【北師大版】九年級數(shù)學(xué)上冊：第1~6章專訓(xùn)+全章熱門考點整合應(yīng)用（含答案）

專訓(xùn)1利用矩形的性質(zhì)巧解折疊問題

名師點金：折疊問題往往通過圖形的折疊找出線段或角與原圖形之

間的聯(lián)系，從而得到折疊部分與原圖形或其他圖形之間的關(guān)系，即折疊

前后的圖形全等；在計算時，常常通過設(shè)未知數(shù)列方程求解.

剛舔笛度L利用矩形的性質(zhì)巧求折疊中的角

1.當(dāng)身邊沒有量角器時怎樣得到一些特定度數(shù)的角呢？動手操作有

時可以解“燃眉之急”.如圖，已知矩形紙片ABCD(矩形紙片要足夠長)，

我們按如下步驟操作可以得到一個特定的角：

(1)以點A所在直線為折痕，折疊紙片，使點B落在邊AD上,折痕

與BC交于點E；

(2)將紙片展平后，再一次折疊紙片，以點E所在直線為折痕，使點

A落在BC上，折痕EF交AD于F,求NAFE的度數(shù).

s'-----------------'c（第1題）

冽套兔利用矩形的性質(zhì)巧求折疊中線段的長

2.【2016?臺灣】圖①為長方形紙片ABCD,AD=26,AB=22,直

線L,M皆為長方形的對稱軸.今將長方形紙片沿著L對折后，再沿著M

對折，并將對折后的紙片左上角剪下直角三角形，形成一個五邊形

EFGHI,如圖②，最后將圖②的五邊形展開后形成一個八邊形，如圖③，

且八邊形的每一邊長恰好均相等.

①②③(第2題)

(1)若圖②中的HI長度為x,請用x分別表示剪下的直角三角形的勾

長和股長.

(2)請求出圖③中八邊形的一邊長的數(shù)值，并寫出完整的解題過程.

測綠質(zhì)度3利用矩形的性質(zhì)巧證折疊中線段的關(guān)系

3.如圖，將矩形紙片ABCD沿對角線BD折疊，點C落在點E處，

BE交AD于F,連接AE.

求證：(1)BF=DF；(2)AE〃BD.

測筋隱度土利用矩形的性質(zhì)巧求折疊中線段的比

4.如圖，將一張矩形紙片ABCD沿直線MN折疊，使點C落在點A

處，點D落在點E處，直線MN交BC于點M,交AD于點N.

⑴求證：CM=CN;

MN

若的面積與的面積比為,求的值.

(2)4CMN4CDNDN

E

答案

f

、I，、

\、::，，\、

\'/、、

BEA'C

（第1題）

1.解：設(shè)折疊后，點A的對應(yīng)點為點A，，點B的對應(yīng)點為點B一如

圖，由折疊的性質(zhì)得NAEF=NA，EF,ZBEA=ZAEB",

ZB=ZABT,BE=BT,AE=EA;

ZBAB^ZABE=90°,

ZBEBf=90°.

ZBEA=NAEB'=45°.

又ZBEA+ZAEF+NFEA'=180。，

NFEA'=67.5°.

?.?AD〃BC,.?.NAFE=NFEA'=67.5。.

2.解：⑴分別延長HI與FE,相交于點N,如圖.

VHN=^AD=13,NF=1AB=11,HI=EF=x,

NI=HN-HI=13-x,NE=NF-EF=11-x.

...剪下的直角三角形的勾長為11-x,股長為13-x.

(第2題)

⑵在RfZSENI中，NI=13-x,NE=11-x,

EI=^NI2+NE2=^2x2-48X+290.

?.?八邊形的每一邊長恰好均相等，

EI=2HI=2x=^2x2-48x+290,

整理得：x2+24x-145=0,

(x-5)(x+29)=0,

解得：x=5,或*=-29(舍去).

AEI=2X5=10.

故八邊形的邊長為10.

3.證明：(1)由折疊的性質(zhì)可知，NFBD=NCBD.因為在矩形ABCD

中，AD〃BC,所以NFDB=ZCBD.

所以NFBD=NFDB.所以BF=DF.

(2)因為四邊形ABCD是矩形，所以AB=DC,AD=BC.由折疊的性

質(zhì)可知，DC=ED=AB,BC=BE=AD.

又因為AE=AE,所以4AEB0Z\EAD.所以/AEB=NEAD.

所以NAEB=；(180。-ZAFE).

由(1)知NDBE=ZBDF,

所以NDBE=；(180。-ZBFD).

而ZAFE=ZBFD,

所以NAEB=NDBE.

所以AE〃BD.

4.(1)證明：由折疊的性質(zhì)可得點A,(2關(guān)于直線MN對稱，；./ANM

=ZCNM.V四邊形ABCD是矩形，,AD〃BC.；.ZANM=/CMN.

ZCMN=ZCNM.CM=CN.

