計(jì)算結(jié)構(gòu)力學(xué)課程講義

/第1章緒論1.1課程內(nèi)容(1)研究內(nèi)容本課程主要研究工程結(jié)構(gòu)計(jì)算機(jī)分析（數(shù)值分析）的常用方法——有限單元法、加權(quán)殘數(shù)（余量）法和邊界單元法的基本概念、基本原理及其應(yīng)用。(2)參考書籍課程的主要參考書籍如下：唐錦春，孫炳楠，郭鼎康，計(jì)算結(jié)構(gòu)力學(xué)，浙江大學(xué)出版社，1989丁皓江,謝貽權(quán),何福保，彈性和塑性力學(xué)中的有限單元法，機(jī)械工業(yè)出版社，1989王勖成，有限單元法，清華大學(xué)出版社，2003王勖成，邵敏，有限單元法基本原理與數(shù)值方法，第二版，清華大學(xué)出版社，1997徐次達(dá)，固體力學(xué)加權(quán)殘數(shù)法，同濟(jì)大學(xué)出版社，1987孫炳楠，項(xiàng)玉寅，張永元，工程中邊界單元法及其應(yīng)用，浙江大學(xué)出版社，1991Bath,K.J.FiniteElementProcedures,Prentice-Hall,Inc.,1996.Zienkiewicz,O.C.,TheFiniteElementMethod,5thEdition,McGrawHill,2001.Brebbia,C.A.,TheBoundaryElementMethodforEngineers,PentechPress,London,1978.Chandrupatla,T.R.,Belegundu,A.D.IntroductiontoFiniteElementsinEngineering,Prentice-Hall,Inc.,2002.1.2結(jié)構(gòu)分析方法概述一個工程技術(shù)問題總可由一組基本方程（通常是微分方程）加一組邊界條件描述，即由下式給出：基本方程：L(u)-p=0，V（域內(nèi)）邊界條件：B(u)-g=0，S（邊界）式中L、B為算子，p、g為已知函數(shù)。工程技術(shù)問題的常用分析方法有：(1)解析方法只適用于少數(shù)簡單問題，即形狀規(guī)則且外部作用（如外荷載）簡單的結(jié)構(gòu)分析問題。(2)數(shù)值方法數(shù)值方法可分為區(qū)域型方法和邊界型方法。常用的區(qū)域型方法包括有限差分法、加權(quán)殘數(shù)法、里茲(Ritz)法（變分法）和有限單元法等，其中有限差分法是直接對基本微分方程進(jìn)行離散，再對離散后的代數(shù)方程進(jìn)行求解；后幾種方法則是先建立基本方程（一般是微分方程）的等效積分表達(dá)式，再進(jìn)行離散求解。邊界型方法中最典型的是邊界單元法。它是先將基本微分方程變換為等效的邊界積分方程，再在邊界上對其進(jìn)行離散求解。例如，圖1.1給出了一個受復(fù)雜橫向荷載（分布荷載、集中力、集中力偶等）作用的兩端固定變截面梁。為求梁的撓度和內(nèi)力，可列出梁的基本方程和邊界條件如下：llq(x)yxh(x),EI(x)PmABbh(x)圖1.1變截面單跨梁受橫向荷載作用基本方程：L(u)-p=0，V（域內(nèi)）——EI(x)y’’=M(x),0xl.邊界條件：B(u)-g=0，S（邊界）——(y)x=0或x=l=0，(y’)x=0或x=l=0以下分別就采用加權(quán)殘數(shù)法、里茲法（位移變分法）和有限單元法的基本原理進(jìn)行討論。(1)加權(quán)殘數(shù)法為求近似解，設(shè)試探函數(shù)代入基本方程和邊界條件，得殘值：RL=L(u)-p（域內(nèi)），RB=B(u)-g（邊界）迫使殘值在某種平均意義（加權(quán)積分）上等于零，則有由此可得到關(guān)于待定系數(shù)i的代數(shù)方程組，解方程可求得待定系數(shù)及解答的近似表達(dá)式，其中的試函數(shù)可以選擇多項(xiàng)式、三角函數(shù)、樣條函數(shù)等。(2)里茲法（位移變分法）里茲法的理論依據(jù)是最小勢能原理。該原理可表述為：給定外力作用下，滿足幾何條件的各種可能位移中，真實(shí)的位移使總勢能取極值，據(jù)此有(U+UR假設(shè)滿足位移邊界條件的位移函數(shù)為：將其代入方程得到關(guān)于待定系數(shù)Ai的代數(shù)方程，解方程可得Ai。里茲法需要在整個計(jì)算區(qū)域上假設(shè)近似函數(shù)，很難適應(yīng)形狀（邊界）較復(fù)雜或解答較難預(yù)測的問題。(3)有限單元法有限單元法的理論依據(jù)是最小勢能原理或其他形式的變分原理。該方法與里茲法的主要區(qū)別是不在整體計(jì)算區(qū)域上假設(shè)近似函數(shù)，而是先將連續(xù)的求解區(qū)域離散為一個由有限個單元組成并按一定方式相互連接的單元集合體，再以各單元連接結(jié)點(diǎn)處的場量（如位移量）作為基本未知量，在各單元內(nèi)假設(shè)近似函數(shù)（通過結(jié)點(diǎn)未知量插值得到），從而將一個無限自由度問題簡化為有限自由度問題。uu分段假設(shè)試函數(shù)x圖1.2一維試函數(shù)的分段假設(shè)例如圖1.2中的曲線是某個一維問題的目標(biāo)函數(shù)曲線，若采用里茲法對整個區(qū)段假設(shè)一個近似的試函數(shù)，顯然比較困難。但如果現(xiàn)對整個區(qū)域進(jìn)行分段（如圖中短線為分段線），再對各個區(qū)段假設(shè)試函數(shù)，則要簡單和準(zhǔn)確得多，如可將各區(qū)段均假設(shè)為二次函數(shù)。喲次可見，有限單元法可視為一種分片（或分塊、分段）形式的變分法。雖然有限單元法的理論依據(jù)和里茲法是一致的，但采用了分片（或分塊、分段）假設(shè)試函數(shù)的處理方法以后，使得該方法的具體實(shí)施變得簡便易行，具有了優(yōu)越的可操作性和更為明確的物理意義，也使得該方法具有了其他方法（如里茲法）所不具備的優(yōu)點(diǎn)：1)概念簡單、明確，易為工程人員接受；也可建立嚴(yán)格的數(shù)學(xué)分析和證明；2)適用性十分廣泛，適應(yīng)于各類復(fù)雜邊界和不同外部作用的問題；3)求解過程程序化，易于編程和計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)。1.3課時安排課程的總體課時安排如下：有限單元法部分包括概論、進(jìn)展；平面三角形、矩形、等參元；桿元、板元等，共約20個課時；加權(quán)殘數(shù)法部分包括基本原理、方法分類，以及伽遼金（Galerkin）方法、最小二乘法的應(yīng)用，共需約4～6個課時；邊界單元法主要包括基本原理（以二維勢問題為例）；梁彎曲和板彎曲問題，共需約4～6個課時。思考題區(qū)域型分析法和邊界型分析法在對問題的基本方程和邊界條件的處理上有何不同和相同點(diǎn)？試分別舉例說明。里茲法和有限單元法的理論依據(jù)、基本未知量的選取、試函數(shù)的假設(shè)等方面有何異同點(diǎn)？與里茲法相比，有限單元法在解決復(fù)雜問題上的適應(yīng)性更為廣泛，你認(rèn)為主要的原因在于那些方面？

第2章有限單元法2.1概述2.1.1發(fā)展概況有限單元法的發(fā)展概況：1943年R.Courant嘗試應(yīng)用三角形區(qū)域上定義的分片連續(xù)函數(shù)和最小勢能原理解決St.Venant扭轉(zhuǎn)問題，是較早的有限元思想的體現(xiàn)：R.Courant,VariationalMethodsfortheSolutionofProblemsofEquilibriumandVibrations,BulletinoftheAmericanMathematicalSociety,49:1-23,19431956年M.J.Turner，R.W.Clough等將剛架矩陣位移法推廣到彈性力學(xué)平面問題，開始了有限元的第一個成功嘗試和應(yīng)用；用直接剛度法建立單元剛度特性：M.J.Turner,R.W.Clough,H.C.MartinandL.T.Topp,Stiffnessanddeflectionanalysisofcomplexstructures,J.Aeronaut.Sci.,25:805-823,19561960年Clough第一次提出“有限單元法（FEM）”的名稱，沿用至今。Zienkiewicz等——編寫第一本有限元方面專著：O.C.ZienkiewiczandY.K.Cheung,TheFiniteElementMethodinContinuumandStructuralMechanics,McGraw-Hill,1963-1964年發(fā)現(xiàn)該方法是基于變分原理的里茲法的另一種形式，確立其理論基礎(chǔ)。我國馮康在同一時期獨(dú)立提出并證明了該方法：Melosh證明了位移法就是基于最小勢能原理的Rayleigh-Ritz法馮康，基于變分原理的差分格式，應(yīng)用數(shù)學(xué)和計(jì)算數(shù)學(xué)，1965，2(4):238-2621960至今：實(shí)際工程應(yīng)用：平面空間板殼；靜力動力、波動穩(wěn)定；彈性塑性粘彈性、復(fù)合材料；固體流體、傳熱等連續(xù)介質(zhì)力學(xué)；計(jì)算分析優(yōu)化設(shè)計(jì)、與CAD技術(shù)結(jié)合。