2019版數(shù)學(xué)（文）大一輪優(yōu)選講義：第56講變量間的相關(guān)關(guān)系與統(tǒng)計(jì)案例 含答案

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第56講變量間的相關(guān)關(guān)系與統(tǒng)計(jì)案例考綱要求考情分析命題趨勢1。會作兩個有關(guān)聯(lián)變量的數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，并利用散點(diǎn)圖認(rèn)識變量間的相關(guān)關(guān)系．2．了解最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程．3．了解常見的統(tǒng)計(jì)方法,并能應(yīng)用這些方法解決一些實(shí)際問題．4．了解獨(dú)立性檢驗(yàn)(只要求2×2列聯(lián)表）的基本思想、方法及其簡單應(yīng)用．5．了解回歸分析的基本思想、方法及其簡單應(yīng)用．2017·全國卷Ⅱ，192016·湖北卷，42016·安徽卷，171.散點(diǎn)圖與相關(guān)關(guān)系、線性回歸方程與獨(dú)立性檢驗(yàn)在實(shí)際生活中的應(yīng)用．2．有關(guān)統(tǒng)計(jì)內(nèi)容及方法主要以選擇題、填空題的形式呈現(xiàn)，屬容易題;抽樣方法和各種統(tǒng)計(jì)圖表與概率的有關(guān)內(nèi)容相結(jié)合或與統(tǒng)計(jì)案例相結(jié)合也會出現(xiàn)在解答題中，屬中檔題．分值：5～12分1．相關(guān)關(guān)系與回歸方程(1）相關(guān)關(guān)系的分類①正相關(guān)：從散點(diǎn)圖上看,點(diǎn)散布在從__左下角__到__右上角__的區(qū)域內(nèi)．②負(fù)相關(guān)：從散點(diǎn)圖上看,點(diǎn)散布在從__左上角__到__右下角__的區(qū)域內(nèi)．（2）線性相關(guān)關(guān)系從散點(diǎn)圖上看，如果這些點(diǎn)從整體上看大致分布在一條直線附近，則稱這兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系,這條直線叫__回歸直線__.(3）回歸方程①最小二乘法:使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到回歸直線的__距離的平方和__最小的方法叫最小二乘法．②回歸方程：兩個具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)：(x1，y1），(x2，y2)，…，（xn,yn)．其回歸方程為eq\o(y，\s\up6(^）)＝eq\o（b，\s\up6(^）)x＋eq\o(a，\s\up6(^)），其中eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（\o(b，\s\up6（^）)＝\f(\i\su（i＝1，n,)xi－\x\to(x）yi－\x\to(y），\i\su（i＝1,n,)xi－\x\to（x）2)＝\f（\i\su（i＝1，n，x）iyi－n\x\to（x)\x\to(y）,\i\su（i＝1,n，x）\o\al（2，i）－n\x\to（x）2)，,\o(a,\s\up6（^））＝\x\to（y)－\o（b,\s\up6(^）)\x\to(x），))其中（eq\x\to（x),eq\x\to（y））稱為樣本點(diǎn)的中心．（4)樣本相關(guān)系數(shù)r＝eq\f（\i\su(i＝1，n,）xi－\x\to（x)yi－\x\to（y）,\r(\i\su（i＝1,n，）xi－\x\to(x)2\i\su(i＝1，n，）yi－\x\to(y）2)），用它來衡量兩個變量間的線性相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱．①當(dāng)r＞0時(shí)，表明兩個變量__正相關(guān)__;②當(dāng)r＜0時(shí),表明兩個變量__負(fù)相關(guān)__；③r的絕對值越接近1，表明兩個變量的線性相關(guān)性__越強(qiáng)__;r的絕對值越接近0，表明兩個變量的線性相關(guān)性__越弱__,通常當(dāng)eq\b\lc\|\rc\｜（\a\vs4\al\co1(r）)>0。75時(shí)，認(rèn)為兩個變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系．2．獨(dú)立性檢驗(yàn)(1）分類變量：變量的不同“值”表示個體所屬的不同類別，像這類變量稱為分類變量．(2)列聯(lián)表：列出兩個分類變量的頻數(shù)表,稱為列聯(lián)表．