(2)解：過點N作NH±BC于點H,則四邊形NHCD是矩形，，HC

=DN,NH=DC.：4CMN的面積與aCDN的面積比為3：1,

?l-MCNHy

.、Z\CMN_2________MC_

===3

,,SACDN1?NTUDN'

2-DNNH

.?.MC=3DN=3HC.

，MH=2HC.設(shè)DN=x,

則HC=x,MH=2x.ACM=3x=CN.

在/?rACDN中，DC=^CN2-DN2=2^2x,

ANH=2嫄x.在放△MNH中，MN=^MH2+NH2=2小x.

.MN_2^3x

,,DN_x_R工

專訓(xùn)2利用特殊四邊形的性質(zhì)巧解動點問題

名師點金：利用特殊四邊形的性質(zhì)解動點問題，一般將動點看成特

殊點解決問題，再運用從特殊到一般的思想，將特殊點轉(zhuǎn)化為一般點（動

點）來解答.

:邙瘠焉度7平行四邊形中的動點問題

1.如圖，在口ABCD中,E,F兩點在對角線BD上運動(E下不重合)，

且保持BE=DF,連接AE,CF.請你猜想AE與CF有怎樣的數(shù)量關(guān)系和

位置關(guān)系，并說明理由.

AD

B-----?C（第1題）

測卷隱度至菱形中的動點問題

2.如圖，在菱形ABCD中，NB=60。，動點E在邊BC上，動點F

在邊CD上.

(1)如圖①，若E是BC的中點，ZAEF=60°,求證：BE=DF;

(2)如圖②，若NEAF=60。，求證：4AEF是等邊三角形.

DA

洌施毒嶷矩形中的動點問題

3.在矩形ABCD中，AB=4的，BC=8cm,AC的垂直平分線EF

分別交AD,BC于點E,F,垂足為O.

(1)如圖①，連接AF,CE.試說明四邊形AFCE為菱形，并求AF的

(2)如圖②，動點P,Q分別從A,C兩點同時出發(fā)，沿4AFB和4CDE

各邊勻速運動一周，即點P自AfF-*BfA停止，點Q自C-DfE-C

停止.在運動過程中，已知點P的速度為5cm/s,點Q的速度為4cm/s,

運動時間為ts,當(dāng)以A,C,P,Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，

求t的值.

中凝漉度4正方形中的動點問題

4.如圖，正方形ABCD的邊長為8cm,E,F,G,H分別是AB,

BC,CD,DA上的動點，且AE=BF=CG=DH.

⑴求證：四邊形EFGH是正方形；

(2)判斷直線EG是否經(jīng)過一個定點，并說明理由.

答案

1.解：AE=CF,AE〃CF.理由如下：

,/四邊形ABCD是平行四邊形，

.*.AB=CD,AB〃CD.

.\ZABE=ZCDF.

XVBE=DF,.*.△ABE^ACDF.

AE=CF,ZAEB=ZCFD.

ZAEB+ZAED=ZCFD+ZCFB=180°,

ZAED=NCFB..\AE〃CF.

2.證明：（1）連接AC-.?在菱形ABCD中，/B=60。，AB=BC=CD,

.,.ZBCD=180°-ZB=120°,AABC是等邊三角形.又是BC

的中點，.,.AEIBC,VZAEF=60°,ZFEC=90°-ZAEF=

30°.AZCFE=180°-ZFEC-ZBCD=180°-30°-120°=30°.二ZFEC

=ZCFE.EC=CF.BE=DF.

（2）連接AC.由⑴知4ABC是等邊三角形，

/.AB=AC,ZACB=ZBAC=ZEAF=60°.ZBAE=ZCAF.

ZBCD=120°,ZACB=60°,

.*.ZACF=60°=ZB.

.,.△ABE^AACE

...AE=AF....AAEF是等邊三角形.

3.解：（1）..?四邊形ABCD是矩形，

，AD〃BC.

ZOAE=ZOCF,ZAEO=ZCFO.

VEF垂直平分AC,垂足為O,

.*.OA=OC.

△AOE會4COF.工OE=OF.

四邊形AFCE為平行四邊形.

又?.?EFJ_AC,...四邊形AFCE為菱形.

設(shè)AF=CF=xcm,貝ijBF=(8-x)cm,

在RtAABF中，AB=4on,由勾股定理得42+(8-x)2=x2,解得x

=5,

.*.AF=5cm.

(第3題)

(2)顯然當(dāng)P點在AF上，Q點在CD上時，A,C,P,Q四點不可

能構(gòu)成平行四邊形；同理P點在AB上時，Q點在DE或CE上，也不可

能構(gòu)成平行四邊形.因此只有當(dāng)P點在BF上，Q點在ED上時，才能構(gòu)

成平行四邊形，如圖，連接AP,CQ,若以A,C,P,Q四點為頂點的

四邊形是平行四邊形，則PC=QA.