E.L.Wilson：編寫了第一個公開的有限元軟件SAP；通用有限元軟件：SAP、ADINA、NASTRAN、ANSYS、ABAQUS、MIDAS等從半個多世紀(jì)以來有限單元法的萌芽、理論依據(jù)的證明和充實(shí)及其逐步的廣泛應(yīng)用可以看到，它的發(fā)展和計(jì)算機(jī)軟硬件的發(fā)展基本上是同步的。如果沒有計(jì)算機(jī)的強(qiáng)大軟硬件支撐，有限單元法只有其微不足道的一點(diǎn)理論上的意義，而沒有更為重要的實(shí)際應(yīng)用的意義。2.1.2有限單元法概念(1)離散化離散化的過程是將連續(xù)體劃分為有限數(shù)目、有限大小的單元的集合體。單元與單元之間只在指定點(diǎn)（即結(jié)點(diǎn)）連接，其他位置則一般保持連續(xù)即可。單元可以具有不同的形狀，即單元外形可以不同；單元與單元之間可以有不同的連接方式，即單元的結(jié)點(diǎn)數(shù)目、位置可以不同。連續(xù)體連續(xù)體g圖2.1連續(xù)體離散為單元集合體示例(2)單元分析對典型單元假設(shè)位移模式（由各結(jié)點(diǎn)位移插值），再分析單元的力學(xué)特性，建立單元的結(jié)點(diǎn)力與結(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系，即單元剛度方程：{F}e=[k]{}e）并將各類荷載變換為作用在結(jié)點(diǎn)上的等效結(jié)點(diǎn)荷載。(3)整體分析將各單元剛度方程集成整體結(jié)構(gòu)的整體剛度方程：{F}=[K]{}根據(jù)結(jié)點(diǎn)的平衡條件，得最終的有限元方程：[K]{}={R}求解該方程可得到未知的結(jié)點(diǎn)位移。(4)再次單元分析求出各單元的應(yīng)變和應(yīng)力。2.2彈性力學(xué)平面問題的矩陣描述2.2.1兩類平面問題彈性力學(xué)的平面問題可分為平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題兩類。實(shí)際上，所有的彈性力學(xué)問題都是空間問題。所謂平面問題，并不是說這個問題所分析的對象本身（如形狀、荷載分布）是平面的，而是指該問題的形狀、外部作用以及問題的解答（即由此產(chǎn)生的效應(yīng)，如位移、應(yīng)力等）只在平面內(nèi)有變化，而沿著平面外就保持不變了。因此可以肯定地說，所謂的平面問題就是一個特殊的空間問題。那么，是不是一個問題的形狀和外部作用（即已知的位移和應(yīng)力邊界條件）只在平面內(nèi)發(fā)生變化，而沿著平面外保持不變了，這個問題就是平面問題呢？不是的，還必須附加其他條件，這一結(jié)論才能成立。這個附加條件就是該問題沿平面外的尺寸與平面內(nèi)尺寸相比要么非常小（如無限短），要么非常大（如無限長）。如果符合前者條件，則彈性體內(nèi)只存在平面內(nèi)的應(yīng)力，而平面外的應(yīng)力均為零，故這類問題稱為平面應(yīng)力問題；如果符合后者條件，則彈性體內(nèi)只存在平面內(nèi)的位移或平面內(nèi)的應(yīng)變，而平面外的位移及應(yīng)變均等于零，故這類問題稱為平面應(yīng)變問題。zzxt/2Oyt/2y體積力表面力圖2.2平面應(yīng)力問題示例xxOyz圖2.3平面應(yīng)變問題示例2.2.2(1)基本量應(yīng)力：{}=[xyxy]T，應(yīng)變：{}=[xyxy]T，位移：{f}=[uv]T；體積力：{p}=[pxpy]T，表面力：{q}=[qxqy]T。(2)基本方程幾何方程：物理方程：{}=[D]{}，式中[D]：彈性矩陣。對平面應(yīng)力問題，平衡方程的弱形式——能量原理1)虛功原理：彈性體在外力作用下處于平衡狀態(tài)的充分和必要條件是，外力在滿足變形協(xié)調(diào)推進(jìn)的虛位移上所做的虛功等于其內(nèi)力在相應(yīng)的虛應(yīng)變上所做的虛功，即2)最小勢能原理：滿足幾何條件的各種可能位移中，真實(shí)位移使取駐值，即=(U+UR(3)平面問題的常用單元：三結(jié)點(diǎn)三角形單元六結(jié)點(diǎn)三角形單元四結(jié)點(diǎn)矩形單元四結(jié)點(diǎn)任意四邊形單元八結(jié)點(diǎn)曲邊四邊形單元圖2.4平面問題的常用單元單元的加密方法可分為p型加密和h型加密。前者是保持單元的大小和形狀不變，而提高單元的插值函數(shù)的階數(shù)；后者是指采用同一類單元，但加密單元的網(wǎng)格，即減小單元的尺寸，增加離散單元的數(shù)目。2.3三結(jié)點(diǎn)三角形單元分析2.3.1離散將一平面結(jié)構(gòu)離散為ne個單元，設(shè)結(jié)點(diǎn)綜述為n個，則結(jié)構(gòu)的基本未知量取為這n個結(jié)點(diǎn)的位移，即{}=[u1v1u2v2…unvn]Tyyui(Ui)ixvi(Vi)uj(Uj)jvj(Vj)um(Um)mvm(Vm)圖2.5三結(jié)點(diǎn)三角形單元2.3.2單元位移模式單元結(jié)點(diǎn)力向量：{F}e=[UiViUjVjUmVm]T單元結(jié)點(diǎn)位移向量：{}e=[uiviujvjumvm]T(1)位移模式的建立所謂位移函數(shù)或稱位移模式，是指利用單元的結(jié)點(diǎn)位移將單元內(nèi)任一點(diǎn)的位移用坐標(biāo)的函數(shù)表示出來。對于三結(jié)點(diǎn)三角形單元，假設(shè)其位移模式是坐標(biāo)的線性函數(shù)，則有u=1+2x+3yv=4+5x+6y系數(shù)1~6由6個結(jié)點(diǎn)位移分量（ui、vi、uj、vj、um、vm）確定。將位移模式寫成結(jié)點(diǎn)位移的顯式：u=Niui+Njuj+Nmumv=Nivi+Njvj+NmvmNi、Nj、Nm稱為形狀函數(shù)（形函數(shù)）或插值函數(shù)，其中ai、bi、ci是分母行列式第1行各元素的代數(shù)余子式，展開后可表示為ai=xjymxmyj，bi=yjym，ci=xj+xm（i,j,m輪換）jjyimxPj1imNi(x,y)圖2.6形函數(shù)的物理意義(2)形函數(shù)性質(zhì)(a)(Ni)i=1，(Ni)j=0，(Ni)m=0；(b)單元內(nèi)任一點(diǎn)：Ni+Nj+Nm=1。(3)位移模式的矩陣表示其中[N]為形函數(shù)矩形，且。2.3.3單元應(yīng)變矩陣和應(yīng)力矩陣將位移模式{f}=[N]{}e代入幾何方程，得單元應(yīng)變?yōu)椋簕}=[B]{}e[B]稱為單元應(yīng)變矩陣，[B]=[BiBjBm]，而各子塊為?？梢奫B]為一常量矩陣，故三結(jié)點(diǎn)三角形單元為一常應(yīng)變單元。將{}=[B]{}e代入物理方程，可得{}=[S]{}e=[D][B]{}e[S]稱為單元應(yīng)力矩陣，[S]=[S1S2S3]，對平面應(yīng)力問題?？梢奫S]也是一常量矩陣，故三結(jié)點(diǎn)三角形單元為一常應(yīng)力單元。2.3.4有限元方程的建立將連續(xù)體近似看作為由一系列只在結(jié)點(diǎn)相連的單元組裝而成的集合體，并且對各個單元均建立了其位移模式，那么該集合體的最終位移法方程，即最終的有限元方程可由變分原理（此時為最小勢能原理）建立。位移模式確定后，離散結(jié)構(gòu)的可能位移就是由不同結(jié)點(diǎn)位移決定的分片函數(shù)。各可能位移函數(shù)中，真實(shí)的位移函數(shù)使離散結(jié)構(gòu)的總勢能取駐值（處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)時為最小值），即=(U+UR令：{}e=[G]{}這里[G]是一62n的位置矩陣，表示單元結(jié)點(diǎn)位移{}e在整體結(jié)點(diǎn)位移向量{}中的位置；[k]e為單元剛度矩陣；[R]e單元等效結(jié)點(diǎn)荷載向量。于是有令：這里[K]為整體剛度矩陣；[R]為整體等效結(jié)點(diǎn)荷載向量，則有：由勢能駐值原理=0可得或2.3.5單元剛度矩陣(1)單剛列式其中，(2)單剛性質(zhì)單元剛度元素kpq的物理意義為：第q個結(jié)點(diǎn)位移分量為單位位移（其它結(jié)點(diǎn)位移等于0），所引起的第p個結(jié)點(diǎn)力分量。例如要獲得元素k26的直觀解釋，可先將單元的所有6個結(jié)點(diǎn)位移約束住，即在每個結(jié)點(diǎn)處沿兩個方向同時施加鏈桿約束，如圖2.7所示。ymxk26iymxk26ij1單元剛度矩陣[k]的性質(zhì)：1)對稱性：kpq=kqp；2)奇異性：因具有剛體位移；3)每行（列）元素之和為零；例如，第6列元素的意義：當(dāng)?shù)诹鶄€結(jié)點(diǎn)位移等于1（6=1），其他結(jié)點(diǎn)位移等于0時，在各結(jié)點(diǎn)位移方向施加的結(jié)點(diǎn)力的大小，即圖2.7中6個附加鏈桿約束上的約束力。因單元在這些結(jié)點(diǎn)力作用下處于平衡，故有：k16+k36+k56=0；k26+k46+k66=0。