2B0C.①求t的值；②此時Oh是否平分2A0C?請說明理由；

(2)在(1)間的基礎(chǔ)上，若三角板在轉(zhuǎn)動的同時，射線0C也繞0點以每秒t。的速度沿順時

針方向旋轉(zhuǎn)一周，如圖3,那么經(jīng)過多長時間0C平分2h0h?請說明理由；

圖3

(3)在(2)間的基礎(chǔ)上，經(jīng)過多長時間0C平分2hOB?請畫圖并說明理由.

11.在平面內(nèi)，將一個圖形G以任意點0為旋轉(zhuǎn)中心，逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度8,得到圖形G',再以

0為中心將圖形G'放大或縮小得到圖形G",使圖形G”與圖形G對應(yīng)線段的比為k,并且圖形

G上的任一點P,它的對應(yīng)點P"在線段0P'或其延長線上；我們把這種圖形變換叫做旋轉(zhuǎn)相似

變換，記為0(8tk),其中點0叫做旋轉(zhuǎn)相似中心，8叫做旋轉(zhuǎn)角，k叫做相似比.如圖1中的線

段0A”便是由線段0A經(jīng)過0(3,2)得到的.

(1)如圖2,將OABC經(jīng)過☆0,1)后得到OABC',則橫線上“☆”應(yīng)填下列四個點0<tt,)

h(tt-l),C(lt2)中的點.

(2)如圖3,OA.h是0ABC經(jīng)過Agtk羿到的，％AB=9t。，cos2hAC=l,粵這個圖形

變換可以表示為A.

12.如圖，菱形ABC.的邊長為t,2BA.=tt°,AC為對角線.將OAC~繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)tt°

得到0ACJ,連接.C.

c

(1)求證：OA.C芻0A.C.

(2)求在旋轉(zhuǎn)過程中線段C.掃過圖形的面積.(結(jié)果保留n).

13.在OABC中，CA=CB,在OAh.中，_A=.h，點一，h分別在CA,AB±,

E

圖3

(1)如圖1,若2ACB=2A.h=9t°,則C.與Bh的數(shù)量關(guān)系是；

(2)若2ACB=2A.h=12t°,將0Ah,繞點A旋轉(zhuǎn)至如圖2所示的位置，則C.與Bh的贊

關(guān)系是：

(3)若2ACB=2A?h=2a(°€a€9t°,WOAh一繞點A旋轉(zhuǎn)至如圖3所示的位置，探究

線段C.與Bh的數(shù)量關(guān)系，并加以證明(用含a的式子表示).

14.如圖，在平面直角坐標系中，0ABC的三個頂點坐標分別為AQtt)B(tt2),C(3t5).(每個方

格的邊長均為1個單位長度).

(1)請畫出OAiBiCi,使OAiBiCi與0ABC關(guān)于x軸對稱；

(2)將0ABC繞點0逆時針旋轉(zhuǎn)9t°,畫出旋轉(zhuǎn)后得到的OA2B2c2，并直接寫出點B旋轉(zhuǎn)到

點B2所經(jīng)過的路徑長.

15.如圖，0ABC和0ABC是兩個完全重合的直角三角板，2B=2B'=3t°,斜邊長為Item.三

角形板A'B'C,繞直角頂點C順時針旋轉(zhuǎn)，當點AT融AB邊上時，求CA,旋轉(zhuǎn)所構(gòu)成的扇形的

弧長談.

B'

16.如圖1,將兩個完全相同的三角形紙片ABC和一hC重合放置，其中2C=9t°,2B=2h=3t°.

(1)操作發(fā)現(xiàn)

如圖2,固定OABC,使。一hC繞點C順時針旋轉(zhuǎn).當點一恰好落在AB邊上時，填空：

①線段，h與AC的位置關(guān)系是；

②設(shè)OB.C的面積為Si，OAhC的面積為S2，則Si與S2的數(shù)量關(guān)系是,證明你

的結(jié)論；

(2)猜想論證

當0-hC繞點C旋轉(zhuǎn)到圖3所示的位置時，小明猜想(1)中Si與Sz的數(shù)量關(guān)系仍然成立，

并嘗試分別作出了OB_C和。AhC中BC,Ch邊上的高，請你證明小明的猜想.

17.如圖，在平面直角坐標系中，已知0ABC的三個頂點的坐標分別為A-(ltl)B43tl)

C(-Itt).

(1)畫出0ABC關(guān)于y軸對稱的OA1B1C1；

(2)將0ABC繞著點B順時針旋轉(zhuǎn)9t。后得到OA2BC2，請在圖中畫出OA2BC2，并求出線段

BC旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積(結(jié)果保留Tt).