?.?點P的速度為5cm/s,點Q的速度為4cmJs,運動時間為ts,

PC=5tcm,QA=(12-4t)cm.

4

5t=12-4t,解得t=g.

4

.?.以A,C,P,Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，t=

(第4題)

4.⑴證明：：四邊形ABCD為正方形，

ZA=ZABC=ZC=ZADC=90°,AB=BC=CD=AD.

AE=BF=CG=DH,ABE=CF=DG=AH.

AAEH^ABFE^ACGF^ADHG.

.*.EH=EF=FG=GH,Z1=Z2.

四邊形EFGH為菱形.

VZ1+Z3=90°,Z1=Z2,

N2+N3=90°.ZHEF=90°.

?.?四邊形EFGH為菱形，

四邊形EFGH是正方形.

(2)解：直線EG經(jīng)過一個定點.理由如下：如圖，連接BD,DE,BG.

設(shè)EG與BD交于O點.

VBE=DG,

...四邊形BGDE為平行四邊形.

ABD,EG互相平分..?.BO=OD.

.?.點O為正方形的中心.

直線EG必過正方形的中心.

全章熱門考點整合應(yīng)用

名師點金：本章內(nèi)容是中考的必考內(nèi)容，主要考查與特殊平行四邊

形中菱形.矩形.正方形有關(guān)的計算和證明等問題.近幾年又出現(xiàn)了許多

與特殊平行四邊形有關(guān)的開放探索題.操作題以及與全等.相似.函數(shù)知

識相結(jié)合的綜合題.其主要考點可概括為：一個定理.三個圖形.三個判定

與性質(zhì).四個技巧.兩種思想.

潴送!一個定理一直角三角形斜邊上的中線定理

1.如圖，在4ABC中，點D,E,F分別是AB,BC,CA的中點，

AH是邊BC上的高.求證：

(1)四邊形ADEF是平行四邊形；

(2)ZDHF=ZDEF.

(第1題)

考點2三個圖形

圖形1菱形

2.如圖，在AABC中DE分別是ABAC的中點對點E作EF〃AB,

交BC于點F.

(1)求證：四邊形DBFE是平行四邊形.

(2)當(dāng)AABC滿足什么條件時，四邊形DBFE是菱形？并說明理由.

金

B-------F----C(第2題)

圖形2矩形

3.如圖，在口ABCD中，點O是AC與BD的交點，過點O的直線與

BA的延長線，DC的延長線分別交于點E,F.

(1)求證:AAOE^ACOF.

⑵連接EC,AF,則EF與AC滿足什么數(shù)量關(guān)系時，四邊形AECF

是矩形？請說明理由.

(第3題)

圖形3正方形

4.如圖，在7?zAABC中，ZABC=90°,先把4ABC繞點B順時針

旋轉(zhuǎn)90。后得4DBE,再把4ABC沿射線AB平移至AFEG,DE,FG相

交于點H.

(1)判斷線段DE,FG的位置關(guān)系，并說明理由；

(2)連接CG,求證：四邊形CBEG是正方形.

CG

AB―羊X(第4題)

考點方三個判定與性質(zhì)

判定與性質(zhì)1菱形

5.如圖，在4ABC中，ZBAC的平分線交BC于點D,E是AB上

一點，且AE=AC,EF〃BC交AD于點F.

求證：四邊形CDEF是菱形.

判定與性質(zhì)2矩形

6.【2015?湘西州】如圖，在QABCD中，DE1AB,BF±CD,垂足

分別為E,F.求證：

(l)AADE^ACBF;

(2)四邊形DEBF為矩形.

判定與性質(zhì)3正方形

7.如圖，E為正方形ABCD的邊AB的延長線上一點，DE交AC于

點F,交BC于點G,H為GE的中點.

求證：FB±BH.

D

4

A

BE(第7題)

考點4四個技巧

技巧1解與四邊形有關(guān)的折疊問題的技巧（軸對稱變換法】

8.如圖，在矩形ABCD中，AB=10,BC=5,點E,F分別在AB,

CD上，將矩形ABCD沿EF折疊，使點A,D分別落在矩形ABCD外

部的點A1，D處，求陰影部分圖形的周長.

技巧2解與四邊形有關(guān)的旋轉(zhuǎn)問題的技巧（特殊位置法】

9.如圖，正方形ABCD的對角線相交于點O點O也是正方形ABCO

的一個頂點，如果兩個正方形的邊長都等于1,那么正方形A，B，CO繞頂

點O轉(zhuǎn)動，兩個正方形重疊部分的面積大小有什么規(guī)律？請說明理由.

B'C)（第9題）

技巧3解與四邊形有關(guān)的動點問題的技巧(固定位置法】

10.如圖，在邊長為10的菱形ABCD中，對角線BD=16,對角線

AC,BD相交于點G,點O是直線BD上的動點，OELAB于E,OF±AD

于F.

(1)求對角線AC的長及菱形ABCD的面積.