4)主對角元素恒大于零：kqp>0；5)[k]取決于單元的形狀、方位和彈性常數(shù)，與所在位置（即平移或n轉(zhuǎn)動）無關(guān)。(3)推導(dǎo)單剛的另一種方法——由單元的平衡條件導(dǎo)出物理方程物理方程幾何方程位移模式虛功方程{f}=[N]{}e{}=[B]{}e{}=[S]{}e，[S]=[D][B]{F}e=[k]{}e，[k]=[B]T[D][B]tA結(jié)點(diǎn)位移位移應(yīng)變應(yīng)力結(jié)點(diǎn)力{}e{f}{}{}{F}e圖2.8單元分析中各物理量的了解圖假設(shè)單元發(fā)生了虛位移，則結(jié)點(diǎn)力在結(jié)點(diǎn)虛位移上做的虛功=單元應(yīng)力在虛應(yīng)變上的虛功（虛變形能）：令：又因{}e是任意的，故有{F}e=[k]e{}e2.3.6單元等效結(jié)點(diǎn)荷載在將連續(xù)體用近似的單元集合體代替以后，單元集合體中的每個結(jié)點(diǎn)可認(rèn)為一方面受到外荷載的作用，另一方面受到連接該結(jié)點(diǎn)的各個單元的對其產(chǎn)生的約束力（即結(jié)點(diǎn)力）的作用。各結(jié)點(diǎn)在這兩組力的作用下總是處于平衡的。但是，如果外荷載不是直接作用在結(jié)點(diǎn)上，而是作用在單元內(nèi)部，那么怎么建立結(jié)點(diǎn)的平衡關(guān)系呢？一種有效方法是先建立單元的等效結(jié)點(diǎn)荷載，再對結(jié)點(diǎn)建立平衡關(guān)系。yYiyYiixXiYjjXjYmmXmPxPy圖2.9單元的等效結(jié)點(diǎn)荷載分量2.3.7整體剛度矩陣(1)建立有限元方程的方法：1)由最小勢能原理建立：[K]=([G]e)T[k]e[G]e2)由結(jié)點(diǎn)平衡條件建立(2)整體剛度矩陣[K]的集成方法：對號入座。[K]=([G]e)T[k]e[G]e，其中([G]e)T決定[kpq]e在[K]中的行，[G]e決定在[K]中的列位置。(3)整體剛度矩陣的性質(zhì)[K]元素的物理意義Kpq：結(jié)構(gòu)第q個結(jié)點(diǎn)位移分量為單位位移（q=1，其它結(jié)點(diǎn)位移=0），在第p個結(jié)點(diǎn)位移方向所施加的結(jié)點(diǎn)力的大小。如K25為結(jié)構(gòu)第5個結(jié)點(diǎn)位移分量為單位位移，即5=1，其它結(jié)點(diǎn)位移均為零時，在第2個結(jié)點(diǎn)位移方向所需施加的結(jié)點(diǎn)力的大小。[K]的性質(zhì)：1)對稱性：Kpq=Kqp；主對角元恒大于零；2)稀疏矩陣，且一般呈帶狀分布；例如，平面問題最大半帶寬=2(單元結(jié)點(diǎn)號之差最大值+1)。3)引入位移邊界條件前為奇異矩陣，引入后為正定矩陣。2.3.8位移邊界條件的引入以上集成的總體整體剛度矩陣并不包含位移邊界條件的信息，這種剛度矩陣常稱為原始剛度矩陣，它是一個奇異矩陣。要使得最終的有限元方程可解，必須引入唯一邊界條件，排除結(jié)構(gòu)的剛體位移。引入位移邊界條件的常用方法有以下幾種：(1)直接引入法（矩陣縮小法）將[K]{}={R}改寫為如下子塊形式：其中{a}、分別為未知結(jié)點(diǎn)位移向量和已知結(jié)點(diǎn)位移向量，[Kaa]、[Kab]、[Kba]、[Kbb]、{Ra}、{Rb}分別為與之對應(yīng)的剛度矩陣和荷載向量子塊。將上述方程的上半部分（對應(yīng)已知位移）展開，得[Kaa]{a}={Ra}[Kab]由該方程可解出未知結(jié)點(diǎn)位移。該方法將改變原始剛度矩陣的階數(shù)及元素的順序，不利于程序?qū)崿F(xiàn)，因此在計(jì)算機(jī)編程中一般很少采用。(2)對角元素改1法（零位移邊界）設(shè)結(jié)構(gòu)的總自由度數(shù)（即結(jié)點(diǎn)位移總數(shù)）為N，若第i個結(jié)點(diǎn)位移為零（即i=0），則將[K]中對角元素Kii改為1，而第i行和第i列的其他元素改為0，荷載向量[R]中的第i個元素也改為0。其實(shí)質(zhì)是將原有限方程中的第i個方程用方程i=0代替，而其他方程中與i對應(yīng)的系數(shù)也改為0，表明i對其他方程沒有影響，同時保證了修改后的剛度矩陣仍具有對稱性。(3)乘大數(shù)法若第i個結(jié)點(diǎn)位移已知，即，則將整體剛度矩陣[K]中的對角元素Kii改為Kii，其中為一大數(shù)（如1020），而荷載向量[R]中的第i個元素Ri改為，原方程成為以下形式其實(shí)質(zhì)是將原有限方程中的第i個方程用的以下近似方程代替：將上述方程各項(xiàng)同除以大數(shù)，除第i項(xiàng)及方程右端項(xiàng)外，其他各項(xiàng)均趨于0，故等價于。2.3.9位移模式與解答的收斂準(zhǔn)則(1)有限元解答的收斂準(zhǔn)則為使有限元解答能夠收斂于精確解，單元位移模式應(yīng)滿足以下條件：1)位移模式必須包含單元的剛體位移；對彈性力學(xué)平面問題，其剛體位移表達(dá)式為：u=u0y，v=v0+x因此，平面問題的位移模式必要包含上述剛體位移表達(dá)式中的各項(xiàng)，才能保證最終解答的收斂性。2)位移模式必須包含單元的常量應(yīng)變；條件(1)、(2)合并起來可稱為完備性要求。對平面問題來說，就是要求位移模式必須包含常數(shù)項(xiàng)和完整的一次項(xiàng)。完備性條件是解答收斂的必要條件。3)位移模式應(yīng)盡可能保證位移的連續(xù)性。該條件實(shí)際上就是協(xié)調(diào)性條件，但一般情況下并不是一個必要性條件。如果位移模式同時滿足上述完備性和協(xié)調(diào)性條件，那么就組成了解答收斂的充分條件。對一般的彈性力學(xué)平面或空間問題，只需要求單元內(nèi)部以及相鄰單元的公共邊界上的位移本身連續(xù)，即位移模式具有C0連續(xù)性。對有些問題，可以放松對協(xié)調(diào)性的要求，只要通過分片試驗(yàn)，那么也能保證解答的收斂性。三結(jié)點(diǎn)三角形單元的位移模式既滿足完備性，又滿足協(xié)調(diào)性的要求（在單元邊界上呈線性分布，可由兩個結(jié)點(diǎn)位移唯一確定），是一種協(xié)調(diào)單元。證明如下：單元內(nèi)：單值連續(xù)；yx(1)ijmp(2)相鄰單元之間：uij(1)=uij(2)？vijyx(1)ijmp(2)ij邊的方程：y=ax+b，則uij=1+2x+3(ax+b)=cx+duij(1)、uij(2)均為坐標(biāo)的線性函數(shù)，故可由i、j兩點(diǎn)的結(jié)點(diǎn)位移唯一確定。圖2.10兩相鄰單元(2)多項(xiàng)式位移模式的一般選擇規(guī)則位移模式應(yīng)與單元局部坐標(biāo)的選取無關(guān)，即滿足所謂的幾何各向同性。對于平面問題，位移模式中的x和y的各階項(xiàng)應(yīng)保持對稱，即有了xmyn項(xiàng)，則應(yīng)同時具有xnym項(xiàng)。為保證位移模式關(guān)于x和y坐標(biāo)的對稱性，通常從以下的Pascal三角形中選取多項(xiàng)式位移模式的各項(xiàng)：1xyx2xyy2x3x2yxy2y3x4x3yx2y2xy3y4…………圖2.11Pascal三角形根據(jù)最小勢能原理建立的有限元，是以結(jié)點(diǎn)位移作為基本未知量，這種有限單元稱為位移元。由位移元得到的近似解答總體上是精確解的一個下限。2.4高精度的三角形單元、矩形單元2.4.1高精度三角形單元(1)六結(jié)點(diǎn)三角形單元（二次單元T6）位移模式取坐標(biāo)的完整二次式：u=1+2x+3y+4x2+5xy+6y2v=1+2x+3y+4x2+5xy+6y2該位移模式包含了常數(shù)項(xiàng)和完整的一次項(xiàng)，滿足完備性要求；在單元的邊界上位移呈二次拋物線分布，可由三個結(jié)點(diǎn)位移唯一確定，故又滿足協(xié)調(diào)性的要求，是一種協(xié)調(diào)單元。(2)十結(jié)點(diǎn)三角形單元（三次單元T10）位移模式取坐標(biāo)的完整三次式：u=1+2x+3y+4x2+5xy+6y2+7x3+8x2y+9xy2+10y3v=1+2x+3y+4x2+5xy+6y2+7x3+8x2y+9xy2+10y3該位移模式包含了坐標(biāo)的完整一次式（常數(shù)項(xiàng)和純一次項(xiàng)），滿足完備性要求；在單元的邊界上位移呈三次曲線分布，可由4個結(jié)點(diǎn)位移唯一確定，故又滿足協(xié)調(diào)性的要求，是一種協(xié)調(diào)單元。ijijmijm3122.12高精度三角形單元(3)面積坐標(biāo)表示的三角形單元形函數(shù)在推導(dǎo)三角形單元的列式時，直接利用整體坐標(biāo)系（為直角坐標(biāo)）下的位移模式將使得運(yùn)算十分繁瑣和復(fù)雜。如果采用三角形單元內(nèi)的一種局部坐標(biāo)——面積坐標(biāo)作為自然坐標(biāo)，則可以使列式推導(dǎo)大為簡化。