《定義與命題》第2課時示范公開課教學設計【北師大數學八年級上冊】

第七章平行線的證明2定義與命題第2課時教學目標1.了解公理、定理和證明的概念，會區(qū)分定理、公理和命題.2.了解證明的表達格式，會按規(guī)定格式證明簡單命題.3.初步感受公理化思想，并了解本套教科書所采用的基本事實.4.閱讀有關《原本》和公理化的資料，感受公理化方法對數學發(fā)展和促進人類文明進步的價值.二、教學重難點重點：了解公理、定理與證明的概念并了解本套教材所采用的公理.難點：體會命題證明的必要性，體驗數學思維的嚴謹性.三、教學用具電腦、多媒體、課件、教學用具等四、教學過程設計教學環(huán)節(jié)教師活動學生活動設計意圖環(huán)節(jié)一創(chuàng)設情境教師活動：提出問題，鼓勵學生回答問題，對于回答不完整的地方教師進行補充．問題1：什么是定義？預設：對名稱和術語的含義加以描述，作出明確的規(guī)定，也就是給出它們的定義.問題2：表示判斷的句子都是，而不管判斷是否正確.正確的命題稱為，不正確的命題稱為.預設：命題；真命題；假命題問題3：命題的組成是什么？預設：每個命題都由條件和結論兩部分組成.條件是已知的事項，結論是由已知事項推斷出的事項.問題4：命題的形式是什么？預設：命題通?？梢詫懗伞叭绻敲础钡男问?，其中“如果”引出的部分是條件，“那么”引出的部分是結論.問題5：把下列命題改寫成“如果……那么……”的形式，并指出命題的條件和結論.1.相等的角是對頂角；2.鈍角大于它的補角；3.兩直線平行，同位角相等.解：(1)如果兩個角相等，那么它們是對頂角；(2)如果一個角是鈍角，那么這個角大于它的補角；(3)如果兩直線平行，那么同位角相等；思考并回答問題.學生思考并回答問題.回顧上節(jié)課的知識，為本節(jié)課內容的學習做鋪墊.環(huán)節(jié)二探究新知【問題探究】提問：我們知道，舉一個反例就可以證明一個命題是假命題，那么如何證實一個命題是真命題呢？用以前學過的觀察、實驗、驗證特例等方法來證明可靠嗎？能不能根據已經知道的真命題證實呢？那已經知道的真命題又是如何證實的？教師活動：介紹收集到的有關《幾何原本》的知識.古希臘數學家歐幾里得(Euclid，公元前300年前后)編寫了一本書，書名叫做《原本》(Elements).為了說明每一結論的正確性，他在編寫這本書時進行了大膽創(chuàng)造：挑選一部分數學名詞和一部分公認的真命題作為證實其他命題的出發(fā)點和依據;其中的數學名詞稱為原名，公認的真命題稱為公理.教師強調：公理=基本事實；公理不需要證明.除了公理外，其他命題的真假都需要通過演繹推理的方法進行判斷.演繹推理的過程稱為證明，經過證明的真命題稱為定理.每個定理都只能用公理、定義和已經證明為真的命題來證明.提問：定義、命題、基本事實(公理)、定理之間的區(qū)別與聯系：聯系：這四者都是命題．區(qū)別：定義、公理、定理都是真命題，都可以作為進一步判斷其他命題真假的依據；只不過公理是最原始的依據，不需要再進行推理論證而都承認的真命題；而命題不一定是真命題，因而不能作為進一步判斷其他命題真假的依據.【做一做】1.下列句子中，定理是()，公理是()，定義是()A.若a=b，b=c，則a=cB.對頂角相等C.全等三角形的對應邊相等，對應角相等D.有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形E.兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等答案：B，C，E；A；D.2.下列說法錯誤的是()A.命題不一定是定理，定理一定是命題B.定理不可能是假命題C.真命題是定理D.如果真命題的正確性是經過推理證實的，這樣得到的真命題就是定理答案：C我們已經認識的八條基本事實，可作為證明的出發(fā)點和依據！1.兩點確定一條直線.(直線公理)2.兩點之間線段最短.(線段公理)3.同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.4.兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行(即：同位角相等，兩直線平行).5.過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行.6.兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等.7.兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等.8.三邊分別相等的兩個三角形全等.教師強調：6~8條用于判定三角形的全等.