假設(shè)有兩個分類變量X和Y，它們的可能取值分別為｛x1，x2｝和｛y1，y2｝，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為2×2列聯(lián)表）如下表所示.y1y2總計(jì)x1aba＋bx2cdc＋d總計(jì)a＋cb＋da＋b＋c＋dK2＝eq\f(nad－bc2，a＋ba＋cb＋dc＋d）(其中n＝__a＋b＋c＋d__為樣本容量)，則利用獨(dú)立性檢驗(yàn)判斷表來判斷“X與Y的關(guān)系”．1．思維辨析（在括號內(nèi)打“√”或“”）．(1）相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系都是一種確定性的關(guān)系，也是一種因果關(guān)系．(×）（2)利用樣本點(diǎn)的散點(diǎn)圖可以直觀判斷兩個變量的關(guān)系是否可以用線性關(guān)系去表示．（√）（3)通過回歸方程eq\o（y,\s\up6（^))＝eq\o（b，\s\up6（^)）x＋eq\o(a,\s\up6(^））可以估計(jì)和觀測變量的取值和變化趨勢．（√)(4)任何一組數(shù)據(jù)都對應(yīng)著一個回歸直線方程．(×)(5)事件X，Y關(guān)系越密切,則由觀測數(shù)據(jù)計(jì)算得到的K2的觀測值越大．（√）2．觀察下列各圖：其中兩個變量x,y具有相關(guān)關(guān)系的圖是（C)A．①② B．①④C．③④ D．②③解析由散點(diǎn)圖知③④具有相關(guān)關(guān)系．3．已知x，y的取值如下表，從散點(diǎn)圖可以看出y與x線性相關(guān)，且回歸方程為eq\o(y，\s\up6（^)）＝0。95x＋eq\o(a,\s\up6（^)），則eq\o(a，\s\up6(^)）＝（B)x0134y2。24。34.86。7A．3.25 B．2。6C．2。2 D．0解析由已知得eq\o(x，\s\up6（－))＝2，eq\o（y，\s\up6(－))＝4。5，因?yàn)榛貧w方程經(jīng)過點(diǎn)(eq\o(x，\s\up6（－）），eq\o（y，\s\up6(－)）），所以eq\o(a,\s\up6(^))＝4。5－0。95×2＝2.6.4．若回歸直線方程為eq\o（y,\s\up6（^)）＝2－1。5x，則變量x增加一個單位，變量y(C）A．平均增加1。5個單位 B．平均增加2個單位C．平均減少1。5個單位 D．平均減少2個單位解析因?yàn)榛貧w直線方程為eq\o(y，\s\up6（^））＝2－1。5x，所以eq\o(b,\s\up6(^)）＝－1.5，則變量x增加一個單位，y平均減少1.5個單位．5．在吸煙與患肺病這兩個分類變量的計(jì)算中，下列說法正確的是（C)A．若K2的觀測值為k＝6.635，我們有99%的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系，那么在100個吸煙的人中必有99人患有肺病B．從獨(dú)立性檢驗(yàn)可知，有99％的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)時(shí)，我們說某人吸煙，那么他有99％的可能患有肺病C．若從統(tǒng)計(jì)量中求出有95%的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系，是指有5％的可能性使得推斷出現(xiàn)錯誤D．以上三種說法都不正確解析根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想知C項(xiàng)正確．一相關(guān)關(guān)系的判斷判定兩個變量正、負(fù)相關(guān)性的方法（1）畫散點(diǎn)圖：點(diǎn)的分布從左下角到右上角，兩個變量正相關(guān)；點(diǎn)的分布從左上角到右下角，兩個變量負(fù)相關(guān)．(2)相關(guān)系數(shù)：r>0時(shí)，正相關(guān);r〈0時(shí)，負(fù)相關(guān)。（3）線性回歸方程中：eq\o(b，\s\up6(^)）>0時(shí),正相關(guān)；eq\o(b,\s\up6（^)）<0時(shí)，負(fù)相關(guān)．（4)相關(guān)關(guān)系的直觀判斷方法就是作出散點(diǎn)圖,若散點(diǎn)圖呈帶狀且區(qū)域較窄，說明兩個變量有一定的線性相關(guān)性，若呈曲線型也是有相關(guān)性，若呈圖形區(qū)域且分布較亂則不具備相關(guān)性．【例1】（1）為研究語文成績和英語成績之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系,統(tǒng)計(jì)某班學(xué)生的兩科成績得到如圖所示的散點(diǎn)圖（x軸、y軸的單位長度相同），用回歸直線方程eq\o(y，\s\up6(^）)＝eq\o(b,\s\up6（^)）x＋eq\o(a，\s\up6(^)）近似地刻畫其相關(guān)關(guān)系，根據(jù)圖形，以下結(jié)論最有可能成立的是（B)A．