定義單元內(nèi)任一點(diǎn)P的無量綱面積坐標(biāo)（Li,Lj,Lm）為i(1,0,0)Pj(0,1,0)m(0,0,1)AiAjAmLii(1,0,0)Pj(0,1,0)m(0,0,1)AiAjAm各種單元的形函數(shù)：3結(jié)點(diǎn)三角形單元（線性單元T3）：Ni=Li（i,j,m）6結(jié)點(diǎn)三角形單元（二次單元T6）：Ni=(2Li1)Li（i,j,m）N1=4LjLm,（1,2,3；i,j,m）2.13三個結(jié)點(diǎn)單元示意圖面積坐標(biāo)的特點(diǎn)：1)三角形三個角點(diǎn)的面積坐標(biāo)：i(1,0,0)、j(0,1,0)、m(0,0,1)三條邊用面積坐標(biāo)表示的方程為：jm邊Li=0mi邊Lj=0ij邊Lm=02)三個面積坐標(biāo)不獨(dú)立，其相互關(guān)系為Li+Lj+Lm=1面積坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的關(guān)系：或2.4.2四結(jié)點(diǎn)矩形單元（R4單元）(1)采用雙線性的位移模式：u=1+2x+3y+4xy1yx234ov=1+2x+1yx234o可保證位移模式的完備性和協(xié)調(diào)性。若寫成形函數(shù)形式，則為2.14四結(jié)點(diǎn)矩形單元這里的Ni（i=1,2,3,4）可以先求出8個待定系數(shù)在獲得，也可以根據(jù)形函數(shù)的性質(zhì)直接構(gòu)造，例如對N1，可設(shè)該表達(dá)式滿足在結(jié)點(diǎn)2、3、4取值均為零的性質(zhì)；再令Ni(1)=1，可得待定系數(shù)這里設(shè)矩形單元的邊長各為2a、2b(2)局部坐標(biāo)下的形函數(shù)設(shè)矩形長和寬各為2a和2b，在矩形形心為原點(diǎn)建立局部坐標(biāo)（自然坐標(biāo)）系o4123=1=1=1=12.15局部坐標(biāo)系下的矩形單元則四個角點(diǎn)的局部坐標(biāo)分別為1(1,1)，2(1,1)，3(1,1)，4(1,1)。位移模式為：Ni（i=1,2,3,4）可根據(jù)形函數(shù)的性質(zhì)直接構(gòu)造出來：或(3)單元應(yīng)變矩陣和應(yīng)力矩陣單元應(yīng)變?yōu)椋簕}=[B]{}e其中[B]=[B1B2B3B4]，。單元應(yīng)力為：{}=[S]{}e=[D][B]{}e其中[S]=[S1S2S3S4]，[Si]=[D][Bi]2.5C在有限單元法中，根據(jù)結(jié)點(diǎn)布置方式的不同可將矩形單元分為兩類，一類稱為Lagrange矩形單元，另一類稱為Serendipity矩形單元。前者在單元縱橫網(wǎng)格線的交點(diǎn)上均布置結(jié)點(diǎn)，而后者僅在單元的邊界線上布置結(jié)點(diǎn)，如圖2.17所示。(a)Lagrange矩形單元(b)Serendipity矩形單元2.16兩類矩形單元2.5.1Lagrange矩形單元(1)一維Lagrange插值多項(xiàng)式過n個結(jié)點(diǎn)（坐標(biāo)分別為x1,x2,…,xn）的一維Lagrange插值多項(xiàng)式為xxx1x2x3xnxi12.17一維Lagrange插值多項(xiàng)式l1(x)例如n=2，則有：。若令x1=0，x2=l，則。用該多項(xiàng)式作為形函數(shù)，可滿足形函數(shù)的性質(zhì)。(2)Lagrange矩形單元的形函數(shù)在矩形的各個網(wǎng)格交點(diǎn)上均布置結(jié)點(diǎn)，如水平方向r+1個，豎向p+1個。于是第I列J行結(jié)點(diǎn)i的相應(yīng)形函數(shù)：Ni=NIJ=lI(r)()lJ(p)()其中，lI(r)()、lJ(p)()均為一維Lagrange插值多項(xiàng)式，Ni在結(jié)點(diǎn)i為1，在其他結(jié)點(diǎn)處為零；單元邊界上的結(jié)點(diǎn)數(shù)=形函數(shù)階數(shù)+1，能夠保證邊界位移的唯一性和協(xié)調(diào)性。這類單元包含較多的內(nèi)部結(jié)點(diǎn)，增加了單元的自由度，而實(shí)踐證明這些自由度的增加通常并不能有效提高單元的精度。對nn結(jié)點(diǎn)的Lagrange單元，其Pascal三角形中包含的項(xiàng)數(shù)如圖2.19所示。(I(I,J)(r,p)(0,0)11lI(x)lJ()1xnynxnynxx2x3yy2y3圖2.18Lagrange矩形單元及插值模式圖2.19Pascal三角形包含項(xiàng)數(shù)2.5.2.Serendipity矩形單元(1)結(jié)點(diǎn)布置特點(diǎn)這類單元只在其邊界上布置結(jié)點(diǎn)，但不同邊界上可布置有不同數(shù)目的結(jié)點(diǎn)。(2)形函數(shù)的構(gòu)造方法如果只有四個角點(diǎn)上布置結(jié)點(diǎn)（R4單元），則如果增加結(jié)點(diǎn)5使之成為5結(jié)點(diǎn)矩形單元（或稱R5單元），則滿足(N5)j=5j（j=1,2,3,4,5）。原不滿足，需對其進(jìn)行修正才能滿足：(N1)5=0，(N2)5=0，且保證N1，N2在除5結(jié)點(diǎn)外的其他4個結(jié)點(diǎn)取值不變。412351011011/21N5圖2.20五結(jié)點(diǎn)矩形單元圖2.21形函數(shù)N1的修正對于8結(jié)點(diǎn)Serendipity矩形單元（R8單元），利用上述方法，可得到前4個結(jié)點(diǎn)對應(yīng)的形函數(shù)分別為或?qū)懗山y(tǒng)一表達(dá)式：后4個形函數(shù)分別為對于p次單元的邊界內(nèi)結(jié)點(diǎn)，其相應(yīng)的形函數(shù)為（或）的p次和（或）的一次Lagrange多項(xiàng)式的乘積；而角結(jié)點(diǎn)的形函數(shù)為四結(jié)點(diǎn)單元的相應(yīng)函數(shù)與各內(nèi)結(jié)點(diǎn)形函數(shù)乘以一分?jǐn)?shù)的差。利用該方法可以很方便地構(gòu)造一些過渡單元的形函數(shù)。2.6平面等參單元直接用形狀規(guī)則的單元對復(fù)雜形狀的結(jié)構(gòu)進(jìn)行離散繪遇到邊界難于處理的問題，因此應(yīng)設(shè)法采用適當(dāng)?shù)姆椒▽σ?guī)則單元進(jìn)行坐標(biāo)變換，使之轉(zhuǎn)化為斜邊或曲邊的單元。有限元中最常用的變換方法是等參變換，即坐標(biāo)變換采用與單元位移插值一致的形函數(shù)。通過等參變換的單元稱為等參單元。2.6.1四結(jié)點(diǎn)四邊形等參元對于4結(jié)點(diǎn)任意四邊形單元，若采用雙線性的位移模式，則位移在單元斜邊界上呈二次拋物線分布，由兩個結(jié)點(diǎn)位移不能唯一確定。為此在單元內(nèi)設(shè)法建立一個局部坐標(biāo)（自然坐標(biāo)），使得單元各邊界的局部坐標(biāo)分別為一常量（或1），這樣，如果位移模式采用局部坐標(biāo)的雙線性函數(shù)，則能夠滿足公共邊界位移的唯一性。如果單元邊界的局部坐標(biāo)分別為1，則在局部坐標(biāo)下，單元的形態(tài)就是圖示的4結(jié)點(diǎn)正方形單元，該單元稱為基本單元或母單元，其形函數(shù)為。位移模式為：1y1yx2344123=1=1=1=1(a)基本單元(b)實(shí)際單元2.22四結(jié)點(diǎn)等參數(shù)單元如果同時利用上述形函數(shù)作為局部（自然）坐標(biāo)(,)向整體（直角）坐標(biāo)(x,y)的變換函數(shù)，則可以建立兩種坐標(biāo)之間的映射關(guān)系如下：根據(jù)形函數(shù)的性質(zhì)：(Ni)j=ij，Ni=1，容易驗(yàn)證上述變換式在四個結(jié)點(diǎn)處給出了節(jié)點(diǎn)的整體坐標(biāo)，而在單元的四邊上，其中一個局部坐標(biāo)為1，另一局部坐標(biāo)按線性變化，因而正好給出了整體坐標(biāo)下四邊的直線方程（由兩個結(jié)點(diǎn)整體坐標(biāo)唯一確定）。例如對12邊，因此上述變換式正確地反映了局部（自然）與整體（直角）坐標(biāo)之間的映射關(guān)系。經(jīng)變換后的實(shí)際單元稱為子單元。子單元的位移模式仍為：利用等參變換可以構(gòu)造8結(jié)點(diǎn)、12結(jié)點(diǎn)、20結(jié)點(diǎn)等更高次的四邊形曲邊等參單元（參見圖2.23）。o15247386yx15247386圖2.238結(jié)點(diǎn)曲邊四邊形等參單元2.6.2局部與整體坐標(biāo)的微分和積分變換式根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，寫成矩陣形式，式中J稱為雅可比（Jacobi）矩陣，對于具有m個結(jié)點(diǎn)的平面等參單元，若反過來用局部坐標(biāo)表示整體坐標(biāo)，則可對上式作反變換，式中，Jij*是J各元素Jji的代數(shù)余子式；J是J的行列式，稱為雅可比（Jacobi）行列式。面積微分的變換：dA=dxdy=Jdd。