18.如圖所示，正方形網(wǎng)格中，0ABC為格點三角形(即三角形的頂點都在格點上).

(1)把OABC沿BA方向平移后，點A移到點Ai，在網(wǎng)格中畫出平移后得到的OAiBKi；

(2)把OAiBiCi繞點Ai按逆時針方向旋轉(zhuǎn)9t°,在網(wǎng)格中畫出旋轉(zhuǎn)后的OAiB2c2：

(3)如果網(wǎng)格中小正方形的邊長為1,求點B經(jīng)過(1)、(2)變換的路徑總長.

19.如圖，正方形網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都是1,每個小正方形的頂點叫做格點.0ABC的三

個頂點A,B,C都在格點上，將0ABC繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)9t。得到0ABC.

(1)在正方形網(wǎng)格中，畫出OAB'C；

(2)計算線段AB在變換到AB，的過程中掃過區(qū)域的面積.

20.如圖，OABC中，AB=AC=1,2BAC=t5°,0Ah'是由0ABC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)得

到的，連接Bh,C'相交于點

(1)求證：Bh=C'；

(2)當四邊形AC.h為菱形時，求B.的長.

21.如圖，在邊長為1的小正方形組成的方格紙上，將0ABC繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)9t°.

(1)畫出旋轉(zhuǎn)后的OAB'C'；

(2)求線段AC在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的扇形的面積.

22.如圖，正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是一個單位長度，在平面直角坐標系內(nèi)，OABC

的三個頂點坐標分別為AQt-t>B(tt-t)CGt-1)

(1)畫出OABC關(guān)于y軸對稱的OA1B1C1，直接寫出點Ai的坐標.

(2)畫出OABC繞點0逆時針旋轉(zhuǎn)9t。后的OA2B2c2.

(3)在(2)的條件下，求線段BC掃過的面積(結(jié)果保留n).

23.在同一平面內(nèi)，OABC和OAB一如圖①放置，其中AB=B一.小明做了如下操作：將0航繞

著邊AC的中點旋轉(zhuǎn)1上。得到0ChA,將OAB一繞著邊A一的中點旋轉(zhuǎn)1上。得到0幺如圖②,

請完成下列問題：

(1)試猜想四邊形ABJ是什么特殊四邊形，并說明理由；

(2)連接h',C.,如圖③，求證：四邊形C」h是平行四邊形.

24.如圖，將OABC放在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，點A、B、C均落在格點上，將線段

AB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)9t°.得線段A'B,點A的對應(yīng)點為A',連接AA，交線段BC于點

(1)作出旋轉(zhuǎn)后的圖形.

(2)￡_=

,B---------------------

25.如圖，已知正方形ABC.中，Bh平分2.BC且交C.邊于點h,將0BCh繞點C順時針旋轉(zhuǎn)到

0一C’的位置，并延長Bh交「于點G.

(1)求證：OB_Gs0_hG；

(2)若hG-BG=t,求Bh的長.

26.如圖，在每個小正方形的邊長均為1個單位長度的方格紙中，有一個0ABC和一點0,OABC

的頂點與點0均與小正方形的頂點重合.

(1)在方格紙中，將0ABC向下平移t個單位長度得到OAiBiCi，請畫OAiBiCi.

(2)在方格紙中，將0ABC繞點0旋轉(zhuǎn)l.t。得到OA2B2c2,請畫OA2B2c2.

27.已知：如圖，在平面直角坐標系中，0ABC三個頂點的坐標分別為AAt,)BKtt,)C2t2.)以

A為旋轉(zhuǎn)中心，把OABC逆時針旋轉(zhuǎn)9t°,得到OABC：

(3)求點C旋轉(zhuǎn)到U所經(jīng)過的路線長.

28.取一副三角板按如圖所示拼接，固定三角板A.C,將三角板ABC繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)

角度為*t。€a115°),得至ij0ABC.

⑤

(1)當a為多少度時，AB〃.C?

(2)當旋轉(zhuǎn)到圖③所示位置時，a為多少度？

(3)連接B-,當to€att5°時，探求2.BC'+2CAC'+2B、C值的大小變化情況，并給你

的證明.

29.如圖，試畫出四邊形ABC.繞點0逆時針旋轉(zhuǎn)9t。之后的圖形A1BC.1，G的坐屣_

BBi=—.

(2)若四邊形AhC'的面積為It,5=3,求h'的長.