線性相關(guān)關(guān)系較強(qiáng)，eq\o(b,\s\up6(^）)的值為1。25B．線性相關(guān)關(guān)系較強(qiáng)，eq\o(b，\s\up6(^)）的值為0.83C．線性相關(guān)關(guān)系較強(qiáng)，eq\o(b，\s\up6（^）)的值為－0.87D．線性相關(guān)關(guān)系較弱，無研究價(jià)值(2)已知變量x和y滿足關(guān)系y＝－0。1x＋1，變量y與z正相關(guān)，下列結(jié)論中正確的是（C)A．x與y正相關(guān),x與z負(fù)相關(guān)B．x與y正相關(guān),x與z正相關(guān)C．x與y負(fù)相關(guān)，x與z負(fù)相關(guān)D．x與y負(fù)相關(guān)，x與z正相關(guān)解析（1）由散點(diǎn)圖可以看出兩個變量所構(gòu)成的點(diǎn)在一條直線附近，所以線性相關(guān)關(guān)系較強(qiáng),且應(yīng)為正相關(guān)，所以回歸直線方程的斜率應(yīng)為正數(shù)，且從散點(diǎn)圖觀察,回歸直線方程的斜率應(yīng)該比y＝x的斜率要小一些，綜上可知應(yīng)選B。（2)因?yàn)閥＝－0。1x＋1，x的系數(shù)為負(fù)，故x與y負(fù)相關(guān);而y與z正相關(guān)，故x與z負(fù)相關(guān)．二線性回歸分析（1）正確理解計(jì)算eq\o(b,\s\up6(^)），eq\o(a,\s\up6（^))的公式并能準(zhǔn)確的計(jì)算出結(jié)果是求線性回歸方程的關(guān)鍵．(2)回歸直線方程eq\o（y,\s\up6（^))＝eq\o(b,\s\up6(^)）x＋eq\o（a,\s\up6（^)）必過樣本點(diǎn)中心（eq\x\to（x)，eq\x\to（y))．（3）在分析兩個變量的相關(guān)關(guān)系時(shí),可根據(jù)樣本數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖來確定兩個變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系，若具有線性相關(guān)關(guān)系，則可通過線性回歸方程來估計(jì)和預(yù)測．【例2】隨著我國經(jīng)濟(jì)的發(fā)展,居民的儲蓄存款逐年增長．設(shè)某地區(qū)城鄉(xiāng)居民人民幣儲蓄存款（年底余額)如下表.年份20132014201520162017時(shí)間代號t12345儲蓄存款y/千億元567810（1)求y關(guān)于t的回歸方程eq\o（y,\s\up6（^）)＝eq\o（b,\s\up6(^）)t＋eq\o(a,\s\up6（^)）；(2）用所求回歸方程預(yù)測該地區(qū)2018年(t＝6）的人民幣儲蓄存款．附：回歸方程eq\o（y,\s\up6（^)）＝eq\o(b，\s\up6(^））t＋eq\o（a，\s\up6(^）)中,eq\o（b，\s\up6（^)）＝eq\f(\i\su(i＝1,n，t）iyi－n\x\to（t）\x\to（y）,\i\su（i＝1，n，t)\o\al(2,i）－n\x\to(t)2)，eq\o（a,\s\up6（^））＝eq\x\to（y)－eq\o(b，\s\up6（^))eq\x\to（t）.解析（1)列表計(jì)算如下.itiyiteq\o\al(2,i）tiyi11515226412337921448163255102550∑153655120這里n＝5，eq\o（t，\s\up6（－）)＝eq\f(1，n)eq\i\su（i＝1，n,t）i＝eq\f(15，5）＝3，eq\o(y，\s\up6(－））＝eq\f（1,n)eq\i\su（i＝1，n，y)i＝eq\f(36,5）＝7。2，又eq\i\su(i＝1，n，t）eq\o\al(2,i)－neq\o（t，\s\up6（－)）2＝55－5×32＝10，eq\i\su（i＝1，n,t)iyi－neq\o（t，\s\up6(－））eq\o（y,\s\up6(－))＝120－5×3×7。2＝12，從而eq\o（b，\s\up6（^))＝eq\f（\i\su（i＝1，n,t)iyi－n\o（t,\s\up6（－))\o(y,\s\up6(－)），\i\su(i＝1,n，t)\o\al(2，i）－n\o（t,\s\up6（－)）2)＝eq\f（12,10）＝1.2，eq\o（a，\s\up6（^）)＝eq\o(y,\s\up6(－））－eq\o(b，\s\up6(^))eq\o(t，\s\up6(－））＝7。2－1.2×3＝3。6，故所求回歸方程為eq\o（y，\s\up6(^）)＝1.2t＋3.6。（2)將t＝6代入回歸方程可預(yù)測該地區(qū)2018年的人民幣儲蓄存款為eq\o（y，\s\up6(^))＝1。2×6＋3.6＝10.8（千億元）．