初中三角形總復(fù)習(xí)+中考幾何題證明思路總結(jié)

可編輯版/初中三角形總復(fù)習(xí)[知識(shí)精讀]1.三角形的定義：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。2.三角形中的幾條重要線段：〔1三角形的角平分線〔三條角平分線的交點(diǎn)叫做內(nèi)心〔2三角形的中線〔三條中線的交點(diǎn)叫重心〔3三角形的高〔三條高線的交點(diǎn)叫垂心3.三角形的主要性質(zhì)〔1三角形的任何兩邊之和大于第三邊,任何兩邊之差小于第三邊；〔2三角形的內(nèi)角之和等于180°〔3三角形的外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角,等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；〔4三角形中,等角對(duì)等邊,等邊對(duì)等角,大角對(duì)大邊,大邊對(duì)大角；〔5三角形具有穩(wěn)定性。4.補(bǔ)充性質(zhì)：在中,D是BC邊上任意一點(diǎn),E是AD上任意一點(diǎn),則。三角形是最常見的幾何圖形之一,在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和日常生活中都有廣泛的應(yīng)用。三角形又是多邊形的一種,而且是最簡(jiǎn)單的多邊形,在幾何里,常常把多邊形分割成若干個(gè)三角形,利用三角形的性質(zhì)去研究多邊形。實(shí)際上對(duì)于一些曲線,也可以利用一系列的三角形去逼近它,從而利用三角形的性質(zhì)去研究它們。因此,學(xué)好本章知識(shí),能為以后的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。5.三角形邊角關(guān)系、性質(zhì)的應(yīng)用[分類解析]例1.銳角三角形ABC中,∠C＝2∠B,則∠B的范圍是〔A. B.C. D.分析：因?yàn)闉殇J角三角形,所以又∠C＝2∠B,又∵∠A為銳角,為銳角,即,故選擇C。例2.選擇題：已知三角形的一個(gè)外角等于160°,另兩個(gè)外角的比為2:3,則這個(gè)三角形的形狀是〔A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.無(wú)法確定分析：由于三角形的外角和等于360°,其中一個(gè)角已知,另兩個(gè)角的比也知道,因此三個(gè)外角的度數(shù)就可以求出,進(jìn)而可求出三個(gè)內(nèi)角的度數(shù),從而可判斷三角形的形狀。解：∵三角形的一個(gè)外角等于160°∴另兩個(gè)外角的和等于200°設(shè)這兩個(gè)外角的度數(shù)為2x,3x解得：與80°相鄰的內(nèi)角為100°∴這個(gè)三角形為鈍角三角形應(yīng)選C例3.如圖,已知：在中,,求證：。分析：欲證,可作∠ABC的平分線BE交AC于E,只要證即可。為與題設(shè)聯(lián)系,又作AF//BE交CB的延長(zhǎng)線于F。顯然∠EBC＝∠F,只要證即可。由可得證。證明：作∠ABC的角平分線BE交AC于E,過(guò)點(diǎn)A作AF//BE交CB的延長(zhǎng)線于F又∵BE平分∠ABC,∴∠EBC＝∠ABE∴∠F＝∠FAB,∴AB＝BF又∵AB＋FB＞AF,即2AB＞AF又∵,又∵例4.已知：三角形的一邊是另一邊的兩倍。求證：它的最小邊在它的周長(zhǎng)的與之間。分析：首先應(yīng)根據(jù)已知條件,運(yùn)用邊的不等關(guān)系,找出最小邊,然后由周長(zhǎng)與邊的關(guān)系加以證明。證明：如圖,設(shè)的三邊為a、b、c,其中,因此,c是最小邊,因此,,即故最小邊在周長(zhǎng)的與之間。中考點(diǎn)撥：例1.選擇題：如圖是一個(gè)任意的五角星,它的五個(gè)頂角的和是〔A.50 B.100 C.180 D.200分析：由于我們學(xué)習(xí)了三角形的內(nèi)角、外角的知識(shí),所以需要我們把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形角的問(wèn)題。解：所以選擇C例2.選擇題：已知三角形的兩邊分別為5和7,則第三邊x的范圍是〔A.大于2 B.小于12 C.大于2小于12 D.不能確定分析：根據(jù)三角形三邊關(guān)系應(yīng)有,即所以應(yīng)選C例3.已知：P為邊長(zhǎng)為1的等邊內(nèi)任一點(diǎn)。求證：證明：過(guò)P點(diǎn)作EF//BC,分別交AB于E,交AC于F,則∠AEP＝∠ABC＝60°在中,是等邊三角形題型展示：例1.已知：如圖,在中,D是BC上任意一點(diǎn),E是AD上任意一點(diǎn)。求證：〔1∠BEC＞∠BAC；〔2AB＋AC＞BE＋EC。分析：在〔1中,利用三角形內(nèi)角和定理的推論即可證出在〔2中,添加一條輔助線,轉(zhuǎn)化到另一個(gè)三角形中,利用邊的關(guān)系定理即可證出。證明：〔1∵∠BED是的一個(gè)外角,同理,即〔2延長(zhǎng)BE交AC于F點(diǎn)即例2.求證：直角三角形的兩個(gè)銳角的相鄰?fù)饨堑钠椒志€所夾的角等于45°。已知：如圖,在中,是的外角,AF、BF分別平分∠EAB及∠ABD。