(2)如圖①，當(dāng)點O在對角線BD上運動時，OE+OF的值是否發(fā)生

變化？請說明理由.

(3)如圖②，當(dāng)點O在對角線BD的延長線上時，OE+OF的值是否

發(fā)生變化？若不變，請說明理由；若變化，請?zhí)骄縊E,OF之間的數(shù)量

關(guān)系.

技巧4解中點四邊形的技巧

11.如圖，在4ABC中，AB=AC,點O在4ABC的內(nèi)部，ZBOC

=90°,OB=OC,D,E,F,G分別是AB,OB,OC,AC的中點.

(1)求證：四邊形DEFG是矩形；

(2)若DE=2,EF=3,求4ABC的面積.

A

(第11題)

考點5兩種思想

思想1轉(zhuǎn)化思想

12.如圖，在四邊形ABCD中，NC=90。，ZABD=ZCBD,AB=

CB,P是BD上一點，PE1BC,PF±CD,垂足分別為點E,F.求證：PA

思想2數(shù)形結(jié)合思想

13.［閱讀］

在平面直角坐標(biāo)系中，以任意兩點P(xi,y.),Q(X2,y2)為端點的線

段的中點坐標(biāo)為g0.

I212J

［運用］

⑴如圖，矩形ONEF的對角線相交于點M,ON,OF分別在x軸和

y軸上，0為坐標(biāo)原點，點E的坐標(biāo)為(4,3)，則點M的坐標(biāo)為.

(2)在平面直角坐標(biāo)系中，有A(-1,2),B(3,1),C(1,4)三點，另

有一點D與點A,B,C構(gòu)成平行四邊形的頂點，求點D的坐標(biāo).

答案

1.證明：⑴二?點D,E分別是AB,BC的中點，

...DE〃AC.同理可得EF//AB.

四邊形ADEF是平行四邊形.

(2)由⑴知四邊形ADEF是平行四邊形，

AZDAF=ZDEF.

在放aAHB中，:D是AB的中點，

.*.DH=1AB=AD.

ZDAH=ZDHA.

同理可得HF=；AC=AF,

ZFAH=zFHA.

，ZDAH+ZFAH=ZDHA+ZFHA.

.,.ZDAF=ZDHF.

.,.ZDHF=ZDEF.

2.(1)證明：分別是AB,AC的中點，

；.DE是△ABC的中位線.

；.DE〃BC.

又：EF〃AB,

四邊形DBFE是平行四邊形.

(2)解：答案不唯一，下列解法供參考.

當(dāng)AB=BC時，四邊形DBFE是菱形.

理由：是AB的中點，

.?.BD=；AB.

?「DE是△ABC的中位線，

.?.DE=1BC.

又AB=BC,ABD=DE.

又?.?四邊形DBFE是平行四邊形，

，四邊形DBFE是菱形.

3.(1)證明：：四邊形ABCD是平行四邊形，

/.OA=OC,AB〃CD.

ZAEO=ZCFO.

又：ZAOE=ZCOF,

，ZXAOE也△COF(44S).

(2)解：當(dāng)AC=EF時，四邊形AECF是矩形.

理由如下：

由(1)知MOE0/XCOF,.,.OE=OF.

又90=8,

四邊形AECF是平行四邊形.

又VAC=EF,四邊形AECF是矩形.

4.⑴解:DE_LFG理由如下：

由題意，得NA=NBDE=NGFE,ZABC=ZDBE=90°,

ZBDE+ZBED=90°.

ZGFE+ZBED=90°.

ZFHE=90°,即DE±FG

(2)證明：AABC沿射線AB平移至4FEG,

，CB〃GE,CB=GE.

四邊形CBEG是平行四邊形.

ZGEF=ZABC=90°,

，四邊形CBEG是矩形.

VBC=BE,

...四邊形CBEG是正方形.

（第5題）

5.證明：如圖，連接CE,交AD于點O.

VAC=AE,

.'.△ACE為等腰三角形.

「AO平分

ZCAE,

.\AO1CE,且OC=OE.

VEF/7CD,

.\Z2=Z1.

又ZDOC=ZFOE,

，ADOC^AFOE（A5A）.

.,.OD=OF.

即CE與DF互相垂直且平分.

四邊形CDEF是菱形.

6.證明：（1）?.?四邊形ABCD是平行四邊形，.?.NA=NC,AD=CB.

又?「DELAB,BF±CD,AZDEA=ZBFC=90°.

.,.△ADE^ACBF.

(2)VAADE^ACBF,.,.AE=CF.

VCD=AB,.*.DF=BE.

又「CDaAB,

四邊形DEBF為平行四邊形.

又ZDEB=90°,

四邊形DEBF為矩形.

7.證明：二?四邊形ABCD是正方形，

.*.CD=CB,ZDCF=ZBCF=45°,

DC〃AE,ZCBE=90°,

.*.ZCDF=ZE.