2.6.3單元剛度矩陣和單元等效結(jié)點(diǎn)荷載向量對于一具有m個結(jié)點(diǎn)的平面等參單元，其應(yīng)變向量可寫為{}=[B]{}e其中，單元應(yīng)變矩陣：[B]=[B1B2…Bm]。單元應(yīng)力向量：{}=[S]{}e=[D][B]{}e單元剛度矩陣：單元等效結(jié)點(diǎn)荷載列陣：式中{Rp}e、{Rq}e分別為體積力和表面力引起的等效結(jié)點(diǎn)荷載，且對其中一個局部坐標(biāo)（或）為常數(shù)的邊界，線積分ds為或上述積分式通常采用Newton-Cotes或高斯（Gauss）數(shù)值積分求得?？梢姡葏卧膭偠染仃?、等效結(jié)點(diǎn)荷載列陣等的計(jì)算都在規(guī)則的母單元中進(jìn)行，因此各種形式的積分運(yùn)算都可以采用標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)值積分方法進(jìn)行，使得不同工程問題的有限元分析能夠采用統(tǒng)一的通用化程序?qū)崿F(xiàn)。2.6.4等參變換的應(yīng)用條件等參單元的應(yīng)用條件是母單元與實(shí)際單元之間存在一一對應(yīng)關(guān)系。具體到局部與整體坐標(biāo)的變換式，要求變換矩陣即雅可比[J]非奇異，雅可比（Jacobi）行列式J0。為確保坐標(biāo)變換一一對應(yīng)，在單元劃分時應(yīng)避免：使任意兩個結(jié)點(diǎn)退化為一個結(jié)點(diǎn)而使d=0或d=0；還應(yīng)避免因單元過于歪斜而導(dǎo)致d與d發(fā)生共線。123=1=1=1=14123,4=1=1=1=1(a)結(jié)點(diǎn)退化(b)單元邊界接近共線2.24畸形等參數(shù)單元2.6.5例題分析例2.1圖示懸臂平面結(jié)構(gòu)，長2m，高1m，試用圖示單元進(jìn)行分析。112346(1)(2)(3)5(4)xyPjjmi(1)(3)jmi(2)(4)(a)基本單元(b)實(shí)際單元2.25例2.1圖（三角形單元）1.三結(jié)點(diǎn)三角形單元分析(1)離散化：劃分為4個單元，共6個結(jié)點(diǎn)。(2)依據(jù)圖示的單元局部編號規(guī)則，4個單元的剛度矩陣均相同，為為簡便起見，設(shè)泊松比=0，于是有(3)根據(jù)局部與整體結(jié)點(diǎn)編號的對應(yīng)關(guān)系集成整體剛度矩陣：(4)引進(jìn)位移邊界條件2.四結(jié)點(diǎn)四邊角形等參單元分析112346(1)(2)5xyP41232.26例2.1圖（四邊形單元）計(jì)算步驟：(1)離散化：劃分為2個單元，共6個結(jié)點(diǎn)。單元上下短邊0.75m，長邊1.25m。(2)求，[J]，|J|，[J]-1；(3)求[B]在各積分點(diǎn)的數(shù)值[Bi]g；(4)利用高斯積分計(jì)算并形成[k]；(5)集成[K]、[P]；(6)引進(jìn)位移邊界條件。112P例2.2牛腿受豎向集中力作用，且結(jié)點(diǎn)1、2發(fā)生已知的水平位移，求應(yīng)力。2.27例2.2圖2.7有限元程序?qū)崿F(xiàn)有限元程序——前處理程序：生成網(wǎng)格及數(shù)據(jù)文件主體分析程序：核心計(jì)算分析后處理程序：進(jìn)行結(jié)果處理，生成可直接使用或查看的結(jié)果文件、圖形文件。2.7.1有限元程序設(shè)計(jì)的一般步驟算法描述和列式推導(dǎo)；框圖設(shè)計(jì)；代碼編寫；上機(jī)調(diào)試、考核；編寫應(yīng)用說明；修改、補(bǔ)充、完善。程序設(shè)計(jì)的一般要求：具備較齊全的功能、較強(qiáng)的通用性和可移植性、較好的可擴(kuò)充性、良好的可讀性、足夠的可靠性、良好的自適應(yīng)性。2.7.2輸入數(shù)據(jù)及分類1.控制數(shù)據(jù)：結(jié)點(diǎn)總數(shù)、單元總數(shù)、約束總數(shù)、荷載總數(shù)、問題類型數(shù)等2.幾何數(shù)據(jù)：結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)、單元信息（各單元的結(jié)點(diǎn)編號）、約束條件、單元類型數(shù)（彈性模量E、泊松比、厚度t不同為一類）3.物性數(shù)據(jù)：彈性模量E、泊松比、厚度t4.荷載數(shù)據(jù)：荷載類型（集中、分布）、位置、方向、大小等2.7.3三結(jié)點(diǎn)三角形單元分析平面問題的主體程序1.程序框圖（參見圖2.28）2.結(jié)構(gòu)化程序設(shè)計(jì)方法模塊化——由1個主程序和若干子程序組成。子程序由通用性，采用可調(diào)數(shù)組；主程序采用動態(tài)數(shù)組存儲技術(shù)3.動態(tài)數(shù)組存儲技術(shù)（1）按整型和實(shí)型定義兩個大型共享數(shù)組，如A(1000000)、M(1000000)；（2）設(shè)計(jì)動態(tài)數(shù)組表：將各子程序中的變界（可調(diào)）數(shù)組按各自實(shí)際需要的大小分配一維數(shù)組的空間；（3）動態(tài)數(shù)組覆蓋技術(shù)：全部或部分覆蓋。讀入控制數(shù)據(jù)讀入控制數(shù)據(jù)開始讀入幾何、物性、荷載數(shù)據(jù)平面應(yīng)力/應(yīng)變?E=E0/(1-02),=0/(1-0)E=E0,=0計(jì)算單元剛度元素疊加到整體剛度矩陣中計(jì)算等效結(jié)點(diǎn)荷載引入位移約束條件解線性代數(shù)方程得結(jié)點(diǎn)位移計(jì)算單元應(yīng)力、反力等輸出結(jié)果結(jié)束圖2.28平面問題主體分析程序框圖2.8平面桿系結(jié)構(gòu)的有限元2.8(1)基本方程xxyp(x)q(x)圖2.29受任意荷載的等截面直梁幾何關(guān)系：寫成矩陣系數(shù)，，{f}=[uv]T，內(nèi)力-位移關(guān)系：平衡關(guān)系：邊界條件：(2)離散將一平面桿件結(jié)構(gòu)離散為ne個單元，n個結(jié)點(diǎn)，基本未知量為結(jié)點(diǎn)位移{}=[u1v11u2v22…unvnn]T對應(yīng)的結(jié)點(diǎn)力向量為{F}=[X1Y1M1X2Y2M2…XnYn(3)位移模式局部坐標(biāo)下的單元結(jié)點(diǎn)位移向量和單元結(jié)點(diǎn)力向量：xxyx’y’viuivjujij圖2.30等截面直梁單元由梁的平衡方程可知，在結(jié)點(diǎn)荷載作用下梁的軸向位移沿梁軸呈線性分布（因只有桿端作用軸向荷載），橫向位移呈三次曲線分布（因彎矩沿桿軸成線性分布），故假設(shè)u=1+2xv=3+4x+5x2+6x3將結(jié)點(diǎn)i,j的位移代入可求出6個待定系數(shù)1~6。將單元位移寫成結(jié)點(diǎn)位移的顯式，有u=N1ui+N4ujv=N2vi+N3i+N5vj+N6j位移模式的矩陣表示u、v獨(dú)立插值，但不獨(dú)立插值，故要求C1連續(xù)：不僅u、v本身連續(xù)，v的一階導(dǎo)數(shù)也要連續(xù)。(4)單元應(yīng)變矩陣和應(yīng)力矩陣將位移模式{f}=[N]{}e代入幾何方程，得單元應(yīng)變?yōu)椋簩}=[B]{}e代入物理方程，可得{}=[D][B]{}e,其中(5)單元剛度矩陣局部坐標(biāo)下的單元剛度矩陣：單元剛度方程為：{F}e=[k]{}e[k]中的每一元素krs稱為單元剛度系數(shù)，其物理意義是：第s個桿端位移為單位位移，而其他桿端位移為零時所引起的第r個桿端力。單元剛度矩陣是一個對稱矩陣，即krs=ksr，這可由反力互等定理證明；單元剛度矩陣還是一個奇異矩陣，這是由于單元中包含剛體位移。局部向整體坐標(biāo)的變換：{’}e=[T]T{}e{F’}e=[T]T{F}e[k’]=[T]T[k][T]式中，[T]為一66的坐標(biāo)變換矩陣。假設(shè)自整體坐標(biāo)Ox’軸沿轉(zhuǎn)角正方向（即順時針方向）轉(zhuǎn)到局部坐標(biāo)Ox軸的角度為，則{F’}=[k’]{’}e坐標(biāo)變換矩陣[T]是一個正交矩陣，即[T]1=[T]T，故結(jié)點(diǎn)位移和結(jié)點(diǎn)力由整體向局部坐標(biāo)的變換式為{}e=[T]{’}e，{F}e=[T]{F’}e