求證：∠AFB＝45°分析：欲證,須證∵AF、BF分別平分∠EAB及∠ABD∴要轉(zhuǎn)證∠EAB＋∠ABD＝270°又∵∠C＝90°,三角形一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和∴問(wèn)題得證證明：∵∠EAB＝∠ABC＋∠C∠ABD＝∠CAB＋∠C∠ABC＋∠C＋∠CAB＝180°,∠C＝90°∵AF、BF分別平分∠EAB及∠ABD在中,[實(shí)戰(zhàn)模擬]1.已知：三角形的三邊長(zhǎng)為3,8,,求x的取值范圍。2.已知：中,,D點(diǎn)在BC的延長(zhǎng)線上,使,,,求α和β間的關(guān)系為？3.如圖,中,的平分線交于P點(diǎn),,則〔A.68° B.80° C.88° D.46°4.已知：如圖,AD是的BC邊上高,AE平分。求證：5.求證：三角形的兩個(gè)外角平分線所成的角等于第三個(gè)外角的一半。[試題答案]1.分析：本題是三邊關(guān)系的應(yīng)用問(wèn)題,只需用三邊關(guān)系確定第三邊的取值范圍即可。解：∵三邊長(zhǎng)分別為3,8,,由三邊關(guān)系定理得：2.解：又,又∵根據(jù)三角形內(nèi)角和,得：3.解：又∵BP、CP為∠B、∠C的平分線4.證明：∵AE平分∠BAC,又∵AD⊥BC,又5.證明：如圖,設(shè)的∠BAC和∠ABC的外角平分線交于點(diǎn)D則又。9、等腰三角形[知識(shí)精讀]〔－等腰三角形的性質(zhì)1.有關(guān)定理及其推論定理：等腰三角形有兩邊相等；定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等〔簡(jiǎn)寫成"等邊對(duì)等角"。推論1：等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊,這就是說(shuō),等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。推論2：等邊三角形的各角都相等,并且每一個(gè)角都等于60°。等腰三角形是以底邊的垂直平分線為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形；2.定理及其推論的作用等腰三角形的性質(zhì)定理揭示了三角形中邊相等與角相等之間的關(guān)系,由兩邊相等推出兩角相等,是今后證明兩角相等常用的依據(jù)之一。等腰三角形底邊上的中線、底邊上的高、頂角的平分線"三線合一"的性質(zhì)是今后證明兩條線段相等,兩個(gè)角相等以及兩條直線互相垂直的重要依據(jù)?！捕妊切蔚呐卸?.有關(guān)的定理及其推論定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等,那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等〔簡(jiǎn)寫成"等角對(duì)等邊"。推論1：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形。推論2：有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形。推論3：在直角三角形中,如果一個(gè)銳角等于30°,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。2.定理及其推論的作用。等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角與邊的轉(zhuǎn)化關(guān)系,它是證明線段相等的重要定理,也是把三角形中角的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的相等關(guān)系的重要依據(jù),是本節(jié)的重點(diǎn)。3.等腰三角形中常用的輔助線等腰三角形頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線常常作為解決有關(guān)等腰三角形問(wèn)題的輔助線,由于這條線可以把頂角和底邊折半,所以常通過(guò)它來(lái)證明線段或角的倍分問(wèn)題,在等腰三角形中,雖然頂角的平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合,添加輔助線時(shí),有時(shí)作哪條線都可以,有時(shí)需要作頂角的平分線,有時(shí)則需要作高或中線,這要視具體情況來(lái)定。[分類解析]例1.如圖,已知在等邊三角形ABC中,D是AC的中點(diǎn),E為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),且CE＝CD,DM⊥BC,垂足為M。求證：M是BE的中點(diǎn)。分析：欲證M是BE的中點(diǎn),已知DM⊥BC,所以想到連結(jié)BD,證BD＝ED。因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形,∠DBE＝∠ABC,而由CE＝CD,又可證∠E＝∠ACB,所以∠1＝∠E,從而問(wèn)題得證。證明：因?yàn)槿切蜛BC是等邊三角形,D是AC的中點(diǎn)所以∠1＝∠ABC又因?yàn)镃E＝CD,所以∠CDE＝∠E所以∠ACB＝2∠E即∠1＝∠E所以BD＝BE,又DM⊥BC,垂足為M所以M是BE的中點(diǎn)〔等腰三角形三線合一定理例2.如圖,已知：中,,D是BC上一點(diǎn),且,求的度數(shù)。分析：題中所要求的在中,但僅靠是無(wú)法求出來(lái)的。因此需要考慮和在題目中的作用。此時(shí)圖形中三個(gè)等腰三角形,構(gòu)成了內(nèi)外角的關(guān)系。