三獨(dú)立性檢驗(yàn)（1）獨(dú)立性檢驗(yàn)的關(guān)鍵是正確列出2×2列聯(lián)表，并計(jì)算出K2的值．（2）弄清判斷兩變量有關(guān)的把握性與犯錯誤概率的關(guān)系，根據(jù)題目要求作出正確的回答．【例3】某學(xué)生對其親屬30人的飲食習(xí)慣進(jìn)行了一次調(diào)查，并用下圖所示的莖葉圖表示30人的飲食指數(shù)(說明：圖中飲食指數(shù)低于70的人，飲食以蔬菜為主；飲食指數(shù)高于70的人,飲食以肉類為主).甲（50歲以下）乙（50歲以上)12015667323679534245858618764758532809(1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成下列2×2列聯(lián)表；主食蔬菜主食肉類總計(jì)50歲以下50歲以上總計(jì)（2）能否有99%的把握認(rèn)為其親屬的飲食習(xí)慣與年齡有關(guān)？并寫出簡要分析．參考數(shù)據(jù):P(K2≥k0）0。100.500.0250。0100.001k02.7063。8415.02546.63510.828解析（1)2×2列聯(lián)表如下.主食蔬菜主食肉類總計(jì)50歲以下481250歲以上16218總計(jì)201030（2）因?yàn)镵2＝eq\f(30×4×2－16×82,12×18×20×10）＝10＞6。635，所以有99％的把握認(rèn)為其親屬的飲食習(xí)慣與年齡有關(guān)．1．某車間為了制定工時(shí)定額,需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間,為此做了四次試驗(yàn),得到的數(shù)據(jù)如下.零件的個數(shù)x/個2345加工的時(shí)間y/小時(shí)2。5344。5（1)在給定的坐標(biāo)系中畫出表中數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖;（2)求出y關(guān)于x的線性回歸方程eq\o（y,\s\up6(^）)＝eq\o（b，\s\up6(^）)x＋eq\o(a,\s\up6(^));（3)試預(yù)測加工10個零件需要多少小時(shí)？解析（1)散點(diǎn)圖如右圖．(2）由表中數(shù)據(jù)得eq\i\su(i＝1，4，x)iyi＝52.5，eq\o(x，\s\up6（－)）＝3。5，eq\o（y,\s\up6(－））＝3.5,eq\i\su（i＝1,4,x)eq\o\al（2，i)＝54,∴eq\o(b，\s\up6(^))＝0。7，∴eq\o（a，\s\up6(^))＝1.05，∴eq\o(y,\s\up6(^))＝0.7x＋1.05。（3）將x＝10代入線性回歸方程，得eq\o(y,\s\up6（^))＝0。7×10＋1.05＝8。05，故預(yù)測加工10個零件約需要8.05小時(shí)．2．某校數(shù)學(xué)課外興趣小組為研究數(shù)學(xué)成績是否與性別有關(guān),先統(tǒng)計(jì)本校高三年級每個學(xué)生一學(xué)期數(shù)學(xué)成績平均分（采用百分制)，剔除平均分在40分以下的學(xué)生后，共有男生300名、女生200名．現(xiàn)采用分層抽樣的方法,從中抽取了100名學(xué)生，按性別分為兩組,并將兩組學(xué)生成績分為6組，得到如下所示頻數(shù)分布表.分?jǐn)?shù)段[40,50）［50,60）［60,70）［70，80)［80,90）［90，100）男39181569女64510132(1)估計(jì)男、女生各自的平均分（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值作代表)，從計(jì)算結(jié)果看,數(shù)學(xué)成績與性別是否有關(guān)；（2）規(guī)定80分以上為優(yōu)分（含80分），請你根據(jù)已知條件作出2×2列聯(lián)表，并判斷是否有90%以上的把握認(rèn)為“數(shù)學(xué)成績與性別有關(guān)”.優(yōu)分非優(yōu)分總計(jì)男生女生總計(jì)100附表及公式：P（K2≥k0)0.1000。0500。0100。001k02.7063.8416.63510。828K2＝eq\f（nad－bc2，a＋bc＋da＋cb＋d)。解析（1)抽取的100名學(xué)生中男生人數(shù)為3＋9＋18＋15＋6＋9＝60,女生人數(shù)為100－60＝40.所以eq\o（x，\s\up6（－)）男＝45×eq\f(3，60)＋55×eq\f(9，60)＋65×eq\f(18，60)＋75×eq\f(15，60）＋85×eq\f（6，60)＋95×eq\f（9，60)＝45×0。05＋55×0.15＋65×0。3＋75×0.25＋85×0。1＋95×0.15＝71.5，eq\o（x,\s\up6（－)）女＝45×eq\f(6,40）＋55×eq\f（4，40)＋65×eq\f（5,40）＋75×eq\f（10,40）＋85×eq\f（13，40）＋95×eq\f(2，40)＝45×0。