2.8基本假定：垂直于梁軸線的截面在變形后仍保持為平面，但不再垂直于變形后的軸線。撓度由兩部分組成：彎曲變形部分和剪切變形部分，即v=vb+vs；dxdx桿軸線斜率：dv/dx=+（dxdx圖2.31發(fā)生彎曲和剪切變形的直梁微段(1)在經(jīng)典梁單元基礎(chǔ)上引入剪切變形的影響vb用三次式插值，參見上一節(jié)。vs用線性插值：vs=N7vsi+N8vsj。由此可導(dǎo)得單元剛度矩陣為式中，為剪切影響系數(shù)，k為截面剪應(yīng)力不均勻分布修正系數(shù)，對矩形截面k=1.2，圓形截面k=10/9。(2)Timoshenko梁單元對u、v、均獨(dú)立插值：u=N1ui+N2u2，v=N1v1+N2v2，=N11+N22式中：截面的轉(zhuǎn)角，dv/dx：桿軸線的斜率。當(dāng)l/h時只能得到零解，即將出現(xiàn)剪切自鎖（Shearlocking）。這是由于v、同階插值（實(shí)際上放大了剪切應(yīng)變項(xiàng)的量級），故dv/dx與不同階，從而導(dǎo)致剪應(yīng)變=dv/dx不能處處滿足（dv/dx為常數(shù)，為一次式），除非=常數(shù)，意味著梁不能發(fā)生彎曲。解決方法：減縮積分——數(shù)值積分時采用比精確積分要求少的積分點(diǎn)數(shù)，例如對兩結(jié)點(diǎn)梁單元采用一點(diǎn)積分；減縮積分后[ks]中的l2/3和l2/6項(xiàng)均改為l2/4。假設(shè)剪切應(yīng)變——對剪應(yīng)變另行假定插值形式；替代插值函數(shù)——計(jì)算剪應(yīng)變時，對采用低一階的插值函數(shù)，如兩結(jié)點(diǎn)梁單元其插值函數(shù)為常數(shù)1/2，即。兩結(jié)點(diǎn)Timoshenko梁單元包含橫向剛體位移（v=c）和剛體轉(zhuǎn)動（=dv/dx=c），包含常剪切應(yīng)變（=0，dv/dx==c），但不包含常彎曲應(yīng)變的位移狀態(tài)（=cx，v=0.5cx2），不能分析純彎問題（將伴隨剪切應(yīng)變），因而是一種較低級的C0連續(xù)型梁單元，實(shí)際計(jì)算中多采用三結(jié)點(diǎn)或更多結(jié)點(diǎn)的梁單元。2.9板彎曲的有限元2.9.1薄板小(1)基本假定1）直法線假定：z=0，zx=0，yz=0；2）不計(jì)z引起的變形（物理方程與平面應(yīng)力問題相同）；3）小撓度假定：變形后中面無面內(nèi)位移?；痉匠處缀畏匠蹋簕}=[L]w，，式中{}為曲（扭）率向量。應(yīng)變：{}=[xyxy]T=z{}。物理方程：{M}=[MxMyMxy]T=[D]{}式中[D]為板彎曲的彈性關(guān)系矩陣，,為板的彎曲剛度。平衡方程：或邊界條件：2.9(1)單元的自由度單元與單元之間只在結(jié)點(diǎn)連接，由于相鄰單元之間要傳遞橫向力及力矩，故結(jié)點(diǎn)須作為剛接。每個結(jié)點(diǎn)有3個自由度：撓度w、角位移x、y。結(jié)點(diǎn)i的位移：（i=1,2,3,4）相應(yīng)結(jié)點(diǎn)力：（i=1,2,3,4）單元結(jié)點(diǎn)位移向量：{}e=[1234]T邊界條件如下：結(jié)點(diǎn)i雙向鉸接——wi=0結(jié)點(diǎn)i雙向剛接——wi=xi=yi=0繞x（或y）轉(zhuǎn)向鉸接，繞y（或x）轉(zhuǎn)向剛接——wi=yi=0（或wi=xi=0）xzxzy=xyzw1x1y11234圖2.32矩形博班單元(2)單元位移模式w1因薄板的位移、變形及內(nèi)力等均可用撓度w表示，故只需對w建立位移模式。w1w=1+2x+3y+4x2+5xy+6y2+7x3+8x2y+9xy2+10y3+11x3y+12xy3將4個結(jié)點(diǎn)的位移代入可求出12個待定系數(shù)1~12。將單元位移寫成結(jié)點(diǎn)位移的顯式，有w=[N]{}e，[N]=[N1N2N3N4]，設(shè)單元在x、y方向的邊長分別為2a和2b，則在局部坐標(biāo)系o其中局部與整體坐標(biāo)之間的關(guān)系為這里xc、yc為單元中心的x、y坐標(biāo)。(3)位移模式的完備性和協(xié)調(diào)性分析完備性分析：前三項(xiàng)1+2x+3y代表了薄板單元的剛體位移（1代表薄板沿z方向的剛體平移，2、3分別代表薄板繞y和x軸的剛體轉(zhuǎn)動）；4x2+5xy+6y2代表單元的常應(yīng)變（常曲率和常扭率）。連續(xù)性分析：要求C1連續(xù)。例如在y=常量的單元邊界12上，w為x的三次式，即：w12=1+2x+3x2+4x3，可由w1、w2、y1、y2唯一確定。該邊上x也是x的三次式（該三次式與w的三次式相互獨(dú)立），即(x)12=(w/y)12=5+6x+7x2+8x3，但只有x1和x2為限制條件，故不能唯一確定，為一非協(xié)調(diào)元。該單元經(jīng)驗(yàn)證能夠通過分片試驗(yàn)，即當(dāng)單元趨于無限小時能保證應(yīng)變?yōu)槌Ａ?，解答收斂于正確解。分片試驗(yàn)：任取一至少包含一個內(nèi)結(jié)點(diǎn)的單元片，賦予各結(jié)點(diǎn)與常應(yīng)變狀態(tài)相應(yīng)的位移值，驗(yàn)證由此而產(chǎn)生的結(jié)點(diǎn)力是否處于平衡，若是則認(rèn)為單元片通過分片試驗(yàn)。2.9位移模式：w=1+2x+3y+4x2+5xy+6y2+7x3+8x2y+9xy2+10y3因只有9個自由度，故上式需刪去一項(xiàng)，如將8、9兩項(xiàng)合并或舍去xy項(xiàng)，均不能保證收斂，因此改用面積坐標(biāo)表示。面積坐標(biāo)的性質(zhì)：1=Li+Lj+Lmx=xiLi+xjLj+xmLmy=yiLi+yjLj+ymLm(a)x、y一次式：Li、Lj、Lm(b)x、y二次式：Li2、Lj2、Lm2、LiLj、LjLm、LmLi(c)x、y三次式：Li3、Lj3、Lm3、Li2Lj、Lj2Lm、Lm2Li、LiLj2、LjLm2、LmLi2、LiLjLmx、y的完全三次式應(yīng)至少包含（c）中的4項(xiàng)及（a）、（b）、（c）中的6項(xiàng)共10項(xiàng)的線性組合。連續(xù)性：單元邊界上，w為三次式，可由兩端點(diǎn)的w及w/s唯一確定，故能夠保證連續(xù)；w/n為二次式，由兩端點(diǎn)的w/n不能唯一確定，故w/n不能保證連續(xù)。2.9構(gòu)造方法：1.保持結(jié)點(diǎn)參數(shù)不變，采用附加校正函數(shù)法使單元邊界協(xié)調(diào)2.增加結(jié)點(diǎn)參數(shù)，例如包含w的二階或更高階導(dǎo)數(shù)，如21自由度的三角形單元3.雜交混合元、擬協(xié)調(diào)元、廣義協(xié)調(diào)元等。2.9(1)Mindlin-Reissner中厚板理論1）z=0，zx0，yz0（放棄了直法線假定）；2）不計(jì)z引起的變形（物理方程與平面應(yīng)力問題相同）；3）變形后中面無面內(nèi)位移（小撓度假定）。(2)四結(jié)點(diǎn)矩形單元對撓度w和轉(zhuǎn)角x、y均獨(dú)立插值，其位移模式為：該單元只要求C0連續(xù)。當(dāng)用于薄板問題時會出現(xiàn)剪切自鎖（Shearlocking），這是由于不滿足Kirchhoff假定而出現(xiàn)的剪應(yīng)變能失真。解決方法：減縮積分；假設(shè)剪切應(yīng)變；替代插值函數(shù)。

習(xí)題圖示為一平面應(yīng)力狀態(tài)的三結(jié)點(diǎn)直角三角形單元，厚度t，彈性模量E，剪切模量G=E/[2(1+)]，設(shè)泊松比=0，結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)如圖。若采用線性位移模式（位移函數(shù)），試求出：xym(0,1)jxym(0,1)j(1,0)i(0,0)(2)應(yīng)變矩陣[B]；(3)應(yīng)力矩陣[S]；(4)單元剛度矩陣[k]；(5)[k]的每行之和及每列之和，并說明其物理意義。題2.1圖為使有限單元解收斂于正確解，位移模式應(yīng)滿足那些條件？對于平面四結(jié)點(diǎn)矩形單元，若位移模式取為：u=a1+a2x+a3y+a4x2，v=b1+b2x+b3y+b4y2，試分析該位移模式是否滿足這些條件，并說明具體理由。為使有限單元解收斂于正確解，位移模式應(yīng)滿足那些條件？四結(jié)點(diǎn)矩形薄板單元具有12個自由度，其位移模式取為：w(x,y)=1+2x+3y+4x2+5xy+6y2+7x3+8x2y+9xy2+10y3+11x3y+12xy3，試分析該位移模式是否滿足這些條件，并說明具體理由。形函數(shù)有哪些主要性質(zhì)？試由這些性質(zhì)直接構(gòu)造圖示六結(jié)點(diǎn)矩形單元的形函數(shù)，寫出單元中心點(diǎn)P(a/2,b)處的位移用結(jié)點(diǎn)位移表示的表達(dá)式。114bxyba2365mmxyji題2.4圖題2.5圖圖示為平面問題的一個三結(jié)點(diǎn)三角形單元。(1)試問單元剛度矩陣[k]有哪些主要特性？其依據(jù)各是什么？(2)附圖說明[k]元素k52的物理意義。(3)[k]的每行之和及每列之和各為何值，其物理意義是什么？圖(a)所示的平面連續(xù)體結(jié)構(gòu)已劃分為兩個三角形單元，在圖(a)坐標(biāo)系及圖(b)局部編號下，兩單元的剛度矩陣左下子塊均為：。附圖說明單元(1)的剛度元素k36的物理意義；試由上述單元剛度矩陣子塊形成結(jié)構(gòu)的總體剛度矩陣；分別采用手算方法和一種計(jì)算機(jī)方法引進(jìn)圖中的位移邊界條件，寫出圖示荷載作用下的最終有限元方程；假設(shè)結(jié)點(diǎn)位移v2、u3、v3、u4均已求得(作為已知)，試在此基礎(chǔ)上求出結(jié)點(diǎn)2和結(jié)點(diǎn)4的支座反力。