因此可利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)外角關(guān)系定理來(lái)求。解：因?yàn)?所以因?yàn)?所以；因?yàn)?所以〔等邊對(duì)等角而所以所以又因?yàn)榧此约辞蟮谜f(shuō)明1.等腰三角形的性質(zhì)是溝通本題中角之間關(guān)系的重要橋梁。把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化成角的關(guān)系是此等腰三角形性質(zhì)的本質(zhì)所在。本條性質(zhì)在解題中發(fā)揮著重要的作用,這一點(diǎn)在后邊的解題中將進(jìn)一步體現(xiàn)。2.注意"等邊對(duì)等角"是對(duì)同一個(gè)三角形而言的。3.此題是利用方程思想解幾何計(jì)算題,而邊證邊算又是解決這類題目的常用方法。例3.已知：如圖,中,于D。求證：。分析：欲證角之間的倍半關(guān)系,結(jié)合題意,觀察圖形,是等腰三角形的頂角,于是想到構(gòu)造它的一半,再證與的關(guān)系。證明：過(guò)點(diǎn)A作于E,所以〔等腰三角形的三線合一性質(zhì)因?yàn)橛?所以所以〔直角三角形兩銳角互余所以〔同角的余角相等即說(shuō)明：1.作等腰三角形底邊高線的目的是利用等腰三角形的三線合一性質(zhì),構(gòu)造角的倍半關(guān)系。因此添加底邊的高是一條常用的輔助線；2.對(duì)線段之間的倍半關(guān)系,常采用"截長(zhǎng)補(bǔ)短"或"倍長(zhǎng)中線"等輔助線的添加方法,對(duì)角間的倍半關(guān)系也同理,或構(gòu)造"半",或構(gòu)造"倍"。因此,本題還可以有其它的證法,如構(gòu)造出的等角等。4、中考題型：1.如圖,△ABC中,AB＝AC,∠A＝36°,BD、CE分別為∠ABC與∠ACB的角平分線,且相交于點(diǎn)F,則圖中的等腰三角形有〔A.6個(gè)B.7個(gè)C.8個(gè)D.9個(gè)分析：由已知條件根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和的度數(shù)可求得等腰三角形有8個(gè),故選擇C。2.已知：如圖,在△ABC中,AB＝AC,D是BC的中點(diǎn),DE⊥AB,DF⊥AC,E、F分別是垂足。求證：AE＝AF。證明：因?yàn)?所以又因?yàn)樗杂諨是BC的中點(diǎn),所以所以所以,所以說(shuō)明：證法二：連結(jié)AD,通過(guò)證明即可5、題形展示：例1.如圖,中,,BD平分。求證：。分析一：從要證明的結(jié)論出發(fā),在BC上截取,只需證明,考慮到,想到在BC上截取,連結(jié)DE,易得,則有,只需證明,這就要從條件出發(fā),通過(guò)角度計(jì)算可以得出。證明一：在BC上截取,連結(jié)DE、DF在和中,又而即分析二：如圖,可以考慮延長(zhǎng)BD到E,使DE＝AD,這樣BD＋AD=BD+DE=BE,只需證明BE＝BC,由于,只需證明易證,,故作的角平分線,則有,進(jìn)而證明,從而可證出。證明二：延長(zhǎng)BD到E,使DE＝AD,連結(jié)CE,作DF平分交BC于F。由證明一知：則有DF平分,在和中,而在和中,在中,說(shuō)明："一題多證"在幾何證明中經(jīng)常遇到,它是培養(yǎng)思維能力提高解題水平的有效途徑,讀者在以后的幾何學(xué)習(xí)中要善于從不同角度去思考、去體會(huì),進(jìn)一步提高自身的解題能力。[實(shí)戰(zhàn)模擬]1.選擇題：等腰三角形底邊長(zhǎng)為5cm,一腰上的中線把其周長(zhǎng)分為兩部分的差為3cm,則腰長(zhǎng)為〔A.2cm B.8cm C.2cm或8cm D.以上都不對(duì)2.如圖,是等邊三角形,,則的度數(shù)是________。3.求證：等腰三角形兩腰中線的交點(diǎn)在底邊的垂直平分線上.4.中,,AB的中垂線交AB于D,交CA延長(zhǎng)線于E,求證：。[試題答案]1.B2.分析：結(jié)合三角形內(nèi)角和定理,計(jì)算圖形中角的度數(shù)是等邊三角形性質(zhì)的重要應(yīng)用。解：因?yàn)槭堑冗吶切嗡砸驗(yàn)?所以所以在中,因?yàn)樗?所以所以3.分析：首先將文字語(yǔ)言翻譯成數(shù)學(xué)的符號(hào)語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言。已知：如圖,在中,,D、E分別為AC、AB邊中點(diǎn),BD、CE交于O點(diǎn)。求證：點(diǎn)O在BC的垂直平分線上。分析：欲證本題結(jié)論,實(shí)際上就是證明。而OB、OC在中,于是想到利用等腰三角形的判定角等,那么問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為證含有的兩個(gè)三角形全等。證明：因?yàn)樵谥?所以〔等邊對(duì)等角又因?yàn)镈、E分別為AC、AB的中點(diǎn),所以〔中線定義在和中,所以所以〔全等三角形對(duì)應(yīng)角相等。所以〔等角對(duì)等邊。即點(diǎn)O在BC的垂直平分線上。說(shuō)明：〔1正確地理解題意,并正確地翻譯成幾何符號(hào)語(yǔ)言是非常重要的一步。特別是把"在底邊的垂直平分線上"正確地理解成"OB＝OC"是關(guān)鍵的一點(diǎn)?！?