又CF=CF,ADCF^ABCF.

，ZCDF=ZCBEAZCBF=ZE.

??'H為GE的中點，

.?.HB=HG=1GE.

ZHGB=ZHBG

ZCDG+ZCGD=90°,ZCGD=ZHGB=ZHBG,

ZFBG+ZHBG=90°.

即NFBH=90。，...FB_LBH.

8.角翠：?.?在矩形ABCD中，AB=10,BC=5,，CD=AB=10,AD

=BC=5.

又?.?將矩形ABCD沿EF折疊，使點A,D分別落在矩形ABCD外

部的點Ai,Di處，.?.根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得A1E=AE,AiDi=AD,DiF

=DF.

設(shè)線段DF與線段AB交于點M,則陰影部分的周長為

(AiE+EM+MDi+AD)+(MB+MF+FC+CB)

=AE+EM+MDi+AD+MB+MF+FC+CB

=(AE+EM+MB)+(MDi+MF+FC)+AD+CB

=AB+(FDi+FC)+10

=AB+(FD+FC)+10

=10+10+10=30.

9.解：兩個正方形重疊部分的面積保持不變，始終是:.

理由如下：

,/四邊形ABCD是正方形，

.,.OB=OC,ZOBE=ZOCF=45°,ZBOC=90°.

四邊形ABCO是正方形，

工ZEOF=90°.ZEOF=ZBOC.

ZEOF-ZBOF=ZBOC-ZBOF.

即NBOE=NCOF.

/.ABOE=ACOF.SABOE=SACOF.

...兩個正方形重疊部分的面積等于SABOC.

0?*S正方形ABCD=1X1=1,

.0_1_j_

??SABOC=4S正方形ABCD=不

...兩個正方形重疊部分的面積保持不變，始終是：.

10.解：(1)在菱形ABCD中，AG=CG,AC±BD,BG=^BD=1xi6

=8,

由勾股定理得AG=-^AB2-BG2=102-82=6,

所以AC=2AG=2X6=12.

所以菱形ABCD的面積=；ACBD義12X16=96.

(2)不發(fā)生變化.理由如下：如圖①，連接AO,則SAABD=SAABO+

SAAOD,

所以;BD?AG=；AB?OE+|ADOF.

Bp|xi6X6=1xiOOE+|xiOOF.

解得OE+OF=9.6,是定值，不變.

(3)發(fā)生變化.如圖②，連接AO,則SAABD=SAABO-SAAOD,

所以;BDAG=；ABOE-|ADOF.

Ep|xi6X6=1xiO-OE-|x10-OF.

解得OE-OF=9.6,是定值，不變.

所以O(shè)E+OF的值發(fā)生變化，OE,OF之間的數(shù)量關(guān)系為OE-OF

=9.6.

A

（第10題）

11.⑴證明：如圖，連接AO并延長交BC于H,

VAB=AC,OB=OC,

AAH是BC的中垂線，即AH±BC于H.

VD,E,F,G分別是AB,OB,OC,AC的中點，

（第11題）

.?.DG〃EF〃BC,DE〃AH〃GF.

...四邊形DEFG是平行四邊形.

?.?EF〃BC,

AH1BC,

.,.AH±EF.

又?.?DE〃AH,

AEFIDE,

四邊形DEFG是矩形.

(2)解：：D,E,F分別是AB,OB,OC的中點.

.*.AO=2DE=4,BC=2EF=6.

?.?△BOC是等腰直角三角形，

.*.OH=1BC=3.

.,.AH=OA+OH=4+3=7.

.,.SAABC=1X6X7=21.

(第12題)

12.證明：如圖，連接PC.

VPE±BC,PF±CD,ZECF=90°.

，ZPEC=ZPFC=ZECF=90°.

四邊形PECF是矩形.PC=EF.

在AABP和ACBP中，

AB=CB,

<ZABP=ZCBP,

、BP=BP,

.?.△ABP0△CBP(SAS).

.*.PA=PC..,.PA=EE

點撥：本題運用了轉(zhuǎn)化思想將四邊形中的邊轉(zhuǎn)化到三角形中，通過

用等式的傳遞性證明兩條線段相等.

13.解：(1)(2,1.5)

(2)設(shè)點D的坐標(biāo)為(x,y).

若以點A,B,C,D為頂點構(gòu)成的四邊形是平行四邊形，

①當(dāng)AB為對角線時，

VA(-1,2),B(3,1),C(1,4),

-1+31+x2+14+y

?*,~2-2，2=2'

/.x=1,y=-1.

.?.點D的坐標(biāo)為(1,-1).

②當(dāng)BC為對角線時，

VA(-1,2),B(3,1),C(1,4),

.3+1-1+x1+42+y

2=-2-=2,

??x—5,y—3.

...點D的坐標(biāo)為(5,3).

③當(dāng)AC為對角線時，

VA(-1,2),B(3,1),C(1,4),

-1+13+x2+41+y

-2-2，2=2,

??x=-3,y=5.