31.閱讀下面材料：

如圖1,把0ABC沿直線BC平行移動線段BC的長度，可以變到0hC.的位置.如圖2,以

BC為軸把0ABC翻折Lt。，可以變到0.BC的位置.如圖3,以A點為中心，把0ABC府專

9t。，可以變到0Ah.的位置，像這樣，其中一個三角形是由另一個三角形按平行移動、翻折、

旋轉(zhuǎn)等方法變成的，這種只改變位置，不改變形狀和大小的圖形變換，叫做三角形的全等變

換.回答下列問題

如圖4,在正方形ABC_中，h是A一的中點，'是BA延長線上一點，A，=MB.

(1)在如圖4所示，可以通過平行移動、翻折、旋轉(zhuǎn)中的哪一種方法，使OABh移到0A/

的位置？

(2)指出如圖4所示中的線段Bh與一'之間的關(guān)系.

32.如圖，方格紙中的每個小方格都是邊長為1的正方形.在建立直角坐標系后，0ABC的頂點均

在格點上，點A的坐標為(一1。.

(1)寫出點B的坐標；

(2)畫出0ABC繞點。旋轉(zhuǎn)Lt。后得到的圖形OAiBiCi,并寫出點Bi的坐標?

33.如圖，在建立了平面直角坐標系的正方形網(wǎng)格中，A2t2)BItt)CJtl)

(1)畫出0ABC關(guān)于x軸對稱的OAiBiG.

(2)畫出將0ABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)9t。，所得的OA2B2cz.

(3)直接寫出A?點的坐標.

34.如圖1,在RtOABC中，2ACB=9t°,ZB=tt°,一為AB的中點，2h,z=9t°,_h交AC

于點G,經(jīng)過點C.

⑴求'A』的度數(shù);

(2)如圖2,將圖1中的2h一'繞點一順時針方向旋轉(zhuǎn)角a(to€a€tt>),旋轉(zhuǎn)過程中的彳意

兩個位置分別記為2%_'i，2卜2/2，一％交直線AC于點P,一％交直線BC于點Q

一h,交直線AC于點h,J,交直線BC于點h,求上的值；

zzQh

(3)若圖1中2B=b(ttO€D€9t。，)(2)中的其余條件不變，判斷「曾值是否為定值，

如果是，請直接寫出這個值(用含卜的式子表示)；如果不是，請說明理由.

35.如圖，在正方形網(wǎng)絡(luò)中，0ABC的三個頂點都在格點上，點A、B、C的坐標分別為＜2tt)

(-2tt),將OABC繞原點0旋轉(zhuǎn)l.t度得到OAiBiG.結(jié)合所給的平面直角坐標系

(2)畫出一個OAzB2c2，使它分別與OABC,OAiBiCi軸對軸(其中點A,B,C與點A2,

B2.C2對應(yīng))；

(3)在ON勺條件下，若過點B的直線平分四邊形ACC2A2的面積，請直接寫出該直線的函數(shù)解

析式.

36.如圖，點P是正方形ABC一內(nèi)的一點，連接CP,將線段CP繞點C順時針旋轉(zhuǎn)9t。，得到線段

CQ,連接BP,.Q.

(1)如圖a,求證：OBCP冬0.CQ；

(2)如圖，延長BP交直線一Q于點h.

①如圖b,求證：BhT.Q；

②如圖c,若OBCP為等邊三角形，判斷0一hP的形狀，并說明理由.

37.將0ABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)a得到O.Bh,.h的延長線與AC相交于點'，連接.A,B'.

①求證：-A〃BC；

②猜想線段一'，A’的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；

(2)如圖2,若2ABe€a,B'=QA"(口為常數(shù))，求上的值(用含口，a的式子表示).

38.在如圖的方格紙中，每個小方格都是邊長為1個單位的正方形，0ABC的三個頂點都在格點

上.(每個小方格的頂點叫格點)

一--

I11

廠7r

』4

卜

Lr

」d

I

出

4

」1

I一1

L寸

(1)畫出0ABC向下平移3個單位后的0A1B1C1；

(2)畫出0ABC繞點。順時針旋轉(zhuǎn)9t。后的OA2B2c2，并求點A旋轉(zhuǎn)到Az所經(jīng)過的路線長.

39.如圖1,在菱形ABC.中，對角線AC與8_相交于點0,AB=13,B.=2t,在菱形ABC.的

外部以AB為邊作等邊三角形ABh.點'是對角線B.上一動點(點'不與點B重合)，將

線段A'繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)得到線段Ah,連接'h.