實(shí)際上,本題也可改成開放題："△ABC中,AB＝AC,D、E分別為AC、AB上的中點(diǎn),BD、CE交于O。連結(jié)AO后,試判斷AO與BC的關(guān)系,并證明你的結(jié)論"其解決方法是和此題解法差不多的。4.分析：此題沒(méi)有給出圖形,那么依題意,應(yīng)先畫出圖形。題目中是求線段的倍半關(guān)系,觀察圖形,考慮取BC的中點(diǎn)。證明：過(guò)點(diǎn)A作BC邊的垂線AF,垂足為F。31在中,31所以所以〔等腰三角形三線合一性質(zhì)。所以〔鄰補(bǔ)角定義。所以又因?yàn)镋D垂直平分AB,所以〔直角三角形兩銳角互余?！簿€段垂直平分線定義。又因?yàn)椤仓苯侨切沃薪撬鶎?duì)的邊等于斜邊的一半。所以在和中,所以所以即。說(shuō)明：〔1根據(jù)題意,先準(zhǔn)確地畫出圖形,是解幾何題的一項(xiàng)基本功；〔2直角三角形中角的特殊關(guān)系,溝通了邊之間的數(shù)量關(guān)系,為順利證明打通了思路。6、全等三角形及其應(yīng)用[知識(shí)精讀]1.全等三角形的定義：能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫全等三角形；兩個(gè)全等三角形中,互相重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)?；ハ嘀睾系倪吔袑?duì)應(yīng)邊,互相重合的角叫對(duì)應(yīng)角。2.全等三角形的表示方法：若△ABC和△A′B′C′是全等的三角形,記作"△ABC≌△A′B′C′其中,"≌"讀作"全等于"。記兩個(gè)三角形全等時(shí),通常把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對(duì)應(yīng)的位置上。3.全等三角形的的性質(zhì)：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等,對(duì)應(yīng)角相等；4.尋找對(duì)應(yīng)元素的方法〔1根據(jù)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)找如果兩個(gè)三角形全等,那么,以對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的角是對(duì)應(yīng)角；以對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)為端點(diǎn)的邊是對(duì)應(yīng)邊。通常情況下,兩個(gè)三角形全等時(shí),對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母都寫在對(duì)應(yīng)的位置上,因此,由全等三角形的記法便可寫出對(duì)應(yīng)的元素?！?根據(jù)已知的對(duì)應(yīng)元素尋找全等三角形對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊,兩個(gè)對(duì)應(yīng)角所夾的邊是對(duì)應(yīng)邊；〔3通過(guò)觀察,想象圖形的運(yùn)動(dòng)變化狀況,確定對(duì)應(yīng)關(guān)系。通過(guò)對(duì)兩個(gè)全等三角形各種不同位置關(guān)系的觀察和分析,可以看出其中一個(gè)是由另一個(gè)經(jīng)過(guò)下列各種運(yùn)動(dòng)而形成的。翻折如圖〔1,BOC≌EOD,BOC可以看成是由EOD沿直線AO翻折180得到的；旋轉(zhuǎn)如圖〔2,COD≌BOA,COD可以看成是由BOA繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180得到的；平移如圖〔3,DEF≌ACB,DEF可以看成是由ACB沿CB方向平行移動(dòng)而得到的。5.判定三角形全等的方法：〔1邊角邊公理、角邊角公理、邊邊邊公理、斜邊直角邊公理〔2推論：角角邊定理6.注意問(wèn)題：〔1在判定兩個(gè)三角形全等時(shí),至少有一邊對(duì)應(yīng)相等；〔2不能證明兩個(gè)三角形全等的是,a:三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等,即AAA；b:有兩邊和其中一角對(duì)應(yīng)相等,即SSA。全等三角形是研究?jī)蓚€(gè)封閉圖形之間的基本工具,同時(shí)也是移動(dòng)圖形位置的工具。在平面幾何知識(shí)應(yīng)用中,若證明線段相等或角相等,或需要移動(dòng)圖形或移動(dòng)圖形元素的位置,常常需要借助全等三角形的知識(shí)。[分類解析]全等三角形知識(shí)的應(yīng)用證明線段〔或角相等例1：如圖,已知AD=AE,AB=AC.求證：BF=FC分析：由已知條件可證出ΔACD≌ΔABE,而BF和FC分別位于ΔDBF和ΔEFC中,因此先證明ΔACD≌ΔABE,再證明ΔDBF≌ΔECF,既可以得到BF=FC.證明：在ΔACD和ΔABE中,∴ΔACD≌ΔABE<SAS>∴∠B=∠C〔全等三角形對(duì)應(yīng)角相等又∵AD=AE,AB=AC.∴AB－AD=AC－AE即BD=CE在ΔDBF和ΔECF中∴ΔDBF≌ΔECF〔AAS∴BF=FC〔全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等〔2證明線段平行例2：已知：如圖,DE⊥AC,BF⊥AC,垂足分別為E、F,DE=BF,AF=CE.