44123(1)(2)Pxyjjmiij(1)(2)m(a)(b)題2.6圖利用形函數(shù)的性質(zhì)，直接構(gòu)造出圖示六結(jié)點(diǎn)正方形單元（邊長為2）的形函數(shù)，寫出單元中心點(diǎn)o的位移用結(jié)點(diǎn)位移表示的表達(dá)式mxmxyjiPyPx1111152463題2.7圖題2.9圖有限單元法中，一個二維單元在坐標(biāo)平面內(nèi)分別發(fā)生平移和轉(zhuǎn)動，單元剛度矩陣[k]是否發(fā)生改變？為什么？應(yīng)力矩陣[S]又如何變化？在有限元分析中，非結(jié)點(diǎn)荷載需移置為等效結(jié)點(diǎn)荷載，移置的原則是什么？試根據(jù)該原則，導(dǎo)出三結(jié)點(diǎn)三角形單元內(nèi)任一點(diǎn)（x，y）處作用集中荷載{P}=[Px,Py]T時的等效結(jié)點(diǎn)荷載表達(dá)式。已知形函數(shù)矩陣為[N]，結(jié)點(diǎn)位移向量為{e}。三結(jié)點(diǎn)三角形單元的材料容重為，厚度為t，試導(dǎo)出單元在自重作用下的等效結(jié)點(diǎn)荷載向量。三結(jié)點(diǎn)三角形單元的ij邊作用一法向的線性分布荷載，其中i、j點(diǎn)的集度各為qi,qj，試導(dǎo)出單元的等效結(jié)點(diǎn)荷載表達(dá)式。圖(a)示平面結(jié)構(gòu)已劃分為兩個四邊形單元，各結(jié)點(diǎn)的整體編號如圖所示。已知兩單元的上下短邊0.75m，長邊1.25m，豎向垂直尺寸1m，其所對應(yīng)的等參基本單元如圖(b)所示。試求（=0,=0）點(diǎn)對應(yīng)的單元(1)、(2)的整體坐標(biāo)（x,y）已知各結(jié)點(diǎn)的位移ui,vi（i=1,2,3,4），均為已知，試求結(jié)構(gòu)在（x=0.625,y=0）處的位移1(1,1)2(1,1)3(1,1)4(1,1)O(0,0)12346(1)(2)5yx(a)實(shí)際單元(b)基本單元題2.12圖有限單元法中，引入位移邊界條件前后結(jié)構(gòu)的總體剛度矩陣各有哪些基本性質(zhì)？引入位移邊界條件的方法有那些？總體剛度矩陣在計(jì)算機(jī)中常用那些方法進(jìn)行存儲？各有什么優(yōu)缺點(diǎn)？圖示平面結(jié)構(gòu)已劃分為三結(jié)點(diǎn)三角形單元，試完成以下分析：怎樣對結(jié)點(diǎn)和單元進(jìn)行編號可使總體剛度矩陣的存儲量最小？此時存儲階數(shù)為幾乘幾？若在結(jié)點(diǎn)C處添加一剛度系數(shù)為k0的水平彈簧支座（彈簧不作為單元），試根據(jù)總體剛度元素的物理意義說明此時總剛矩陣有何變化？CCAB題2.14圖在板彎曲問題的有限元分析中，有兩類常用的板單元：基于經(jīng)典薄板彎曲理論的板單元和基于中厚板（Mindlin板）理論的板單元。這兩類單元的基本假定、連續(xù)性要求有何不同點(diǎn)？Mindlin板單元在用于薄板時會遇到什么困難？常用那些方法克服該困難？

第3章加權(quán)殘數(shù)法3.1基本原理及發(fā)展概況3.1.1基本原理加權(quán)殘數(shù)（余量）法直接從微分方程和邊界（初值）條件出發(fā)，先假設(shè)一包含待定系數(shù)的近似試函數(shù)，將試函數(shù)代入微分方程和邊界（初值）條件中，一般不能精確滿足而出現(xiàn)誤差值，稱為殘值（或余量）；使殘值在計(jì)算區(qū)域和邊界上按某種加權(quán)平均為零，從而確定出待定系數(shù)，得到最終的近似解。基本方程：L(u)p=0，V（域內(nèi)）邊界條件：B(u)g=0，S（邊界）L、B為算子，p、g為已知函數(shù)。為求近似解，設(shè)試探函數(shù)代入方程和邊界條件，得殘值：RL=L(u)-p（域內(nèi)），RB=B(u)-g（邊界）令殘值在某種平均意義（加權(quán)積分）上等于零，則有Wj、Wjs分別為域內(nèi)殘值和邊界殘值的權(quán)函數(shù)。由上式得到關(guān)于待定系數(shù)i的代數(shù)方程組，解得待定系數(shù)。3.2.2發(fā)展概況加權(quán)殘數(shù)法的基本思想在19世紀(jì)初就已提出，到了1920年代用于求解微分方程，1950年代CrandallS.H.統(tǒng)一命名為“加權(quán)殘數(shù)（余量）法”（WeightedResidualsMethod）。1970年代前主要應(yīng)用于計(jì)算流體力學(xué)、空氣動力學(xué)、熱傳導(dǎo)等領(lǐng)域，而較少用于固體力學(xué)領(lǐng)域。國內(nèi)，徐次達(dá)教授于1970年代末1980年代初首先引進(jìn)并應(yīng)用于固體力學(xué)計(jì)算中。在1980-90年代得到了很大發(fā)展，自1982年起召開了多屆專門的學(xué)術(shù)會議，在國內(nèi)外期刊發(fā)表了大量的論文。涉及多方面的研究領(lǐng)域：靜力、動力、穩(wěn)定，線性、非線性，還于其他一些數(shù)值方法（如有限元法）、半解析法相互結(jié)合，用于求解復(fù)雜的工程問題，如加權(quán)參數(shù)法與有限元的耦合求解法、攝動加權(quán)參數(shù)法等。3.2加權(quán)殘數(shù)法的分類3.2.1按試函數(shù)分類按試函數(shù)是否滿足微分方程和邊界條件分為：內(nèi)部法、邊界法和混合法。(1)內(nèi)部法試函數(shù)滿足邊界條件而不滿足微分方程，RB=0，(2)邊界法試函數(shù)滿足域內(nèi)微分方程而不滿足邊界條件，RL=0，(3)混合法試函數(shù)既不滿足域內(nèi)微分方程而不滿足邊界條件，RL0，RL0，分析實(shí)際工程問題時，應(yīng)盡可能采用內(nèi)部法或邊界法，使問題得到簡化。最常用的是內(nèi)部法（因邊界條件相對易于滿足），對較復(fù)雜的問題才用混合法。3.2.2按權(quán)函數(shù)分類按權(quán)函數(shù)分類，加權(quán)殘數(shù)法可分為5種基本方法：子域法、配點(diǎn)法、最小二乘法、矩量法和Galerkin（伽遼金）法，現(xiàn)以內(nèi)部法為例分別說明。(1)子域法（sub-domainmethod）在求解域V中取m個子區(qū)域Vj（j=1,2,…,m），使微分方程的殘值在各子域內(nèi)積分為零，即（試函數(shù)可包含m個待定系數(shù)）加權(quán)積分式：權(quán)函數(shù)：例3.1：微分方程，邊界條件，求u的近似表達(dá)式。采用內(nèi)部法。選取滿足邊界條件的試函數(shù)：u=x(1x1+2x+3x2+…)取前兩項(xiàng)：u=x(1x1+2x)得殘值：R=L(u)px+(2+xx2)1+(26xx2x3)2取兩個子域，即m=2。子域1：x=0~0.25，有子域2：x=0.25~0.5，有解得：1=0.194132，2=0.191846與精確解的誤差為3~4%。(2)配點(diǎn)法（collocationmethod）在求解域V中取m個點(diǎn)xj（j=1,2,…,m），使各選點(diǎn)的殘值為零，即Rx=xj=0（j=1,2,…,m）得到關(guān)于m個待定系數(shù)的線性代數(shù)方程[C]{}=。該方法的權(quán)函數(shù)：Wj=(xxj)式中的(xxj)稱為Diracdelta函數(shù)，簡稱函數(shù)。該函數(shù)的定義：，函數(shù)的性質(zhì)：xx(x-)圖3.1函數(shù)例3.2：用配點(diǎn)法求解例3.1所述問題。選取滿足邊界條件的試函數(shù):u=x(1x1+2x)選點(diǎn)：x1=0.25，x2=0.5，得解得：1=0.193543，2=0.184332。與精確解的誤差為2~3.6%。(3)最小二乘法（leastsquaresmethod）基本思想：選擇試函數(shù)，使殘值的平方和最小。有兩種形式：連續(xù)型、離散型。(1)連續(xù)型建立域內(nèi)殘值平方的積分式：。為使I最小，取極值條件將前一式代入，有該式提供了關(guān)于m個待定系數(shù)的線性代數(shù)方程[C]{}=最小二乘法的權(quán)函數(shù)為：例3.3用最小二乘法求解例3.1所述問題。選取滿足邊界條件的試函數(shù)（兩項(xiàng)近似）：u=x(1x1+2x)得殘值：R=L(u)px+(2+xx2)1+(26xx2x3)2，解得：1=0.187542，2=0.169470與精確解的誤差為1.5~2.5%。(2)離散型取n個配點(diǎn)，使各配點(diǎn)殘值的平方和最小。其中的Ri（i=1,2,…,n）是j（j=1,2,…,m）的線性表達(dá)式。由極值條件可得：，經(jīng)整理可得到關(guān)于{}的代數(shù)方程[C]{}=例3.4：用離散型最小二乘法計(jì)算例3.1。試函數(shù)選取及殘值計(jì)算同前，即：u=x(1x1+2x)，得殘值：R=L(u)px+(2+xx2)1+(26xx2x3)2取配點(diǎn)數(shù)n=3，并選x1=0.25，x2=0.5，x3=0.75，代入上述殘值表達(dá)式可得R1、R2、R3以及等的表達(dá)式，代入離散型最小二乘法的方程式中，有解得：1=0.192973，2=0.172043，誤差0.0~0.53%。如選配點(diǎn)x1=0.3，x2=0.6，x3=0.9，則誤差0.72~0.97%。