(1)求A0的長；

(2)如圖2,當點'在線段B0上，且點h,C三點在同一條直線上時，求證：AC=3Ah：

(3》連接hh,若OAhh的面積為tt,請直接寫出OA'h的周長.

(溫馨提示：考生可以根據(jù)題意，在備用圖中補充圖形，以便作答.)

40.在0ABC中，AB=t,AC=BC=5,將0ABC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)，得到0A.h,旋轉(zhuǎn)

角為a(t°€a€1一t。,)點B的對應(yīng)點為點一，點C的對應(yīng)點為點h,連接B.,Bh.

(1)如圖，當a=tt。時，延長Bh交A一于點

①求證：OAB一是等邊三角形；

②求證：B'TA-，A'=_'；

③請直接寫出Bh的長；

(2)在旋轉(zhuǎn)過程中，過點.作.G垂直于直線AB,垂足為點G,連接Ch,當上AG=黜且

線段,G與線段Ah無公共點時，請直接寫出Bh+Ch的值.

溫馨提示：考生可以根據(jù)題意，在備用圖中補充圖形，以便作答.

41.如圖1,等邊三角形ABC的邊長為t,直線1經(jīng)過點A并與AC垂直.當點P從點A開始沿射線

Ah運動，連接PC,并將OACP繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)注。得到OBCQ,記點P的對應(yīng)點為

Q,線段PA的長為口(口式):)，當點Q恰好落在直線1上時，點P停止運動.

(1)在圖I中，當2ACP=2t°,求2BQC的值：

(2)在圖2中，已知B-T1于點一(2111'1于點八，Q'TB_于點'，試問：陽(/的值是杏

隨著點P的運動而改變?若不會，求出NBQ'的值；若會，請說明理由.

(3)在圖3中，連接PQ,記OPAQ的面積為S,請求出S與口的函數(shù)關(guān)系式(注明匚的取值

范圍)，并求出當口為何值時，S有最大值?最大值為多少？

42.如圖，在平面直角坐標系中，正方形OABC的點A在y軸上，點C在x軸上，點Btft,)點h

在BC邊上，將OABh繞點A順時針旋轉(zhuǎn)9t。，得0A0',連接h'交y軸于點一

(1)若點h的坐標為(tt3),求①線段h'的長；②點.的坐標；

(2)設(shè)點h(tt口)，S=SOABh+SO,Ch,試用含口的式子表示S,并求出使S取得最大值時點h

的坐標.

43.如圖，等邊OABC的邊長為tcm,動點一從點B出發(fā)，沿射線BC方向移動，以A一為邊作物

OA-h.

E

AA

(1)如圖①，在點一從點B開始移動至點C的過程中，(1)0A一h的面積是否存在最大值廉

小值?若存在，直接寫出這個最大值或最小值；若不存在，說明理由；(2)求點h移動的路

徑長.

(2)如圖②，當點.經(jīng)過點C,并在繼續(xù)移動的過程中，點h能否移動至直線AB上?為什么？

44.閱讀下面材料：

小偉遇到這樣一個問題：如圖1,在正三角形ABC內(nèi)有一點P,且PA=3,PB=t,PC=5,

求2APB的度數(shù).

小偉是這樣思考的：如圖2,利用旋轉(zhuǎn)和全等的知識構(gòu)造OAPP,連接PP',得到兩個特殊的三

角形，從而將問題解決.

請你回答：圖1中2APB的度數(shù)等于一

參考小偉同學(xué)思考問題的方法，解決下列問題：

(1)如圖3,在正方形ABC一內(nèi)有一點P,且PA=2應(yīng)，PB=1,P.=-71>,則2APB的度

數(shù)等于,正方形的邊長為;

(2)如圖4,在正六邊形ABC_h'內(nèi)有一點P,且PA=2,PB=1,P'=回，則jPB的

度數(shù)等于,正六邊形的邊長為.

45.菱形ABC_中，兩條對角線AC,B一相交于點0,2h0h+2BC-=1一t。，2h0h繞點0旋轉(zhuǎn)，

射線Oh交邊BC于點h,射線Oh交邊一C于點'，連接h’.

備用圖

(2)如圖2,當2ABe=時,請判斷0Oh'的形狀，并說明理由;

(3)在(1)的條件下，將？hOh的頂點移動到A0的中點0,處，2h0，h繞點0,旋轉(zhuǎn)，仍滿

足2hO'h+2BC.=l.t°,射線O,h交直線BC于點h,射線Oh交直線C.于點'，當

BC=t,且s?！?上時,直接寫出線段Ch的長.