求證：AB∥CD分析：要證AB∥CD,需證∠C＝∠A,而要證∠C＝∠A,又需證ΔABF≌ΔCDE.由已知BF⊥AC,DE⊥AC,知∠DEC＝∠BFA=90°,且已知DE=BF,AF=CE.顯然證明ΔABF≌ΔCDE條件已具備,故可先證兩個(gè)三角形全等,再證∠C＝∠A,進(jìn)一步證明AB∥CD.證明：∵DE⊥AC,BF⊥AC〔已知∴∠DEC＝∠BFA=90°〔垂直的定義在ΔABF與ΔCDE中,∴ΔABF≌ΔCDE〔SAS∴∠C＝∠A<全等三角形對(duì)應(yīng)角相等>∴AB∥CD〔內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行〔3證明線段的倍半關(guān)系,可利用加倍法或折半法將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明兩條線段相等例3：如圖,在△ABC中,AB=AC,延長(zhǎng)AB到D,使BD=AB,取AB的中點(diǎn)E,連接CD和CE.求證：CD=2CE分析：<ⅰ>折半法：取CD中點(diǎn)F,連接BF,再證ΔCEB≌ΔCFB.這里注意利用BF是ΔACD中位線這個(gè)條件。證明：取CD中點(diǎn)F,連接BF∴BF=EQ\F<1,2>AC,且BF∥AC〔三角形中位線定理∴∠ACB＝∠2<兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等>又∵AB=AC∴∠ACB＝∠3〔等邊對(duì)等角∴∠3＝∠2在ΔCEB與ΔCFB中,∴ΔCEB≌ΔCFB<SAS>∴CE=CF=EQ\F<1,2>CD〔全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即CD=2CE〔ⅱ加倍法證明：延長(zhǎng)CE到F,使EF=CE,連BF.在ΔAEC與ΔBEF中,∴ΔAEC≌ΔBEF<SAS>∴AC=BF,∠4＝∠3<全等三角形對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等>∴BF∥AC<內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行>∵∠ACB+∠CBF=180o,∠ABC+∠CBD=180o,又AB=AC∴∠ACB=∠ABC∴∠CBF=∠CBD〔等角的補(bǔ)角相等在ΔCFB與ΔCDB中,∴ΔCFB≌ΔCDB<SAS>∴CF=CD即CD=2CE說(shuō)明：關(guān)于折半法有時(shí)不在原線段上截取一半,而利用三角形中位線得到原線段一半的線段。例如上面折道理題也可這樣處理,取AC中點(diǎn)F,連BF<如圖>〔B為AD中點(diǎn)是利用這個(gè)辦法的重要前提,然后證CE=BF.<4>證明線段相互垂直例4：已知：如圖,A、D、B三點(diǎn)在同一條直線上,ΔADC、ΔBDO為等腰三角形,AO、BC的大小關(guān)系和位置關(guān)系分別如何？證明你的結(jié)論。分析：本題沒(méi)有直接給出待證的結(jié)論,而是讓同學(xué)們先根據(jù)已知條件推斷出結(jié)論,然后再證明所得出的結(jié)論正確。通過(guò)觀察,可以猜測(cè)：AO=BC,AO⊥BC.證明：延長(zhǎng)AO交BC于E,在ΔADO和ΔCDB中∴ΔADO≌ΔCDB<SAS>∴AO=BC,∠OAD=∠BCD〔全等三角形對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等∵∠AOD＝∠COE〔對(duì)頂角相等∴∠COE+∠OCE=90o∴AO⊥BC5、中考點(diǎn)撥：例1．如圖,在△ABC中,AB＝AC,E是AB的中點(diǎn),以點(diǎn)E為圓心,EB為半徑畫弧,交BC于點(diǎn)D,連結(jié)ED,并延長(zhǎng)ED到點(diǎn)F,使DF＝DE,連結(jié)FC．求證：∠F＝∠A．分析：證明兩個(gè)角相等,常證明這兩個(gè)角所在的兩個(gè)三角形全等,在已知圖形中∠A、∠F不在全等的兩個(gè)三角形中,但由已知可證得EF∥AC,因此把∠A通過(guò)同位角轉(zhuǎn)到△BDE中的∠BED,只要證△EBD≌△FCD即可．證明：∵AB＝AC,∴∠ACB＝∠B,∵EB＝ED,∴∠ACB＝∠EDB．∴ED∥AC．∴∠BED＝∠A．∵BE＝EA．∴BD＝CD．又DE＝DF,∠BDE＝∠CDF∴△BDE≌△CDF,∴∠BED＝∠F．∴∠F＝∠A．說(shuō)明：證明角〔或線段相等可以從證明角〔或線段所在的三角形全等入手,在尋求全等條件時(shí),要注意結(jié)合圖形,挖掘圖中存在的對(duì)項(xiàng)角、公共角、公共邊、平行線的同位角、內(nèi)錯(cuò)角等相等的關(guān)系。例2如圖,已知△ABC為等邊三角形,延長(zhǎng)BC到D,延長(zhǎng)BA到E,并且使AE=BD,連接CE、DE.求證：EC=ED分析：把已知條件標(biāo)注在圖上,需構(gòu)造和△AEC全等的三角形,因此過(guò)D點(diǎn)作DF∥AC交BE于F點(diǎn),證明△AEC≌△FED即可。證明：過(guò)D點(diǎn)作DF∥AC交BE于F點(diǎn)∵△ABC為等邊三角形∴△BFD為等邊三角形∴BF=BD=FD∵AE=BD∴AE=BF=FD∴AE－AF=BF－AF即EF=AB∴EF=AC在△ACE和△DFE中,∴△AEC≌△FED〔SAS∴EC=ED〔全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等題型展示：例1如圖,△ABC中,∠C＝2∠B,∠1＝∠2。