15＋55×0.1＋65×0。125＋75×0。25＋85×0。325＋95×0。05＝71。5，從男、女生各自的平均分來看，并不能判斷數(shù)學(xué)成績與性別有關(guān)．(2)由頻數(shù)分布表可知：抽取的100名學(xué)生中，“男生組”中的優(yōu)分有15人，“女生組”中的優(yōu)分有15人，據(jù)此可得2×2列聯(lián)表如下.優(yōu)分非優(yōu)分總計(jì)男生154560女生152540總計(jì)3070100可得K2＝eq\f（100×15×25－15×452，60×40×30×70）≈1。79,因?yàn)?。79＜2。706，所以沒有90％以上的把握認(rèn)為“數(shù)學(xué)成績與性別有關(guān)”．3．（2018·山東實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三診斷性考試）2017年3月27日，一則“清華大學(xué)要求從2017級學(xué)生開始,游泳達(dá)到一定標(biāo)準(zhǔn)才能畢業(yè)”的消息在體育界和教育界引起了巨大反響．游泳作為一項(xiàng)重要的求生技能和運(yùn)動項(xiàng)目受到很多人的喜愛．其實(shí)，已有不少高校將游泳列為必修內(nèi)容．某中學(xué)為了解2017屆高三學(xué)生的性別和喜愛游泳是否有關(guān)，對喜歡游泳不喜歡游泳合計(jì)男生10女生20合計(jì)已知在這100人中隨機(jī)抽取1人,抽到喜歡游泳的學(xué)生的概率為eq\f(3，5)。(1）請將上述列聯(lián)表補(bǔ)充完整;（2)判斷是否有99.9％的把握認(rèn)為喜歡游泳與性別有關(guān)？附：K2＝eq\f（nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d）p(K2≥k0)0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415。0246.6357.89710.828解析（1）因?yàn)樵?00人中隨機(jī)抽取1人抽到喜歡游泳的學(xué)生的概率為eq\f(3，5),所以喜歡游泳的學(xué)生人數(shù)為100×eq\f(3,5)＝60人．其中女生有20人，則男生有40人,列聯(lián)表補(bǔ)充如下。喜歡游泳不喜歡游泳合計(jì)男生401050女生203050合計(jì)6040100(2）因?yàn)镵2＝eq\f(100×40×30－20×102,60×40×50×50）≈16.67〉10。828，所以有99。9％的把握認(rèn)為喜歡游泳與性別有關(guān)．4．(2018·河北衡水檢測）隨著資本市場的強(qiáng)勢進(jìn)入,互聯(lián)網(wǎng)共享單車“忽如一夜春風(fēng)來”，遍布了一二線城市的大街小巷．為了解共享單車在A市的使用情況，某調(diào)查機(jī)構(gòu)借助網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行了問卷調(diào)查，并從參與調(diào)查的網(wǎng)友中抽200人進(jìn)行抽樣分析，得到下表（單位：人)。經(jīng)常使用偶爾或不用合計(jì)30歲及以下703010030歲以上6040100合計(jì)13070200（1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，能否在犯錯誤的概率不超過0。15的前提下認(rèn)為A市使用共享單車情況與年齡有關(guān)？（2)現(xiàn)從所抽取的30歲以上的網(wǎng)友中利用分層抽樣的方法再抽取5人．①分別求這5人中經(jīng)常使用、偶爾或不用共享單車的人數(shù)；②從這5人中,再隨機(jī)選出2人贈送一件禮品,求選出的2人中至少有1人經(jīng)常使用共享單車的概率．解析（1）由列聯(lián)表可知K2＝eq\f(200×70×40－60×302,130×70×100×100）≈2。198。因?yàn)?.198>2。072，所以能在犯錯的概率不超過0。15的前提下認(rèn)為A市使用共享單車情況與年齡有關(guān)．(2)①依題意可知,所抽取的5名30歲以上的網(wǎng)友中，經(jīng)常使用共享單車的有5×eq\f(60,100）＝3（人）,偶爾或不用共享單車的有5×eq\f（40，100）＝2(人)．②設(shè)這5人中,經(jīng)常使用共享單車的3人分別為a，b,c；偶爾或不用共享單車的2人分別為d，e.則從5人中選出2人的所有可能結(jié)果為（a，b）,(a，c)，（a,d)，(a，e)，（b，c)，(b，d），（b，e）,(c，d）,（c，e），（d,e），共10種．其中沒有1人經(jīng)常使用共享單車的可能結(jié)果為(d,e)，共1種．故選出的2人中至少有1人經(jīng)常使用共享單車的概率P＝1－eq\f（1，10)＝eq\f（9，10)。