S四邊形ABC--

出Ph與P'的數(shù)量關(guān)系；

(2)將圖1中的RtOPhh繞點0順時針旋轉(zhuǎn)角度a(tO€a€t5。).

①如圖2,在旋轉(zhuǎn)過程中(1)中的結(jié)論依然成立嗎?若成立，請證明；若不成立，請說明理

由；

②如圖2,在旋轉(zhuǎn)過程中，當Loh=15。時，連接h'，若正方形的邊長為2,請直接寫出線

段h'的長；

③如圖3,旋轉(zhuǎn)后，若Rt0Phh的頂點P在線段0B上移動(不與點0,B重合)，當

B.=3BP時，猜想此時Ph與P'的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；當B_=口?BP時，請直接寫

出Ph與P'的數(shù)量關(guān)系.

47.閱讀下面材料：

小明遇到這樣一個問題：如圖1,點h,'分別在正方形ABC一的邊BC,J上，NhA'=仔，連

接h‘，則h'=Bh+「，試說明理由.

小明是這樣思考的：要想解決這個問題，首先應(yīng)想辦法將這些分散的線段相對集中.他先后嘗

試了翻折、旋轉(zhuǎn)、平移的方法，最后發(fā)現(xiàn)線段AB,A,是共點并且相等的，于是找到解決問題

的方法.他的方法是將0ABh繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)9t。得到0A.G,再利用全等的知識解決了這

個問題(如圖2).

參考小明同學(xué)思考問題的方法，解決下列問題：

(1)如圖3,四邊形ABC_中，AB=A-,2BA.=9t。，點h,'分別在邊BC,C.上，

2hAz=t5°.若ZB,N都不是直角，則當2B與，滿足關(guān)系時，仍有h'=

Bh+'；

BA

Ei

D

圖3

(2)如圖4,在OABC中，2BAC=9t°,AB=AC,點h均在邊BC±,且2_Ah=t5,.

若B~=l,hC=2,求一h的長.

48.M，矩形ABC.中，AB=2,BC=2#將矩形沿對角線AC剪開，請解決以下問題:

備用圖

(1)將OAC.繞點C順時針旋轉(zhuǎn)9t。得到OAtJ,請在備用圖中畫出旋轉(zhuǎn)后的OA'CJ,邀

AA',并求線段AA，的長度；

(2)在(1)的情況下，將OAPJ沿CB向左平移的長度為(t€t€2V3),設(shè)平移后的圖形

與0ABC重疊部分的面積為S,求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出t的取值范圍.

49.問題：如圖1,點h,'分別在正方形ABC_的邊BC,C_上，2hAz=t5°,試判斷Bh,h',

'一之間的數(shù)量關(guān)系.

(1)【發(fā)現(xiàn)證明】

小聰把0ABh繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)9t°至OA一G,從而發(fā)現(xiàn)h'=Bh+,請你利用圖1iffl

上述結(jié)論.

(2)【類比引申】

如圖2,四邊形ABC一中，2BA.G9t°,AB=A一，叩+上=1上。，點h,'分別在邊

BC,C.上，則當'A'與2BA.滿足關(guān)系時，仍有h'=Bh+".

(3)【探究應(yīng)用】

如圖3,在某公園的同一水平面上，四條通道圍成四邊形ABC-已知AB=A_=_t米，

2B=tt°,2A.C=12t°,2BA.=15t°,道路BC,C_上分別有景點h,'，且AhTA一，

J=tt(V3-1)米，現(xiàn)要在h,'之間修一條筆直道路，求這條道路h’的長.(結(jié)果取整

數(shù)，參考數(shù)據(jù)：逝=lhtl,6=1梭3)

50.已知正方形ABC.中，對角線AC與B_相交于點0.

(1)如I圖1.將0B0C繞點0逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到0B'OC',0C與C.交于點h,OB,與BC

交于點h,請猜想線段Ch與Bh的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.

(2)如圖2,將(1)中的0BOC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到OBOC,連接A(T、.C,,請猜想線

段A(r與一c的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.

(3)如圖3,己知矩形ABC一和RtOAh'有公共點A,且"h'=9t。，2hAz=2,AC=a,

連接一h、C"請求出土的值(用a的三角函數(shù)表示).

c，

51.如圖，四邊形ABC.,Bh'G均為正方形，

(1)如圖1,連接AG,Ch,試判斷AG和Ch的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系并證明；

(2)將正方形Bh'G繞點B順時針旋轉(zhuǎn)b角化。€「€1上。)如圖2,連接AG,Ch相交于點

h,連接hB,當角D發(fā)生變化時，2hhB的度數(shù)是否發(fā)生變化?若不變化，求出2hhB的

度數(shù)；若發(fā)生變化，請說明理由.