.?.點D的坐標(biāo)為(-3,5).

綜上所述，點D的坐標(biāo)為(1,-1)或(5,3)或(-3,5).

專訓(xùn)2根的判別式的六種常見應(yīng)用

名師點金：對于一元二次方程ax?+bx+c=O(a^O),式子b?—4ac

的值決定了一元二次方程的根的情況，利用根的判別式可以不解方程直

接判斷方程根的情況，反過來，利用方程根的情況可以確定方程中待定

系數(shù)的值或取值范圍.

退圖!利用根的判別式判斷一元二次方程根的情況

1.已知方程x2-2x-m=0沒有實數(shù)根，其中m是實數(shù)，試判斷方程

x2+2mx+m(m+1)=0有無實數(shù)根.

2.已知關(guān)于x的方程x2+2mx+m2-1=0.

⑴不解方程，判別方程根的情況；

(2)若方程有一個根為3,求m的值.

遨國Z利用根的判別式求字母的值或取值范圍

3.已知關(guān)于x的一元二次方程mx2-(m+2)x+2=0,

⑴證明：不論m為何值，方程總有實數(shù)根；

(2)m為何整數(shù)時，方程有兩個不相等的正整數(shù)根.

利用根的判別式求代數(shù)式的值

4.已知關(guān)于x的方程x2+(2m-l)x+4=0有兩個相等的實數(shù)根，求

m-1

的值.

(2m-1)2+2m

懣&5利用根的判別式解與函數(shù)綜合問題

5.y=JT7x+l是關(guān)于x的一次函數(shù)，則一元二次方程kx?+2x+l

二0的根的情況為()

A.沒有實數(shù)根

區(qū)有一個實數(shù)根

C有兩個不相等的實數(shù)根

D有兩個相等的實數(shù)根

及曳5利用根的判別式確定三角形的形狀

6.已知a,b,c是三角形的三邊長，且關(guān)于x的一元二次方程(a+c)x?

a-c

+bx+丁=0有兩個相等的實數(shù)根，試判斷此三角形的形狀.

座電&利用根的判別式探求菱形條件

7.(中考?淄博】已知口ABCD的兩邊AB,AD的長是關(guān)于x的方程x2

-mx+y-1=0的兩個根.

(l)m為何值時，口ABCD是菱形？并求出菱形的邊長.

⑵若AB的長為2,求QABCD的周長是多少？

答案

1.解：?.B-Zx-muO沒有實數(shù)根，

/.Ai=(-2)2-4-(-m)=4+4m<0,即m<-1.

對于方程x2+2mx+m(m+1)=0,

△2=(2m)2-4-m(m+1)=-4m>4,

.,?方程x2+2mx+m(m+1)=0有兩個不相等的實數(shù)根.

2.^?：(1)A=b2-4ac=(2m)2-4X1X(m2-1)=4m2-4m2+4=4>0,

...方程有兩個不相等的實數(shù)根.

⑵將x=3代入方程中，得

9+2mX3+m2-1=0,HPm2+6m+9=1,/.(m+3)2=l./.m+3=

±1.

.*.rm=-2,m2=-4.

3.(1)證明：A=[-(m+2)]2-8m=m2-4m+4=(m-2)2.

一不論m為何值,(m-2產(chǎn)20,

即A20.

...不論m為何值，方程總有實數(shù)根.

(2)解：解關(guān)于x的一元二次方程mx2-(m+2)x+2=0,得

m+2±\[Am+2±(m-2)

x=2m=2m'

.2

??X|=~,X2=1.

???方程的兩個根都是正整數(shù)，

2

是正整數(shù)，,m=1或m=2.

又?.?方程的兩個根不相等，

??mW2,??m—1.

4.解：\?關(guān)于x的方程x2+(2m-l)x+4=0有兩個相等的實數(shù)根，

.,.A=(2m-I)2-4X1X4=O,

即2m-1=±4.

?5日3

..m='或m=-2.

5

5m-171

當(dāng)m=3時，---------；--------=---------=T7；

2(2m-1)-+2m16+5⑶

3m-1"5

當(dāng)m=-；時，----------；-----=-------=-右.

2(2m-1)-+2m16-326

5.A點撥：+1是關(guān)于x的一次函數(shù)，

r.k-i>o,解得k>i.

又一元二次方程kx2+2x+1=0的判別式A=4-4k,

.,.A<0.

一元二次方程kx2+2x+l=0無實數(shù)根，故選A.

a-c

6.解：?.?方程(a+c)x2+bx+丁=0有兩個相等的實數(shù)根，

a-c

AA=b2-4(a+c)-=b2-(a2-c2)=0.

4

即b2+c2=a2,

此三角形是直角三角形.

7.解：(l)..FABCD是菱形，

AAB=AD..\A=O,

即m2-=m2-2m+1=0,/.m=1.

