定積分的近似計(jì)算課件

實(shí)驗(yàn)二定積分的近似計(jì)算數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)1定積分計(jì)算的基本公式是牛頓－萊布尼茲公式。但當(dāng)被積函數(shù)的原函數(shù)不知道時(shí)，如何計(jì)算？這時(shí)就需要利用近似計(jì)算。特別是在許多實(shí)際應(yīng)用中，被積函數(shù)甚至沒有解析表達(dá)式，而是一條實(shí)驗(yàn)記錄曲線，或一組離散的采樣值，此時(shí)只能用近似方法計(jì)算定積分。本實(shí)驗(yàn)主要研究定積分的三種近似計(jì)算算法：矩形法、梯形法和拋物線法。同時(shí)介紹Matlab

計(jì)算定積分的相關(guān)函數(shù)。

問題背景和實(shí)驗(yàn)?zāi)康亩ǚe分的近似計(jì)算2矩形法梯形法拋物線法

數(shù)值積分的常見算法主要內(nèi)容

Matlab

求積分函數(shù)數(shù)值積分函數(shù)：trapz、quad、dblquad符號(hào)積分函數(shù)：int3矩形法n

充分大，x

充分小

通常我們?nèi)∽簏c(diǎn)法右點(diǎn)法中點(diǎn)法點(diǎn)可以任意選取，常見的取法有：

左端點(diǎn),右端點(diǎn)和中點(diǎn)。定積分的近似：5步長節(jié)點(diǎn)矩形法左點(diǎn)法右點(diǎn)法中點(diǎn)法fuluA.m6矩形法舉例例：用不同的矩形法計(jì)算下面的定積分(取n=100)，

并比較這三種方法的相對(duì)誤差。左點(diǎn)法：右點(diǎn)法：中點(diǎn)法：解：h=1/n=0.01,xi=i*h,a=0,b=1,n=100(i=0,1,2,...,100)7定積分幾何意義9

曲邊小梯形的面積可以由直邊小梯形的面積來近似整個(gè)曲邊梯形的面積：梯形法10

如果我們n

等分區(qū)間[a,b]，即令：則==>梯形公式梯形法梯形公式與中點(diǎn)公式有什么區(qū)別

?

fuluB.m112n

等分區(qū)間[a,b]，得用拋物線代替該直線，計(jì)算精度是否會(huì)更好？

計(jì)算每個(gè)節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值：拋物線法

在區(qū)間[x0,x2]上，用過以下三點(diǎn)的拋物線來近似原函數(shù)f(x)。13設(shè)過以上三點(diǎn)的拋物線方程為：則在區(qū)間[x0,x2]上，有y=

x2+x

+

=p1(x)

拋物線法14同理可得：相加即得：拋物線法15==>例：用拋物線法計(jì)算下面定積分(取n=100)，并計(jì)算相對(duì)誤差解：a=0,b=1,n=100,yi

=f(xi)=1/(1+xi2)拋物線法相對(duì)誤差：17矩形法梯形法拋物線法

數(shù)值積分的常見算法Matlab函數(shù)

Matlab

求積分函數(shù)數(shù)值積分函數(shù)：trapz、quad、dblquad符號(hào)積分函數(shù)：int18trapz(x,y)

x

為分割點(diǎn)（節(jié)點(diǎn)）組成的向量，

y為被積函數(shù)在節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值組成的向量。

trapztrapz梯形法19quad(f,a,b,tol)f=f(x)為被積函數(shù)，[a,b]為積分區(qū)間，tol

為計(jì)算精度將自變量看成是向量不用自己分割積分區(qū)間可以指定計(jì)算精度，若不指定，缺省精度是10-6精度越高，函數(shù)運(yùn)行的時(shí)間越長此處的函數(shù)

f是數(shù)值形式，應(yīng)該使用數(shù)組運(yùn)算，即：

.*

./

.\

.^

quad

quad拋物線法21解：>>

quad('1./(1+x.^2)',0,1)>>

quad('1./(1+x.^2)',0,1,1e-10)>>

quad('1./(1+x.^2)',0,1,1e-16)函數(shù)表達(dá)式一定要用單引號(hào)括起來！涉及的運(yùn)算一定要用數(shù)組運(yùn)算！例：用quad

計(jì)算定積分：quad舉例22dblquad(f,a,b,c,d,tol)

tol

為計(jì)算精度，若不指定，則缺省精度為10-6

f可以是：

字符串；inline

定義的內(nèi)聯(lián)函數(shù)；函數(shù)句柄

[a,b]

是第一積分變量的積分區(qū)間，

[c,d]

是第二積分變量

的積分區(qū)間按字母順序，大寫字母排在小寫字母的前面dblquad拋物線法計(jì)算二重積分：dblquad23例：計(jì)算二重積分>>

dblquad(@(x,y)4*x*y+3*x.^2,-1,1,0,2)指定x、y

分別是第一和第二積分變量>>

dblquad(inline('4*x*y+3*x.^2'),-1,1,0,2)被積函數(shù)f(x,y)

的另一種定義方法：匿名函數(shù)>>

dblquad(@(y,x)4*x*y+3*x.^2,-1,1,0,2)下面的命令運(yùn)行結(jié)果和上面的一樣嗎？dblquad舉例25int(f,a,b)

計(jì)算

f

關(guān)于默認(rèn)自變量

的定積分，積分區(qū)間為[a,b]。int(f)

計(jì)算

f

關(guān)于默認(rèn)自變量

的不定積分。int(f,v,a,b)

計(jì)算函數(shù)f

關(guān)于自變量v

的定積分，積分區(qū)間為[a,b]int(f,v)

計(jì)算函數(shù)

f

關(guān)于自變量

v

的不定積分findsym(f,1)int符號(hào)積分：int26>>

x=1:0.001:2;>>

y=exp(x.^(-2));>>

trapz(x,y)梯形法：拋物線法：>>

quad('exp(x.^(-2))',1,2,10e-10)符號(hào)積分法：>>

syms

x>>

int('exp(x^(-2))',x,1,2)例：用Matlab函數(shù)近似計(jì)算定積分?jǐn)?shù)值實(shí)驗(yàn)29拋物線法：>