eq\o(\s\up7(易錯點(diǎn)數(shù)據(jù)較大，難求真值，忽略樣本中心點(diǎn)的特點(diǎn)）,\s\do5())錯因分析:①數(shù)據(jù)位數(shù)較大，計(jì)算容易出錯；②eq\o（y,\s\up6(^)）＝eq\o（b，\s\up6(^）)x＋eq\o（a，\s\up6(^))與y＝ax＋b容易混淆．為了避免這些容易發(fā)生的錯誤可將一些數(shù)據(jù)進(jìn)行處理．【例1】某地最近十年糧食需求量逐年上升，下表是部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)。年份20082010201220142016需求量/萬噸236246257276286（1）利用所給數(shù)據(jù)求年需求量與年份之間的線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^)）＝eq\o(b,\s\up6（^））x＋eq\o（a，\s\up6(^)）;(2)利用(1)中所求出的線性回歸方程預(yù)測該地2018年的糧食需求量．解析(1)由所給數(shù)據(jù)看出，年需求量與年份之間是近似直線上升,下面來求線性回歸方程，先將數(shù)據(jù)處理如下。年份－2012－4－2024需求－257－21－1101929對處理的數(shù)據(jù)，容易算得eq\x\to（x)＝0,eq\x\to(y)＝3.2,eq\o(b，\s\up6(^）)＝eq\f（－4×－21＋－2×－11＋2×19＋4×29－5×0×3.2,－42＋－22＋22＋42－5×02)＝eq\f（260，40）＝6。5,eq\o（a，\s\up6（^）)＝eq\x\to（y）－eq\o(b,\s\up6（^)）eq\x\to（x)＝3.2。由上述計(jì)算結(jié)果，知所求線性回歸方程為eq\o（y,\s\up6(^)）－257＝6.5(x－2012）＋3。2，即eq\o（y，\s\up6(^)）＝6。5(x－2012)＋260.2.(2）利用所求得的線性回歸方程，可預(yù)測2018年的糧食需求量大約為6。5×（2018－2012）＋260.2＝6.5×6＋260.2＝299.2(萬噸）．【跟蹤訓(xùn)練1】從某大學(xué)中隨機(jī)選取8名女大學(xué)生,其身高和體重?cái)?shù)據(jù)如表所示.編號12345678身高/cm165165157170175165155170體重/kg4857505464614359求根據(jù)女大學(xué)生的身高預(yù)報(bào)體重的回歸方程，并預(yù)報(bào)一名身高為172cm解析(1)代換:令t＝x－165，s＝y(tǒng)－55（165,55是人為確定的）．（2)列表：i12345678合計(jì)ti＝xi－16500－85100－1052si＝y(tǒng)i－55－72－5－196－124－4tisi0040－590012020265teq\o\al（2，i）006425100010025314eq\x\to(t）＝0。25，eq\x\to(s）＝－0.5。(3）求值：eq\o(b,\s\up6（^))＝eq\f（265－8×0。25×－0。5,314－8×0.25×0.25）≈0.848，eq\o（a,\s\up6(^））＝eq\x\to(s)－eq\o(b，\s\up6(^))eq\x\to（t）＝－0。5－0。848×0。25≈－0.712,∴eq\o（s，\s\up6（^）)＝0。848t－0。712。(4）還原：即eq\o(y，\s\up6(^)）－55＝0.848（x－165)－0.712,∴eq\o(y，\s\up6(^））＝0.848x－85。632?！喈?dāng)x＝172時(shí)，y≈60。故一名身高為172cm的女大學(xué)生的體重約為課時(shí)達(dá)標(biāo)第56講［解密考綱］本節(jié)內(nèi)容在高考中，三種題型均有考查，文字量比較大，但題目較容易．一、選擇題1．四名同學(xué)根據(jù)各自的樣本數(shù)據(jù)研究變量x,y之間的相關(guān)關(guān)系，并求得回歸直線方程，分別得到以下四個結(jié)論：①y與x負(fù)相關(guān)且eq\o(y,\s\up6（^)）＝2.347x－6.423；②y與x負(fù)相關(guān)且eq\o(y,\s\up6(^））＝－3.476x＋5.648；③y與x正相關(guān)且eq\o（y，\s\up6（^））＝5.437x＋8.493；④y與x正相關(guān)且eq\o(y,\s\up6（^））＝－4.326x－4。578。其中一定不正確的結(jié)論序號是（D)A．①② B．②③C．③④ D．①④解析對線性回歸方程eq\o（y,\s\up6(^））＝eq\o（b,\s\up6（^)）x＋eq\o(a，\s\up6（^）），當(dāng)eq\o(b,\s\up6(^)）>0時(shí)，正相關(guān)，當(dāng)eq\o(b,\s\up6（^））<0時(shí),負(fù)相關(guān)，結(jié)合選項(xiàng)知①④一定不正確．