求證：AB＝AC＋CD．分析：在AB上截取AE＝AC,構(gòu)造全等三角形,△AED≌△ACD,得DE＝DC,只需證DE＝BE問(wèn)題便可以解決．證明：在AB上截取AE＝AC,連結(jié)DE．∵AE＝AC,∠1＝∠2,AD＝AD,∴△AED≌△ACD,∴DE＝DC,∠AED＝∠C．∵∠AED＝∠B＋∠EDB,∠C＝2∠B,∴2∠B＝∠B＋∠EDB．即∠B＝∠EDB．∴EB＝ED,即ED＝DC,∴AB＝AC＋DC．剖析：證明一條線段等于另外兩條線段之和的常用方法有兩種,一種是截長(zhǎng)法〔即在長(zhǎng)線段上截取一段等于兩條短線段的一條,再證余下的部分等于另一條短線段；如作AE＝AC是利用了角平分線是角的對(duì)稱軸的特性,構(gòu)造全等三角形,另一種方法是補(bǔ)短法〔即延長(zhǎng)一條短線段等于長(zhǎng)線段,再證明延長(zhǎng)的部分與另一條短線段相等,其目的是把證明線段的和差轉(zhuǎn)化為證明線段相等的問(wèn)題,實(shí)際上仍是構(gòu)造全等三角形,這種轉(zhuǎn)化圖形的能力是中考命題的重點(diǎn)考查的內(nèi)容．[實(shí)戰(zhàn)模擬]1.下列判斷正確的是〔〔A有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等〔B有兩邊對(duì)應(yīng)相等,且有一角為30°的兩個(gè)等腰三角形全等〔C有一角和一邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等〔D有兩角和一邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等2.已知：如圖,CD⊥AB于點(diǎn)D,BE⊥AC于點(diǎn)E,BE、CD交于點(diǎn)O,且AO平分∠BAC．求證：OB＝OC．3.如圖,已知C為線段AB上的一點(diǎn),ACM和CBN都是等邊三角形,AN和CM相交于F點(diǎn),BM和CN交于E點(diǎn)。求證：CEF是等邊三角形。4.如圖,在△ABC中,AD為BC邊上的中線．求證：AD<EQEQ\F<1,2><AB+AC>5.如圖,在等腰Rt△ABC中,∠C＝90°,D是斜邊上AB上任一點(diǎn),AE⊥CD于E,BF⊥CD交CD的延長(zhǎng)線于F,CH⊥AB于H點(diǎn),交AE于G．求證：BD＝CG．[試題答案]1.D2.證明：∵AO平分∠ODB,CD⊥AB于點(diǎn)D,BE⊥AC于點(diǎn)E,BE、CE交于點(diǎn)O,∴OD＝OE,∠ODB＝∠OEC＝90°,∠BOD＝∠COE?！唷鰾OD≌△COE〔ASA．∴OB＝OC3.分析由ACM=BCN=60,知ECF=60,欲證CEF是等邊三角形,只要證明CEF是等腰三角形。先證CAN≌MCB,得1=2.再證CFN≌CEB,即可推得CEF是等邊三角形的結(jié)論。證明：在CAN和MCB,∵AC=MC,CN=CB,CAN=MCB=120,∴ACN≌MCB中,∴FCB和CEB中,∵FCN=ECB=60,1=2,CN=CB,∴CFN≌CEB,∴CF=CE,又∵ECF=60,∴CEF是等邊三角形.4.分析：關(guān)于線段不等的問(wèn)題,一般利用在同一個(gè)三角形中三邊關(guān)系來(lái)討論,由于AB、AC、AD不在同一個(gè)三角形,應(yīng)設(shè)法將這三條線段轉(zhuǎn)化在同一個(gè)三角形中,也就是將線段相等地轉(zhuǎn)化,而轉(zhuǎn)化的通常方法利用三角形全等來(lái)完成,注意AD是BC邊上的中線,延長(zhǎng)AD至E,使DE＝AD,即可得到△ACD≌△EBD．證明：延長(zhǎng)AD到E,使DE＝AD,連結(jié)BE在ACD與EBD中∴ACD≌EBD〔SAS∴AC＝EB〔全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等在ABE中,AB＋EB＞AE〔三角形兩邊之和大于第三邊∴AB＋AC＞2AD〔等量代換說(shuō)明：一般在有中點(diǎn)的條件時(shí),考慮延長(zhǎng)中線來(lái)構(gòu)造全等三角形。5.分析：由于BD與CG分別在兩個(gè)三角形中,欲證BD與CG相等,設(shè)法證△CGE≌△BDF。由于全等條件不充分,可先證△AEC≌△CFB證明：在Rt△AEC與Rt△CFB中,∵AC＝CB,AE⊥CD于E,BF⊥C交CD的延長(zhǎng)線于F∴∠AEC＝∠CFB＝90°又∠ACB＝90°∴∠CAE＝90°－∠ACE＝∠BCF∴Rt△AEC≌Rt△CFB∴CE＝BF在Rt△BFD與Rt△CEG中,∠F＝∠GEC＝90°,CE＝BF,由∠FBD＝90°－∠FDB＝90°－∠CDH＝∠ECG,∴Rt△BFD≌Rt△CEG∴BD＝CG三角形總復(fù)習(xí)[知識(shí)精讀]1.三角形的內(nèi)角和定理與三角形的外角和定理；2.三角形中三邊之間的關(guān)系定理及其推論；3.全等三角形的性質(zhì)與判定；4.特殊三角形的性質(zhì)與判定〔如等腰三角形；5.直角三角形的性質(zhì)與判定。三角形一章在平面幾何中占有十分重要的地位。從知識(shí)上來(lái)看,許多內(nèi)容應(yīng)用十分廣泛,可以解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題；從證題方法來(lái)看,全等三角形的知識(shí),為我們提供了一個(gè)及為方便的工具,通過(guò)證明全等,解決證明兩條線段相等,兩個(gè)角相等,從而解決平行、垂直等問(wèn)題。