人教版八年級數(shù)學(xué)上冊第十二章全等三角形證明方法歸納及典型例題

全等三角的證明全等三形的性質(zhì)：應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等，對應(yīng)邊上的中線相等，對應(yīng)邊上的高相等，對應(yīng)角的角平分線相等，面積相等．尋找對應(yīng)邊和對應(yīng)角，常用到以下方法：全等三角形對應(yīng)角所對的邊是對應(yīng)邊，兩個對應(yīng)角所夾的邊是對應(yīng)邊．全等三角形對應(yīng)邊所對的角是對應(yīng)角，兩條對應(yīng)邊所夾的角是對應(yīng)角．有公共邊的，公共邊常是對應(yīng)邊．有公共角的，公共角常是對應(yīng)角．有對頂角的，對頂角常是對應(yīng)角．兩個全等的不等邊三角形中一對最長邊(最大角)是對應(yīng)邊或?qū)?yīng)角，一對最短邊(或最小角)是對應(yīng)邊(或?qū)?yīng)角)．要想正確地表示兩個三角形全等，找出對應(yīng)的元素是關(guān)鍵．全等三形的判定方：邊角邊定理(SAS)兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等．角邊角定理()：兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等．邊邊邊定理()：三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等．角角邊定理()：兩個角和其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等．斜邊、直角邊定理()：斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等．全等三形的應(yīng)用：運用三角形全等可以證明線段相等角相等直線垂直等問題在證明的過程中，注意有時會添加輔助線．拓展關(guān)點能通過判定兩個三角形全等進而證明兩條線段間的位置關(guān)系和大小關(guān)系而證明兩條線段或兩個角的和、差、倍、分相等是幾何證明的基礎(chǔ)．專題、常見輔助的做法典型例題找全等角形的方法可以從結(jié)論出發(fā)，尋找要證明的相等的兩條線段（或兩個角）分別在哪兩個可能全等的三角形中；可以從已知條件出發(fā)，看已知條件可以確定哪兩個三角形全等；可從條件和結(jié)論綜合考慮，看它們能確定哪兩個三角形全等；若上述方法均不可行，可考慮添加輔助線，構(gòu)造全等三角形。三角形常見輔助線作法：延長中線構(gòu)造全等三角形；利用翻折，構(gòu)造全等三角形；引平行線構(gòu)造全等三角形；作連線構(gòu)造等腰三角形。常見輔線的作法有下幾種（1）遇到等腰三角，可作邊上高，利“三線合一的性質(zhì)題，思維模是全等換中的“對”。例1：圖，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于點D，CE垂直于BD，交BD的延長線于點E。求證：BD=2CE思路分題意分：本題考查等腰三角形的三線合一定理的應(yīng)用解題思：要求證BD=2CE，可用加倍法，延長短邊，又因為BD平分∠ABC的件，可以和等腰三角形的三線合一定理結(jié)合起來。解答過證明：延長，CE交點F在和中∵∠1=∠2BE=BE，∠BEF=，∴ΔBEF≌，，從而CF=2CE又∠1+∠F=∠F=90°故1=3在ΔABDΔACF，∵∠∠3，，∠BAD=∠，∴，∴，∴BD=2CE。解題后思考等腰三角形“三線合一”性質(zhì)的逆命題在添加輔助線中的應(yīng)用不但可以提高解題的能力，而且還加強了相關(guān)知識點和不同知識領(lǐng)域的聯(lián)系，為同學(xué)們開拓了一個廣闊的探索空間；并且在添加輔助線的過程中也蘊含著化歸的數(shù)學(xué)思想，它是解決問題的關(guān)鍵。（2）若遇到三角形中線，倍長線，使長線段與原線長相，構(gòu)造全等角形，用的思維模是全等變換的“旋”。例：圖，已知中AD∠的平分線，AD又是BC上的中線。求證：ΔABC是等腰三角形。思路分題意分：本題考查全等三角形常見輔助線的知識。解思：在證明三角形的問題中特別要注意題中出現(xiàn)的中點、中線、中位線等條件，一般這些條件都是解題的突破口，本題給出了AD又BC邊的中線這一條件而且要求證AB=AC可倍長得等角形，從而問題得證。解過：證明：延長到E，使DE=AD連接BE又因為是BC邊的中線，∴BD=DC又∠∠CDAΔBED≌，故EB=AC，∠E=∠2∵AD是∠的平分線∴∠1=∠2，∴∠1=∠，∴AB=EB，從而AB=AC，即ΔABC等腰三角形。