2．若回歸直線eq\o（y，\s\up6（^))＝eq\o（a，\s\up6（^））＋eq\o（b,\s\up6（^））x,eq\o（b，\s\up6(^））＜0，則x與y之間的相關(guān)系數(shù)r滿足的條件是(D)A．r＝0 B．r＝1C．0＜r＜1 D．－1＜r＜0解析∵回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^）)＝eq\o（a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^)）x,eq\o(b,\s\up6（^））<0，∴兩個變量x，y之間是負(fù)相關(guān)的關(guān)系,∴相關(guān)系數(shù)是負(fù)數(shù),∴－1<r〈0.故選D.3．對具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x，y有一組觀測數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2,…,8）其回歸直線方程是eq\o(y,\s\up6(^）)＝eq\f(1，3)x＋eq\o（a,\s\up6（^)）,且x1＋x2＋x3＋…＋x8＝2(y1＋y2＋y3＋…＋y8)＝6，則實(shí)數(shù)eq\o（a,\s\up6（^))的值是(B）A．eq\f(1,16) B．eq\f（1,8)C．eq\f（1,4) D．eq\f(1,2）解析依題意可知樣本中心點(diǎn)為eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（3，4），\f(3,8)）)，則eq\f(3，8）＝eq\f(1，3）×eq\f(3，4)＋eq\o（a，\s\up6（^))，解得eq\o（a,\s\up6(^))＝eq\f（1，8）.故選B。4．在一組樣本數(shù)據(jù)（x1，y1），（x2,y2），…，（xn，yn）(n≥2，x1,x2，…，xn不全相等)的散點(diǎn)圖中，若所有樣本點(diǎn)(xi，yi)（i＝1，2，…，n)都在直線y＝eq\f（1，2）x＋1上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為(D）A．－1 B．0C．eq\f（1,2) D．1解析由題設(shè)可知這組樣本中的數(shù)據(jù)完全正相關(guān),又都在y＝eq\f（1,2)x＋1上，故相關(guān)系數(shù)為1。故選D.5．對于下列表格所示五個散點(diǎn)，已知求得的線性回歸方程為eq\o（y,\s\up6(^））＝0。8x－155，則實(shí)數(shù)m的值為(A)x196197200203204y1367mA．8 B．8.2C．8.4 D．8。5解析eq\x\to（x）＝eq\f(196＋197＋200＋203＋204，5)＝200，eq\x\to(y)＝eq\f(1＋3＋6＋7＋m,5）＝eq\f（17＋m，5),樣本中心點(diǎn)為eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(200，\f(17＋m，5））），將樣本中心點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（200,\f（17＋m，5))）代入eq\o(y,\s\up6(^)）＝0。8x－155,可得m＝8.故選A．6．如表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后在生產(chǎn)A產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x(單位：噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y（單位：噸)的幾組對應(yīng)數(shù)據(jù)，根據(jù)表提供的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程為eq\o（y，\s\up6（^)）＝0。7x＋0。35,則下列結(jié)論錯誤的是（B）x3456y2.5t44。5A．產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗與產(chǎn)量呈正相關(guān)B．t的取值必定是3。15C．回歸直線一定過(4.5，3。5)D．A產(chǎn)品每多生產(chǎn)1噸，則相應(yīng)的生產(chǎn)能耗約增加0.7噸解析由題意，得eq\x\to(x)＝eq\f（3＋4＋5＋6,4)＝4.5，因?yàn)閑q\o（y，\s\up6(^）)＝0.7x＋0.35，所以eq\x\to（y）＝0。7×4.5＋0。35＝3.5，所以t＝4×3.5－2.5－4－4.5＝3。故選B。二、填空題7．