因此,它揭示了研究封閉圖形的一般方法,為以后的學(xué)習(xí)提供了研究的工具。因此,在學(xué)習(xí)中我們應(yīng)該多總結(jié),多歸納,使知識(shí)更加系統(tǒng)化,解題方法更加規(guī)范,從而提高我們的解題能力。[分類解析]1.三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用例1.如圖1,已知中,于D,E是AD上一點(diǎn)。求證：證明：由AD⊥BC于D,可得∠CAD＝∠ABC又則可證即說(shuō)明：在角度不定的情況下比較兩角大小,如果能運(yùn)用三角形內(nèi)角和都等于180°間接求得。2.三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用例2.已知：如圖2,在中,,AM是BC邊的中線。求證：證明：延長(zhǎng)AM到D,使MD＝AM,連接BD在和中,在中,,而說(shuō)明：在分析此問(wèn)題時(shí),首先將求證式變形,得,然后通過(guò)倍長(zhǎng)中線的方法,相當(dāng)于將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°構(gòu)成旋轉(zhuǎn)型的全等三角形,把AC、AB、2AM轉(zhuǎn)化到同一三角形中,利用三角形三邊不等關(guān)系,達(dá)到解決問(wèn)題的目的。很自然有。請(qǐng)同學(xué)們自己試著證明。3.角平分線定理的應(yīng)用例3.如圖3,∠B＝∠C＝90°,M是BC的中點(diǎn),DM平分∠ADC。求證：AM平分DAB。證明：過(guò)M作MG⊥AD于G,∵DM平分∠ADC,MC⊥DC,MG⊥AD∴MC＝MG〔在角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等∵M(jìn)C＝MB,∴MG＝MB而MG⊥AD,MB⊥AB∴M在∠ADC的平分線上〔到一個(gè)角的兩邊距離相等的點(diǎn),在這個(gè)角的平分線上∴DM平分∠ADC說(shuō)明：本題的證明過(guò)程中先使用角平分線的定理是為判定定理的運(yùn)用創(chuàng)造了條件MG＝MB。同時(shí)要注意不必證明三角形全等,否則就是重復(fù)判定定理的證明過(guò)程。4.全等三角形的應(yīng)用〔1構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題例4.已知如圖4,△ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形,△BDC是頂角〔∠BDC為120°的等腰三角形,以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60°的角,它的兩邊分別交AB于M,交AC于N,連結(jié)MN。求證：的周長(zhǎng)等于2。分析：欲證的周長(zhǎng)等于2,需證明它等于等邊的兩邊的長(zhǎng),只需證。采用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等的方法來(lái)解決。證明：以點(diǎn)D為旋轉(zhuǎn)中心,將順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°,點(diǎn)B落在點(diǎn)C的位置,點(diǎn)M落在M'點(diǎn)的位置。得：∠MBD＝∠NCD＝90°∴∠NCD與∠DCM'構(gòu)成平角,且BM＝CM',DM＝DM',∠NDM'＝∠NDC＋∠CDM'＝∠NDC＋∠BDM＝120°－60°＝60°在和中,的周長(zhǎng)說(shuō)明：通過(guò)旋轉(zhuǎn),使已知圖形中的角、線段充分得到利用,促進(jìn)了問(wèn)題的解決?！?"全等三角形"在綜合題中的應(yīng)用例5.如圖5,已知：點(diǎn)C是∠FAE的平分線AC上一點(diǎn),CE⊥AE,CF⊥AF,E、F為垂足。點(diǎn)B在AE的延長(zhǎng)線上,點(diǎn)D在AF上。若AB＝21,AD＝9,BC＝DC＝10。求AC的長(zhǎng)。分析：要求AC的長(zhǎng),需在直角三角形ACE中知AE、CE的長(zhǎng),而AE、CE均不是已知長(zhǎng)度的線段,這時(shí)需要通過(guò)證全等三角形,利用其性質(zhì),創(chuàng)設(shè)條件證出線段相等,進(jìn)而求出AE、CE的長(zhǎng),使問(wèn)題得以解決。解：∵AC平分∠FAE,CF⊥AF,CE⊥AE∴CF＝CE∴BE＝DF設(shè),則在中,在中,答：AC的長(zhǎng)為17。5、中考點(diǎn)撥例1.如圖,在中,已知∠B和∠C的平分線相交于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)F作DE∥BC,交AB于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E,若BD＋CE＝9,則線段DE的長(zhǎng)為〔A.9 B.8 C.7 D.6分析：初看此題,看到DE＝DF＋FE后,就想把DF和FE的長(zhǎng)逐個(gè)求出后再相加得DE,但由于DF與FE的長(zhǎng)都無(wú)法求出,于是就不知怎么辦了？其實(shí),若能注意到已知條件中的"BD＋CE＝9”,就應(yīng)想一想,DF＋FE是否與BD＋CE相關(guān)？