2023屆江蘇省高三年級下冊學(xué)期期初考試仿真模擬數(shù)學(xué)試卷（五）

2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期期初考試仿真模擬數(shù)學(xué)試卷05一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．設(shè)集合，，則（）A.? B.? C. D.2．設(shè)復(fù)數(shù),則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)是（）A. B. C. D.3．已知a，b，c，d是四條直線，α，β是兩個不重合的平面，若a∥b∥c∥d，a?α，b?α，c?β，d?β，則α與β的位置關(guān)系是（）A平行B.相交C.平行或相交 D.以上都不對4．意大利著名天文學(xué)家伽利略曾錯誤地猜測鏈條自然下垂時的形狀是拋物線．直到1690年，雅各布·伯努利正式提出該問題為“懸鏈線”問題并向數(shù)學(xué)界征求答案．1691年他的弟弟約翰·伯努利和菜布尼茲、惠更斯三人各自都得到了正確答案，給出懸鏈線的數(shù)學(xué)表達式為雙曲余弦型函數(shù)：（e為自然對數(shù)的底數(shù)）．當(dāng)a=2時，記，，，則p，m，n的大小關(guān)系為（）A.B.C. D.5．直線經(jīng)過橢圓的左焦點，交橢圓于、兩點，交軸于點，若，則該橢圓的離心率是（）A． B． C． D．6．已知函數(shù)為偶函數(shù)，在單調(diào)遞減，且在該區(qū)間上沒有零點，則的取值范圍為（）A． B． C． D．7．在三棱錐中，PA，PB，PC互相垂直，，M是線段BC上一動點，且直線AM與平面PBC所成角的正切值的最大值是，則三棱錐外接球的體積是（）A． B． C． D．8．設(shè)點是曲線上任意一點，則點到原點距離的最大值、最小值分別為（）A.最大值，最小值 B.最大值，最小值1C.最大值2，最小值 D.最大值2，最小值1二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．已知，，，則（）A. B. C. D.10．?dāng)?shù)列中，對于任意的都有，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A．對于任意的，都有B．對于任意的，數(shù)列不可能為常數(shù)列C．若，則數(shù)列為遞增數(shù)列D．若，則當(dāng)時，11．已知隨機變量服從正態(tài)分布，定義函數(shù)為取值不超過的概率，即.若，則下列說法正確的有（）A． B．C．在上是增函數(shù) D．12．在正四面體中，若，則下列說法正確的是（）A．該四面體外接球的表面積為B．直線與平面所成角的正弦值為C．如果點在上，則的最小值為D．過線段一個三等分點且與垂直的平面截該四面體所得截面的周長為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．的展開式中含項的系數(shù)為___________.14.寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)_______．①；②當(dāng)時，；③是奇函數(shù)．15.已知，，，，過點作垂直于點，點滿足，則的值為_______．16．已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于某一條直線l對稱，若P，Q分別為它們圖象上的兩個動點，則這兩點之間距離的最小值為______．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．已知正項數(shù)列的前項和，且.（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）記，證明.18．在①；②這兩個條件中任選一個作為已知條件，補充到下面的橫線上，并給出解答．問題：已知中，角、、的對邊分別為、、，是邊的中點，，且______．（1）求的值；（2）若的平分線交于點，求的周長．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．19．為提高核酸檢測效率，某醫(yī)學(xué)實驗室現(xiàn)準(zhǔn)備采用某種檢測新冠肺炎病毒核酸的新型技術(shù)進行新一輪大規(guī)模核酸篩查.經(jīng)過初步統(tǒng)計分析得出該項技術(shù)的錯檢率約為0.04，漏檢率約為0.01.（錯檢率指在檢測出陽性的情況下未感染的概率，漏檢率指在感染的情況下檢測出陰性的概率）（1）當(dāng)有100個人檢測出核酸陽性時，求預(yù)計檢出的假陽性人數(shù)；（2）為節(jié)約成本，實驗室在該技術(shù)的基礎(chǔ)上采用“混采”的方式對個別疫區(qū)進行核酸檢測，即將n個人的樣本裝進一根試管內(nèi)送檢；若某組檢測出核酸陽性，則對這n個人分別進行單人單試管核酸采樣.