此外，數與式的運算律和運算法則、等式的有關性質，以及反映大小關系的有關性質都可以作為證明的依據.例如：(1)如果a=b，b=c,那么a=c,這一性質也可以作為證明的依據，稱為“等量代換”(2)如果a>b，b>c，那么a>c,這一性質同樣可以作為證明的依據.從這些基本事實出發(fā)，就可以證明已經探索過的結論了.比如下面這些定理.(1)同角(等角)的補角相等.(2)同角(等角)的余角相等.(3)三角形的任意兩邊之和大于第三邊.提示公理不用證明，定理是經過證明所得，但不是所有的真命題都是定理.為了方便，在證明過程中可以用“∵”代替因為，“∴”代替所以，分別讀作“因為”“所以”.學生自由說一說學生認真聽講，并做筆記，明確原名、公理、證明、定理名稱的含義.在教師的引導下進行總結.學生思考，回答問題認真思考并做筆記從歷史上證明真命題的故事，引入《幾何原本》的相關知識，感受數學文化魅力，滲透公理化思想.給出概念，直入主題，讓學生明白證明的概念，并且為后面書寫證明過程有個心理準備.回顧所學知識，加深對概念的理解，同時也讓學生明白如何區(qū)分公理、定理、定義和命題.增加學生對定理、公理、命題、定義的理解，并鍛煉學生有條理的數學表達能力.總結學生學過的基本事實，并以它們作為證明的出發(fā)點，初步構建幾何證明的“公理化體系”，培養(yǎng)學生邏輯推理能力.用數學的三種語言（文字語言、符號語言、圖示語言）表達“八條基本事實”，提高學生數學語言的表達能力.用學生學過的具體實例，感受代數的公理化思想.深刻理解公理的獨立性、完備性、和諧性.環(huán)節(jié)三應用新知【典型例題】教師提出問題，學生先獨立思考，解答.然后再小組交流探討，教師巡視，如遇到有困難的學生適當點撥，最終教師展示答題過程.【例1】已知：如圖，直線AB與直線CD相交于點O，∠AOC與∠BOD是對頂角.求證：∠AOC=∠BOD.【分析】根據同角的補角相等可得答案．證明：∵直線AB與直線CD相交于點O,∴∠AOB和∠COD都是平角(平角的定義).∴∠AOC和∠BOD都是∠AOD的補角(補角的定義).∴∠AOC=∠BOD(同角的補角相等).由上面的例題，我們可以得到定理：定理對頂角相等.【例2】證明定理：三角形的任意兩邊之和大于第三邊.【分析】根據兩點之間線段最短證明結論．已知：如圖△ABC.求證：AC+BC＞AB，AB+BC＞AC，AB+AC＞BC.證明：∵AB是點A到點B的距離，AC+BC是連接點A、點C、點B的一條折線的長度，根據兩點之間線段最短得：AC+BC＞AB.同理可得：AB+BC＞AC，AB+AC＞BC.∴三角形任意兩邊之和大于第三邊.思考問題，嘗試回答問題，明確例題的做法.思考問題，嘗試回答問題，明確例題的做法.嚴格證明幾何定理“對頂角相等”，初步感受證明的思路和書寫過程.證明定理，感受證明的思路和書寫過程.環(huán)節(jié)四鞏固新知教師給出練習，隨時觀察學生完成情況并相應指導，最后給出答案，根據學生完成情況適當分析講解.1.判斷對錯(1)所有的命題都是公理.(2)所有的真命題都是定理.(3)所有的定理是真命題.(4)所有的公理是真命題.答案：(1)×(2)×(3)√(4)√2.數學上證明一個命題時，通常從命題的出發(fā)，運用、及已經證明了的，通過一步步的，最后證明這個命題的結論成立.證明的每一步都必須要有.答案：條件；公理；定義；定理；推理；根據.3.下列命題可以作為定理的有.①2與6的平均值是8；②能被3整除的數字也能被6整除；③5是方程號x+7=3x–3的根；④三角形內角和是180°；⑤等式兩邊加上同一個數仍是等式.答案：④⑤4.在證明過程中可以作為推理根據的是()A.命題、定義、公理B.定理、定義、公理C.命題D.真命題答案：B5.下列說法錯誤的是()A．命題是判斷一件事情的句子B．基本事實的正確性必須得到證明C．證明假命題舉一個反例即可D．推理的過程叫做證明答案：B6.已知：b∥c，a⊥b,求證：a⊥c．【分析】首先根據垂直定義可得∠1=90°，再根據平行線的性質可得∠2=∠1=90°，進而得到a⊥c．證明：∵a⊥b（已知），∴∠1=90°（垂直的定義）.又b∥c（已知），∴∠2=∠1=90°（兩直線平行，同位角相等）.∴a⊥c（垂直的定義）.7.已知：∠2是∠1的余角，∠3是∠1的余角.求證∠2=∠3.【分析】根據余角的概念：和為90°的兩角互為余角可得答案．證明：∵∠2是∠1的余角(已知)，∴∠2+∠1=90°(余角的定義).∴∠2=90°–∠1(等式的性質).又∵∠3是∠1的余角(己知)，∴∠3+∠1=90°(余角的定義).∴∠3=90°–∠1(等式的性質).∴∠2=∠3(等量代換).自主完成練習，然后集體交流評價.通過課堂練習及時鞏固本節(jié)課