(3)在(2)的條件下，過點A作AhThB交hB的延長線于點h,請直接寫出線段Ch與

Bh的數(shù)量關(guān)系：.

52.在OABC中，AB=AC,將線段AC繞著點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段C-旋轉(zhuǎn)角為a,且t。金

€l.t0,連接A_,B..

圖1圖2

（1）如圖1,當2BAC=ltt。，a=tt。時，IB、的大小為；

（2）如圖2,當2BAC=ltt°,a=2t。時，求2cB一的大小；

（3）已知？BAC的大小為□（tt。€口€12t。，）若2CB-的大小與第（2）問中的結(jié)果相同，

請直接寫出a的大小.

53.如圖，正方形OABC的邊OA,0C在坐標軸上，點B的坐標為（-ttt）.點P從點A出發(fā)，以每

秒1個單位長度的速度沿x軸向點0運動；點Q從點0同時出發(fā)，以相同的速度沿x軸的正方

向運動，規(guī)定點P到達點0時，點Q也停止運動.連接BP,過P點作BP的垂線，與過點Q

平行于y軸的直線1相交于點一.B_與丫軸交于點h,連接Ph.設(shè)點P運動的時間為tfc）.

（1）2PB.的度數(shù)為,點.的坐標為（用t表示）；

（2）當t為何值時，OPBh為等腰三角形？

（3）探索OPOh周長是否隨時間t的變化而變化，若變化，說明理由；若不變，試求這個定值.

54.如圖，以點P（-ltt）為圓心的圓，交x軸于B,C兩點（B在C的左側(cè)），交y軸于A,一兩點

（A在.的下方），A一=2而將0ABC繞點P旋轉(zhuǎn)l.t°,得到OhCB.

（1）求B,C兩點的坐標；

（2）請在圖中畫出線段hB,hC,并判斷四邊形AChB的形狀（不必證明），求出點h的坐

標；

（3）動直線1從與Bh重合的位置開始繞點B順時針旋轉(zhuǎn)，到與BC重合時停止，設(shè)直線1與

Ch交點為h,點Q為Bh的中點，過點h作hGTBC于G,連接hQ,QG.請問在旋轉(zhuǎn)過

程中2hQG的大小是否變化?若不變，求出2hQG的度數(shù)；若變化，請說明理由.

55.在OAOB中，C,.分別是OA,0B邊上的點，將OOC_繞點0順時針旋轉(zhuǎn)到OOC'」.

（1）如圖1,若2A0B=9t°,0A=0B,C,.分別為OA,OB的中點，證明：

①AC'=B.'；

②AC'TBJ

（2）如圖2,若OAOB為任意三角形且zA0B=8,C.//AB,AC與BJ交于點h,猜想

2AhB=8是否成立?請說明理由.

56.如圖1所示，將一個邊長為2的正方形ABC.和一個長為2、寬為1的長方形Ch。拼在一起，構(gòu)

成一個大的長方形ABh'.現(xiàn)將小長方形Ch'一繞點C順時針旋轉(zhuǎn)至Ch"，二,旋轉(zhuǎn)角為a.

（1）當點:恰好落在h'邊上時，求旋轉(zhuǎn)角a的值；

（2）如圖2,G為BC中點，且t°€a€9t°,求證：G/=h'_；

（3）小長方形ChJ繞點C順時針旋轉(zhuǎn)一周的過程中，O-CJ與OCBJ能否全等?若能，直

接寫出旋轉(zhuǎn)角a的值；若不能，請說明理由.

57.如圖1,將兩個完全相同的三角形紙片ABC和、hC重合放置，其中2C=9t°,2B=2h=3t°.

（1）操作發(fā)現(xiàn)

如圖2,固定OABC,使O-hC繞點C旋轉(zhuǎn)，當點.恰好落在AB邊上時，填空:

①線段.h與AC的位置關(guān)系是；

②設(shè)0B.C的面積為Si,0AhC的面積為Sz,則Si與S2的數(shù)量關(guān)系是.

（2）猜想論證

當O.hC繞點C旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置時，小明猜想(1)中S1與S2的數(shù)量關(guān)系仍然成

立，并嘗試分別作出了OB.C和OAhC中BC、Ch邊上的高，請你證明小明的猜想.