此時原方程為x2-x+1=0,

.1

..Xi=X2=2，

.?.當(dāng)m=1時，°ABCD是菱形，菱形ABCD的邊長為;.

(2)VAB=2，，將x=2代入原方程得4-2m+，-：=0,

解得m=|,

故原方程為x2-|x+l=O,

解得xi=2,x2=2,.*.AD=2.

故口ABCD的周長為2X(2+J=5.

專訓(xùn)2根與系數(shù)的關(guān)系的四種應(yīng)用類型

名師點金：利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系可以不解方程，僅

通過系數(shù)就反映出方程兩根的特征.在實數(shù)范圍內(nèi)運用一元二次方程的

根與系數(shù)的關(guān)系時，必須注意△?()這個前提，而應(yīng)用判別式△的前提

是二次項系數(shù)不為0.因此，解題時要注意分析題目中有沒有隱含條件

△20年na不0.

O.1/L利用根與系數(shù)的關(guān)系求代數(shù)式的值

1.設(shè)方程4x2-7x-3=0的兩根為X],X2，不解方程求下列各式的值.

(D(xi-3)(X2-3)；

(2)弋+^-；

XI+1X2+1

(3)X1-X2.

:類型2利用根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造一元二次方程

2.構(gòu)造一個一元二次方程，使它的兩根分別是方程5x2+2x-3=0各

根的負(fù)倒數(shù).

豫鸚利用根與系數(shù)的關(guān)系求字母的值或取值范圍

3.已知關(guān)于x的一元二次方程x2-4x+m=0.

⑴若方程有實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍；

(2)若方程兩實數(shù)根分別為Xi,x2,且滿足5x,+2X2=2,求實數(shù)m的

值.

襄理4巧用根與系數(shù)的關(guān)系確定字母系數(shù)的存在性

4.已知Xi,X2是關(guān)于X的一元二次方程4kx2-41?+1<+1=0的兩個

_3

實數(shù)根，是否存在實數(shù)k,使(2x]-X2)(xi-2x2)=-1成立？若存在，求

出k的值；若不存在，請說明理由.

答案

1.解：根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，有

73

X1+X2=彳，X1X2=-不

37

⑴(xi-3)(x2-3)=X1X2-3(X1+X2)+9=-a-3X4+9=3.

X2Xl

⑵痛

X2+1

X2(X2+1)+X](Xi+1)

(Xi+1)(X2+1)

Xi2+X22+Xi+X2

X1X2+Xl+X2+1

(Xl+X2)2-2X1X2+(Xl+X2)

X1X2+(Xl+X2)+1

中Lx(劇+11Q1

37,"32'

_—+—+

441

⑶：(XI-X2)2=(XI+X2)2-4X1X2=-4X^-,

/.Xl-X2=上

2.解：設(shè)方程5x?+2x-3=0的兩根為xi,X2,

23

貝Xl+X2=-5,X1X2="

設(shè)所求方程為y2+py+q=0,其兩根為yi,y2,

d11

令yi="-,V2="-.

JXlJX2

.,、(iniixi+x22

.?p=-(y1+y2)=-[q-m行+書，

q=yiy2=(-￡|[-￡|=*=-|.

25

???所求的方程為y2+fy-j=0，即3y2+2y-5=0.

3.解：⑴\?方程x2-4x+m=0有實數(shù)根，

A=b2-4ac=(-4)2-4m20,

mW4.

(2)：方程*2-4*+111=0的兩實數(shù)根為X|,X2,

.*.X|+X2=4,①

XV5x1+2x2=2,②

[xi=-2,

聯(lián)立①②解方程組得1

[X2=6.

Am=xi-x2=-2X6=-12.

4.解：不存在.理由如下：

?.?一元二次方程4kx2-4kx+k+l=0有兩個實數(shù)根，

.?.kWO，且A=(-4kA-4X4k(k+1)=-16k20,

/.k<0.

Vxi,X2是方程4kx2-41^+]<+1=0的兩個實數(shù)根,

k+1

...Xi+X2=1,X1X2=-^-.

k+9

(2X1-X2)(X1-2X2)=2(X1+X2)2-9X1X2="

3

又V(2xi-X2)(xi-2x2)=-2,

.LL2=39

??-4k2,,,K-5,

9

經(jīng)檢驗，k=￡是該分式方程的根.

3

又?.*<(),.?.不存在實數(shù)k,使(2xi-X2)(X|-2X2)=成立.

專訓(xùn)1一元二次方程的解法歸類

名師點金：解一元二次方程時，主要考慮降次，其解法有直接開平

方法.配方法.公式法和因式分解法等.在具體的解題過程中，結(jié)合方程的

特點選擇合適的方法，往往會達(dá)到事半功倍的效果.