現(xiàn)對兩個疫區(qū)的居民進行核酸檢測，A疫區(qū)共有10000名居民，采用的混采策略；B疫區(qū)共有20000名居民，采用的混采策略.已知兩個疫區(qū)每個居民感染新冠肺炎的概率相等且均小于0.00032，通過計算比較A、B兩個疫區(qū)核酸檢測預(yù)計消耗試管數(shù)量.參考數(shù)據(jù)：，20．如下圖所示，在多面體中，是邊長為2的等邊三角形，，，點是中點，平面平面.（1）求證：平面；（2）是直線上的一點，若二面角為直二面角，求的長.21．已知，為雙曲線E：（，）的左右焦點，點在雙曲線E上，O為坐標(biāo)原點．（1）求雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若不與坐標(biāo)軸平行的動直線l與雙曲線E相切，分別過點，作直線l的垂線，垂足為P，Q，求面積最大值．22．若對實數(shù)，函數(shù)，滿足且，則稱為“平滑函數(shù)”，為該函數(shù)的“平滑點”.已知，.（1）若1是平滑函數(shù)的“平滑點”，（?。┣髮崝?shù)，的值；（ⅱ）若過點可作三條不同的直線與函數(shù)的圖象相切，求實數(shù)的取值范圍；（2）對任意，判斷是否存在，使得函數(shù)存在正的“平滑點”，并說明理由．2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期期初考試仿真模擬數(shù)學(xué)試卷05一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．設(shè)集合，，則（）A.? B.? C. D.【答案】A2．設(shè)復(fù)數(shù),則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)是（）A. B. C. D.【答案】A3．已知a，b，c，d是四條直線，α，β是兩個不重合的平面，若a∥b∥c∥d，a?α，b?α，c?β，d?β，則α與β的位置關(guān)系是（）A平行B.相交C.平行或相交 D.以上都不對【答案】C4．意大利著名天文學(xué)家伽利略曾錯誤地猜測鏈條自然下垂時的形狀是拋物線．直到1690年，雅各布·伯努利正式提出該問題為“懸鏈線”問題并向數(shù)學(xué)界征求答案．1691年他的弟弟約翰·伯努利和菜布尼茲、惠更斯三人各自都得到了正確答案，給出懸鏈線的數(shù)學(xué)表達式為雙曲余弦型函數(shù)：（e為自然對數(shù)的底數(shù)）．當(dāng)a=2時，記，，，則p，m，n的大小關(guān)系為（）A.B.C. D.【答案】B5．直線經(jīng)過橢圓的左焦點，交橢圓于、兩點，交軸于點，若，則該橢圓的離心率是（）A． B． C． D．【答案】A6．已知函數(shù)為偶函數(shù)，在單調(diào)遞減，且在該區(qū)間上沒有零點，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】D7．在三棱錐中，PA，PB，PC互相垂直，，M是線段BC上一動點，且直線AM與平面PBC所成角的正切值的最大值是，則三棱錐外接球的體積是（）A． B． C． D．【答案】D8．設(shè)點是曲線上任意一點，則點到原點距離的最大值、最小值分別為（）A.最大值，最小值 B.最大值，最小值1C.最大值2，最小值 D.最大值2，最小值1【答案】B二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】BCD10．?dāng)?shù)列中，對于任意的都有，且，則下列結(jié)論正確的是（）A．對于任意的，都有B．對于任意的，數(shù)列不可能為常數(shù)列C．若，則數(shù)列為遞增數(shù)列D．若，則當(dāng)時，【答案】ACD11．已知隨機變量服從正態(tài)分布，定義函數(shù)為取值不超過的概率，即.若，則下列說法正確的有（）A． B．C．在上是增函數(shù) D．【答案】ACD12．在正四面體中，若，則下列說法正確的是（）A．該四面體外接球的表面積為B．直線與平面所成角的正弦值為C．如果點在上，則的最小值為D．過線段一個三等分點且與垂直的平面截該四面體所得截面的周長為【答案】ACD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．的展開式中含項的系數(shù)為___________.【答案】14.寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)_______．①；②當(dāng)時，；③是奇函數(shù)．【答案】（答案不唯一，均滿足）15.已知，，，，過點作垂直于點，點滿足，則的值為_______．【答案】16．已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于某一條直線l對稱，若P，Q分別為它們圖象上的兩個動點，則這兩點之間距離的最小值為______．【答案】四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．已知正項數(shù)列的前項和，且.