解題后的思考：題目中如果出現(xiàn)了三角形的中線，常加倍延長此線段，再將端點連結(jié)，便可得到全等三角形。（3）遇到角平分線，以自角分線的某一向角的兩邊垂線，用的思維模是三角全等變換的“對折”所考知點常常是角分線的質(zhì)定理或逆理。例3：已知，如圖，AC平分∠，CD=CB，AB>AD。求證：∠B+∠ADC=180°。思路分題意分：本題考查角平分線定理的應(yīng)用。解題思：因為AC是∠BAD的平分線，所以可過C作∠BAD的兩邊的垂線，構(gòu)造直角三角形，通過證明三角形全等解決問題。解答過證明：作CE⊥AB于E，CF⊥于F?！逜C平分∠BAD，∴CE=CF。在Rt△CBE和Rt△CDF中，∵CE=CF，CB=CD，∴Rt△CBE≌Rt△CDF，∴∠B=∠CDF，∵∠CDF+∠ADC=180°，∴∠B+∠ADC=180°。解題后思考：①關(guān)于角平行線的問題，常用兩種輔助線；②見中點即聯(lián)想到中位線。（4）過圖形上某一作特定平行，構(gòu)造等三角形，用的思模式是全等換中的平移”或“翻折疊”例4：圖，ΔABC中，AB=AC，是AB上一點，F(xiàn)是AC延長線上一點，連EFBC于D，若EB=CF。求證：DE=DF。思路分1題意分析：

本題考查全等三角形常見輔助線的知識：作平行線。）解思因為DEDF所的個三角形與不能全等又知，所以需通過添加輔助線進行相等線段的等量代換：過作EG//CF，構(gòu)造中心對稱型全等角形，再利用等腰三角形的性質(zhì)，使問題得以解決。解答過：證明：過E作EG//AC交BCG，則∠EGB=∠ACB，又AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠B=∠EGB，∴∠EGD=∠DCF∴EB=EG=CF，∵∠EDB=∠CDF，∴ΔDGE≌ΔDCF，∴DE=DF。解題后思考：題的輔助線還可以有以下幾種作法：例5：ABC中，∠BAC=60°，∠C=40，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠交AC于Q，求證：AB+BP=BQ+AQ。思路分題意分：本題考查全等三角形常見輔助線的知識：作平行線。解題思：本題要證明的AB+BP=BQ+AQ。形勢較為復(fù)雜，我們可以通過轉(zhuǎn)化的思想把左式和右式分別轉(zhuǎn)化為幾條相等線段的和即可得證?？蛇^作BC的平行線。得△ADO≌△。得到OD=OQ，AD=AQ，只要再證出BD=OD就可以了。解答過證明：如圖（1），過O作∥BC交AB于D，∴∠ADO=∠ABC=180°－60°－°=80°，又∵∠AQO=∠C+∠QBC=80°，∴∠ADO=∠AQO，又∵∠DAO=∠QAO，OA=AO，∴△ADO≌△AQO，∴OD=OQ，AD=AQ，又∵OD∥BP，∴∠PBO=∠DOB，又∵∠PBO=∠DBO，∴∠DBO=∠DOB，∴BD=OD，又∵∠BPA=∠C+∠PAC=70°，∠BOP=∠OBA+∠BAO=70°，∴∠BOP=∠BPO，∴BP=OB，∴AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ。解題后思考：（1）本題也可以在AB上截取，連OD，構(gòu)造全等三角形，即“截長法”。（2）本題利用“平行法”的解法也較多，舉例如下：①如圖（2），過O作OD∥BCAC于D，則△ADO≌△ABO從而得以解決。④如圖（5），過P作PD∥BQAC于D，則△ABP≌△ADP從而得以解決。小結(jié)：通過一題的多種輔助線添加法，體會添加輔助線的目的在于構(gòu)造全等三角形。而不同的添加方法實際是從不同途徑來實現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)移的，體會構(gòu)造的全等三角形在轉(zhuǎn)移線段中的作用。從變換的觀點可以看到，不論是作平行線還是倍長中線，實質(zhì)都是對三角形作了一個以中點為旋轉(zhuǎn)中心的旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造了全等三角形。（5）截長法與補短，具體法是某條線上截取一條段與特線段相等，是將某線段延長，之與特定線相等，利用三角形等的有性質(zhì)加以說。這種法，適合于明線段和、差倍、分等類題目。例6：圖甲，AD∥，點E線段AB上，∠ADE=∠，∠DCE=∠。求證：=AD+。思路分：題意分：本題考查全等三角形常見輔助線的知識：截長法或補短法。解題思：結(jié)論=+，可考慮用“截長補短法”中的“截長”，即在上截取CF=