名師教案 人教B版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)2.7.1拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

課程基本信息課題2.7.1拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程教科書書名：普通高中教科書數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)B版出版社：人民教育出版社出版日期：2020年8月教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)：類比橢圓、雙曲線，理解拋物線的概念；會(huì)推導(dǎo)和應(yīng)用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)重點(diǎn)：拋物線的概念與標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)難點(diǎn)：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)教學(xué)過程時(shí)間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動(dòng)2分情境與問題拋物線這個(gè)幾何對(duì)象，我們并不陌生.例如，從物理學(xué)中我們知道，一個(gè)向上斜拋的乒乓球，其運(yùn)動(dòng)軌跡是拋物線的一部分，如圖所示；二次函數(shù)的圖像是一條拋物線；等等.到底什么是拋物線呢？拋物線有沒有一個(gè)類似于圓、橢圓或雙曲線的定義呢？本節(jié)課我們要探討的就是拋物線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程.5分拋物線的定義一般地，設(shè)F是平面內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn)，l是不過點(diǎn)F的一條定直線，則平面上到F的距離與到l的距離相等的點(diǎn)的軌跡稱為拋物線，其中定點(diǎn)F稱為拋物線的焦點(diǎn)，定直線l稱為拋物線的準(zhǔn)線.另外，從本章導(dǎo)語中可以看出，拋物線也可以通過用平面截圓錐面得到，因此拋物線是一種圓錐曲線.10分拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程《嘗試與發(fā)現(xiàn)》怎樣從數(shù)學(xué)上證明滿足拋物線定義的點(diǎn)一定是存在的？這樣的點(diǎn)有多少個(gè)？你能想到什么辦法來解決這兩個(gè)問題？同橢圓、雙曲線的情形一樣，下面我們用坐標(biāo)法來探討嘗試與發(fā)現(xiàn)中的問題，并求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.《探究》為了方便，過拋物線的焦點(diǎn)F作準(zhǔn)線l的垂線，記垂足為K，設(shè)KF=p（即F到準(zhǔn)線l的距離為p），因?yàn)橹本€l不過點(diǎn)F，所以如圖，以直線KF為x軸，線段KF的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系.此時(shí)，拋物線的焦點(diǎn)為Fp2，0設(shè)M(x，y)是拋物線上一點(diǎn)，則M到F的距離為MF=x-p22+y2，M到F直線上式兩邊平方，整理可得y2=方程①就是拋物線的方程，通常稱為焦點(diǎn)在x軸正半軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.顯然，滿足方程①的點(diǎn)的坐標(biāo)有無窮多組，這無窮多組解對(duì)應(yīng)的點(diǎn)組成的拋物線如圖所示.《嘗試與發(fā)現(xiàn)》如果建立的平面直角坐標(biāo)系分別如圖（1）（2）（3）所示，其他不變，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程有變化嗎？此時(shí)能夠通過①式得到拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程具有的形式呢？可以看出，如果按照?qǐng)D（1）的方式建立平面直角坐標(biāo)系，則拋物線的焦點(diǎn)為F-p2，0，準(zhǔn)線為x=p2；只要將①中的通常稱②為焦點(diǎn)在x軸負(fù)半軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.類似地，如果按照?qǐng)D（2）的方式建立平面直角坐標(biāo)系，則拋物線的焦點(diǎn)為F0，p2，準(zhǔn)線為y=-p2；只要將①中的x通常稱③為焦點(diǎn)在y軸正半軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.如果按照?qǐng)D（3）的方式建立平面直角坐標(biāo)系，則拋物線的焦點(diǎn)為F0，-p2，準(zhǔn)線為y=p2；只要將①中的x變?yōu)椋瓂且y變?yōu)椋瓁即可得到拋物線的方程為x2=-由上可以看到，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是由焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離p以及焦點(diǎn)的位置確定的.如不特別聲明，以后總認(rèn)為拋物線有相應(yīng)的p（p>0）值，而且以后談到拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，總是指①②③④這四種形式之一，具體如下：y2=2px①；x2=2py③；6分拋物線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用例1分別根據(jù)下列條件，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和準(zhǔn)線方程：（1）拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是3，而且焦點(diǎn)在x軸的正半軸上；解（1）根據(jù)題意可知，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程具有y2=2px的形式，而且p=3，因此所求標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）拋物線的焦點(diǎn)是F-解（2）因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)是F-3，0，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程具有y2=-2px的形式，而且p準(zhǔn)線方程為x=例2已知平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)M到F0，-2的距離比M到x軸的距離大2，求M解設(shè)M坐標(biāo)是x，x2+(y當(dāng)y>0時(shí)，方程可變?yōu)閤=0，這表示的是端點(diǎn)在原點(diǎn)、方向?yàn)楫?dāng)y≤0時(shí)，方程可變?yōu)閤