(3)拓展探究

已知2ABe=tt。，點一是角平分線上一點，B一=C_=t,一h〃AB交BC于點h(如圖

4).若在射線BA上存在點。使Soc=SoB.h,請直接寫出相應(yīng)的B'的長.

58.在菱形ABJ中，2A.C=12t。，點h是對角線AC上一點，連接一h,\hC=5t°,將線段

BC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)5t0并延長得到射線B',交h.的延長線于點G.

(2)求證：hG=BC；

(3)用等式表示線段Ah,hG,BG之間的數(shù)量關(guān)系：.

59.在銳角OABC中，AB=ttBC=5t2ACB=t5°,將0ABC繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到

0AiBCi.

(1)如圖1,當點C1在線段CA的延長線上時，求2CC1A1的度數(shù)；

(2)如圖2,連接AAitCCi.若OABAi的面積為t,求0CBCi的面積；

(3)如圖3,點h為線段AB中點，點P是線段AC上的動點，在0ABC繞點B按逆時針方向

旋轉(zhuǎn)過程中，點P的對應(yīng)點是點Pi，求線段hPi長度的最大值與最小值.

60.己知:RtOA'BC'和RtOACB重合，2A'C'B=2ACB=9t°,2BA'C'=2BAC=3t°.IORtO

A，BC,繞點B按逆時針旋轉(zhuǎn)角a(ttotat9t。)，設(shè)旋轉(zhuǎn)過程中射線CC和線段AA，相交于點

?，連接B..

（1）當a=tt。時，A'B過點C,如圖1所示，判斷B.和A'A之間的位置關(guān)系，不必證明；

（2）當a=9t。時，在圖2中依題意補全圖形，并猜想（1）中的結(jié)論是否仍然成立，不必證明;

（3）如圖3,對旋轉(zhuǎn)角a（tt°€a€9t°）,猜想（1）中的結(jié)論是否仍然成立，若成立，請證

明你結(jié)論；若不成立，請說明理由.

61.己知：如圖，0ABC是等腰直角三角形，2BAC=9巴過點C作BC的垂線1,把一個足夠大的

三角板的直角頂點放到點A處（三角板和0ABC在同一平面內(nèi)），繞著點A旋轉(zhuǎn)三角板，使三

角板的直角邊Ah與直線BC交于點?，另一條直角邊Ah與直線1交于點h.

（1）當三角板旋轉(zhuǎn)到圖1位置時，若AC=也,求四邊形A.Ch的面積；

（2）在三角板旋轉(zhuǎn)的過程中，請?zhí)骄?h_c與2BA.的數(shù)量關(guān)系，并證明.

62.［問題提出］

如圖1,四邊形ABC_中，A_=C_,2ABC=12t°,2A_C=tt°,AB=2,BC=1,求四邊

形ABC.的面積.

［嘗試解決］

旋轉(zhuǎn)是一種重要的圖形變換，當圖形中有一組鄰邊相等時，往往可以通過旋轉(zhuǎn)解決問題.

（1）如圖2,連接B.,由于A.=C.,所以可將0.CB繞點.順時針方向旋轉(zhuǎn)tt。，得lj

0.AB',則0B.B'的形狀是.

（2）在（1）的基礎(chǔ)上，求四邊形ABC.的面積.

［類比應(yīng)用］

如圖3,四邊形ABC,中，A.=C.,2ABC=嬖5°,2A.e=tt°,AB=2,BC=&,求四

邊形ABC.的面積.

63.如圖，方格紙中每個小正方形的邊長都是1個單位長度，RtOABC的三個頂點AY2t2,)

B(tt5),C(tt2).

(1)將0ABC以點C為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)Lt。，得到OAiBiC,請畫出OAiBiC的圖形；

(2)平移0ABC,使點A的對應(yīng)點A2坐標為(一2t一上，請畫出平移后對應(yīng)的OA2B2c2的圖

形；

(3)若將OAiBiC繞某一點旋轉(zhuǎn)可得到OA2B2c2,請直接寫出旋轉(zhuǎn)中心的坐標.

64.如圖，已知OABC是等腰三角形，頂角2BAC=o(a€tt。，)一是BC邊上的一點，連接A_,

線段A.繞點A順時針旋轉(zhuǎn)a角到Ah,過點h作BC的平行線，交AB于點'，連接一h,Bh,

(1)求證：Bh=C_；

(2)若人_丁8&試判斷四邊形B-'h的形狀，并給出證明.

65.如圖6點0為正方形ABC一的中心.