濾駕，限定方法解一元二次方程

方法1形如(x+m)2=n(n20)的一元二次方程用直接開平方法求解

1.方程4x2-25=0的解為()

25

A.x=gRx=2

「5八2

C.x=±2D.x=±5

2.用直接開平方法解下列一元二次方程，其中無解的方程為()

A.x2-5=5B.-3x2=0

C.x2+4=0D.(x+1)2=0

方法2當(dāng)二次項系數(shù)為1,且一次項系數(shù)為偶數(shù)時，用配方法求解

3.用配方法解方程X2+3=4X,配方后的方程變?yōu)?)

A.(x-2)2=7B.(x+2)2=1

C.(x-2>=1D.(x+2>=2

4.解方程:x2+4x-2=0.

5.已知x2-10x+y2-16y+89=0,求j的值.

方法3能化成形如(x+a)(x+b)=0的一元二次方程用因式分解法求

解

6.(中考?寧夏)一元二次方程x(x-2)=2-x的根是()

A.-15.0

C.1和2D-1和2

7.解下列一元二次方程：

⑴X?-2x=0;

(2)16x2-9=0;

(3)4x2=4x-1.

方法4如果一個一元二次方程易于化為它的一般式，則用公式法求

解

8.用公式法解一元二次方程x2-1=2x,方程的解應(yīng)是()

-2±^52+V5

A.x=----2—B.x=-

「一八1皇

C.x=—2D.x=12

9.用公式法解下列方程.

(l)3(x2+l)-7x=0；

(2)4x2-3x-5=x-2.

:賣型2：選擇合適的方法解一元二次方程

10.方程4x2-49=0的解為（）

27

A.x=5.x=T

7722

---

C=-=D==

XI2X22XI7X27

11.一元二次方程x2-9=3-x的根是（）

A.xi=X2=3B.xi=X2=-4

Cxi=3和X2=-4Dxi=3和X2=4

12.方程(x+l)(x-3)=5的解是(I

A.xi=1,X2=-3B.xi=4,X2=-2

C.xi=-1,X2=3D.xi=-4,X2=2

13.解下列方程.

(l)3y2-3y-6=0；

（2）2x2_3x+i=o.

域理3用特殊方法解一元二次方程

方法1構(gòu)造法

14.解方程：6x2+19x+10=0.

15.若m,n,p滿足m-n=8,mn+p2+16=0,求m+n+p的值.

方法2換元法

。.整體換元

16.解方程：(x-l)(x-2)(x-3)(x-4)=48.

17Y+W-1=O.

反降次換元

18.解方程：6x4-35x3+62x2.35x+6=0.

c.倒數(shù)換元

x-23x

19.解方程：丁-4=2.

xx-2

方法3特殊值法

20.解方程:(x-2013)(x-2014)=2015X2016.

答案

l.C2.C3.C

4.角翠：x2+4x-2=0,

x2+4x=2,

(x+2>=6,

x+2=±^/6,

xi=-2+#,x?=-2-

5.解：x2-10x+y2-16y+89=0,

(x2-10x+25)+(y2-16y+64)=0,

(x-5>+(y-8>=0,

,?x5

??x=5,y=8.=g.

6.D

7.解：(1)x2-2x=0,x(x-2)=0,

??xi—0,X2=2.

33

(2)16x2-9=0,(4x+3)(4x-3)=0,/.xi=-,X2=

(3)4x2=4x-1,4x2-4x+1=0,

(2x-=0,...xi=X2=；.

8.B

9.解：(l)3(x2+1)-7x=0,3x2-7x+3=0,

Vb2-4ac=(-7)2-4X3X3=13.

7±yr3_7±vi3

，，x-2X3-6-

7+V137-V13

...X產(chǎn)-6-，X2=-6一-

(2)4x2-3x-5=x-2,4x2-4x-3=0,

:b2-4ac=(-4)2-4X4X(-3)=64.x=

.31

..xi=2,X2=-2.

10.Cll.C12.8

-(1)29

13.解：⑴3y2-3y-6=0,y?-y-2=0,[y-[=彳，

13

y-]二±],?』=2,y2=-1.

(2)2x2_3X+i=o,

Vb2-4ac=(-3)2-4X2X1=1,

3±^I=3±1

2X24'

即X1=1,X2=

14.解：將原方程兩邊同乘6，得(6xA+19*5)+60=0.解得6*=,

52

15或6x=-4..*.xi=-1,X2=-

15.解：因為m-n=8,所以m=n+8.

將m=n+8代入mn+p?+16=0中，得n(n+8)+p?+16=0,所以

n2+8n+16+p2=0,即(n+4)2+p2=0.

又因為(n+4)2>0,p220,

[n+4=0,[n=-4,

所以<解得<

IP=O,IP=O.

所以m=n+8=4.

所以m+n+p=4+(-4)+0=0.

16.解:原方程可變?yōu)閇(x-l)(x-4)][(x-2)(x-3)]=48,

即(x?-5x+4)(x2-5x+6)=48.

設(shè)y=x2-5x+5,則原方程變?yōu)?y-l)(y+1)=48