已知變量x，y具有線性相關(guān)關(guān)系，測得(x，y)的一組數(shù)據(jù)為(0,1），（1，2）,(2,4)，（3,5），其回歸方程為eq\o（y，\s\up6（^)）＝1.4x＋eq\o(a,\s\up6(^))，則eq\o（a，\s\up6（^））的值是__0。9__。解析由題意可知eq\x\to(x)＝eq\f（0＋1＋2＋3，4）＝1。5，eq\x\to(y)＝eq\f(1＋2＋4＋5,4）＝3,所以這組數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)是(1.5，3)，把樣本中心點(diǎn)代入回歸直線方程eq\o（y,\s\up6（^))＝1.4x＋eq\o(a,\s\up6（^))，得3＝1。4×1。5＋eq\o(a,\s\up6（^）),所以eq\o（a,\s\up6(^))＝0.9.8．高三某班學(xué)生每周用于物理學(xué)習(xí)的時(shí)間x(單位：小時(shí)）與物理成績y（單位:分）之間有如下關(guān)系.x24152319161120161713y92799789644783687159根據(jù)上表可得回歸方程的斜率為3。53，則回歸直線在y軸上的截距為__13。5__（精確到0。1)．解析由已知可得eq\x\to（x)＝eq\f（24＋15＋23＋19＋16＋11＋20＋16＋17＋13，10）＝17。4，eq\x\to（y)＝eq\f(92＋79＋97＋89＋64＋47＋83＋68＋71＋59，10)＝74。9。設(shè)回歸直線方程為eq\o（y，\s\up6(^））＝3.53x＋eq\o（a，\s\up6(^）),則74.9＝3.53×17.4＋eq\o(a,\s\up6（^））,解得eq\o（a,\s\up6(^))≈13.5.9．以下四個命題:①從勻速傳遞的產(chǎn)品生產(chǎn)流水線上，質(zhì)檢員每20分鐘從中抽取一件產(chǎn)品進(jìn)行某項(xiàng)指標(biāo)檢測,這樣的抽樣是分層抽樣；②兩個變量線性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1;③在回歸直線方程eq\o(y,\s\up6(^)）＝0。2x＋12中，當(dāng)解釋變量x每增加一個單位時(shí)，預(yù)報(bào)變量eq\o（y,\s\up6(^))平均增加0。2個單位；④對分類變量X與Y,它們的隨機(jī)變量K2的觀測值k來說,k越小，“X與Y有關(guān)系"的把握程度越大．其中正確的是__②③__(填序號）．解析①是系統(tǒng)抽樣；對于④，隨機(jī)變量K2的觀測值k越小,說明兩個變量有關(guān)系的把握程度越?。?、解答題10．下表是高三某位文科生連續(xù)5次月考的歷史、政治的成績,結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下表所示。月份91011121歷史成績x/分7981838587政治成績y/分7779798283(1）求該生5次月考?xì)v史成績的平均分和政治成績的方差；(2)一般來說，學(xué)生的歷史成績與政治成績有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),求兩個變量x,y的線性回歸方程eq\o(y,\s\up6（^））＝eq\o（b，\s\up6(^)）x＋eq\o（a，\s\up6(^)）。解析(1)eq\x\to（x）＝eq\f(1，5)×(79＋81＋83＋85＋87)＝83?！遝q\x\to（y)＝eq\f(1,5)×（77＋79＋79＋82＋83）＝80，∴seq\o\al(2,y)＝eq\f(1,5）×[（77－80)2＋(79－80）2＋（79－80）2＋（82－80）2＋（83－80)2]＝4。8.（2）∵eq\i\su(i＝1，5,）（xi－eq\x\to（x）)(yi－eq\x\to（y))＝30，eq\i\su(i＝1，5,）（xi－eq\x\to(x)）2＝40，∴eq\o(b,\s\up6（^))＝eq\f(\i\su(i＝1,5，)xi－\x\to（x）yi－\x\to(y），\i\su（i＝1，5,)xi－\x\to（x)2)＝0.75，eq\o（a,\s\up6（^））＝eq\x\to(y)－eq\o（b,\s\up6（^))eq\x\to（x）＝17。75，則所求的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6（^))＝0。75x＋17.75.11．某學(xué)校高中畢業(yè)班有男生900人,女生600人，學(xué)校為了對高三學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況進(jìn)行分析,從高三年級按照性別進(jìn)行分層抽樣，抽取200名學(xué)生成績，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示.分?jǐn)?shù)段/分［50，70)［70,90)[90，110)[110,130)［