（1）將線段Oh繞點0逆時針方向旋轉(zhuǎn)9t。，點h的對應(yīng)點為點‘，連接h',Ah,B',請依

題意補全圖1；

（2）根據(jù)圖1中補全的圖形，猜想并證明Ah與B'的關(guān)系；

（3）如圖2,點G是0A中點，0hG’是等腰直角三角形，H是h'的中點，2hGz=9t°,

AB=2泥，Gh=2,0hG'繞G點逆時針方向旋轉(zhuǎn)a角度，請直接寫出旋轉(zhuǎn)過程中BH的

最大值.

66.數(shù)學(xué)活動課上，老師提出這樣一個問題：如果AB=BC,2ABC=tt°.2Ape=3t。，連接PB,

那么PA、PB、PC之間會有怎樣的等量關(guān)系呢？

經(jīng)過思考后，部分同學(xué)進行了如下的交流：

小蕾：我將圖形進行了特殊化，讓點P在BA延長線上（如圖1）,得到了一個猜想：PA2+

PC2=PB2.

小東：我假設(shè)點P在2ABe的內(nèi)部，根據(jù)題目條件，這個圖形具有“共端點等線段”的特點，可

以利用旋轉(zhuǎn)解決問題，旋轉(zhuǎn)0PAB后得至IJ0P'CB,并且可推出0PBP',0PCP'分別是等邊三

角形、直角三角形，就能得到猜想和證明方法.

這時老師對同學(xué)們說，請大家完成以下問題：

（1）如圖2,點P在2ABe的內(nèi)部，

①PA=t,PC=2?PB=；

②用等式表示PA、PB、PC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

（2）對于點P的其他位置，是否始終具有（2）中的結(jié)論?若是，請證明；若不是，請舉例說明.

67.如圖1,在RtOABC中，？ACB=9t。，h是邊AC上任意一點（點h與點A,C不重合），以

Ch為一直角邊作RtOhJ,2hC?=9t°,連接Bh,A一.

A

AA

(I)若CA=CB,Ch=C-

(i)猜想線段Bh,A.之間的數(shù)量關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系，直接寫出結(jié)論；

(ii)現(xiàn)將圖1中的RtOhC.繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)銳角a,得到圖2,請判斷(i)中的結(jié)論

是否仍然成立，若成立，請證明；若不成立，請說明理由；

(2)若CA=一，CB=t,Ch=3,C_=t,Rt0hC_繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)銳角a,如圖3連

接B~,Ah,計算B一2+A1?的值.

68.如圖，OABC中，AB=AC,點P是三角形右外一點，且2APB=2ABC.

(1)如圖1,若？BAC=tt。，點P恰巧在2ABe的平分線上，PA=2,求PB的長;

(2)如圖2,若2BAC=tt°,探究PA,PB,PC的數(shù)量關(guān)系，并證明；

(3)如圖3,若2BAC=12t°,請直接寫出PA,PB,PC的數(shù)量關(guān)系.

69.在OABC中，2c=9t。，AC=BC,點一在射線BC上(不與點B,C重合)，連接A.,將

A.繞點1.順時針旋轉(zhuǎn)9t。得到?h,連接Bh.

(1)如圖1,點一在BC邊上.

①依題意補全圖1;

②作JTBC交AB于點'，若AC=.,「=3,求Bh的長；

(2)如圖2,點.在BC邊的延長線上，用等式表示線段AB,B.,Bh之間的數(shù)量關(guān)系(能寫

出結(jié)論).

70.閱讀下面資料：

圖1圖2S3

（1）問題情境：

如圖1,等邊OABC,2CAB和2CBA的平分線交于點0,將頂角為12t。的等腰三角形紙片

（紙片足夠大）的頂點與點0重合，已知0A=2,則圖中重疊部分OOAB的面積

是.

（2）探究:

在（1）的條件下，將紙片繞0點旋轉(zhuǎn)至如圖2所示位置，紙片兩邊分別與AB,BC交于點

h,求圖2中重疊部分的面積.

（3）如圖3,若2ABe=a（to€a€9t。），點0在2ABe的角平分線上，且B0=2,以0

為頂點的等腰三角形紙片（紙片足夠大）與2ABC的兩邊AB,BC分別交于點h,

2hO,=直接寫出重疊部分的面積.（用含a的式子表示）

71.如圖1,已知線段BC=2,點B關(guān)于直線AC的對稱點是點.，點h為射線CA上一點，且

h,=B',連接/，Bh.

（1）依題意補全圖1,并證明：OB一h為等邊三角形