（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）記，證明.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】（1）證明：∵，∴當(dāng)時，，∴，∴.當(dāng)時，，∴，即，故是首項為1，公差為1的等差數(shù)列；（2）證明：由（1）知正項數(shù)列滿足，所以；，∴.即.18．在①；②這兩個條件中任選一個作為已知條件，補充到下面的橫線上，并給出解答．問題：已知中，角、、的對邊分別為、、，是邊的中點，，且______．（1）求的值；（2）若的平分線交于點，求的周長．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．【答案】（1）（2）【解析】（1）選擇①：設(shè)，則，在中，，在中，，∵，∴，即，所以，故．選擇②：由正弦定理得，，∵，∴，∴，即，于是，∴，設(shè)，，在中，，即（i），在中，，即（ii），聯(lián)立（i）（ii）解得，，，即，．（2）由題意得，，∴，∴，又∵，∴，∴故的周長為．19．為提高核酸檢測效率，某醫(yī)學(xué)實驗室現(xiàn)準(zhǔn)備采用某種檢測新冠肺炎病毒核酸的新型技術(shù)進行新一輪大規(guī)模核酸篩查.經(jīng)過初步統(tǒng)計分析得出該項技術(shù)的錯檢率約為0.04，漏檢率約為0.01.（錯檢率指在檢測出陽性的情況下未感染的概率，漏檢率指在感染的情況下檢測出陰性的概率）（1）當(dāng)有100個人檢測出核酸陽性時，求預(yù)計檢出的假陽性人數(shù)；（2）為節(jié)約成本，實驗室在該技術(shù)的基礎(chǔ)上采用“混采”的方式對個別疫區(qū)進行核酸檢測，即將n個人的樣本裝進一根試管內(nèi)送檢；若某組檢測出核酸陽性，則對這n個人分別進行單人單試管核酸采樣.現(xiàn)對兩個疫區(qū)的居民進行核酸檢測，A疫區(qū)共有10000名居民，采用的混采策略；B疫區(qū)共有20000名居民，采用的混采策略.已知兩個疫區(qū)每個居民感染新冠肺炎的概率相等且均小于0.00032，通過計算比較A、B兩個疫區(qū)核酸檢測預(yù)計消耗試管數(shù)量.參考數(shù)據(jù)：，【答案】（1）4；（2）A疫區(qū)核酸檢測預(yù)計消耗試管數(shù)量比疫區(qū)核酸檢測預(yù)計消耗試管數(shù)量少.【解析】（1）當(dāng)有100個人檢測出核酸陽性時，預(yù)計檢出的假陽性人數(shù)為.（2）先計算疫區(qū)核酸檢測預(yù)計消耗試管數(shù)量.設(shè)疫區(qū)每個居民感染新冠肺炎的概率為，采用的混采策略，則該小組所需檢測次數(shù)為和，對應(yīng)的概率分別為和,所以該小組檢測次數(shù)的期望為，10000名居民分成1000個小組，所以整個疫區(qū)檢測次數(shù)的期望值為.再計算疫區(qū)核酸檢測預(yù)計消耗試管數(shù)量.設(shè)疫區(qū)每個居民感染新冠肺炎的概率為，采用的混采策略，則該小組所需檢測次數(shù)為和，對應(yīng)的概率分別為和,所以該小組檢測次數(shù)的期望為，20000名居民分成1000個小組，所以整個疫區(qū)檢測次數(shù)的期望值為.因為，所以，，所以，所以A疫區(qū)核酸檢測預(yù)計消耗試管數(shù)量比疫區(qū)核酸檢測預(yù)計消耗試管數(shù)量少.20．如下圖所示，在多面體中，是邊長為2的等邊三角形，，，點是中點，平面平面.（1）求證：平面；（2）是直線上的一點，若二面角為直二面角，求的長.【答案】（1）證明見詳解；（2）【解析】（1）因為，又點為的中點，所以．因為平面平面，平面平面，所以平面．因為，，所以，，故，．又，所以平面，所以．因為平面，平面，所以平面．（2）連接，以為原點，，，所在直線分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)，使得二面角為直二面角，易知，設(shè)平面的法向量為，則由，，得，令，得，，故．設(shè)平面的法向量為，則由，，得，令，得，，故．由，得，故．所以．21．已知，為雙曲線E：（，）的左右焦點，點在雙曲線E上，O為坐標(biāo)原點．（1）求雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若不與坐標(biāo)軸平行的動直線l與雙曲線E相切，分別過點，作直線l的垂線，垂足為P，Q，求面積最大值．【答案】（1）（2）【解析】（1）由已知得，解得所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）設(shè)切線l的方程為：，聯(lián)立，整理得由題知，化簡得，設(shè)，則則，解得同理，解得點到直線的距離所以的面積又，所以令，由，則，所以所以當(dāng)，即時，所以面積最大值為22．若對實數(shù)，函數(shù)，滿足且，則稱為“平滑函數(shù)”，為該函數(shù)的“平滑點”.已知，.（1）若1是平滑函數(shù)的“平滑點”，（ⅰ）求實數(shù)，的值；（ⅱ）若過點可作三條不同的直線與函數(shù)的圖象相切，求