是否可以整體求出？若能想到這一點(diǎn),就不難整體求出DF＋FE也就是DE解：∵BF是∠B的平分線∴∠DBF＝∠CBF又DE∥BC∴∠DFB＝∠CBF∴∠BDF＝∠DFB∴DF＝BD同理,FE＝CE∴DF＋FE＝BD＋CE＝9即DE＝9故選A6、題型展示例1.已知：如圖6,中,AB＝AC,∠ACB＝90°,D是AC上一點(diǎn),AE垂直BD的延長(zhǎng)線于E,。求證：BD平分∠ABC分析：要證∠ABD＝∠CBD,可通過(guò)三角形全等來(lái)證明,但圖中不存在可證全等的三角形,需設(shè)法進(jìn)行構(gòu)造。注意到已知條件的特點(diǎn),采用補(bǔ)形構(gòu)造全等的方法來(lái)解決。簡(jiǎn)證：延長(zhǎng)AE交BC的延長(zhǎng)線于F易證〔ASA或AAS于是又不難證得∴BD平分∠BAC說(shuō)明：通過(guò)補(bǔ)形構(gòu)造全等,溝通了已知和未知,打開了解決問(wèn)題的通道。例2.某小區(qū)結(jié)合實(shí)際情況建了一個(gè)平面圖形為正三角形的花壇。如圖7,在正三角形ABC花壇外有滿足條件PB＝AB的一棵樹P,現(xiàn)要在花壇內(nèi)裝一噴水管D,點(diǎn)D的位置必須滿足條件AD＝BD,∠DBP＝DBC,才能使花壇內(nèi)全部位置及樹P均能得到水管D的噴水,問(wèn)∠BPD為多少度時(shí),才能達(dá)到上述要求？分析：此題是一個(gè)實(shí)際問(wèn)題,應(yīng)先將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題,轉(zhuǎn)化后的數(shù)學(xué)問(wèn)題是：如圖7,D為正內(nèi)一點(diǎn),P為正外一點(diǎn),PB＝AB,AD＝BD,∠DBP＝∠DBC,求∠BPD＝？在解此數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),要用到全等三角形的知識(shí)。解：連CD又,即時(shí),才能達(dá)到要求。[實(shí)戰(zhàn)模擬]1.填空：等腰三角形一腰上的中線把這個(gè)三角形的周長(zhǎng)分成12cm和21cm,則這個(gè)等腰三角形底邊的長(zhǎng)為____________。2.在銳角中,高AD和BE交于H點(diǎn),且BH＝AC,則∠ABC＝__________。3.如圖所示,D是的∠ACB的外角平分線與BA的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)。試比較∠BAC與∠B的大小關(guān)系。4.如圖所示,AB＝AC,∠BAC＝90°,M是AC中點(diǎn),AE⊥BM。求證：∠AMB＝∠CMD5.設(shè)三個(gè)正數(shù)a、b、c滿足,求證：a、b、c一定是某個(gè)三角形三邊的長(zhǎng)。[試題答案]1.5cm2.45°3.分析：如圖所示,∠BAC是的外角,所以因?yàn)椤?＝∠2,所以∠BAC＞∠2又因?yàn)椤?是的外角,所以∠2＞∠B,問(wèn)題得證。答：∠BAC＞∠B∵∠CD平分∠ACE,∴∠1＝∠2∵∠BAC＞∠1,∴∠BAC＞∠2∵∠2＞∠B,∴∠BAC＞∠B4.證明一：過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AC交AD的延長(zhǎng)線于F又∠BAC＝∠ACF＝90°AC＝AB又AM＝MC,∴MC＝CF又∠3＝∠4＝45°,CD＝CD證明二：過(guò)點(diǎn)A作AN平分∠BAC交BM于N又AN平分∠BAC又AB＝AC又AM＝CM說(shuō)明：若圖中所證的兩個(gè)角或兩條線段沒(méi)有在全等三角形中,可以把求證的角或線段用和它相等的量代換。若沒(méi)有相等的量代換,可設(shè)法作輔助線構(gòu)造全等三角形。5.證明：由已知得：即是某一三角形三邊的長(zhǎng)。中考幾何題證明思路總結(jié)幾何證明題重點(diǎn)考察的是學(xué)生的邏輯思維能力,能通過(guò)嚴(yán)密的"因?yàn)?、"所以"邏輯將條件一步步轉(zhuǎn)化為所要證明的結(jié)論。這類題目出法相當(dāng)靈活,不像代數(shù)計(jì)算類題目容易總結(jié)出固定題型的固定解法,而更看重的是對(duì)重要模型的總結(jié)、常見思路的總結(jié)。所以本文對(duì)中考中最常出現(xiàn)的若干結(jié)論做了一個(gè)較為全面的思路總結(jié)。

一、證明兩線段相等

1.兩全等三角形中對(duì)應(yīng)邊相等。

2.同一三角形中等角對(duì)等邊。

3.等腰三角形頂角的平分線或底邊的高平分底邊。

4.平行四邊形的對(duì)邊或?qū)蔷€被交點(diǎn)分成的兩段相等。

5.直角三角形斜邊的中點(diǎn)到三頂點(diǎn)距離相等。

6.線段垂直平分線上任意一點(diǎn)到線段兩段距離相等。

7.角平分線上任一點(diǎn)到角的兩邊距離相等。

8.過(guò)三角形一邊的中點(diǎn)且平行于第三邊的直線分第二邊所成的線段相等。

9.同圓〔或等圓中等弧所對(duì)的弦或與圓心等距的兩弦或等圓心角、圓周角所對(duì)的弦相等。

10.圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線的切線長(zhǎng)相等或圓內(nèi)垂直于直徑的弦被直徑分成的兩段相等。

11.兩前項(xiàng)〔或兩后項(xiàng)相等的比例式中的兩后項(xiàng)〔或兩