第40講非線性方程組的解結構

線性代數(shù)59主講 大 教 April April ：:@ April ) April第40講非齊次觀看 + April April Aprila11x1a12x2...a1nxn

a22

...a2n

...amnxn

a1nx1 b1

x b

2n 2

2

Axb

x

b m mn n m

April

a1nx1 b1

x b

2n

2 2

Ax

x b m mn n m

bA

2n

b m2 mn

mApril3n無解R(A)<R(A有唯一解R(A)=R(A有無窮多解R(A)=R(Ab)<n April復習第38 April定理設AmxnR(Arn，Ax=0有基礎解系：ξ1,ξ2,..., Aprila11x1

...a1nxna21

...a2n

...amnxn

a1nx1 b1

x b

2n

2 2

Ax

x b m

mn n m

April

Ax 若xη1,xη2是(5)的解 則xη1 由條件1 η2A(η1η2)1η所以xη1

April 若xη1,x

則xη1

，， 若x 是(5)，，xξ(6則xξ

證A(ξη)Aξη0bxξη(5 設RA,bRAr

Ax 設x 其中ξ1, April April若R(A)=R(A,b)=r=n， R(AR(Abr April Ax RA,bRArn則方程組(5) x ：設x η：

η

...knrξnr

Ax 設x 川ηkξ... 川

大大

April

Ax 設x ：： η*S{kξ... η*|k,...,

April

April例 April并觀察秩R(A)與R(B)。若R(A)=R(B)則方程組有解。 若R(A)=R(B)=r<n,則方程組有無窮多解。此時，將行最簡形中r個非零行的非零首元所對應的未知數(shù)作為非自由未知數(shù)n-r n-rci，得到方程組的學習指導》131學習指導》1312xx x 4x15x2x3x4x2xxx

解21

4 115

1 1 1 5 將row3換到row

April21

(A,b)4

15 12424

1

5 333 1 1 33

0Row

1 B 11

Reducedrowechelon大

April2111

1 (,)4 11

112 12

0 C所對應的方程組 x3x4

x1

x3 xxx

x xx

x1,x2

x3,x4是自由未知數(shù)

Aprilx x

x2x3x4

x1 x3xx 分別令

,

1

1

ξ2 10 0

01 1 Aprilx x

x2x3x4 分別令

,x)(1,0),

1

ξ1

1

0x1

1

01 01 x

1 2c

c

(c1,c2是任意實數(shù)x3x x四 4

11 20 0 1 0 1

April

x1 x3x1 x3xxx

x2

x4

x3 x1

x3

x1

1

1

0x xx

x 1 1 2 x3

2x x x 1 0 3 x4

x4

0 1 0Aprilx1

x3

x1

x3 x xx

x4

2 x

x3

大學x

4 1 20 1 c0112c3x 1x 1 1x 1 2x x x 31 3

0 1 2ξ1ξ2ξ1ξ

2x1x24x33x4 x 3x 7x33x4大 3

1 3 11

1 34

1

3

3 Interchangerows1and

April

1

3

1334

1 3 2

1 3 2 1 10 24

1 10 April

3

3322b)41 1 110113 3

3 1 8

1

8 1

0 6 April 1 3 11

3 1 8

1 3

0 6 3 1 8 6 0

Rowechelon

April 1 3

3 1

1 8

1

6 3

0四四 1 8

Reducedrowechelon

April

x1x3 2x x

x3 x3x 2x8

1 3川2 川

2

x x3 x

31 06 0 6x1x1xx32c234x1006

x4 x 3x(2λ)x(4μ)x4x April

x4 x 3x(2λ)x(4μ)x4x 1λμ1

April

x4 x2x 3x(2λ)x(4μ)x4x 將(1,-1,1,-1)T代入第一個方程，得μλλ1112λλ1112

0

0012λ12λ 12λ4λ1

22λ42λ April 0 0 0012λ12λ 032λ4λ 22λ42λ 當12λ

即λ 2 1

11

0

00 3

0 3 00

大學

當12λ

即λ2

1

0

111

x

x

0 3 1

x3x 0

大

Reducedrowechelon

Aprilx x1x x1x

x 3x 1 x23x3x4

x x1 x1

1

1 1 12

x2

3x

1x3x1 x3

3 4 x xx 4 x4

大 rilx1 1 12

12x

2x

x x

3 4 3

x4

或 1 x 2c c 3x 113

2 x x4

x1x12 1130 00

0 0 0012λ12λ 032λ4λ 22λ42λ 當12λ

即λ1時 2 0

λλ 0 0

0四 0 四

R(A)=R(A April

λλ 0

0 12λ4λ 1

0 0 020 0 00 0 1

x1 2x31x 2x

2

2x3x4 2x

Aprilx 2x

x1 2x31

23x2 23 2x

x3

x

2x3

2

1x

2

x10

3

x 2x

2 14

April

2x3

2

1x

2

x10

31 0 x

4

2 1x1 x 1 0 2c

c是任意實數(shù)x3 0x 2 1 4

AprilξApril 例4已知4階方陣A=(a1a2a3a4)如果向量 求線性方程組方程Ax=b的通解 April例4已知4階方陣A=(a1,a2,a3,a4)a2,a3,a4線性無關，a1=2a2-a3,如果向量b=a1+a2+a3+a4,求線性方程組方程Ax=ba2a3a4

1

12a12a2

所以ξ

1學0 學0

10湛 0湛 川 川

April例例4已知4階方陣A=(a1,a2,a3,a4)a2,a3,a4