(4)矩量法（methodofmoment）權(quán)函數(shù)為Wj=xj（j=0,1,2,…），則有理論依據(jù)：有限矩量定理——若在有限區(qū)間[a,b]上連續(xù)的函數(shù)f(x)滿足的n個關(guān)系式，則f(x)在[a,b]上至少變號n次，即f(x)=0在[a,b]上至少有n個相異的根，當(dāng)n時，f(x)0。ff(x)xo圖3.2變號n次的連續(xù)函數(shù)例3.5用矩量法計(jì)算例3.1。選取滿足邊界條件的試函數(shù)（兩項(xiàng)近似）：u=x(1x1+2x)殘值：R=L(u)px+(2+xx2)1+(26xx2x3)2取權(quán)函數(shù)為1，x，解得：1=0.187982，2=0.169492與精確解的誤差為1.6~2.3%。(5)伽遼金法（Galerkinmethod）該方法1915年由俄國工程師Galerkin提出，是Ritz變分法的推廣。取滿足邊界條件的試函數(shù)其中k（k=1,2,…,m）為基函數(shù)。取權(quán)函數(shù)為試函數(shù)的各項(xiàng)基函數(shù)，即Wj=j（j=1,2,…,m），則物理意義：使殘值R與試函數(shù)的各項(xiàng)（即基函數(shù)）均正交。例3.6用伽遼金法計(jì)算例3.1。選取滿足邊界條件的試函數(shù)（兩項(xiàng)近似）：u=x(1x1+2x)殘值：R=L(u)px+(2+xx2)1+(26xx2x3)2取權(quán)函數(shù)W1=x(1x)，W2=x2(1x)，解得：1=0.192412，2=0.170732與精確解的誤差為0.5%。5種基本方法可以混合使用，產(chǎn)生新的混合加權(quán)殘數(shù)法，如最小二乘配點(diǎn)法（即離散型最小二乘法）、Galerkin配點(diǎn)法等。3.3伽遼金法的應(yīng)用3.3.1Galerkin法解一維問題例如，圖3.3所示簡支梁受均布荷載，求梁的彈性撓曲線。微分方程：EIv(4)q=0，邊界條件：(v)x=0或x=l=0，(v’’)x=0或x=l=0。yyxEI=常數(shù)lqAB圖3.3簡支梁受均布荷載取滿足邊界條件的試函數(shù)：，殘值：權(quán)函數(shù)：Galerkin方程組：利用三角函數(shù)的正交性：完成上述積分計(jì)算，可得m個解耦的代數(shù)方程：解得：與精確解：相比，誤差在0.5%以內(nèi)。3.3.2矩形薄板彎曲的Galerkin解法周邊固支的矩形薄板彎曲問題，當(dāng)荷載情況較為復(fù)雜時，要獲得問題的精確解比較困難，但利用Galerkin解法卻十分方便。yyxBDAC22bO圖3.4四邊固支的矩形薄板微分方程：D4wq=0，邊界條件：(w)x=a=0，(w)y=b=0，由對稱性取滿足邊界條件的撓曲試函數(shù)為w(x,y)=(x2a2)2(y2b2)2(1+2x2+3y2+)取一階近似：w(x,y)=1(x2a2)2(y2b2)2代入微分方程得殘值R=8D1[3(y2b2)2+3(x2a2)2+4(3x2a2)(3y2b2)]q權(quán)函數(shù)W=(x2a2)2(y2b2)2代入Galerkin方程：對于均布荷載，可解得對于方板（a=b），中心撓度wmax=0.0213qa4/D，精確解wmax=0.0202qa4/D，誤差5.4%。若取二階近似，則誤差可降低。3.4最小二乘法的應(yīng)用3.4例.兩端固定梁受均布荷載，求彈性撓曲線。微分方程：EIv(4)q=0，邊界條件：(v)x=0或x=l=0，(v’)x=0或x=l=0。yyxlEI=常數(shù)qAB圖3.5兩端固定梁受均布荷載(1)內(nèi)部法取滿足邊界條件的試函數(shù)：v=x2(lx)2殘值：R=24EIq，權(quán)函數(shù)：W=R/=24EI加權(quán)殘數(shù)方程：正好為一精確解，因試函數(shù)選擇得恰當(dāng)。(2)混合法取試函數(shù)為：v=0+1x+2x2+3x3+4x4既不滿足方程，也不滿足邊界條件。取相對權(quán)函數(shù)W=1，則（j=0,1,2,3,4）內(nèi)部殘值：RL=24EIq，邊界殘值：RB1=v|x=00=0，RB2=v|x=l=0+1l+2l2+3l3+4RB3=v’|x=0=1，RB4=v’|x=l=1+22l+33l2+44l代入最小二乘法方程中，可解得故撓曲線方程為：該解也為一精確解。3.4四邊簡支矩形薄板受均布荷載q，求撓曲方程。微分方程：D4wq=0，yyxBOACab圖3.6四邊簡支矩形薄板邊界條件：。取滿足邊界條件的一級近似試函數(shù)：殘值：(1)連續(xù)型方法由甲醛積分式解得：對于方板（a=b），中心撓度wmax=0.004146qa4/D，精確解wmax=0.004168qa4/D，誤差2.5%。(2)離散型方法取均勻內(nèi)部配點(diǎn)，將薄板分成NN網(wǎng)格。若N=4，則有9個配點(diǎn)，如圖3.7所示。AAyxBOC圖3.7板內(nèi)配點(diǎn)取法求出各點(diǎn)殘值Ri（i=1,2,…,9）（Ri是的線性表達(dá)式），并寫成矩陣形式{R}=[C]nm{}殘值平方和：Id={R}T{R}={}T[C]T[C]{}T[C]{}{}T[C]T+T由（標(biāo)量對向量的導(dǎo)數(shù)為零），得線性代數(shù)方程：[C]T[C]{}=[C]T。本例中：，代入上式，解得解得：當(dāng)網(wǎng)格數(shù)目增大，值收斂于連續(xù)型的結(jié)果。(3)四邊簡支矩形薄板中一點(diǎn)(,)處作用一豎向集中荷載P，求板的撓曲方程和中心撓度。yyxBOACab圖3.8四邊簡支矩形薄板受集中荷載作用微分方程：D4wP(x)(y)=0，取滿足邊界條件的一階近似試函數(shù)：殘值：加權(quán)殘數(shù)方程：由函數(shù)的性質(zhì)：，可解得習(xí)題根據(jù)試函數(shù)分類，加權(quán)殘數(shù)法可分為哪幾種方法？寫出相應(yīng)的加權(quán)積分式的一般表達(dá)式，并說明試函數(shù)的一般選取原則。根據(jù)權(quán)函數(shù)分類（采用內(nèi)部法），加權(quán)殘數(shù)法可分為哪幾種基本方法？其權(quán)函數(shù)和加權(quán)積分式各是什么？四邊簡支矩形薄板，邊長分別為a和b，彎曲剛度為D。試用伽遼金方法求板在均布荷載q作用下的撓曲方程和中心撓度（取一階近似）。矩形薄板邊長為a和b，彎曲剛度為D，四邊固支。試用伽遼金方法求板在均布荷載q作用下的撓曲方程和中心撓度（取一階近似）。四邊簡支的矩形薄板，邊長分別為a和b。試用連續(xù)型最小二乘法求板在均布荷載q作用下的撓曲方程和中心撓度（一階近似）。圖示四邊簡支矩形薄板，邊長分別為a和b。板在x=，y=處作用一豎向集中荷載P，試用連續(xù)型伽遼金方法求板的撓曲方程和中心撓度（取一階近似）。圖示四邊簡支矩形薄板，邊長分別為a和b。已知板在x=線上作用均布線荷載p，試用連續(xù)型最小二乘法求板的撓曲方程和中心撓度（取一階近似）。yxyxzpabyxzPab題3.6圖題3.7圖

第4章邊界單元法4.1主要特點(diǎn)及發(fā)展概況4.1.1邊界單元法與有限單元法的優(yōu)點(diǎn)：應(yīng)用范圍廣，功能強(qiáng)大；但也有其弱點(diǎn)：(1)如單元總數(shù)一般要求較多，計(jì)算工作量大，尤其對三維問題；(2)單元之間的有些物理量可能不連續(xù)（如用位移法，位移連續(xù)，但應(yīng)力應(yīng)變不一定連續(xù)），出現(xiàn)不合理的跳躍間斷；(3)不易處理（半）無限區(qū)域問題、應(yīng)力集中問題。邊界單元法的主要優(yōu)點(diǎn)：(1)只需將結(jié)構(gòu)的邊界進(jìn)行離散，降低了問題的維數(shù)，使計(jì)算工作量大大降低，計(jì)算準(zhǔn)備工作也大為簡化；(2)計(jì)算精度相對較高，誤差僅來源于邊界；(3)能較好處理應(yīng)力集中問題、無限、半無限區(qū)域問題；(4)可與有限元法、差分法等其他數(shù)值方法聯(lián)合應(yīng)用，解決復(fù)雜的工程技術(shù)問題。邊界單元法的不足：需要較多的數(shù)學(xué)知識，不如有限單元法那么簡單直觀，易于接受；最后得到的代數(shù)方程組的系數(shù)矩陣是個非對稱滿陣；不如有限單元法成熟以及具有廣泛的應(yīng)用范圍。4.1.2邊界單元法的1903年Fredholm提出了將由微分方程描述的邊值問題變換為邊界積分方程描述，并完成了勢問題基本方程的變換，證明了解答的存在性和唯一性，但無法獲得其解析解。1963年Jaswon和Symm提出了求解Fredholm邊界積分方程的數(shù)值解法；1965年Kupradze對彈性力學(xué)邊值問題列出了向量積分方程；1968~69年Cruse給出了三維彈性力學(xué)積分方程的數(shù)值解；1972年Cruse這種邊界積分方程方法應(yīng)用到斷裂力學(xué)、塑性力學(xué)問題中；1978年Brebbia在其著作“TheBoundaryElementMethodforEngineering”中首次引入了“邊界單元法”的術(shù)語，并闡述了其基本原理及應(yīng)用。其后邊界單元法的研究及應(yīng)用得到了更迅速的發(fā)展。4.2基本原理——二維勢問題的邊界單元法基本思想：首先將問題的微分方程變換為